Численные методы в задачах нефтегазовой отрасли

Численные методы в задачах нефтегазовой отрасли Математика как наука возникла в связи с необходимостью решения какихлибо практических проблем: что-то посчитать, получить в конечном итоге число. С развитием математики мат. описание природных явлений усложнялось, и требовалось создание специальных, обычно численных, методов решения. Недаром многие численные методы носят фамилии крупных ученых прошлого – Ньютона, Эйлера, Гаусса. При решении прикладных задач используются три различных подхода: 1) экспериментальный, 2) теоретический, 3) численный (вычислительный). Теоретический подход часто называют аналитическим, термины же численный и вычислительный взаимозаменяемы. Большим преимуществом теоретического подхода является то, что с его помощью можно получить «чистую» и довольно обширную информацию, причем во многих случаях на основе довольно простых формул. Этот подход особенно полезен на этапе предварительного проектирования, так как он позволяет за минимальное время получить разумные ответы на возникающие вопросы. При использовании численного подхода делается ограниченное количество предположений. Идея экспериментального исследования состоит в получении требуемых характеристик на относительно дешевой небольшой модели реального устройства. Однако, проводя такие исследования, не всегда удается смоделировать реальные условия работы прототипа на существующих экспериментальных установках. Отсюда следует, что численные методы, не имеющие таких ограничений, позволят получать информацию, которую другими методами найти невозможно. С другой стороны, применение численных методов также ограничено, в первую очередь быстродействием и памятью ЭВМ. Еще одно ограничение на применение этих методов связано с нашей неспособностью понять и математически смоделировать некоторые сложные явления. Ни одно из этих ограничений на возможность применения численных методов не является принципиально непреодолимым, а существующие в настоящее время тенденции позволяют оптимистические прогнозы о роли вычислительных методов в будущем. 1 строить Появление быстродействующих ЭВМ резко изменило характер решения инженерных задач. В настоящее время можно говорить, что появился новый способ исследования сложных процессов, допускающих мат. описание, – вычислительный эксперимент, т.е. исследование естественнонаучных проблем средствами вычислительной математики. Поясним существо этого способа исследования на примере решения какой-либо физической проблемы. Пусть требуется изучить некоторый физический процесс. Мат. исследованию предшествует выбор физического приближения, т.е. решение вопроса о том, какие факторы надо учесть, а какими можно пренебречь. После этого проводится исследование проблемы методом вычислительного эксперимента, в котором можно выделить несколько основных этапов. На первом этапе формулируется задача, которую надо решать. Сначала выбирается физическое приближение или физическая модель процесса (например, модель точки или сплошной среды), решается вопрос о том, какие физические факторы надо учесть, а какими можно пренебречь. Физической модели ставится в соответствие мат. модель, т.е. мат. описание физического процесса с помощью, алгебраических, дифференциальных, интегральных и других уравнений. Полученную мат. модель необходимо исследовать. Надо установить, правильно ли поставлена задача, хватает ли исходных данных, и т.д. На этом этапе используются методы классической математики. Следует отметить, что многие физические задачи приводят к таким мат. моделям, разработка теории которых находится в начальной стадии. Второй этап вычислительного эксперимента состоит в построении приближенного численного метода решения задачи, т.е. в выборе вычислительного алгоритма. Под вычислительным алгоритмом понимают последовательность арифметических и логических операций, при помощи которых находится приближенное численное решение мат. задачи, сформулированной на первом этапе. На третьем этапе осуществляется программирование вычислительного алгоритма для ЭВМ и на четвертом этапе – проведение расчетов на ЭВМ. Отмечу, что разработка конкретных численных алгоритмов и их программирование на ЭВМ должны быть тесно связаны. Наконец, в качестве пятого этапа вычислительного эксперимента можно 2 выделить анализ полученных численных результатов и последующее уточнение мат. модели. Может оказаться, что модель слишком груба – результат вычислений не согласуется с физическим экспериментом, или что модель слишком сложна, и решение с достаточной точностью можно получить при более простых моделях. Тогда следует начинать работу с первого этапа, т.е. уточнить мат. модель, и снова пройти все этапы. Разработка и исследование вычислительных алгоритмов и их применение к решению конкретных задач составляет содержание огромного раздела современной математики – вычислительной математики. Вычислительную математику в широком смысле этого термина определяют ныне как раздел информатики, включающий круг вопросов, связанных с использованием ЭВМ, и в узком смысле – как теорию численных методов и алгоритмов решения поставленных мат. задач. В дальнейшем мы будем иметь в виду вычислительную математику лишь в узком смысле слова. Общим для всех численных методов является сведение мат. задачи к конечномерной. Это чаще всего достигается дискретизацией исходной задачи, т.е. переходом от функций непрерывного аргумента к функциям дискретного аргумента. После дискретизации исходной задачи надо построить вычислительный алгоритм, т. е. указать последовательность арифметических и логических действий, выполняемых на ЭВМ и дающих за конечное число действий решение дискретной задачи. Полученное решение дискретной задачи принимается за приближенное решение исходной мат. задачи. Источники и виды погрешностей. Приближенное представление чисел Мат. формулировка любой прикладной задачи уже содержит некоторую неточность в связи с двумя обстоятельствами. Во-первых, математическая модель реального объекта никогда не учитывает всех без исключения факторов, влияющих на состояние этого объекта. Чтобы не получить слишком сложную мат. задачу, всегда приходится жертвовать некоторыми факторами, которые можно считать второстепенными. Во-вторых, в уравнения задачи входят некоторые задаваемые параметры – числа или функции. Значения этих параметров 3 получаются в результате измерений различных характеристик моделируемого объекта. Но хорошо известно, что всякое измерение производится с ошибкой. Т.