Частотные характеристики электрических цепей первого порядка. Комплексные передаточные функции

3. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА. КОМПЛЕКСНЫЕ ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ Частотные зависимости гармонических колебаний в ЭЦ, содержащих пассивные элементы R, L и C, обусловлены зависимостью от частоты со-  1  противлений реактивных элементов L(L) и C  .  C  Применение символического метода анализа гармонических колебаний в ЭЦ позволяет ввести понятие комплексной передаточной функции H(j), которая представляет собой отношение комплексной амплитуды реакции ЭЦ к комплексной амплитуде воздействия. Если комплексную передаточную функцию представить в показательной форме записи H ( j)  H  j e jθ(ω) , то H ( j) – модуль комплексной передаточной функции определяет амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) цепи; () – аргумент комплексной передаточной функции определяет фазочастотную характеристику (ФЧХ) цепи. Частотные характеристики ЭЦ описывают собственно цепь и не зависят от значений амплитуд и начальных фаз, приложенных к цепи воздействий. 3.1. Амплитудно-частотные и фазочастотные характеристики пассивных четырехполюсников [1, с. 148–156; 2, с. 110–112] При выполнении задач 3.1.0–3.1.25 рекомендуется следующая последовательность действий: • найдите комплексную передаточную функцию цепи указанного вида; • запишите выражения для АЧХ и ФЧХ цепи; • постройте качественные графики АЧХ и ФЧХ цепи по их значениям при ω = 0 и ω → ∞; • рассчитайте значение граничной частоты ωгр и покажите на графике АЧХ полосу пропускания четырехполюсника. 61 Таблица 3.1 Вариант Схема цепи 3.1.0 Вариант 3.1.1 U H ( j)  2 U1 3.1.2 H ( j)  U 2 U1 H ( j)  U 2 U1 H ( j)  U 2 U1 H ( j)  U 2 U1 H ( j)  U 2 U1 3.1.3 H ( j)  U 2 U1 3.1.4 3.1.5 U H ( j)  2 U1 3.1.6 3.1.7 H ( j)  U 2 U1 3.1.8 3.1.9 H ( j)  62 Схема цепи U 2 U1 Продолжение табл. 3.1 Вариант Схема цепи 3.1.10 Вариант Схема цепи 3.1.11 U H ( j)  2 I1 3.1.12 H ( j)  U 2 I1 H ( j)  U 2 I1 H ( j)  U 2 I1 3.1.13 H ( j)  U 2 I1 3.1.14 3.1.15 H ( j)  U 2 I1 3.1.16 3.1.17 I H ( j)  2 U I H ( j)  2 U 1 3.1.18 1 3.1.19 I H ( j)  2 U1 I H ( j)  2 U1 63 Окончание табл. 3.2 Вариант Схема цепи 3.1.20 Вариант Схема цепи 3.1.21 I H ( j)  2 I1 I H ( j)  2 I1 3.1.22 3.1.23 I H ( j)  2 I I H ( j)  2 I 1 3.1.24 1 3.1.25 H ( j)  U 2 U1 H ( j)  U 2 U1 3.2. Амплитудно-частотные и фазочастотные характеристики активных RC-цепей [1, с. 132–134] При выполнении задач 3.2.0–3.2.25 рекомендуется следующая последовательность действий: • нарисуйте схему замещения заданной цепи в комплексной форме, заменив схемное изображение усилителя его схемой замещения в виде ИНУН из табл. 3.2.1. Коэффициент усиления может быть либо сколь угодно большим (  ) , либо конечным положительным или отрицательным числом K; 64 U • найдите комплексную передаточную функцию H ( j)  2 U1 методом узловых напряжений, для чего в качестве базисного выберите узел со знаком «−»; • запишите выражения для АЧХ и ФЧХ цепи; • постройте качественные графики АЧХ и ФЧХ цепи по их значениям при ω = 0 и ω → ∞; • рассчитайте значение граничной частоты ωгр и покажите на графике АЧХ полосу пропусками ARC-цепи; • рассчитайте в линейном масштабе графики АЧХ и ФЧХ на ПК с помощью программы «FASTMEAN», определите с помощью линейки значение граничной частоты и сравните его со значением, полученным аналитически. Таблица 3.2.1 Наименование элемента Схемное изображение Схемное изображение в стандартных про- Схемы замещения по ГОСТ граммах для ПК Дифференциальный операционный усилитель Инверсный операционный усилитель Усилитель с конечным усилением Усилительповторитель напряжения 65 Таблица 3.2.2 Вариант Схема цепи 3.2.0 Вариант 3.2.1 R1 = R2 = R3 = R4 = R = 100 кОм; C = 2 нФ; K = 2 3.2.2 R1 = R2 = R3 = R = 100 кОм; C = 5 нФ; K = 2 3.2.3 R1 = R2 = R3 = R = 100 кОм; C = 6 нФ; K = 3 3.2.4 R1 = R2 = R3 = R = 100 кОм; C = 3 нФ; K = 1 3.2.5 R1 = R2 = R3 = R = 100 кОм; C = 2 нФ; K = 1 3.2.6 R1 = R2 = R3 = R = 100 кОм; C = 7 нФ; K = 4 3.2.7 R1 = R2 = R3 = R = 100 кОм; C = 1 нФ; K = 2 66 Схема цепи R1 = R2 = R3 = R = 100 кОм; C = 1,5 нФ; K = 5 Продолжение табл. 3.2.2 Вариант Схема цепи 3.2.8 Вариант Схема цепи 3.2.9 R1 = R2 = R3 = R = 100 кОм; C = 1 нФ; K = 2 3.2.10 R1 = R2 = R3 = R = 100 кОм; C = 2 нФ; K = 1 3.2.11 R1 = R2 = R3 = R = 100 кОм; C = 1 нФ; K = 1 3.2.12 R1 = R2 = R3 = R = 100 кОм; C = 5 нФ; K = 0,5 3.2.13 R1 = R2 = R3 = R = 100 кОм; C = 1 нФ; K = 2 3.2.14 R1 = R2 = R3 = R = 100 кОм; C = 5 нФ; K = 0,4 3.2.15 R1 = R2 = R3 = R = 100 кОм; C = 5 нФ; K = 0,5 R1 = R2 = R3 = R = 100 кОм; C = 1 нФ;    67 Продолжение табл. 3.2.2 Вариант Схема цепи 3.2.16 Вариант 3.2.17 R1 = R2 = R3 = R = 100 кОм; C = 1 нФ;    3.2.18 R1 = R2 = R3 = R = 100 кОм; C = 3 нФ;    3.2.19 R1 = R2 = R3 = R = 100 кОм; C = 2 нФ;    3.2.20 R1 = R2 = R3 = R = 100 кОм; C = 1 нФ;    3.2.21 R1 = R2 = R3 = R = 100 кОм; C = 2 нФ;    3.2.22 R1 = R2 = R3 = R = 100 кОм; C = 2 нФ;    3.2.23 R1 = R2 = R3 = R = 100 кОм; C = 1 нФ;    68 Схема цепи R1 = R2 = R3 = R = 100 кОм; C = 1 нФ;    Окончание табл. 3.2.2 Вариант Схема цепи 3.2.24 Вариант Схема цепи 3.2.25 R1 = R2 = R3 = R = 100 кОм; C = 5 нФ; K = 1 R1 = R2 = R3 = R = 100 кОм; C = 1 нФ;    Контрольные вопросы 1. Что называется комплексной передаточной функцией цепи? 2. Запишите виды комплексных передаточных функций с указанием их размерности. 3. Запишите комплексную передаточную функцию в показательной форме записи. 4. Что называется амплитудно-частотными и фазочастотными характеристиками цепи? Как они связаны с комплексной передаточной функцией? 5. Что называется полосой пропускания цепи? 6. Каковы особенности нахождения частотных характеристик ARC-цепей? 69 4. РЕЗОНАНС В ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ. КОМПЛЕКСНЫЕ ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ И ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ КОНТУРОВ И ИХ ЭЛЕКТРОННЫХ АНАЛОГОВ Явление значительного возрастания амплитуды гармонической реакции по мере приближения частоты внешнего гармонического воздействия к частоте собственных незатухающих колебаний контура ω0 называется явлением резонанса. При резонансе в цепи, содержащей реактивные элементы L и C, ток совпадает по фазе с напряжением на зажимах цепи, так 1 как   0 , где 0  – резонансная частота контура. Цепи, в ко0 LC торых возникает режим резонанса, называют колебательными (резонансными) контурами. Рассмотрим канонические схемы последовательного (рис. 4.1) и параллельного (рис. 4.2) колебательных контуров.  1    R Z ( j0 )  R  j  0 L   0C    1    G Y ( j0 )  G  j  0C   0L   Рис. 4.1 Рис. 4.2 В последовательном колебательном контуре возникает резонанс напряжений, при котором гармонические напряжения на индуктивности и емкости при резонансной частоте компенсируют друг друга. Амплитуды колебаний напряжений на зажимах реактивных элементов могут значительно превышать амплитуду напряжения на входе цепи. Отношение этих амплитуд называется добротностью контура: U mL Um 70  0 U mC Um   0 0 L 1  Q. R 0CR В параллельном колебательном контуре возникает резонанс токов, при котором токи через индуктивность и емкость при резонансной частоте компенсируют друг друга. Отношение амплитуд токов в реактивных элементах контура и тока источника характеризует добротность контура Q I mC Im  ωω0 I mL Im  ωω0 0 C 1 .  G 0 LG Значения добротности Q последовательных и параллельных LC-колебательных контуров могут доходить до нескольких сотен единиц. При анализе последовательного и параллельного контуров целесообразно использовать принцип дуальности. 