Часть I. Понятие пополнения.

19.01.2021. Лекция №2. Часть I. Понятие пополнения. Определение. Пусть  X ,  X  – метрическое пространство. Полное метрическое пространство  X ,  X называется пополнением пространства  X ,   , если: X 1. X  X ; 2.  X  x , y    X  x , y  для любых x, y  X ;   3. X всюду плотно в X ,  X . Примеры. 1. Пространство всех действительных чисел пространства рациональных чисел . является пополнением 2. Пространство C a ,b всех непрерывных функций на отрезке  a ,b  с равномерной метрикой является пополнением пространства всех многочленов P , рассматриваемых на отрезке  a ,b  с той же метрикой. 3. Пространство L2 a ,b всех измеримых функций на отрезке  a ,b  таких, что x  t  интегрируема по Лебегу, с метрикой   x, y   2   x  t   y  t  b 2 dt , a является пополнением и пространства С 2a ,b непрерывных функций, и пространства R2a ,b функций, интегрируемых по Риману, с той же метрикой. Теорема. Каждое метрическое пространство  X ,   имеет пополнение, и это пополнение единственно с точностью до изометрии, оставляющей неподвижными точки из пространства X . Замечание. Пусть  X ,   и Y ,  – два метрических пространства. Биекция f из X в Y называется изометрией, если   x1 , x2     f  x1  , f  x2   для любых x1 , x2  X . Т.е. изометрия сохраняет расстояние между элементами. Часть II. Принцип сжимающих отображений. Метод последовательных приближений. Пусть  X ,   – метрическое пространство. Определение 1. Отображение F метрического пространства  X ,  в себя называется сжимающим или отображением сжатия, если существует такое число    0 ,1  , что для любых двух точек x , y   X ,   выполняется неравенство   F  x  ,F  y      x, y  . (1) Определение 2. Точка x    X ,   называется неподвижной точкой отображения F , если   F x  x . (2) Теорема 1 (теорема Банаха или принцип сжимающих отображений). Всякое сжимающее отображение, определенное в полном метрическом пространстве  X ,   , имеет одну и только одну неподвижную точку. □ I. Пусть x0 – произвольная точка в пространстве x1  F  x0  , x2  F  x1  , x3  F  x2  ,  X ,  . Положим , xn  F  xn1  , n  1 . (3) Покажем, что  xn ,n  1 – фундаментальная последовательность в метрическом пространстве  X ,   . Применим последовательно рекуррентную формулу (3) и неравенство (1) для оценки расстояния между соседними членами последовательности  xn ,n  1 :   xk , xk 1     F  xk 1  ,F  xk      xk 1 , xk     F  xk 2  ,F  xk 1      2   xk  2 , xk 1    2  F  xk  3  ,F  xk  2     3   xk  3 , xk 2     k   x0 , x1  . Мы получили неравенство   xk , xk 1    k   x0 , x1  . (4) Рассмотрим два произвольных члена xn и xm . Не ограничивая общности, считаем, что m  n . Тогда m  n  p , где p . Оценим расстояние между xn и xm  xn p с помощью неравенства многоугольника и неравенства (4), учитывая тот факт, что 0    1 :   xn , xn  p     xn , xn  1     xn  1 , xn  2     xn  2 , xn  3     n   x0 , x1    n1   x0 , x1    n 2   x0 , x1      n   x0 , x1  1     2   n   x0 , x1   1   2   1    n p1   x0 , x1      p 1    p1  n   x0 , x1   1     2  2  3   1 1        p1   p   n   x0 , x1   n   x0 , x 1  p  1     1   . 1 Мы получили неравенство    xn  p  1 , xn  p   n   x0 , x1  .   xn , xn  p   1 (5) Пусть   0 – произвольно. Определим номер N    , начиная с которого будет   выполнено неравенство  xn , xn p   . Для этого решим неравенство  n   x0 , x 1   , 1 n   1    ,   x0 , x1  n  log  1    ,   x0 , x1    1     N      log   1.  x , x   1   (6) Таким образом,   0  N     n  N    p   n   x0 , x1    xn , xn p    . 1 (7) Из (7) следует, что  xn ,n  1 – фундаментальная последовательность в метрическом пространстве  X ,   . И так как  X ,   – полное метрическое пространство, то последовательность  xn ,n  1 является сходящейся в  X ,   , т.е. существует такой элемент x    X ,   , что   xn , x    0 при n   . II. Покажем, что x – неподвижная точка отображения F . (8) Так как последовательность xn сходится к точке x в метрическом пространстве  X ,   , то любая подпоследовательность последовательности xn также сходится к точке x в метрическом пространстве  X ,   . В частности, xn1  x при n   в  X ,   . (9) Из неравенства (1) следует         x 0   F  xn  ,F x  n  , x , откуда мы получаем    F  xn  ,F  x    0 при n   , т.е.   F  xn   F x  при n   в  X ,   . Но xn1  F  xn  по рекуррентной формуле (3). Значит,   xn 1  F x  при n   в  X ,   . (10) В силу единственности предела сходящейся последовательности в метрическом пространстве из (9) и (10) следует   x  F x , т.