о., только лишь записав в математической форме научную или техническую задачу, мы уже вынуждены считать, что ее решение, даже если его получить абсолютно точно, является всего лишь приближением к интересующей нас функции. Оно содержит так называемую неустранимую погрешность. Имеется в виду – неустранимую никаким методом решения мат. задачи. Как только мат. задача сформулирована, надо искать метод ее решения. Как правило, это будет приближенный метод. Это значит, что в результате применения метода могут быть получены не точные, а приближенные значения искомой функции, даже если все предписанные методом вычисления проделаны абсолютно точно. В обычных мат. курсах часто говорится о задачах, решаемых “точно”, до “конца”. Однако далеко не всегда при этом “конец” означает получение числовых значений неизвестных величин. Например, точно решить дифференциальное уравнение означает выразить его решение в виде интегралов от известных функций, точно взять интеграл, значит выразить его через элементарные функции. Но числовые значения и интегралов, и элементарных функций надо еще суметь найти. А это можно сделать, за редким исключением, лишь приближенно. Поэтому мы и говорим, что метод решения мат. задачи с доведением результатов до вычисления числовых значений неизвестных – это, как правило, приближенный метод. Возьмем простейший пример: найти положительное решение уравнения u 2 − 2 = 0 . Казалось бы, ответ прост: решение задачи. Но ведь, собственно говоря, 2 есть 2 – это не число. Это символ, показывающий, что и получается из числа 2 в результате операции извлечения корня. Вычислить корень можно лишь приближенно, правда, с любой степенью точности. Для этого надо применить подходящий метод, например, вычислять последовательные приближения к числу 2 как члены последовательности 1 2  , u0 = 1 . Легко видеть, что с пятью знаками после запятой u n =  u n −1 + 2 u n −1  этот метод дает u1=1,50000; u2=1,41667; u3=1,41422; u4=1,41421; u5=1,41421. 4 Ошибка, вносимая в решение мат. задачи применением приближенного метода, называется ошибкой или погрешностью метода. Если бы можно было точно выполнить все арифметические операции над числами, предписываемые приближенным методом, то о других видах погрешности, кроме уже указанных, мы бы не говорили. Однако это невозможно сделать по той причине, что любые арифметические операции над числами производятся при наличии ограниченного количества используемых для записи чисел разрядов позиционной системы исчисления. А говоря проще, неизбежны округления как исходных числовых данных, так и результатов операции. Возникающие за счет этого ошибки в определении искомых чисел и функций называются вычислительной погрешностью. Т.о., практически реализуя на ЭВМ или “на руках” приближенный метод решения мат. задачи, моделирующей некоторое реальное явление, мы получаем значения искомой функции, содержащие сумму трех погрешностей, – неустранимой, погрешности метода и вычислительной погрешности. Знание хотя бы порядка величины неустранимой погрешности полезно по следующим причинам. Во-первых, оно избавляет нас от необходимости применять слишком точные приближенные методы: вряд ли надо требовать погрешности метода в пределах 0,1%, если ясно, что неустранимая погрешность имеет порядок 10%. Во-вторых, если неустранимая погрешность уже превышает пределы допустимой точности искомой функции, то вовсе незачем заниматься приближенным решением задачи. К сожалению, в прикладных проблемах задача оценки неустранимой погрешности лежит, по существу, вне математики и получить требуемую оценку весьма сложно. Введем несколько понятий, связанных с приближенной записью чисел. Пусть а – точное, а* – приближенное значение некоторого числа. Абсолютной погрешностью приближения а* называется величина ∆(а*) такая, что a * −a < ∆(a*) , где ∆(а*) – его оценка сверху. Относительной погрешностью приближения величина δ(а*) такая, что a * −a < δ (a*) . Относительная погрешность часто выражается в процентах. a* 5 Значащими цифрами числа называются все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева. Значащая цифра называется верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, в котором эта цифра расположена. Таким образом, знание верных значащих цифр – это знание мантиссы числа и его относительной погрешности, но не порядка, а значит - не абсолютной погрешности. Рассмотрим пример. Для чисел а* = 0,01056, b*=0,0105600 значащими являются подчеркнутые цифры. Судить о том, являются ли они верными, без дополнительной информации невозможно. Если известно, что абсолютные погрешности этих чисел составляют ∆(а*) = 0,000007 и ∆(b*) = 0,0000004, то верными будут подчеркнутые цифры в записях a* = 0,01056, b* = 0,0105600. Вычислительные алгоритмы, в которых вычислительная погрешность приводит к недопустимым ошибкам, называются неустойчивыми. Их следует исключать из употребления или видоизменять так, чтобы неустойчивость исчезла. Рассмотрим пример. Пусть отыскивается наименьший корень уравнения u 2 − 140u + 1 = 0 . Предполагаем, что вычисления проводятся в десятичной системе, в мантиссах чисел после округления удерживаются четыре разряда. Находим u = 70 − 4899 ; 4899 = 69,99292 ≈ 69,99; u ≈ 70 − 69,99 = 0,01 . Абсолютная погрешность 0,01 вычисления корня, составляющая примерно десятитысячную долю его значения, привела к 100% относительной погрешности вычисления и. Проведем теперь расчет по-другому, избавившись предварительно от иррациональности в числителе: ( 70 2 − 4899 u= 70 + 4899 )2 ≈ 4900 − 4899 = 70 + 69,99 1 ≈ 0,007143 . 139,99 На этот раз результат получен с абсолютной погрешностью 10-6 и относительной погрешностью 0,01%. 