4.1. Параметры последовательного колебательного контура [1, с. 112–114; 2, с. 113–115] При выполнении задач 4.1.1–4.1.25 рекомендуется следующая последовательность действий: • определите в табл. 4.1.1 в соответствии с номером варианта значение n и четырехзначный код, каждая цифра которого обозначает один заданный параметр; Таблица 4.1.1 Вариант Код 4.1.0 4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 R = 20 Ом; L = 4 мГн; C = 400 нФ; U0 = 2 В 1368 n=1 0249 n=2 1358 n=3 1367 n=4 Вариант 4.1.5 4.1.6 4.1.7 4.1.8 4.1.9 4.1.10 4.1.11 Код 0349 n=5 0258 n=1 1467 n=2 0238 n=3 1257 n=4 0369 n=5 0248 n=1 Вариант 4.1.12 4.1.13 4.1.14 4.1.15 4.1.16 4.1.17 4.1.18 Код 1359 n=2 1267 n=3 2358 n=4 0147 n=5 2369 n=1 3458 n=2 0359 n=3 Вариант 4.1.19 4.1.20 4.1.21 4.1.22 4.1.23 4.1.24 4.1.25 Код 1567 n=4 1457 n=5 0159 n=1 0367 n=2 0148 n=3 0469 n=4 2567 n=5 71  выберите в табл. 4.1.2 для каждой цифры кода, соответствующий параметр контура, и рассчитайте его величину;  рассчитайте значения остальных неизвестных для заданного варианта шести параметров из табл. 4.1.2;  рассчитайте значения напряжений UR0, UL0, UC0 на элементах R, L, C контура при резонансной частоте ω0. Таблица 4.1.2 Цифра кода 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Параметры резонансного контура R = 10 + n, Ом Резистивное сопротивление L = 20 + n, мГн Индуктивность C = 800 + 10n, нФ Емкость f0 = 1 + 0,1n, кГц Циклическая резонансная частота Характеристическое ρ = 160 + 2n, Ом сопротивление Q = 10 + n Добротность 2Δf* = f1 − f−1 = 80 + 2n, Гц Полоса пропускания Напряжение на зажимах контура U0 = n, В при резонансе I0 = 0,1n, А Ток в контуре при резонансе Средняя мощность, потребляемая P0 = 0,1n, Вт контуром при резонансе 4.2. Амплитудно-частотные и фазочастотные характеристики последовательного колебательного контура [1, с. 156–162; 2, с. 115–120] Комплексные передаточные функции по напряжению последовательного колебательного контура (рис. 4.1), их амплитудно-частотные и фазочастотные характеристики приведены в табл. 4.2. При выполнении задач 4.2.0–4.2.25 рекомендуется следующая последовательность действий: • рассчитайте приведенные в табл. 4.2 комплексные передаточные функции, их АЧХ и ФЧХ, подставив значения параметров контура для своего варианта из задачи 4.1; • рассчитайте на резонансной частоте ω0 значения амплитудночастотных характеристик: H C ( j0 ) , H L ( j0 ) , H R ( j0 ) и фазочастотных характеристик: C (0 ) , L (0 ) , R (0 ) ; 72 • рассчитайте приведенные в табл. 4.2 характеристики последовательного колебательного контура в линейном масштабе на ПК с использованием программы FASTMEAN; • определите с помощью линейки по графику АЧХ H R ( j) резонансную частоту f0 и полосу пропускания 2Δf*=f1 − f−1, и сравните их с рассчитанными значениями в задаче 4.1; • определите с помощью линейки на резонансной частоте по графикам АЧХ значения: H C ( j0 ) , H L ( j0 ) , H R ( j0 ) и значения ФЧХ: C (0 ) , L (0 ) , R (0 ) и сравните их с рассчитанными по формулам. Таблица 4.2 Комплексные передаточные функции 1 UC LC H C ( j)   R 1 U 2  j  L LC Амплитудно-частотные и фазочастотные характеристики 1 LC H ( j)  C 1 2 2 R 2 )  2 LC L R L C ()  arctg 1 2   LC (2  2 H L ( j)  U 2 H L ( j)  L  R 1 U 2  j  L LC R j UR L H R ( j)   R 1 U 2   j  L LC 1 2 2 R 2 )  2 LC L R L  L ()    arctg 1 2  LC R L H R ( j)  1 2 2 R 2 (2  )  2 LC L R  L  R ()   arctg 1 2 2   LC (2  73 4.3. Частотные характеристики электронных аналогов последовательного колебательного контура [1, с. 162–163; 2, с. 120] Многие активные RC (ARC)-цепи имеют частотные характеристики, свойственные колебательным контурам, поэтому могут рассматриваться как