Числовые характеристики случайных величин.

Лекция № 5. Числовые характеристики случайных величин. План: § 1. Математическое ожидание и другие характеристики центра группирования значений случайной величины. § 2. Дисперсия и другие характеристики степени рассеяния значений случайной величины. § 3. Начальные и центральные моменты k-го порядка. § 4. Асимметрия и эксцесс. §1). Исчерпывающие сведения об интересующем нас законе распределения вероятностей СВ можно задать и в виде таблицы распределения вероятностей (в случае, когда ξ – ДСВ), и в виде функции плотности вероятностей (в случае, когда ξ – НСВ). Однако при практическом изучении поведения СВ зачастую оказывается достаточной гораздо более малая информация в виде нескольких числовых характеристик распределения, позволяющих оценить такие его свойства, как центр группирования значений исследуемой СВ, мера их случайного рассеивания и др. Кроме того, подавляющее большинство используемых в статистических приложениях законов распределения (биномиальный, пуассоновский, нормальный, равномерный, показательный и др.) может быть однозначно восстановлено по одной – двум своим числовым характеристикам, например, по математическому ожиданию и дисперсии. Математическое ожидание является самой распространенной и удобной характеристикой центра группирования значений СВ. Поясним суть этой числовой характеристики на примере. Пример 1. Разыгрывается беспроигрышная лотерея, состоящая из n билетов. Выигрыши распределяются следующим образом: m1 выигрышных билетов – по х1 руб. каждый; m2 выигрышных билетов – по х2 руб. каждый; ………………………………………………….. ms выигрышных билетов – по хs руб. каждый; m1 + m2 + … +ms = n. Пусть СВ ξ определяет размер выигрыша на 1 случайно выбранный билет. Какова должна быть справедливая цена m одного билета? Решение. По условию заданная СВ ξ принимает следующие значения: х 1, х2 ,…,хs. Так как СВ ξ принимает отдельные значения и их конечное число, то ξ – ДСВ, при этом вероятность значения х1 будет равна m1 m2 ms , х2 , …, xs . Составим таблицу распределения n n n вероятностей для СВ ξ: 1 ξ х1 х2 x3 … xs Р m1 n m2 n m3 n … ms n причем выполняется условие: s  i 1 (1) mi  1. n В беспроигрышной лотерее цена m одного билета будет справедливой, если выполняется условие: стоимость всех билетов равна стоимости всех выигрышей, т. е. x1m1  x2 m2  ...  xs ms  mn  x1m1   x2 m2  ...  xs ms  n m m m  m  x1 1  x2 2  ...  xs s . n n n m (2) Таким образом, исходя из формулы (2), справедливая цена 1 билета m - есть среднее арифметическое всех значений СВ ξ, а в соответствии с таблицей распределения этой СВ (таблица (1)), m – это сумма произведений значений СВ ξ на их вероятности. Такая величина и называется математическим ожиданием СВ ξ. Сформулируем точное определение. Определение 1. Математическим ожиданием дискретной случайной величины ξ называется величина, обозначаемая Мξ или M[ξ], и равная сумме произведений всех возможных значений СВ ξ на соответствующие вероятности. Из определения вытекают следующие способы вычисления математического ожидания ДСВ ξ: 1). Если СВ ξ имеет конечное множество значений, т. е. таблица распределения имеет вид: ξ х1 … хn Р p1 … pn то математическое ожидание находится по формуле: n M    xk p k ; (3) k 1 2). Если СВ ξ имеет счетное множество значений, т. е. таблица распределения имеет вид: ξ х1 … xk … Р p1 … pk … то математическое ожидание находится по формуле:  M    xk p k . k 1 (4) 2 Замечание: Из О.1 следует, что математическое ожидание ДСВ есть величина не случайная, а постоянная, равная вычисленному по формулам (3) или (4) значению. Пример 2. Найти математическое ожидание ДСВ ξ, таблица распределения которой имеет вид: ξ 3 5 2 Р 0,1 0,6 0,3 Решение. Так как ДСВ ξ принимает конечное число значений, искомое математическое ожидание находим по формуле (3): M   3  0,1  5  0,6  2  0,3  3,9. Сформулируем определение математического ожидания для НСВ. Определение 2. Математическим ожиданием НСВ ξ, имеющей плотность вероятностей f(x), называется величина, вычисляемая по формуле  M   x  f ( x)dx , (5)   если  x  f ( x)dx - сходится.  Из определений 1 и 2 следует, что вероятностный смысл математического ожидания следующий: математическое ожидание ДСВ ξ приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений СВ; математическое ожидание НСВ ξ равно абсциссе центра тяжести плоской фигуры, ограниченной графиком функции плотности y=f(x) и осью Ох. Математическое ожидание СВ обоих типов обладает следующими свойствами: 1). Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной, т. е. M[c]=c, (6) где с – любая постоянная величина. Д-во: Постоянную величину с можно рассмотреть как ДСВ, которая имеет только одно возможное значение х1=с и принимает его с вероятностью р1=1. Тогда, по определению 1, M[c]=х1*р1=c*1=c. 2). Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т. е. M[cξ]=cM[ξ], где с – постоянная величина, а ξ – СВ. (7) Д-во: Докажем это свойство для случая, когда ξ – ДСВ, принимающая конечное число значений. Пусть ДСВ ξ задана следующей таблицей распределения: 3 ξ х1 х2 … хn Р р1 р2 … рn Произведение постоянной величины с на ДСВ ξ определяется как ДСВ сξ, возможные значения которой получаются умножением значений СВ ξ на с, а вероятности этих значений равны вероятностям соответствующих возможных значений СВ ξ, т. е. таблица распределения ДСВ сξ имеет вид: сξ сх1 сх2 … схn Р р1 р2 … рn Тогда, по определению 1, M[cξ]=cx1*p1+cx2*p2+…+cxn*pn=c(x1*p1+…+xn*pn)=cM[ξ]. 3). Математическое ожидание суммы двух СВ равно сумме математических ожиданий слагаемых, т. е. M[ξ+η]=M[ξ]+M[η]; (8) и вообще n n k 1 k 1 M [  k ]   M [ k ] . (8а) 4). Математическое ожидание произведения двух независимых СВ равно произведению их математических ожиданий, т. е. M[ξ*η]=M[ξ]*M[η]. (9) Замечание: Две СВ называют независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина. Найдем математические ожидания некоторых известных распределений. 1). Дискретные распределения. а). Биномиальное распределение. б). Распределение Пуассона. 2). Непрерывные распределения. а). Равномерное распределение. б). Нормальное распределение. в). Показательное распределение. Рассмотрим другие числовые характеристики центра группирования значений СВ. Определение 3. Модальным значением (или просто модой) xmod случайной величины ξ называется такое ее возможное значение, при котором значение плотности fξ(x) (в непрерывном случае) или вероятности Р(ξ=х) (в дискретном случае) достигает своего максимума. Замечание: мода является естественной характеристикой центра группирования значений СВ лишь в случаях так называемых одновершинных (одномодальных) распределений. 4 Таким образом, мода представляет собой наиболее часто осуществляющееся (в экспериментах или наблюдениях), наиболее типичное значение СВ. Возможно наличие двух и более мод , что говорит о неоднородности распределения исследуемой СВ. Определение 4. Медианой xmed СВ ξ называется ее средневероятное значение, т. е. такое значение, которое обладает следующим свойством: вероятность того, что СВ ξ окажется больше медианы, равна вероятности того, что она окажется меньше медианы. Для имеющих непрерывную плотность непрерывных СВ из О. 4, очевидно P(ξ>xmed)=P(ξ