6 Пример. Коэффициент охвата (относительный объем промытого пласта) ηохв = 0,34 и коэффициент вытеснения ηвыт = 0,42 измерены с точностью до 0,01. Оценим погрешность в определении коэффициента нефтеотдачи при водонапорном режиме η = ηохв ηвыт = 0,1428. Абсолютные погрешности коэффициента охвата и коэффициента вытеснения равны 0,01. Тогда крайние возможные значения коэффициента нефтеотдачи могут быть вычислены следующим образом (η охв + 0,01 )(η выт + 0,01 ) = 0,1505 , (η охв − 0,01 )(η выт − 0,01 ) = 0,1353, сравнивая их с подсчитанным выше значением η, получаем оценку η − η ∗ ≤ 0,0077 , что дает возможность указать абсолютную погрешность числа η в виде ∆η = 0,0077 . Здесь разумно округлить значение ∆η , например, так: ∆η = 0,008 или ∆η = 0,01 (абсолютные погрешности округляются в большую сторону!). 7 Ʌɚɛɨɪɚɬɨɪɧɚɹɪɚɛɨɬɚɂɧɬɟɪɩɨɥɢɪɨɜɚɧɢɟɮɭɧɤɰɢɣ ɐɟɥɶ ɪɚɛɨɬɵ ɢɡɭɱɟɧɢɟ ɦɟɬɨɞɨɜ ɢɧɬɟɪɩɨɥɢɪɨɜɚɧɢɹ ɮɭɧɤɰɢɣ ɫɪɚɜɧɢɬɟɥɶɧɵɣ ɚɧɚɥɢɡ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧɧɵɯ ɦɟɬɨɞɨɜ ɩɪɚɤɬɢɱɟɫɤɨɟ ɢɧɬɟɪɩɨɥɢɪɨɜɚɧɢɟɮɭɧɤɰɢɣɧɚɗȼɆ ɉɨɫɬɚɧɨɜɤɚɡɚɞɚɱɢ ɉɭɫɬɶɮɭɧɤɰɢɹ y  f (x) ɡɚɞɚɧɚɬɚɛɥɢɰɟɣ y0  f ( x0 ), y1  f ( x1 ), !, y n  f ( xn ) . Ɂɚɞɚɱɚɢɧɬɟɪɩɨɥɢɪɨɜɚɧɢɹɫɬɚɜɢɬɫɹɨɛɵɱɧɨɜɫɥɟɞɭɸɳɟɣɮɨɪɦɟ ɧɚɣɬɢɦɧɨɝɨɱɥɟɧ P( x)  Pn ( x) ɫɬɟɩɟɧɢɧɟɜɵɲɟnɡɧɚɱɟɧɢɹɤɨɬɨɪɨɝɨɜ ɬɨɱɤɚɯ xi (i = 0, 1, …, n  ɧɚɡɵɜɚɟɦɵɯ ɭɡɥɚɦɢ ɢɧɬɟɪɩɨɥɹɰɢɢ ɫɨɜɩɚɞɚɸɬɫɨɡɧɚɱɟɧɢɹɦɢɞɚɧɧɨɣɮɭɧɤɰɢɢɬɟ P( xi )  yi . Ƚɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢ ɷɬɨ ɨɡɧɚɱɚɟɬ ɱɬɨ ɧɭɠɧɨ ɧɚɣɬɢ ɚɥɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɭɸ ɤɪɢɜɭɸɜɢɞɚ y  a0 x n a1 x n 1 ! an ɩɪɨɯɨɞɹɳɭɸɱɟɪɟɡɡɚɞɚɧɧɭɸ ɫɢɫɬɟɦɭɬɨɱɟɤ M i ( xi , yi ) (i = 0, 1, …, n  ɪɢɫ  ȼ ɬɚɤɨɣ ɩɨɫɬɚɧɨɜɤɟ ɡɚɞɚɱɚ ɢɧɬɟɪɩɨɥɢɪɨɜɚɧɢɹ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɩɚɪɚɛɨɥɢɱɟɫɤɨɣ Ɇɧɨɝɨɱɥɟɧ P(x) ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɢɧɬɟɪɩɨɥɹɰɢɨɧɧɵɦ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɦ Ⱦɨɤɚɡɚɧɨɱɬɨɜɭɤɚɡɚɧɧɨɣɩɨɫɬɚɧɨɜɤɟɡɚɞɚɱɚɢɧɬɟɪɩɨɥɢɪɨɜɚɧɢɹ ɜɫɟɝɞɚ ɢɦɟɟɬ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɂɧɬɟɪɩɨɥɹɰɢɨɧɧɵɟ ɮɨɪɦɭɥɵ ɨɛɵɱɧɨ ɢɫɩɨɥɶɡɭɸɬɫɹ ɩɪɢ ɧɚɯɨɠɞɟɧɢɢ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ f (x) ɞɥɹ ɩɪɨɦɟɠɭɬɨɱɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɚɪɝɭɦɟɧɬɚ ɉɪɢ ɷɬɨɦ ɪɚɡɥɢɱɚɸɬ ɢɧɬɟɪɩɨɥɢɪɨɜɚɧɢɟɜɭɡɤɨɦɫɦɵɫɥɟɤɨɝɞɚɯ ɧɚɯɨɞɢɬɫɹɦɟɠɞɭ x0 ɢ xn , ɢɷɤɫɬɪɚɩɨɥɢɪɨɜɚɧɢɟɤɨɝɞɚɯ ɧɚɯɨɞɢɬɫɹɜɧɟɨɬɪɟɡɤɚ> x0 , xn ]. Ɋɢɫ1.1 ɉɪɢ ɨɰɟɧɤɟ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɢ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɨɜ ɞɨɥɠɧɵ ɭɱɢɬɵɜɚɬɶɫɹ ɤɚɤ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ ɦɟɬɨɞɚ ɢɧɬɟɪɩɨɥɹɰɢɢ ɨɫɬɚɬɨɱɧɵɣ ɱɥɟɧ  ɬɚɤ ɢ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɢɨɤɪɭɝɥɟɧɢɹɩɪɢɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹɯ ɂɧɬɟɪɩɨɥɹɰɢɨɧɧɚɹɮɨɪɦɭɥɚɅɚɝɪɚɧɠɚ ɉɭɫɬɶ xi (i = 0, 1, …, n) – ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɵɟ ɭɡɥɵ ɚ yi  f ( xi ) – ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɮɭɧɤɰɢɢ f (x) . Ɇɧɨɝɨɱɥɟɧɨɦ ɫɬɟɩɟɧɢ n ɩɪɢɧɢɦɚɸɳɢɦ ɜ ɬɨɱɤɚɯ xi ɡɧɚɱɟɧɢɹ yi , ɹɜɥɹɟɬɫɹɢɧɬɟɪɩɨɥɹɰɢɨɧɧɵɣɦɧɨɝɨɱɥɟɧɅɚɝɪɚɧɠɚ Pn ( x)  ( x x1 ) ( x x2 )...( x xn ) y0 ( x0 x1 ) ( x0 x2 )...( x0 xn ) ( x x0 ) ( x x2 )...( x xn ) y1 ... ( x1 x0 ) ( x1 x2 )...( x1 xn ) ( x x0 ) ( x x1 )...( x xn 1 ) yn . ( xn x0 ) ( xn x1 )...( xn xn 1 ) Ɉɫɬɚɬɨɱɧɵɣɱɥɟɧɪɚɜɟɧ f ( n 1) (X) Rn ( x)  (x (n 1)! x0 )( x x1 )!( x xn ) , ɝɞɟȟɟɫɬɶ ɧɟɤɨɬɨɪɚɹ ɬɨɱɤɚ ɧɚɢɦɟɧɶɲɟɝɨ ɩɪɨɦɟɠɭɬɤɚ ɫɨɞɟɪɠɚɳɟɝɨ ɜɫɟɭɡɥɵ xi (i = 0, 1, …, n ɢɬɨɱɤɭɯ. ȼɵɪɚɠɟɧɢɹ Pi( n) ( x)  ( x x0 )( x x1 )!( x xi 1 )( x xi 1 )!( x xn ) ( xi x0 )( xi x1 )!( xi xi 1 )( xi xi 1 )!( xi xn ) (1.1) ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚɦɢɅɚɝɪɚɧɠɚ i xi yi -0,5 1 0,1 2 0,3 0,2 3 0,5 1 ɉɪɢɦɟɪ  ɇɚɩɢɫɚɬɶ ɢɧɬɟɪɩɨɥɹɰɢɨɧɧɵɣ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ Ʌɚɝɪɚɧɠɚ ɞɥɹ ɮɭɧɤɰɢɢ f (x) , ɡɧɚɱɟɧɢɹɤɨɬɨɪɨɣɞɚɧɵɬɚɛɥɢɰɟɣ Ɋɟɲɟɧɢɟ ɉɨ ɮɨɪɦɭɥɟ   ɩɪɢn ɩɨɥɭɱɢɦɜɵɪɚɠɟɧɢɹ Pi(3) ( x) ɩɪɢi=0, 2, 3: P0(3) ( x )  ( x 0,1)( x 0,3)( x 0,5) x3  ( 0,1)( 0,3)( 0,5) 0,9 x 2 0,23 x 0,015 , 0,015 P2(3) ( x)  x( x 0,1)( x 0,5) x3  0,3 – 0,2 – ( 0,2) P3(3) ( x)  0,6 x 2 0,05 x , 0,012 x( x 0,1)( x 0,3) x 3  0,5 – 0,4 – 0,2 0,4 x 2 0,03 x 0,04 ( P1(3) ( x) ɜɞɚɧɧɨɦɫɥɭɱɚɟɜɵɱɢɫɥɹɬɶɧɟɫɥɟɞɭɟɬɬɤ y1  0 ). Ɍɨɝɞɚɢɫɤɨɦɵɣɦɧɨɝɨɱɥɟɧɛɭɞɟɬɢɦɟɬɶ ɜɢɞ 3 P3 ( x)  ¤ yi Pi(3) ( x)  i 0 125 3 x 3 30 x 2 73 x 0,5 . 12 ɂɧɬɟɪɩɨɥɹɰɢɨɧɧɵɟ ɮɨɪɦɭɥɵ ɇɶɸɬɨɧɚ ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹɪɚɜɧɨɨɬɫɬɨɹɳɢɦɢɟɫɥɢ xi xi  $ xi  h , 1 ɍɡɥɵ ɢɧɬɟɪɩɨɥɹɰɢɢ (i  0,1,!, n 1) . Ʉɨɧɟɱɧɵɦɢɪɚɡɧɨɫɬɹɦɢɮɭɧɤɰɢɢ y  f (x) ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹɪɚɡɧɨɫɬɢ ɜɢɞɚ $ yi  yi yi – ɤɨɧɟɱɧɵɟɪɚɡɧɨɫɬɢɩɟɪɜɨɝɨɩɨɪɹɞɤɚ 1 $2 yi  $ yi 1 $ yi – ɤɨɧɟɱɧɵɟɪɚɡɧɨɫɬɢɜɬɨɪɨɝɨɩɨɪɹɞɤɚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . $k yi  $k 1 yi 1 $k 1 yi – ɤɨɧɟɱɧɵɟɪɚɡɧɨɫɬɢk-ɝɨɩɨɪɹɞɤɚ ɇɢɠɟɞɚɟɬɫɹɬɚɛɥɢɰɚɤɨɧɟɱɧɵɯɪɚɡɧɨɫɬɟɣɩɪɢn  ɬɚɛɥ  ɉɟɪɜɚɹɢɧɬɟɪɩɨɥɹɰɢɨɧɧɚɹɮɨɪɦɭɥɚɇɶɸɬɨɧɚɢɦɟɟɬɜɢɞ y ( x)  Pn ( x)  y0 q (q 1) 2 $ y0 2! q $ y0 ! q (q 1)!(q n! n 1) n $ y0 , (1.2) ɝɞɟ q  ( x x0 ) h . Ɂɚɦɟɬɢɦ ɱɬɨ ɜ ɮɨɪɦɭɥɟ ɢɫɩɨɥɶɡɭɟɬɫɹ ɜɟɪɯɧɹɹ ɝɨɪɢɡɨɧɬɚɥɶɧɚɹ ɫɬɪɨɤɚɬɚɛɥɈɫɬɚɬɨɱɧɵɣɱɥɟɧ Rn (x) ɮɨɪɦɭɥɵ  ɢɦɟɟɬɜɢɞ f ( n 1) (X) n 1 Rn ( x)  h q (q 1)!(q (n 1)! n) . (1.3) ɉɪɢ ɧɚɥɢɱɢɢ ɞɨɩɨɥɧɢɬɟɥɶɧɨɝɨ ɭɡɥɚ xn 1 ɩɨɥɶɡɭɸɬɫɹɛɨɥɟɟɭɞɨɛɧɨɣɩɪɢɛɥɢɠɟɧɧɨɣɮɨɪɦɭɥɨɣ $n 1 y0 Rn ( x) z q (q 1)!(q (n 1)! ɧɚ ɩɪɚɤɬɢɤɟ n) . ɉɨɫɥɟɞɧɹɹ ɮɨɪɦɭɥɚ Ɍɚɛɥɢɰɚ ɩɨɥɟɡɧɚɧɚɩɪɢɦɟɪɜɫɥɭɱɚɟ ɷɦɩɢɪɢɱɟɫɤɢ ɡɚɞɚɧɧɵɯ $3 y $y $2 y x y ɮɭɧɤɰɢɣ x0 y0 $y0 $2 y0 $3 y0 ɑɢɫɥɨ ɩ ɠɟɥɚɬɟɥɶɧɨ ɜɵɛɢɪɚɬɶ ɬɚɤ ɱɬɨɛɵ x1 y1 $y1 $2 y1 $3 y1 ɪɚɡɧɨɫɬɢ $n yi  ɛɵɥɢ x2 y 2 $y 2 $2 y 2 $3 y 2 ɩɪɚɤɬɢɱɟɫɤɢ ɩɨɫɬɨɹɧɧɵɦɢ x3 y3 $y3 $2 y3 ɫɦɩɪɢɦɟɪ  x4 y 4 $y 4 Ɏɨɪɦɭɥɚ   ɢɫɩɨɥɶɡɭɟɬɫɹ ɞɥɹ x5 y5 ɢɧɬɟɪɩɨɥɢɪɨɜɚɧɢɹ ɢ ɷɤɫɬɪɚɩɨɥɢɪɨɜɚɧɢɹɜɬɨɱɤɚɯɯɛɥɢɡɤɢɯɤɧɚɱɚɥɭɬɚɛɥɢɰɵ x0 . ȼɬɨɪɚɹɢɧɬɟɪɩɨɥɹɰɢɨɧɧɚɹɮɨɪɦɭɥɚɇɶɸɬɨɧɚɢɦɟɟɬɜɢɞ y ( x)  Pn ( x)  y n q (q 1) 2 $ yn 2! 2 q $ yn ! $4 y $4 y0 $4 y1 1 q (q 1)!(q n! n 1) $n y0 , (1.4) ɝɞɟ q  ( x xn ) h . ȼ ɮɨɪɦɭɥɟ   ɢɫɩɨɥɶɡɭɟɬɫɹ ɧɢɠɧɹɹ ɧɚɤɥɨɧɧɚɹ ɫɬɪɨɤɚ ɪɚɡɧɨɫɬɟɣ ɫɦɬɚɛɥ Ɉɫɬɚɬɨɱɧɵɣɱɥɟɧ Rn (x) ɮɨɪɦɭɥɵ  ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ f ( n 1) (X) n 1 Rn ( x)  h q (q 1)!