электронные аналоги колебательных контуров. В табл. 4.3.1 для каждой схемы последовательного RLC-контура в зависимости от вида нагрузки приведена определенная схема ARC-цепи и соответствующая ей комплексная передаточная функция. Выберите в табл. 4.3.2 для своего варианта номер схемы RLC-контура и соответствующей ARC-цепи из табл. 4.3.1; Таблица 4.3.2 74 Вариант Номер схемы из табл. 4.3.1 Вариант Номер схемы из табл. 4.3.1 4.3.0 4.3.1 4.3.2 4.3.3 4.3.4 4.3.5 4.3.6 4.3.7 4.3.8 4.3.9 4.3.10 4.3.11 4.3.12 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 4.3.13 4.3.14 4.3.15 4.3.16 4.3.17 4.3.18 4.3.19 4.3.20 4.3.21 4.3.22 4.3.23 4.3.24 4.3.25 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 Таблица 4.3.1 № схемы Последовательный колебательный RLC-контур Электронный аналог – ARC-цепь второго порядка 1 1 UС LC H C ( j)   R 1 U 2  j  L LC U H ARC ( j)  2  U  1 R1R2C1C2 .  1 1 1  1     j     R1C1 R2C1 R3C1  R2 R3C1C2 Положить R1 = R2 = R3 = R, задать величину R = 100 кОм, рассчитать C1 и С2 1 2 2 H L ( j)  UL 2  R 1 U 2  j  L LC 75 C1 C2 . C  C2  C3 1 1   2  j 1  C2C3 R2 C2C3 R1R2 Положить C1 = C2 = C3 = C, задать величину C = 1 нФ, рассчитать R1 и R2 U H ARC ( j)  2  U 2 75 Окончание табл. 4.3.1 № схемы Последовательный колебательный RLC-контур Электронный аналог – ARC-цепь второго порядка R UR L H R ( j)   R 1 U 2   j  L LC 1 R1C2 .  1 1   1 1  1 2       j      R3C1 R3C2   R1 R2  R3С1С2 Положить C1 = C2 = C, задать величину C = 1 нФ, рассчитать R1, R2, R3 3 j 76 U H ARC ( j)  2  U1  j При выполнении задач 4.3.0–4.3.25 рекомендуется следующая последовательность действий: • запишите выбранную комплексную передаточную функцию RLC-цепи с числовыми коэффициентами, рассчитанными в задаче 4.2 своего варианта; • рассчитайте с учетом рекомендаций в табл. 4.3.1 параметры R или C ARC-цепи таким образом, чтобы комплексные передаточные функции обеих цепей отличались только знаком. Для этого приравняйте коэффициенты при одинаковых степенях ω обеих функций: H RLC ( j)  H ARC ( j) ; • рассчитайте частотные характеристики заданной ARC-цепи в линейном масшатбе на ПК с использованием программы FASTMEAN; • сравните полученные графики АЧХ и ФЧХ ARC-цепи с соответствующими графиками в задаче 4.2 заданного RLC-контура и сделайте выводы. Контрольные вопросы 1. Какое явление в цепи называют резонансом? 2. Каковы условия резонанса в последовательном и параллельном колебательных контурах? 3. Что такое характеристическое сопротивление контура, резонансная частота, добротность? Как определяется добротность последовательного и параллельного контуров? 4. Почему резонанс в последовательнои контуре называют резонансом напряжений? Какими будут напряжения при резонансе на каждом из элементов контура по сравнению с приложенным? 5. Чему равно входное сопротивление последовательного контура при резонансе? Чему равен сдвиг по фазе между током и напряжением на входных зажимах контура при резонансе? 6. Почему резонанс в параллельном контуре называют резонансом тока? Какими будут токи при резонансе в каждом из элементов контура по сравнению с током источника? 7. Чему равно входное сопротивление параллельного контура при резонансе? 8. Что называют полосой пропускания контура? 77 9. Как ширина полосы пропускания контура зависит от его добротности? 10. Что понимают под избирательностью контура? От чего она зависит? 11. При каких значениях Q колебательный контур считается высокодобротным? 12. Почему ARC-цепь может рассматриваться как электронный аналог колебательного RLC-контура? 13. Каковы преимущества применения ARC-цепей в качестве электронных аналогов колебательных RLC-контуров? 14. Применимы ли понятия резонанса напряжений и резонанса токов к электронным аналогам колебательных RLC-контуров? 78