(q (n 1)! n) . Ɏɨɪɦɭɥɚ   ɢɫɩɨɥɶɡɭɟɬɫɹ ɞɥɹ ɢɧɬɟɪɩɨɥɢɪɨɜɚɧɢɹ ɢ ɷɤɫɬɪɚɩɨɥɢɪɨɜɚɧɢɹɜɬɨɱɤɚɯɯɛɥɢɡɤɢɯɤɤɨɧɰɭɬɚɛɥɢɰɵɬɟɤ xn . ɉɪɢɦɟɪ  ɉɨ ɞɚɧɧɨɣ ɬɚɛɥɢɰɟ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɮɭɧɤɰɢɢ y  lg x ɬɚɛɥ ɧɚɣɬɢ lg1001. ɊɟɲɟɧɢɟɁɧɚɱɟɧɢɟɛɥɢɡɤɨɤɧɚɱɚɥɭɬɚɛɥɢɰɵɩɨɷɬɨɦɭɞɥɹ ɢɧɬɟɪɩɨɥɢɪɨɜɚɧɢɹ ɢɫɩɨɥɶɡɭɟɦ ɮɨɪɦɭɥɭ   ɋɨɫɬɚɜɥɹɟɦ ɬɚɛɥɢɰɭ ɪɚɡɧɨɫɬɟɣ ɬɚɛɥ   ɢ ɡɚɦɟɱɚɟɦ ɱɬɨ ɬɪɟɬɶɢ ɪɚɡɧɨɫɬɢ ɩɪɚɤɬɢɱɟɫɤɢ ɩɨɫɬɨɹɧɧɵȼɷɬɨɣɫɜɹɡɢɜɮɨɪɦɭɥɟ  ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨɜɡɹɬɶn=3. Ɍɚɛɥɢɰɚ x y $y $2 y $3 y 1000 1010 1020 1030 1040 1050 3,0000000 3,0043214 3,0086002 3,0128372 3,0170333 3,0211893 0,0043241 0,0042788 0,0042370 0,0041961 0,0041560 -0,0000426 -0,0000418 -0,0000409 -0,0000401 0,0000008 0,0000009 0,0000008 q (q 1) 2 $ y0 2! q (q 1)(q 3! y ( x)  y0 q $ y0 2) $3 y0 . Ⱦɥɹx ɢɦɟɟɦ q  (1001 1000) / 10  0,1 . lg1001  3,0000000 0,1 – 0,0043214 0,1 – 0,9 0,0000426 2 0,1 – 0,9 – 1,9 0,0000008  3,0004341 . 2 Ɉɰɟɧɢɦɨɫɬɚɬɨɱɧɵɣɱɥɟɧɉɨɮɨɪɦɭɥɟ  ɩɪɢn ɢɦɟɟɦ f ( 4 ) ( X) 4 h q (q 1)(q 4! R3 ( x)  2)(q 3) , ɝɞɟȟ ȼɧɚɲɟɦɫɥɭɱɚɟ f ( 4) ( x)  3! 3! x (1000) 4 lg e ɩɨɷɬɨɦɭ f ( 4) (X) b 4 lg e. Ɉɤɨɧɱɚɬɟɥɶɧɨɩɨɥɭɱɚɟɦ R3 (1001) b 0,1 – 0,9 – 1,9 – 2,9 – 10 4 lg e 4 – (1000) 4 z 0,5 – 10 9. Ɉɫɬɚɬɨɱɧɵɣ ɱɥɟɧ ɦɨɠɟɬ ɩɨɜɥɢɹɬɶ ɬɨɥɶɤɨ ɧɚ ɞɟɜɹɬɵɣ ɞɟɫɹɬɢɱɧɵɣ ɡɧɚɤ Ɂɚɦɟɬɢɦ ɱɬɨ ɩɨɥɭɱɟɧɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ lg1001 ɩɨɥɧɨɫɬɶɸ ɫɨɜɩɚɞɚɟɬ ɫɨ ɡɧɚɱɟɧɢɟɦ ɜ ɫɟɦɢɡɧɚɱɧɨɣ ɬɚɛɥɢɰɟ ɥɨɝɚɪɢɮɦɨɜ Ɇɟɬɨɞ ɧɚɢɦɟɧɶɲɢɯ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ  ɋɭɳɧɨɫɬɶ ɞɚɧɧɨɝɨ ɦɟɬɨɞɚ m ɫɨɫɬɨɢɬ ɜ ɩɨɫɬɪɨɟɧɢɢ ɩɨɥɢɧɨɦɚ Pm ( x)  ¤a j x j ɫɬɟɩɟɧɢ m  n , j 0 ɫɭɦɦɚ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɣ ɤɨɬɨɪɨɝɨ ɨɬ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚɥɶɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɮɭɧɤɰɢɢ yi  f ( xi ) ɦɢɧɢɦɚɥɶɧɚ Ɂɚ ɦɟɪɭ ɤɚɱɟɫɬɜɚ ɚɩɩɪɨɤɫɢɦɚɰɢɢ ɮɭɧɤɰɢɢ f (x) ɩɨɥɢɧɨɦɨɦ Pm (x) ɜ ɬɨɱɤɚɯ xi ɩɪɢɧɢɦɚɸɬɫɭɦɦɭ n S (a0 , a1 ,..., am )  ¤ W ( xi ) ; f ( xi ) Pm ( xi ) =, i 1 ɝɞɟ W ( x) r 0 – ɡɚɪɚɧɟɟɜɵɛɪɚɧɧɚɹ©ɜɟɫɨɜɚɹªɮɭɧɤɰɢɹ Ⱦɥɹ ɨɬɵɫɤɚɧɢɹ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɨɜ a0 , a1 ,..., am ɩɨɥɢɧɨɦɚ ɢɫɩɨɥɶɡɭɟɬɫɹ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨɟ ɭɫɥɨɜɢɟ ɦɢɧɢɦɭɦɚ ɮɭɧɤɰɢɢ ɦɧɨɝɢɯ uS  0  ɤɨɬɨɪɨɟ ɩɪɢ W ( x)  1 ɢ ɩɨɫɥɟ ɧɟɤɨɬɨɪɵɯ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ ua j ɩɪɟɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɣɫɜɨɞɢɬɫɹɤɧɨɪɦɚɥɶɧɨɣɫɢɫɬɟɦɟɭɪɚɜɧɟɧɢɣ n a0 ¤ xi0 i 1 n a1 ¤ x1i i 1 n ! am ¤ xim i 1 n  ¤ yi xi0 , i 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . n a0 ¤ xik i 1 n a1 ¤ xik 1 i 1 n ! am ¤ xik m i 1 n  ¤ yi xik , (1.5) i 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . n a0 ¤ i 1 xim n a1 ¤ i 1 xim 1 n ! am ¤ i 1 xi2m n  ¤ yi xim . i 1 ɉɪɢ ɛɨɥɶɲɢɯ m ɫɢɫɬɟɦɚ   ɫɬɚɧɨɜɢɬɫɹ ©ɩɥɨɯɨɨɛɭɫɥɨɜɥɟɧɧɨɣª ɢ ɧɚ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɪɟɲɟɧɢɹ ɧɚɱɢɧɚɸɬ ɨɤɚɡɵɜɚɬɶ ɫɢɥɶɧɨɟ ɜɥɢɹɧɢɟ ɨɲɢɛɤɢ ɨɤɪɭɝɥɟɧɢɹ ɧɟɬɨɱɧɨɟ ɡɚɞɚɧɢɟ ɢɫɯɨɞɧɵɯ ɞɚɧɧɵɯ ɢ ɬɩ ɉɨɷɬɨɦɭ ɨɛɵɱɧɨ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɵɦ ɦɟɬɨɞɨɦ ɧɚɢɦɟɧɶɲɢɯ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ ɩɨɥɶɡɭɸɬɫɹ ɞɥɹ ɬɨɝɨ ɱɬɨɛɵ ɚɩɩɪɨɤɫɢɦɢɪɨɜɚɬɶ ɜ ɫɪɟɞɧɟɦ ɛɨɥɶɲɨɣ ɦɚɫɫɢɜ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚɥɶɧɵɯ ɞɚɧɧɵɯ ɩɪɨɫɬɵɦ ɩɨɥɢɧɨɦɢɚɥɶɧɵɦɜɵɪɚɠɟɧɢɟɦ m^2w3). ɉɪɢɦɟɪ ɉɨɞɚɧɧɨɣɬɚɛɥɢɰɟɡɧɚɱɟɧɢɣɮɭɧɤɰɢɢy = f(x  ɬɚɛɥ  ɩɨɫɬɪɨɢɬɶɢɧɬɟɪɩɨɥɹɰɢɨɧɧɭɸɤɪɢɜɭɸɢɧɚɣɬɢɡɧɚɱɟɧɢɟɮɭɧɤɰɢɢ ɜɬɨɱɤɟx=1,5. Ɍɚɛɥɢɰɚ i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 xi -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 yi 29 22 15 9 5 3 -2 -3 -2 -1 2 6 10 16 23 29 37 46 58 Ɋɟɲɟɧɢɟ. ɉɨɫɬɪɨɢɦ ɚɩɩɪɨɤɫɢɦɢɪɭɸɳɭɸ ɮɭɧɤɰɢɸ ɜ ɜɢɞɟ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨɩɨɥɢɧɨɦɚ P2 ( x)  a0 a1 x a2 x 2 , ɢɫɩɨɥɶɡɭɹɦɟɬɨɞɧɚɢɦɟɧɶɲɢɯɤɜɚɞɪɚɬɨɜ n ɂɦɟɟɦ n  20, ¤ xi0  20, m  2, i 1 n ¤ xi  10, i 1 n n ¤ xi2  670, i 1 ¤ xi4  40666, n ¤ xi3  1000, i 1 n ¤ yi xi0  302, i 1 i 1 n n i 1 i 1 ¤ yi xi  1146, ¤ y i xi2  19742. Ɍɨɝɞɚ ɫɢɫɬɟɦɚ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɞɥɹ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ a j ( j  0, 1, 2) ɩɪɢɦɟɬɜɢɞ «20 a0 10 a1 670 a2  302 , ®® ¬10 a0 670 a1 1000 a2  1146 , ® ®­670 a0 1000 a1 40666 a2  19742 , ɨɬɤɭɞɚ a0  1,66; a1  0,99; a2  0,49. Ɂɧɚɱɟɧɢɟɮɭɧɤɰɢɢ y (1,5) z P2 (1,5)  0,915 . ɉɨɫɬɪɨɟɧɧɚɹ ɢɧɬɟɪɩɨɥɹɰɢɨɧɧɚɹ ɤɪɢɜɚɹ ɫɩɥɨɲɧɚɹ ɥɢɧɢɹ  ɢ ɬɚɛɥɢɱɧɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɮɭɧɤɰɢɢ ɬɨɱɤɢ  ɩɪɢɜɟɞɟɧɵ ɧɚ ɪɢɫ  ɉɪɨɝɪɚɦɦɚɪɟɚɥɢɡɭɸɳɚɹɞɚɧɧɵɣɦɟɬɨɞɨɩɢɫɚɧɚɜɩɪɢɥ Ɂɚɞɚɧɢɹɤɪɚɛɨɬɟ  Ɋɚɡɪɚɛɨɬɚɬɶ ɫɯɟɦɵ ɢɧɬɟɪɩɨɥɢɪɨɜɚɧɢɹ ɮɭɧɤɰɢɣ ɦɟɬɨɞɚɦɢ Ʌɚɝɪɚɧɠɚɇɶɸɬɨɧɚɧɚɢɦɟɧɶɲɢɯɤɜɚɞɪɚɬɨɜ  ɇɚɩɢɫɚɬɶ ɨɬɥɚɞɢɬɶ ɢ ɜɵɩɨɥɧɢɬɶ ɩɪɨɝɪɚɦɦɵ ɢɧɬɟɪɩɨɥɢɪɨɜɚɧɢɹ ɮɭɧɤɰɢɣ ɬɚɛɥ   ɂɧɬɟɪɩɨɥɢɪɨɜɚɧɢɟ ɩɪɨɜɟɫɬɢ ɥɸɛɵɦ ɢɡ ɜɵɲɟɧɚɡɜɚɧɧɵɯ ɦɟɬɨɞɨɜ ɉɨɫɬɪɨɢɬɶ ɢɧɬɟɪɩɨɥɹɰɢɨɧɧɭɸ ɤɪɢɜɭɸɢɧɚɣɬɢɡɧɚɱɟɧɢɟɮɭɧɤɰɢɢɜɭɤɚɡɚɧɧɨɣɬɨɱɤɟ ɜɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɢ ɫɜɚɪɢɚɧɬɨɦɡɚɞɚɧɢɹ  Ɍɚɛɥɢɰɚ xi Ɂɧɚɱɟɧɢɹ yi  f ( xi ) y 40 30 20 10 -5 5 Ɋɢɫ 1.2 x Ʌɚɛɨɪɚɬɨɪɧɚɹɪɚɛɨɬɚɉɪɢɛɥɢɠɟɧɧɨɟɜɵɱɢɫɥɟɧɢɟɢɧɬɟɝɪɚɥɨɜ ɐɟɥɶ ɪɚɛɨɬɵ ɢɡɭɱɟɧɢɟ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɦɟɬɨɞɨɜ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɯ ɢɧɬɟɝɪɚɥɨɜ ɩɪɚɤɬɢɱɟɫɤɨɟ ɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɟ ɮɭɧɤɰɢɣ ɧɚ ɗȼɆ ɉɨɫɬɚɧɨɜɤɚɡɚɞɚɱɢ Ɂɚɦɟɧɹɹ ɩɨɞɵɧɬɟɝɪɚɥɶɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɸ ɤɚɤɢɦ-ɥɢɛɨ ɢɧɬɟɪɩɨɥɹɰɢɨɧɧɵɦ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɦ ɩɨɥɭɱɚɟɦ ɤɜɚɞɪɚɬɭɪɧɵɟ ɮɨɪɦɭɥɵ ɜɢɞɚ b ° n f ( x) dx  ¤ ci f ( xi ) 9, i 0 a ɝɞɟ xi – ɜɵɛɪɚɧɧɵɟ ɭɡɥɵ ɢɧɬɟɪɩɨɥɹɰɢɢ ci – ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵ ɡɚɜɢɫɹɳɢɟɬɨɥɶɤɨɨɬɜɵɛɨɪɚɭɡɥɨɜɧɨɧɟɨɬɜɢɞɚɮɭɧɤɰɢɢ i = 0, 1, ..., ɩ), 9 – ɨɫɬɚɬɨɱɧɵɣ ɱɥɟɧ ɢɥɢ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ ɤɜɚɞɪɚɬɭɪɧɨɣ ɮɨɪɦɭɥɵ ɉɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ ɡɚɜɢɫɢɬ ɤɚɤ ɨɬ ɪɚɫɩɨɥɨɠɟɧɢɹ ɭɡɥɨɜ ɬɚɤ ɢ ɨɬ ɜɵɛɨɪɚ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɨɜ Ɉɬɛɪɚɫɵɜɚɹ ɨɫɬɚɬɨɱɧɵɣ ɱɥɟɧ 9 ɦɵ ɫɨɜɟɪɲɚɟɦ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ ɭɫɟɱɟɧɢɹ ɉɪɢ ɪɚɫɱɟɬɟ ɤ ɧɟɣ ɟɳɟ ɞɨɛɚɜɥɹɸɬɫɹ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɢɨɤɪɭɝɥɟɧɢɹ Ɋɚɡɨɛɶɟɦ ɨɬɪɟɡɨɤ ɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɹ >ɚ, b@ ɧɚ ɩ ɪɚɜɧɵɯ ɱɚɫɬɟɣ ɫɢɫɬɟɦɨɣɬɨɱɟɤ Wh  [ xi  x0 h, i  0,1,!, n, hN  b a ], ɢ ɜɵɱɢɫɥɢɦ ɩɨɞɵɧɬɟɝɪɚɥɶɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɸ ɜ ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɯ ɭɡɥɚɯ yi  f ( xi ) . Ʉɜɚɞɪɚɬɭɪɧɵɟ ɮɨɪɦɭɥɵ ɞɥɹ ɪɚɜɧɨɨɬɫɬɨɹɳɢɯ ɭɡɥɨɜ ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɮɨɪɦɭɥɚɦɢ ɇɶɸɬɨɧɚ-Ʉɨɬɟɫɚ ɑɬɨɛɵ ɧɟ ɢɦɟɬɶ ɞɟɥɨ ɫ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚɦɢ ɜɵɫɨɤɢɯɫɬɟɩɟɧɟɣɨɛɵɱɧɨɪɚɡɛɢɜɚɸɬɩɪɨɦɟɠɭɬɨɤɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɹɧɚ ɨɬɞɟɥɶɧɵɟ ɭɱɚɫɬɤɢ ɩɪɢɦɟɧɹɸɬ ɮɨɪɦɭɥɵ ɇɶɸɬɨɧɚ-Ʉɨɬɟɫɚ ɫ ɧɟɜɵɫɨɤɢɦɢ ɫɬɟɩɟɧɹɦɢ ɧɚ ɤɚɠɞɨɦ ɭɱɚɫɬɤɟ ɢ ɩɨɬɨɦ ɫɤɥɚɞɵɜɚɸɬ ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɟ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɵ ɬɚɤ ɧɚɡɵɜɚɟɦɵɟ ɫɨɫɬɚɜɧɵɟ ɮɨɪɦɭɥɵ  ɇɚɢɛɨɥɟɟɩɪɨɫɬɵɟɢɡɮɨɪɦɭɥɬɚɤɨɝɨɬɢɩɚɩɪɢɜɟɞɟɧɵɧɢɠɟ 1. Ɏɨɪɦɭɥɚ ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɢɤɨɜ: b n ° f ( x) dx z ¤ f ( xi a ɝɞɟ xi i 1  xi 0,5h . ɉɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶɷɬɨɣɮɨɪɦɭɥɵ 1/ 2 1/ 2 ) h, h 2 (b a ) M 2, 9b 24 M 2  max f aa(X) . X[ a , b ] Ɏɨɪɦɭɥɚ ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɢɤɨɜ ɞɚɟɬ ɬɨɱɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ ɤɨɝɞɚɩɨɞɵɧɬɟɝɪɚɥɶɧɚɹɮɭɧɤɰɢɹ f (x) ɥɢɧɟɣɧɚɢɛɨɬɨɝɞɚ f aa( x) y 0 . 2. Ɏɨɪɦɭɥɚɬɪɚɩɟɰɢɣ: b ¥ y0 ° f ( x) dx z h ¦§ a yn y1 2 y2 ! yn ´ ¶ 1 µ, ɝɞɟ yi  f ( xi ) (i  0,1,!, n) . Ɉɫɬɚɬɨɱɧɵɣɱɥɟɧɢɦɟɟɬɜɢɞ h 2 (b a ) M 2, 9b 12 M 2  max f aa(X) . X[ a , b ] Ɏɨɪɦɭɥɚ ɬɪɚɩɟɰɢɣ ɢɦɟɟɬ ɬɚɤ ɠɟ ɤɚɤ ɢ ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɢɤɨɜɜɬɨɪɨɣɩɨɪɹɞɨɤɬɨɱɧɨɫɬɢ 9  O(h 2 ) . 3. Ɏɨɪɦɭɥɚɋɢɦɩɫɨɧɚ: b ° f ( x)dx z a 2 ; y2 h  y0 3 y2m ! y2m y4 2 = 4 ; y1 y3 ! y2m 1 = ɮɨɪɦɭɥɚ , b a b a .  n 2m Ɉɫɬɚɬɨɱɧɵɣɱɥɟɧɢɦɟɟɬɜɢɞ ɝɞɟ h  9b h 4 (b a ) M 4, 180 M 4  max f ( 4) (X) . X[ a , b ] Ɏɨɪɦɭɥɚ ɋɢɦɩɫɨɧɚ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɬɨɱɧɨɣ ɞɥɹ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ ɞɨ ɬɪɟɬɶɟɣɫɬɟɩɟɧɢɜɤɥɸɱɢɬɟɥɶɧɨɬɚɤɤɚɤɜɷɬɨɦɫɥɭɱɚɟ f ( 4) ( x) y 0 . Ɂɚɦɟɬɢɦ ɱɬɨ ɜ ɮɨɪɦɭɥɟ ɋɢɦɩɫɨɧɚ ɱɢɫɥɨ ɭɡɥɨɜ ɨɛɹɡɚɬɟɥɶɧɨ ɧɟɱɟɬɧɨɟɬɟɩ ɱɟɬɧɨɟɩ=2ɬ ɉɪɢɦɟɪ ȼɵɱɢɫɥɢɬɶɢɧɬɟɝɪɚɥ 1 ° e x2 dx ɩɨɮɨɪɦɭɥɟɬɪɚɩɟɰɢɣɩɪɢɩ ɢɨɰɟɧɢɬɶɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶɜɵɱɢɫɥɟɧɢɣ ɊɟɲɟɧɢɟɈɰɟɧɢɦɜɧɚɱɚɥɟɨɫɬɚɬɨɱɧɵɣɱɥɟɧȾɥɹɷɬɨɝɨɧɚɯɨɞɢɦ ɜɬɨɪɭɸɩɪɨɢɡɜɨɞɧɭɸɮɭɧɤɰɢɢ y  e x2 : y aa  2 (2 x 2 1) e x2 . ɇɚ ɨɬɪɟɡɤɟ > @ ɚɛɫɨɥɸɬɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɜɬɨɪɨɣ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɨɣ y aa(x) ɢɦɟɟɬɧɚɢɛɨɥɶɲɟɟɡɧɚɱɟɧɢɟɩɪɢɯ Ɉɬɫɸɞɚ 9b h 2 (b a ) 2 – (0,1) 2 max y aa( x)   0,002 . 12 12 ɑɬɨɛɵ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɢ ɨɤɪɭɝɥɟɧɢɹ ɧɟ ɩɨɜɥɢɹɥɢ ɧɚ ɬɨɱɧɨɫɬɶ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɚ ɛɭɞɟɦ ɜɟɫɬɢ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɫ ɨɞɧɢɦ ɡɚɩɚɫɧɵɦ ɡɧɚɤɨɦ ɬɟ ɫ ɱɟɬɵɪɶɦɹɡɧɚɤɚɦɢɩɨɫɥɟɡɚɩɹɬɨɣ ɉɨɮɨɪɦɭɥɟɬɪɚɩɟɰɢɣɩɨɥɭɱɢɦ 1 ° e x2 dx z 0,1 – 7,4620  0,7462 . Ɉɤɨɧɱɚɬɟɥɶɧɵɣɨɬɜɟɬɨɤɪɭɝɥɹɟɦɞɨɬɪɟɯɡɧɚɤɨɜ 1 ° e x2 dx z 0,746 . ȼɵɛɨɪ ɲɚɝɚ ɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɹ  ɉɭɫɬɶ ɧɚɦ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɜɵɛɪɚɬɶ ɬɚɤɨɣ ɲɚɝhɤɨɬɨɪɵɣɨɛɟɫɩɟɱɢɜɚɟɬ ɡɚɞɚɧɧɭɸ ɬɨɱɧɨɫɬɶ E ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚɩɨɜɵɛɪɚɧɧɨɣɮɨɪɦɭɥɟɱɢɫɥɟɧɧɨɝɨɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɹ Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦɞɜɚɫɩɨɫɨɛɚɪɟɲɟɧɢɹɷɬɨɣɡɚɞɚɱɢ 1. ȼɵɛɨɪ ɲɚɝɚ ɩɨ ɨɰɟɧɤɟ ɨɫɬɚɬɨɱɧɨɝɨ ɱɥɟɧɚ ɉɭɫɬɶ ɬɪɟɛɭɟɬɫɹ ɜɵɱɢɫɥɢɬɶ ɢɧɬɟɝɪɚɥ ɫ ɬɨɱɧɨɫɬɶɸ E ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɮɨɪɦɭɥɭ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɟɝɨ ɨɫɬɚɬɨɱɧɨɝɨ ɱɥɟɧɚ 9 ɜɵɛɢɪɚɸɬ h ɬɚɤɢɦ ɱɬɨɛɵ ɜɵɩɨɥɧɹɥɨɫɶ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɨ 9  E / 2  Ɂɚɬɟɦ ɜɵɱɢɫɥɹɸɬ ɢɧɬɟɝɪɚɥ ɩɨ ɩɪɢɛɥɢɠɟɧɧɨɣ ɮɨɪɦɭɥɟ ɫ ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɦ ɲɚɝɨɦ ɉɪɢ ɷɬɨɦ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɫɥɟɞɭɟɬ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɶ ɫ ɬɚɤɢɦ ɱɢɫɥɨɦ ɡɧɚɤɨɜ ɱɬɨɛɵ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ ɨɤɪɭɝɥɟɧɢɹɧɟɩɪɟɜɵɲɚɥɚ E / 2 . ɁɚɦɟɱɚɧɢɟȻɵɜɚɸɬɫɢɬɭɚɰɢɢɤɨɝɞɚɞɨɩɭɫɬɢɦɭɸɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶE ɞɟɥɹɬ ɦɟɠɞɭ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶɸ ɭɫɟɱɟɧɢɹɢ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶɸ ɨɤɪɭɝɥɟɧɢɹɧɟ ɩɨɪɨɜɧɭ ɇɚɩɪɢɦɟɪ ɟɫɥɢ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɡɧɚɱɟɧɢɢ ɩɨɞɵɧɬɟɝɪɚɥɶɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɨɱɟɧɶ ɬɪɭɞɨɟɦɤɢ ɧɨ ɦɨɝɭɬ ɛɵɬɶ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɵ ɫ ɥɸɛɨɣ ɬɨɱɧɨɫɬɶɸ ɬɨ ɦɨɠɟɬ ɨɤɚɡɚɬɶɫɹ ɰɟɥɟɫɨɨɛɪɚɡɧɵɦ ɜɵɛɢɪɚɬɶ ɲɚɝ h ɢɡ ɭɫɥɨɜɢɹ 9  E  Ⱦɪɭɝɨɣ ɤɪɚɣɧɢɣ ɫɥɭɱɚɣ ɦɨɠɟɬ ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɬɶɫɹ ɞɥɹ ɮɭɧɤɰɢɣ ɡɚɞɚɜɚɟɦɵɯ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚɥɶɧɨ ɤɨɝɞɚ ɬɪɭɞɧɨ ɨɛɟɫɩɟɱɢɬɶ ɛɨɥɶɲɭɸɬɨɱɧɨɫɬɶɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹɡɧɚɱɟɧɢɣɮɭɧɤɰɢɢ ɉɪɢɦɟɪ  ɋ ɩɨɦɨɳɶɸ ɮɨɪɦɭɥɵ ɋɢɦɩɫɨɧɚ ɜɵɱɢɫɥɢɬɶ ɢɧɬɟɝɪɚɥ P/2 ° P/4 sin x dx x ɫɬɨɱɧɨɫɬɶɸɞɨE=10-3. Ɋɟɲɟɧɢɟ ȼɵɛɟɪɟɦ ɲɚɝ h ɬɚɤɢɦ ɱɬɨɛɵ ɜɵɩɨɥɧɹɥɨɫɶ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɨ h 4 (b a ) max f ( 4) ( x)  0,5 – 10 3 . 180 x[ a, b] ȼɵɱɢɫɥɹɟɦ f ( 4) ( x) : f ( 4) ( x )  sin x x 4 cos x x 2 12 sin x x 3 24 cos x x 4 24 sin x x5 . ɉɪɢɨɰɟɧɤɟ f ( 4) ( x) ɧɚɨɬɪɟɡɤɟ>P/4, P@ɜɨɫɩɨɥɶɡɭɟɦɫɹɬɟɦɱɬɨ sin x ¥ 12 24 ´ cos x ¥ 6 ´ 4 ɢ  µ ¦1 ¦ 2 1µ ɧɚ ɷɬɨɦ ɨɬɪɟɡɤɟ 2 4 2 x § x x ¶ x §x ¶ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɵ ɢ ɭɛɵɜɚɸɬ ɉɨɷɬɨɦɭ ɨɧɢ ɞɨɫɬɢɝɚɸɬ ɧɚɢɛɨɥɶɲɟɝɨ ɡɧɚɱɟɧɢɹɜɬɨɱɤɟɯ= Pɩɪɢɱɟɦ ɜɟɥɢɱɢɧɵ f ( 4) ( x ) b sin x ¥ 12 ¦1 x § x2 24 ´ cos x ¥ 6 4 µ ¦ x4 ¶ x2 § x2 ´ 1µ  81 . ¶ Ɍɨɝɞɚɞɥɹɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹɲɚɝɚɪɚɫɱɟɬɚh ɦɵɩɨɥɭɱɚɟɦɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɨ h4 – P / 4 – 81  0,5 – 10 180 3 , ɨɬɤɭɞɚ h  0,19 . ɋ ɞɪɭɝɨɣ ɫɬɨɪɨɧɵ ɲɚɝ ɪɚɫɱɟɬɚ h ɫɥɟɞɭɟɬ ɜɵɛɢɪɚɬɶ ɬɚɤ ɱɬɨɛɵ ɪɚɡɞɟɥɢɬɶ ɨɬɪɟɡɨɤ >P/4, P@ ɧɚ ɱɟɬɧɨɟ ɱɢɫɥɨ ɪɚɜɧɵɯ ɱɚɫɬɟɣ ɍɤɚɡɚɧɧɵɦ ɞɜɭɦ ɭɫɥɨɜɢɹɦ ɨɬɜɟɱɚɟɬ ɡɧɚɱɟɧɢɟ h=P  ɩɪɢ ɤɨɬɨɪɨɦ n  Ⱦɚɥɟɟ ɞɥɹ ɬɨɝɨ ɱɬɨɛɵ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɣ ɧɟ ɩɪɟɜɵɲɚɥɚ 0,5 – 10 3  ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɜɟɫɬɢ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɫ ɱɟɬɵɪɶɦɹ ɡɧɚɤɚɦɢɩɨɫɥɟɡɚɩɹɬɨɣ ɉɨɮɨɪɦɭɥɟɋɢɦɩɫɨɧɚɩɪɢn ɧɚɯɨɞɢɦ P/2 ° P/4 sin x h dx z [ f ( x0 ) 3 x f ( x6 ) 2 ; f ( x2 ) 4 ; f ( x1 ) f ( x3 ) f ( x5 )=]  0,6118 . f ( x4 )= Ɉɤɨɧɱɚɬɟɥɶɧɵɣɪɟɡɭɥɶɬɚɬɨɤɪɭɝɥɹɟɦɞɨɬɪɟɯɡɧɚɤɨɜ P/2 ° P/4 sin x dx  0,612 . x 2. Ⱦɜɨɣɧɨɣ ɩɟɪɟɫɱɟɬ  ɉɨɫɤɨɥɶɤɭ ɨɬɵɫɤɚɧɢɟ max f ( k ) ( x) ɧɟɪɟɞɤɨ ɩɪɢɜɨɞɢɬ ɤ ɫɥɢɲɤɨɦ ɝɪɨɦɨɡɞɤɢɦ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹɦ ɧɚ ɩɪɚɤɬɢɤɟ ɨɛɵɱɧɨɢɫɩɨɥɶɡɭɸɬɫɥɟɞɭɸɳɢɣɩɪɢɟɦ ȼɵɱɢɫɥɹɸɬ ɢɧɬɟɝɪɚɥ I ɩɨ ɜɵɛɪɚɧɧɨɣ ɤɜɚɞɪɚɬɭɪɧɨɣ ɮɨɪɦɭɥɟ ɞɜɚɠɞɵ ɫɧɚɱɚɥɚ ɫ ɧɟɤɨɬɨɪɵɦ ɲɚɝɨɦ h, ɡɚɬɟɦ ɫ ɲɚɝɨɦ h ɬɟ ɭɞɜɚɢɜɚɸɬɱɢɫɥɨɩ Ɉɛɨɡɧɚɱɢɜ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɵ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɣ ɱɟɪɟɡ I h ɢ I h / 2 ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨɫɪɚɜɧɢɜɚɸɬɢɯȿɫɥɢ I h I h / 2  E ɝɞɟE - ɞɨɩɭɫɬɢɦɚɹ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶɬɨɩɨɥɚɝɚɸɬ I z I h / 2 . ȿɫɥɢ ɠɟ ɨɤɚɠɟɬɫɹ ɱɬɨ I h I h / 2 r E  ɬɨ ɪɚɫɱɟɬ ɩɨɜɬɨɪɹɸɬ ɫ ɲɚɝɨɦhȼɤɚɱɟɫɬɜɟɧɚɱɚɥɶɧɨɝɨɲɚɝɚɢɧɨɝɞɚɦɨɠɧɨɪɟɤɨɦɟɧɞɨɜɚɬɶ ɱɢɫɥɨ ɛɥɢɡɤɨɟ ɤ m E  ɝɞɟ m  ɞɥɹ ɮɨɪɦɭɥɵ ɬɪɚɩɟɰɢɣ ɢ m  ɞɥɹ ɮɨɪɦɭɥɵɋɢɦɩɫɨɧɚ ɍɤɚɡɚɧɧɵɣ ɩɪɢɟɦ ɲɢɪɨɤɨ ɢɫɩɨɥɶɡɭɟɬɫɹ ɩɪɢ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɢ ɢɧɬɟɝɪɚɥɨɜ ɧɚ ɗȼɆ ɬɚɤ ɤɚɤ ɨɧ ɩɨɡɜɨɥɹɟɬ ɨɫɭɳɟɫɬɜɢɬɶ ɚɜɬɨɦɚɬɢɱɟɫɤɢɣɜɵɛɨɪɲɚɝɚɩɪɢɡɚɞɚɧɧɨɣɬɨɱɧɨɫɬɢɫɨɞɧɨɜɪɟɦɟɧɧɵɦ ɤɨɧɬɪɨɥɟɦɜɵɱɢɫɥɟɧɢɣ Ɉɬɦɟɬɢɦɱɬɨɞɥɹɩɪɢɛɥɢɠɟɧɧɨɣɨɰɟɧɤɢɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɢɭɫɟɱɟɧɢɹ $ ɦɨɠɧɨɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶɫɹɩɪɢɧɰɢɩɨɦɊɭɧɝɟɫɨɝɥɚɫɧɨɤɨɬɨɪɨɦɭ $z 1 Ih 3 $z 1 Ih 15 I h / 2 ɞɥɹɮɨɪɦɭɥɵɬɪɚɩɟɰɢɣ I h / 2 ɞɥɹɮɨɪɦɭɥɵɋɢɦɩɫɨɧɚ ɉɪɢɦɟɪ ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɢɤɨɜ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ b I ° a dx x cos x ɫɬɨɱɧɨɫɬɶɸE=10-4 ɞɥɹa=0, b=P. Ɋɟɲɟɧɢɟ ɋɯɟɦɭ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɣ ɦɨɠɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ȼɵɛɢɪɚɟɦ ɧɚɱɚɥɶɧɵɣ ɲɚɝ h ɪɚɡɛɢɟɧɢɹ ɨɬɪɟɡɤɚ [a, b] , ¨b a · ɧɚɩɪɢɦɟɪ h  E  0,01 ɇɚɯɨɞɢɦ n  ©  314  Ɉɩɪɟɞɟɥɹɟɦ ª h ¸¹ ɩɪɢɛɥɢɠɟɧɧɨɟɡɧɚɱɟɧɢɟɢɧɬɟɝɪɚɥɚɩɨɮɨɪɦɭɥɟɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɢɤɨɜ n Ih z ¤ f ( xi 1 / 2 ) h . i 1 Ⱦɚɥɟɟ ɜɵɱɢɫɥɹɟɦ ɩɪɢɛɥɢɠɟɧɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ I h / 2 ɫ ɲɚɝɨɦhɈɩɪɟɞɟɥɹɟɦɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶɜɵɱɢɫɥɟɧɢɣ $  I h I h / 2 ȿɫɥɢ $ r E  ɲɚɝ ɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɹ ɭɦɟɧɶɲɚɟɦ ɜɞɜɨɟ ɬɟ ɩɪɢɛɥɢɠɟɧɧɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɦ ɞɥɹ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɵɯ ɲɚɝɨɜ h, h/2, h « ȼɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɡɚɤɚɧɱɢɜɚɟɦ ɩɪɢ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɢ ɭɫɥɨɜɢɹ $  E . Ɉɤɨɧɱɚɬɟɥɶɧɵɣɪɟɡɭɥɶɬɚɬɪɚɜɟɧ I  2,0431 . ɉɪɨɝɪɚɦɦɚɪɟɚɥɢɡɭɸɳɚɹɞɚɧɧɭɸɫɯɟɦɭɩɪɢɜɟɞɟɧɚɜɩɪɢɥ Ɂɚɞɚɧɢɹɤɪɚɛɨɬɟ  Ɋɚɡɪɚɛɨɬɚɬɶ ɫɯɟɦɵ ɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɹ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɚɦ ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɢɤɨɜɬɪɚɩɟɰɢɣɢɋɢɦɩɫɨɧɚ  ɇɚɩɢɫɚɬɶ ɨɬɥɚɞɢɬɶ ɢ ɜɵɩɨɥɧɢɬɶ ɩɪɨɝɪɚɦɦɵ ɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɹ ɮɭɧɤɰɢɣɩɪɢɜɟɞɟɧɧɵɯɜɬɚɛɥȼɵɱɢɫɥɟɧɢɹɡɧɚɱɟɧɢɹɢɧɬɟɝɪɚɥɚɧɚ ɨɬɪɟɡɤɟ [a, b] ɩɪɨɜɟɫɬɢ ɫ ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɬɨɱɧɨɫɬɶɸ ɜ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɢ ɫ ɜɚɪɢɚɧɬɨɦ ɡɚɞɚɧɢɹ  ȼɟɥɢɱɢɧɭ ɲɚɝɚ ɨɛɟɫɩɟɱɢɜɚɸɳɟɝɨ ɬɪɟɛɭɟɦɭɸ ɬɨɱɧɨɫɬɶɨɩɪɟɞɟɥɢɬɶɫɩɨɦɨɳɶɸɞɜɨɣɧɨɝɨɩɟɪɟɫɱɟɬɚ  Ɉɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɭɸ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɣ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ I Ih D – 100 % , I ɝɞɟI – ɬɨɱɧɨɟɡɧɚɱɟɧɢɟɢɧɬɟɝɪɚɥɚɜɵɱɢɫɥɟɧɧɨɟɱɟɪɟɡɩɟɪɜɨɨɛɪɚɡɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɢ I h – ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ ɩɨɥɭɱɟɧɧɨɟ ɜ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɟ ɩɪɢɦɟɧɟɧɢɹɤɨɧɤɪɟɬɧɨɣɮɨɪɦɭɥɵɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɹ Ʌɚɛɨɪɚɬɨɪɧɚɹɪɚɛɨɬɚ Ɋɟɲɟɧɢɟɫɢɫɬɟɦɥɢɧɟɣɧɵɯɚɥɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɢɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɐɟɥɶ ɪɚɛɨɬɵ ɢɡɭɱɟɧɢɟ ɱɢɫɥɟɧɧɵɯ ɦɟɬɨɞɨɜ ɪɟɲɟɧɢɹ ɫɢɫɬɟɦ ɥɢɧɟɣɧɵɯ ɚɥɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɢɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɩɪɚɤɬɢɱɟɫɤɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɫɢɫɬɟɦ ɧɚɗȼɆ ɉɨɫɬɚɧɨɜɤɚɡɚɞɚɱɢ ɉɭɫɬɶ ɞɚɧɚ ɫɢɫɬɟɦɚ ɩ ɥɢɧɟɣɧɵɯ ɚɥɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɢɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɢ ɫ ɩ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɵɦɢ «a11 x1 ® ®®a21 x1 ¬ ®. . . ® ®­an1 x1 a12 x2 ! a1n xn  b1 , a22 x2 ! a2n xn  b2 , (3.1) . . . . . . . . a n 2 x2 ! ann xn  bn . ɢɥɢɜɦɚɬɪɢɱɧɨɣɮɨɪɦɟ Ax b , ¥ a a ! a1n ´ ¥b ´ µ ¦ 11 12 ¦ 1µ ¦ a a ! a2n µ ¦ b2 µ A  ¦ 21 22 b ,  ¦! µ , .............. µ ¦ µ ¦ µ ¦b µ ¦a a !a µ § n¶ nn ¶ § n1 n 2 (3.2) ¥ x1 ´ ¦ µ ¦x µ x ¦ 2µ, ! ¦ µ ¦ µ § xn ¶ ɝɞɟȺ – ɦɚɬɪɢɰɚɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɨɜ b ɢ x – ɫɬɨɥɛɟɰɫɜɨɛɨɞɧɵɯɱɥɟɧɨɜɢ ɫɬɨɥɛɟɰ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɵɯ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ ȿɫɥɢ ɦɚɬɪɢɰɚ Ⱥ ɧɟɨɫɨɛɟɧɧɚɹ ɬɟɨɩɪɟɞɟɥɢɬɟɥɶɷɬɨɣɦɚɬɪɢɰɵɧɟɪɚɜɟɧɧɭɥɸɬɨɫɢɫɬɟɦɚ  ɢɦɟɟɬ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɨɟɪɟɲɟɧɢɟ ɉɪɢɦɟɧɹɟɦɵɟ ɜ ɧɚɫɬɨɹɳɟɟ ɜɪɟɦɹ ɱɢɫɥɟɧɧɵɟ ɦɟɬɨɞɵ ɪɟɲɟɧɢɹ ɫɢɫɬɟɦ ɥɢɧɟɣɧɵɯ ɚɥɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɢɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɦɨɠɧɨ ɪɚɡɛɢɬɶ ɧɚ ɞɜɟ ɝɪɭɩɩɵɬɨɱɧɵɟ ɩɪɹɦɵɟ ɢɩɪɢɛɥɢɠɟɧɧɵɟ ɢɬɟɪɚɰɢɨɧɧɵɟ  Ɍɨɱɧɵɦɢ ɦɟɬɨɞɚɦɢ ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɬɚɤɢɟ ɦɟɬɨɞɵ ɤɨɬɨɪɵɟ ɜ ɩɪɟɞɩɨɥɨɠɟɧɢɢ ɱɬɨ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɜɟɞɭɬɫɹ ɬɨɱɧɨ ɛɟɡ ɨɤɪɭɝɥɟɧɢɣ  ɩɪɢɜɨɞɹɬɤɬɨɱɧɵɦɡɧɚɱɟɧɢɹɦɧɟɢɡɜɟɫɬɧɵɯ xi ɉɨɫɤɨɥɶɤɭɧɚɩɪɚɤɬɢɤɟ ɜɫɟ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɜɟɞɭɬɫɹ ɫ ɨɤɪɭɝɥɟɧɢɹɦɢ ɬɨ ɢ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɵɯ ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɟ ɬɨɱɧɵɦ ɦɟɬɨɞɨɦ ɧɟɢɡɛɟɠɧɨ ɛɭɞɭɬ ɫɨɞɟɪɠɚɬɶ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɢ ɇɚɢɛɨɥɟɟ ɪɚɫɩɪɨɫɬɪɚɧɟɧɧɵɦ ɬɨɱɧɵɦ ɦɟɬɨɞɨɦ ɪɟɲɟɧɢɹ ɫɢɫɬɟɦ ɥɢɧɟɣɧɵɯɚɥɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɢɯɭɪɚɜɧɟɧɢɣɹɜɥɹɟɬɫɹɦɟɬɨɞȽɚɭɫɫɚɜɨɫɧɨɜɟ ɤɨɬɨɪɨɝɨ ɥɟɠɢɬ ɢɞɟɹ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɝɨ ɢɫɤɥɸɱɟɧɢɹ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɵɯ ȼ ɷɬɨɦɦɟɬɨɞɟɪɟɲɟɧɢɟɫɢɫɬɟɦɵɪɚɫɩɚɞɚɟɬɫɹɧɚɞɜɚɷɬɚɩɚ 1) ɉɪɹɦɨɣɯɨɞɤɨɝɞɚɫɢɫɬɟɦɚ  ɩɪɢɜɨɞɢɬɫɹɤɬɪɟɭɝɨɥɶɧɨɦɭɜɢɞɭ « x1 c12 x2 ! c1n xn  d1 , ® ® x2 ! c2 n xn  d 2 , ® ® ¬. . . . . . . . . . ® xn 1 cn 1 n xn  d n 1 , ® ® ®­ xn  d n , (3.3) ɝɞɟɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵɭɪɚɜɧɟɧɢɣɨɩɪɟɞɟɥɹɸɬɫɹɫɥɟɞɭɸɳɢɦɨɛɪɚɡɨɦ ( 0) akj  akj , ckj  (k akj k , j  1,2,!, n , 1) ( k 1) akk aij( k )  aij( k j  k 1, k , 1) (k aik 1) ckj , 2,!, n , k  1,2,!, n , i, j  k 1, k (3.4) 2,!, n , k  1,2,!, n . ȼɵɱɢɫɥɟɧɢɟ ɩɪɚɜɵɯ ɱɚɫɬɟɣ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɫɢɫɬɟɦɵ   ɨɫɭɳɟɫɬɜɥɹɟɬɫɹ ɩɨɮɨɪɦɭɥɚɦ bk(0)  bk , d k  bi( k )  bi( k 1) aik( k bk( k 1) (k akk 1) 1) , dk , k  1,2,!, n , i  k 1, k (3.5) 2,!, n , k  1,2,!, n .  Ʉɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵ cij ɢɩɪɚɜɵɟɱɚɫɬɢ d i (i=1, 2,…, n, j=i+1, i+2,…, n) ɯɪɚɧɹɬɫɹ ɜ ɩɚɦɹɬɢ ɗȼɆ ɢ ɢɫɩɨɥɶɡɭɸɬɫɹ ɩɪɢ ɨɫɭɳɟɫɬɜɥɟɧɢɢ ɨɛɪɚɬɧɨɝɨɯɨɞɚɤɨɬɨɪɵɣɡɚɤɥɸɱɚɟɬɫɹɜɧɚɯɨɠɞɟɧɢɢɧɟɢɡɜɟɫɬɧɵɯ xi ɢɡɫɢɫɬɟɦɵ  Ɉɛɳɢɟɮɨɪɦɭɥɵɨɛɪɚɬɧɨɝɨɯɨɞɚɢɦɟɸɬɜɢɞ n xn  d n , xi  d i ¤ cij x j , j i 1 (i  n 1, n 2, !, 1) . (3.6) ɉɪɢɦɟɪɆɟɬɨɞɨɦȽɚɭɫɫɚɪɟɲɢɬɶɫɢɫɬɟɦɭ «2 x1 x2 0,1x3 x4  2,7 , ® ®®0,4 x1 0,5 x2 4 x3 8,5 x4  21,9 , ¬ ®0,3 x1 x2 x3 5,2 x4  3,9 , ® ®­ x1 0,2 x2 2,5 x3 x4  9,9 . Ɋɟɲɟɧɢɟ. ɉɪɹɦɨɣɯɨɞɉɪɢɜɟɞɟɦɡɚɞɚɧɧɭɸɫɢɫɬɟɦɭɤɬɪɟɭɝɨɥɶɧɨɦɭ ɜɢɞɭɢɫɩɨɥɶɡɭɹɮɨɪɦɭɥɵ  ɢ  Ɍɨɝɞɚɫɢɫɬɟɦɚɡɚɩɢɲɟɬɫɹ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦɨɛɪɚɡɨɦ « x1 ® ®® ¬ ® ® ®­ 0,05 x3 0,5 x4  1,35 , x2 13,4 x3 29 x4  71,2 , 0,5 x2 x3 1,72298 x4  4,72298 , x4  1 . Ɉɛɪɚɬɧɵɣɯɨɞɉɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɢɡɩɨɥɭɱɟɧɧɨɣɫɢɫɬɟɦɵɥɢɧɟɣɧɵɯ ɚɥɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɢɯɭɪɚɜɧɟɧɢɣɩɨɮɨɪɦɭɥɟ  ɧɚɯɨɞɢɦɧɟɢɡɜɟɫɬɧɵɟ x4  1 , x3  4,72298 1,72298  3 , x2  71,2 13,4 – 3 29  2 , x1  1,35 0,5 – 2 0,05 – 3 0,5  1 . ɉɪɨɝɪɚɦɦɚɪɟɚɥɢɡɭɸɳɚɹɦɟɬɨɞȽɚɭɫɫɚɩɪɢɜɟɞɟɧɚɜɩɪɢɥ Ɉɫɧɨɜɧɵɦ ɨɝɪɚɧɢɱɟɧɢɟɦ ɦɟɬɨɞɚ Ƚɚɭɫɫɚ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ( k 1) ɩɪɟɞɩɨɥɨɠɟɧɢɟ ɨ ɬɨɦ ɱɬɨ ɷɥɟɦɟɧɬ akk  ɧɚɡɵɜɚɟɦɵɣ ɜɟɞɭɳɢɦ ɷɥɟɦɟɧɬɨɦɧɚk-ɦɲɚɝɟɢɫɤɥɸɱɟɧɢɹɢɧɚɤɨɬɨɪɵɣɩɪɨɜɨɞɢɬɫɹɞɟɥɟɧɢɟ ɨɬɥɢɱɟɧɨɬɧɭɥɹȾɚɠɟɟɫɥɢɤɚɤɨɣ-ɬɨɜɟɞɭɳɢɣɷɥɟɦɟɧɬɧɟɪɚɜɟɧɧɭɥɸ ɚɩɪɨɫɬɨɛɥɢɡɨɤɤɧɟɦɭɬɨɜɩɪɨɰɟɫɫɟɜɵɱɢɫɥɟɧɢɣɦɨɠɟɬɩɪɨɢɫɯɨɞɢɬɶ ɫɢɥɶɧɨɟ ɧɚɤɨɩɥɟɧɢɟ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɟɣ ɂɡɛɟɠɚɬɶ ɭɤɚɡɚɧɧɵɯ ɬɪɭɞɧɨɫɬɟɣ ɩɨɡɜɨɥɹɟɬɦɟɬɨɞȽɚɭɫɫɚɫɜɵɛɨɪɨɦɝɥɚɜɧɨɝɨɷɥɟɦɟɧɬɚɈɫɧɨɜɧɚɹɢɞɟɹ ɦɟɬɨɞɚ ɫɨɫɬɨɢɬ ɜ ɬɨɦ ɱɬɨɛɵ ɧɚ ɨɱɟɪɟɞɧɨɦ ɲɚɝɟ ɢɫɤɥɸɱɚɬɶ ɧɟ ɫɥɟɞɭɸɳɟɟ ɩɨ ɧɨɦɟɪɭ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɨɟ ɚ ɬɨ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɨɟ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɩɪɢ ɤɨɬɨɪɨɦ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɧɚɢɛɨɥɶɲɢɦ ɩɨ ɦɨɞɭɥɸ Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɜ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɜɟɞɭɳɟɝɨ ɷɥɟɦɟɧɬɚ ɡɞɟɫɶ ɜɵɛɢɪɚɟɬɫɹ ɝɥɚɜɧɵɣ ɬɟ ɧɚɢɛɨɥɶɲɢɣ ɩɨ ɦɨɞɭɥɸ ɷɥɟɦɟɧɬ Ɍɟɦ ɫɚɦɵɦ ɟɫɥɢ det A x 0  ɬɨ ɜ ɩɪɨɰɟɫɫɟɜɵɱɢɫɥɟɧɢɣɧɟɛɭɞɟɬɩɪɨɢɫɯɨɞɢɬɶɞɟɥɟɧɢɟɧɚɧɭɥɶ ɉɪɢɛɥɢɠɟɧɧɵɦɢɦɟɬɨɞɚɦɢ ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹɬɚɤɢɟɦɟɬɨɞɵɤɨɬɨɪɵɟ ɞɚɠɟ ɜ ɩɪɟɞɩɨɥɨɠɟɧɢɢ ɱɬɨ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɜɟɞɭɬɫɹ ɛɟɡ ɨɤɪɭɝɥɟɧɢɣ ɩɨɡɜɨɥɹɸɬ ɩɨɥɭɱɢɬɶ ɪɟɲɟɧɢɟ ɫɢɫɬɟɦɵ   ɥɢɲɶ ɫ ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɬɨɱɧɨɫɬɶɸ Ɍɨɱɧɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɫɢɫɬɟɦɵ ɜ ɷɬɢɯ ɫɥɭɱɚɹɯ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɩɨɥɭɱɟɧɨ ɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɢ ɤɚɤ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨɝɨ ɩɪɨɰɟɫɫɚ Ʉ ɩɪɢɛɥɢɠɟɧɧɵɦ ɦɟɬɨɞɚɦ ɨɬɧɨɫɹɬɫɹ ɦɟɬɨɞ ɩɪɨɫɬɨɣ ɢɬɟɪɚɰɢɢ ɦɟɬɨɞ ɁɟɣɞɟɥɹɢɞɪɄɚɠɞɵɣɢɡɷɬɢɯɦɟɬɨɞɨɜɧɟɜɫɟɝɞɚɹɜɥɹɟɬɫɹɫɯɨɞɹɳɢɦɫɹ ɜɩɪɢɦɟɧɟɧɢɢɤɤɨɧɤɪɟɬɧɨɦɭɤɥɚɫɫɭɫɢɫɬɟɦɥɢɧɟɣɧɵɯɚɥɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɢɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ Ɇɟɬɨɞɩɪɨɫɬɨɣɢɬɟɪɚɰɢɢɉɭɫɬɶɫɢɫɬɟɦɚɥɢɧɟɣɧɵɯɭɪɚɜɧɟɧɢɣ A x  b ɤɚɤɢɦ-ɥɢɛɨɨɛɪɚɡɨɦɩɪɢɜɟɞɟɧɚɤɜɢɞɭ x C x d, (3.7) ɝɞɟɋ– ɧɟɤɨɬɨɪɚɹɦɚɬɪɢɰɚD d – ɜɟɤɬɨɪ-ɫɬɨɥɛɟɰ ɂɫɯɨɞɹɢɡɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɨɝɨɜɟɤɬɨɪɚ x (0) ¥ x ( 0) ´ ¦ 1 µ ¦ ( 0) µ x ¦ 2 µ, ¦. . . . µ µ ¦ ¦ x ( 0) µ § n ¶ ɫɬɪɨɢɦɢɬɟɪɚɰɢɨɧɧɵɣɩɪɨɰɟɫɫ x (k 1)  C x (k ) d, (k  0,1, 2,! ) , ɢɥɢɜɪɚɡɜɟɪɧɭɬɨɣɮɨɪɦɟ « x ( k 1)  c11 x ( k ) c12 x ( k ) ! c1n xn( k ) d1 , 2 1 ®® 1 ¬. . . . . . . . . . . . . . . . ® ( k 1)  cn1 x1( k ) cn 2 x2( k ) ! cnn xn( k ) d n . ®­ xn ɉɪɨɢɡɜɨɞɹ ɢɬɟɪɚɰɢɢ ɩɨɥɭɱɢɦ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɫɬɶ ɜɟɤɬɨɪɨɜ x , x ( 2) , …, x (k ) , … Ⱦɨɤɚɡɚɧɨɱɬɨɟɫɥɢɷɥɟɦɟɧɬɵɦɚɬɪɢɰɵɋ ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɬɨɞɧɨɦɭ ɢɡɭɫɥɨɜɢɣ (1) n ¤ cij j 1 ɢɥɢ b A 1, (i  1,2,!, n) (3.8) n ¤ cij ( j  1,2,!, n) , b B 1, (3.9) i 1 ɬɨ ɩɪɨɰɟɫɫ ɢɬɟɪɚɰɢɢ ɫɯɨɞɢɬɫɹ ɤ ɬɨɱɧɨɦɭ ɪɟɲɟɧɢɸ ɫɢɫɬɟɦɵ x ɩɪɢ ɥɸɛɨɦɧɚɱɚɥɶɧɨɦɜɟɤɬɨɪɟ x (0) ɬɟ x  lim x (k ) . k md Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɬɨɱɧɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɫɢɫɬɟɦɵ ɩɨɥɭɱɚɟɬɫɹ ɥɢɲɶ ɜ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɟ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨɝɨ ɩɪɨɰɟɫɫɚ ɢ ɜɫɹɤɢɣ ɜɟɤɬɨɪ x (k ) ɢɡ ɩɨɥɭɱɟɧɧɨɣ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɫɬɢ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɩɪɢɛɥɢɠɟɧɧɵɦ ɪɟɲɟɧɢɟɦ Ɉɰɟɧɤɚ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɢ ɷɬɨɝɨ ɩɪɢɛɥɢɠɟɧɧɨɝɨ ɪɟɲɟɧɢɹ x (k ) ɞɚɟɬɫɹ ɨɞɧɨɣɢɡɫɥɟɞɭɸɳɢɯɮɨɪɦɭɥ A xi xi( k ) b max x (jk ) x (jk 1) , 1 A j 1,2,!, n ɟɫɥɢɜɵɩɨɥɧɟɧɨɭɫɥɨɜɢɟ  ɢɥɢ xi xi( k ) b B 1 n x (jk ) ¤ B x (jk 1) , j 1 ɟɫɥɢɜɵɩɨɥɧɟɧɨɭɫɥɨɜɢɟ   ɇɚɱɚɥɶɧɵɣ ɜɟɤɬɨɪ x (0) ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɜɵɛɪɚɧ ɜɨɨɛɳɟ ɝɨɜɨɪɹ ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɨɂɧɨɝɞɚɛɟɪɭɬ x (0)  d Ɉɞɧɚɤɨɧɚɢɛɨɥɟɟɰɟɥɟɫɨɨɛɪɚɡɧɨ ɜ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɤɨɦɩɨɧɟɧɬ ɜɟɤɬɨɪɚ x (0) ɜɡɹɬɶ ɩɪɢɛɥɢɠɟɧɧɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɵɯɩɨɥɭɱɟɧɧɵɟɝɪɭɛɨɣɩɪɢɤɢɞɤɨɣ ɉɪɢɜɟɞɟɧɢɟ ɫɢɫɬɟɦɵ   ɤ ɜɢɞɭ   ɦɨɠɧɨ ɨɫɭɳɟɫɬɜɢɬɶ ɪɚɡɥɢɱɧɵɦɢ ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ ȼɚɠɧɨ ɬɨɥɶɤɨ ɱɬɨɛɵ ɜɵɩɨɥɧɹɥɨɫɶ ɨɞɧɨ ɢɡ ɭɫɥɨɜɢɣ  ɢɥɢ   ɉɪɢɦɟɪ Ɋɟɲɢɬɶɫɢɫɬɟɦɭ «1,02 x1 0,05 x2 0,1x3  0,795 , ®® ¬ 0,11x1 1,03 x2 0,05 x3  0,849 , ® ®­ 0,11x1 0,12 x2 1,04 x3  1,398 , ɩɪɨɢɡɜɟɞɹ ɬɪɢ ɢɬɟɪɚɰɢɢ ɍɤɚɡɚɬɶ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ ɩɨɥɭɱɟɧɧɨɝɨ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɚ Ɋɟɲɟɧɢɟ Ɇɚɬɪɢɰɚ ɞɚɧɧɨɣ ɫɢɫɬɟɦɵ ɬɚɤɨɜɚ ɱɬɨ ɞɢɚɝɨɧɚɥɶɧɵɟ ɷɥɟɦɟɧɬɵ ɛɥɢɡɤɢ ɤ ɟɞɢɧɢɰɟ ɚ ɜɫɟ ɨɫɬɚɥɶɧɵɟ – ɡɧɚɱɢɬɟɥɶɧɨ ɦɟɧɶɲɟ ɟɞɢɧɢɰɵɉɨɷɬɨɦɭɞɥɹɩɪɢɦɟɧɟɧɢɹɦɟɬɨɞɚɩɪɨɫɬɨɣɢɬɟɪɚɰɢɢɡɚɩɢɲɟɦ ɞɚɧɧɭɸɫɢɫɬɟɦɭ  ɜɜɢɞɟ « x1  0,795 0,02 x1 0,05 x2 0,1x3 , ®® ¬ x2  0,849 0,11x1 0,03x2 0,05 x3 , ® ®­ x3  1,398 0,11x1 0,12 x2 0,04 x3 . ɍɫɥɨɜɢɹ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɢ   ɞɥɹ ɩɨɥɭɱɟɧɧɨɣ ɫɢɫɬɟɦɵ ɜɵɩɨɥɧɟɧɵ Ⱦɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɨ 3 ¤ c1 j  0,02 0,05 0,1  0,17  1 , j 1 3 ¤ c2 j  0,11 0,03 0,05  0,19  1 , j 1 3 ¤ c3 j  0,11 0,12 0,04  0,27  1 , j 1 Ȼɟɪɟɦ ɜ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɧɚɱɚɥɶɧɨɝɨ ɜɟɤɬɨɪɚ x (0) ɫɬɨɥɛɟɰ ɫɜɨɛɨɞɧɵɯ ɱɥɟɧɨɜɨɤɪɭɝɥɢɜɟɝɨɷɥɟɦɟɧɬɵɞɨɞɜɭɯɡɧɚɤɨɜɩɨɫɥɟɡɚɩɹɬɨɣ x ( 0) ¥ 0,80 ´ ¦ µ  ¦ 0,85 µ . ¦1,40 µ § ¶ Ⱦɚɥɟɟɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɧɚɯɨɞɢɦ ɩɪɢk=1 ɩɪɢk=2 ɩɪɢk=3 x1(1)  0,962 , x2(1)  0,982 , x3(1)  1,532 ; x1( 2)  0,978 , x2( 2)  1,002 , x3( 2)  1,560 ; x1(3)  0,980 , x2(3)  1,004 , x3(3)  1,563 . Ɂɧɚɱɟɧɢɹ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɵɯ ɩɪɢ k  ɢ k  ɨɬɥɢɱɚɸɬɫɹ ɧɟ ɛɨɥɟɟ ɱɟɦ ɧɚ E  3 – 10 3 ɩɨɷɬɨɦɭɜɡɹɜɜɤɚɱɟɫɬɜɟɧɟɢɡɜɟɫɬɧɵɯ x1 z 0,980 , x2 z 1,004 , x3 z 1,563 , ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶɷɬɢɯɩɪɢɛɥɢɠɟɧɧɵɯɡɧɚɱɟɧɢɣɧɟɩɪɟɜɡɨɣɞɟɬ A 1 A E 0,27 – 3 – 10 1 0,27 3  1,1 – 10 3. Ɇɟɬɨɞ Ɂɟɣɞɟɥɹ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɦɨɞɢɮɢɤɚɰɢɟɣ ɦɟɬɨɞɚ ɩɪɨɫɬɨɣ ɢɬɟɪɚɰɢɢ Ɉɧ ɡɚɤɥɸɱɚɟɬɫɹ ɜ ɬɨɦ ɱɬɨ ɩɪɢ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɢ k+1)-ɝɨ ɩɪɢɛɥɢɠɟɧɢɹ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɨɝɨ xi ɩɪɢ i  1 ɢɫɩɨɥɶɡɭɸɬɫɹ ɭɠɟ ɜɵɱɢɫɥɟɧɧɵɟɪɚɧɟɟ k +1)-ɟɩɪɢɛɥɢɠɟɧɢɹɧɟɢɡɜɟɫɬɧɵɯ x1 , x2 ,…, xi 1 . Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɞɥɹ ɫɢɫɬɟɦɵ   ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɩɨ ɦɟɬɨɞɭ Ɂɟɣɞɟɥɹ ɜɟɞɭɬɫɹɩɨɮɨɪɦɭɥɚɦ « x ( k 1)  c11 x ( k ) c12 x ( k ) ! c1n xn( k ) d1 , 2 1 ® 1 ® ( k 1)  c21 x1( k 1) c22 x2( k ) ! c2n xn( k ) d 2 , ® x2 ¬ ®. . . . . . . . . . . . . . . . ® ® x ( k 1)  c x ( k 1) c x ( k 1) ! c x ( k ) d . n1 1 n2 2 nn n n ­ n ɍɤɚɡɚɧɧɵɟ ɭɫɥɨɜɢɹ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɢ ɞɥɹ ɦɟɬɨɞɚ ɩɪɨɫɬɨɣ ɢɬɟɪɚɰɢɢ ɨɫɬɚɸɬɫɹɜɟɪɧɵɦɢɢɞɥɹɦɟɬɨɞɚɁɟɣɞɟɥɹɈɛɵɱɧɨɦɟɬɨɞɁɟɣɞɟɥɹɞɚɟɬ ɥɭɱɲɭɸɫɯɨɞɢɦɨɫɬɶɱɟɦɦɟɬɨɞɩɪɨɫɬɨɣɢɬɟɪɚɰɢɢɯɨɬɹɷɬɨɛɵɜɚɟɬɧɟ ɜɫɟɝɞɚ Ʉɪɨɦɟ ɬɨɝɨ ɦɟɬɨɞ Ɂɟɣɞɟɥɹ ɦɨɠɟɬ ɨɤɚɡɚɬɶɫɹ ɛɨɥɟɟ ɭɞɨɛɧɵɦ ɩɪɢ ɩɪɨɝɪɚɦɦɢɪɨɜɚɧɢɢ ɬɚɤ ɤɚɤ ɩɪɢ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɢ xi( k ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨɫɬɢɯɪɚɧɢɬɶɡɧɚɱɟɧɢɹ x1( k ) , x2( k ) , …, xi( k1) . ɉɪɢɦɟɪ ɆɟɬɨɞɨɦɁɟɣɞɟɥɹɪɟɲɢɬɶɫɢɫɬɟɦɭ «20,9 x1 1,2 x2 2,1x3 0,9 x4  21,70 , ® ®®1,2 x1 21,2 x2 1,5 x3 2,5 x4  27,46 , ¬ ®2,1x1 1,5 x2 19,8 x3 1,3 x4  28,76 , ® ®­0,9 x1 2,5 x2 1,3 x3 32,1x4  49,72 . Ɋɟɲɟɧɢɟɉɪɢɜɟɞɟɦɢɫɯɨɞɧɭɸɫɢɫɬɟɦɭɤɜɢɞɭ   1 « ® x1  20,9 (21,70 ® ® 1 ® x2  (7,46 21,2 ® ¬ 1 ® (28,76 x  3 ® 19,8 ® ® 1 (49,72 ® x4  32,1 ­ 1,2 x2 2,1x3 1,2 x1 1,5 x3 0,9 x4 ) , 2,5 x4 ) , 2,1x1 1,5 x2 1,3 x4 ) , 0,9 x1 2,5 x2 1,3 x3 ) . 1) ɧɟɬ Ʉɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵɩɨɥɭɱɟɧɧɨɣɫɢɫɬɟɦɵɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɬɭɫɥɨɜɢɸ  4 4 ¤ c1 j z 0,20  1 , ¤ c2 j z 0,24  1 , j 1 j 1 4 4 ¤ c3 j z 0,25  1 , ¤ c4 j z 0,15  1 . j 1 j 1 ɉɨɷɬɨɦɭɫɯɨɞɢɦɨɫɬɶɢɬɟɪɚɰɢɣɝɚɪɚɧɬɢɪɨɜɚɧɚɉɪɢɷɬɨɦA=0,25. ȼ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɧɚɱɚɥɶɧɨɝɨ ɜɟɤɬɨɪɚ x (0) ɜɨɡɶɦɟɦ ɷɥɟɦɟɧɬɵ ɫɬɨɥɛɰɚ ɫɜɨɛɨɞɧɵɯ ɱɥɟɧɨɜ ɨɤɪɭɝɥɢɜ ɢɯ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɞɨ ɞɜɭɯ ɡɧɚɤɨɜ ɩɨɫɥɟ ɡɚɩɹɬɨɣ x ( 0) ¥1,04 ´ µ ¦ ¦1,30 µ ¦ . 1,44 µ µµ ¦¦ 1 , 55 § ¶ ȼɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɛɭɞɟɦ ɜɟɫɬɢ ɞɨ ɬɟɯ ɩɨɪ ɩɨɤɚ ɜɟɥɢɱɢɧɵ x (jk ) x (jk 1) (j  ɧɟɫɬɚɧɭɬɦɟɧɶɲɟɧɚɩɪɢɦɟɪ E  10 3 . ɉɪɢ k=1 x1(1)  0,7512  ɉɪɢ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɢ x2(1) ɢɫɩɨɥɶɡɭɟɦ ɭɠɟ ɩɨɥɭɱɟɧɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ x1(1) : x2(1)  0,9674  ɉɪɢ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɢ x3(1) ɢɫɩɨɥɶɡɭɟɦ ɡɧɚɱɟɧɢɹ x1(1) ɢ x2(1) : x3(1)  1,1977  ɇɚɤɨɧɟɰ ɢɫɩɨɥɶɡɭɹ ɡɧɚɱɟɧɢɹ x1(1) , x2(1) ɢ x3(1) ɩɨɥɭɱɚɟɦ x4(1)  1,4037 . Ⱥɧɚɥɨɝɢɱɧɵɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɜɟɞɟɦ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɩɪɢ ɩɨɫɥɟɞɭɸɳɢɯ k. ɉɨɥɭɱɚɟɦ ɩɪɢk=2 x1( 2)  0,8019 , x2( 2)  0,9996 , x3( 2)  1,1996, x4( 2)  1,4000 ; x2(3)  1,0000 , x3(3)  1,1999, x4(3)  1,4000 ; x2( 4)  1,0000 , x3( 4)  1,1999, x4( 4)  1,4000 . ɩɪɢk=3 x1(3)  0,8001 , ɩɪɢk=4 x1( 4)  0,8000 , Ɇɨɞɭɥɢ ɪɚɡɧɨɫɬɟɣ ɡɧɚɱɟɧɢɣ xi(k ) ɩɪɢ k  ɢ k  ɧɟ ɩɪɟɜɵɲɚɸɬ ɡɚɞɚɧɧɨɝɨɱɢɫɥɚEɩɨɷɬɨɦɭɜɤɚɱɟɫɬɜɟɪɟɲɟɧɢɹɫɢɫɬɟɦɵɜɨɡɶɦɟɦ x1 z 0,8000 , x2 z 1,0000 , x3 z 1,1999 , x3 z 1,4000 . ɉɪɢɷɬɨɦɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶɷɬɢɯɩɪɢɛɥɢɠɟɧɧɵɯɡɧɚɱɟɧɢɣɧɟɩɪɟɜɡɨɣɞɟɬ A 1 A max x (j4) j 1, 2,3, 4 x (j3)  0,25 – 10 1 0,25 4  3,3 – 10 5. Ɂɚɞɚɧɢɹɤɪɚɛɨɬɟ  ɋɨɫɬɚɜɢɬɶ ɫɯɟɦɵ ɚɥɝɨɪɢɬɦɨɜ ɪɟɲɟɧɢɹ ɫɢɫɬɟɦ ɥɢɧɟɣɧɵɯ ɚɥɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɢɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɦɟɬɨɞɚɦɢ Ƚɚɭɫɫɚ ɩɪɨɫɬɨɣ ɢɬɟɪɚɰɢɢ ɢ Ɂɟɣɞɟɥɹ ɇɚɩɢɫɚɬɶɨɬɥɚɞɢɬɶɢɜɵɩɨɥɧɢɬɶɩɪɨɝɪɚɦɦɵɪɟɲɟɧɢɹɫɢɫɬɟɦ ɥɢɧɟɣɧɵɯ ɚɥɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɢɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɡɚɩɢɫɚɧɧɵɯ ɜ ɜɟɤɬɨɪɧɨɦɚɬɪɢɱɧɨɣ ɮɨɪɦɟ A x  b ɢ ɩɪɢɜɟɞɟɧɧɵɯ ɜ ɬɚɛɥ  ɑɟɬɧɵɦ ɜɚɪɢɚɧɬɚɦ ɪɟɲɢɬɶ ɫɢɫɬɟɦɭ ɦɟɬɨɞɨɦ Ƚɚɭɫɫɚ ɫ ɜɵɛɨɪɨɦ ɝɥɚɜɧɨɝɨ ɷɥɟɦɟɧɬɚɈɫɬɚɥɶɧɵɦ– ɦɟɬɨɞɨɦɁɟɣɞɟɥɹ ȼɵɱɢɫɥɢɬɶɬɨɱɧɨɫɬɧɵɟɨɰɟɧɤɢɦɟɬɨɞɨɜɩɨɤɨɨɪɞɢɧɚɬɚɦ D  max xi xi* , i  1,!, N , ɝɞɟ xi* – ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ ɬɨɱɧɨɝɨ ɪɟɲɟɧɢɹ xi – ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ ɱɢɫɥɟɧɧɨɝɨ ɪɟɲɟɧɢɹ Ɍɚɛɥɢɰɚ ʋ ) 1 2 3 Ɇɚɬɪɢɰɚɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɨɜ ɫɢɫɬɟɦɵA 4,52 3,56 9,34 1,64 0,31 0,26 0,61 0,40 1,32 9,13 3,12 0,77 ))) 9,11 2,24 1,72 6,75 14,28 2,07 4,13 0,98 3,00 2,32 1,80 7,12 0,14 0,30 0,27 0,32 0,18 0,24 0,22 0,20 0,31 0,34 0,36 0,17 2,06 3,40 7,11 0,76 5,84 1,21 8,14 2,51 1,13 0,17 2,32 1,10 ɋɬɨɥɛɟɰɫɜɨɛɨɞɧɵɯ Ɍɨɱɧɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟx* ɱɥɟɧɨɜ b )))) )V 6,77 0,5 22,25 1,0 3,99 1,5 20,08 2,0 1 1,02 1 1,00 1 1,34 1 1,27 1 30,17 2 3,62 1 19,06 3 2,09