е. x – неподвижная точка отображения F . III. Докажем, что x – единственная неподвижная точка отображения F . Предположим, что для отображения F существует неподвижная точка y та-   отображения F , то F  x   x и F  y   y . Следовательно, кая, что y  x . Тогда  x  , y  0 . Так как x и y неподвижные точки        F  x   ,F  y      x  , y    0 . (11) С другой стороны, в силу (1) справедливо неравенство    F  x   ,F  y        x  , y   . (12) Отнимем (11) из (12), получим    1   x  , y   0 .  (13)  Т.к.  x  , y  0 , то неравенство (13) выполняется только при   1  0 , а по условию теоремы    0 ,1  . Полученное противоречие доказывает единственность неподвижной точки x . ■ Замечание 1 (о методе последовательных приближений). Метод доказательства теоремы Банаха конструктивен, т.к. в теореме не только доказывается существование неподвижной точки x , но и дается способ ее нахождения. Последовательность  xn ,n  1 , которая задается рекуррентными соотношениями xn  F  xn1  , n  1 , (3) называется последовательностью итераций, а метод нахождения неподвижной точки как предела последовательности  xn ,n  1 называют методом последовательных приближений. Кратко опишем метод последовательных приближений, который в дальнейшем мы будем применять для решения различных задач, в том числе, и для решения интегральных уравнений. Пусть дано уравнение x  F  x, (14) решение которого (точное или приближенное) требуется найти. Пусть выполнены условия теоремы Банаха: 1)  X ,   – полное метрическое пространство; 2) F : X  X ; 3) F – сжимающее отображение в метрическом пространстве  X ,   . Тогда по теореме Банаха уравнение (14) имеет единственное решение x    X ,   , которое можно найти как предел x  lim xn , (15) n где  xn ,n  1 – последовательность итераций, заданная рекуррентными соотношениями xn  F  xn1  , n  1 , (3) x0   X ,   – произвольное начальное приближение. Замечание 2 (об оценках скорости сходимости и абсолютной погрешности метода последовательных приближений). Оценка скорости сходимости метода последовательных приближе- I. ний. Оценим расстояние между xn и x . Для этого применим последовательно соотношения (2), (3) и неравенство (1):       xn , x     F  xn1  ,F  x      xn1 , x     F  xn 2  ,F  x             x   2  xn 2 , x    2 F  xn 3  ,F x  3 n 3  , x      n  x0 , x  . Мы получили неравенство   xn , x     n   x0 , x   . (16) Из неравенства (16) следует, что метод последовательных приближений сходится не хуже, чем геометрический ряд со знаменателем q   . II. Оценка абсолютной погрешности метода последовательных приближений. Рассмотрим неравенство  n   x0 , x1    xn , xn  p   , 1 (5) полученное в процессе доказательства теоремы Банаха. Если в неравенстве (5) перейти к пределу при p   , то мы получим оценку абсолютной погрешности метода последовательных приближений:  n   x0 , x1  .   xn , x   1  (17) Если требуется найти приближенное решение уравнения (14) с точностью  , то достаточно сделать n  N    итераций, где   1     N      log   1,  x , x   1   (6) для того, чтобы получить приближенное решение xn  x , удовлетворяющее   условию  x, x    . Часть III. Решение интегральных уравнений Фредгольма II рода методом последовательных приближений. III.1. Решение интегральных уравнений Фредгольма II рода методом последовательных приближений в пространстве C a ,b . Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма II рода b x  t     K  t ,s  x  s  ds  f  t  . (1) a Пусть функция f  t  непрерывна на отрезке  a ,b  , функция K  t ,s  непрерывна на квадрате  a ,b    a ,b  . Определим достаточные условия, при которых уравнение (1) имеет единственное решение в пространстве C a ,b , и укажем метод поиска решения уравнения (1). 1. Заметим, что C a ,b – полное метрическое пространство. 2. Определим отображение F и покажем, что F : Ca ,b  Ca ,b . Полагаем b  F  x    t     K  t ,s  x  s  ds  f  t  . (2) a Тогда уравнение (1) можно переписать в виде x  F  x. (3) Возьмем произвольную непрерывную на отрезке  a ,b  функцию x  t  , т.е. x  Ca ,b . Тогда функция K  t ,s  x  s  непрерывна на квадрате  a ,b    a ,b  как произведение непрерывных функций. По свойствам собственных интеграb лов, зависящих от параметра, функция  K  t ,s  x  s  ds непрерывна на отрезке a  a ,b  . b Следовательно,  F  x    t     K  t ,s  x  s  ds  f  t  также непре- a рывна на отрезке  a ,b  по свойствам непрерывных функций, т.е. F  x   Ca ,b . Таким образом, x  Ca ,b  F  x   Ca ,b . Значит, F : Ca ,b  Ca ,b . 3. Докажем, что F – сжимающее отображение в C a ,b . Пусть x, y  Ca ,b – произвольные функции. Рассмотрим b b a a  F  x    t    F  y    t     K  t ,s  x  s  ds  f  t     K  t ,s  y  s  ds  f  t   b    K  t ,s   x  s   y  s   ds   a Обозначим b  K  t ,s  x  s   y  s  ds . a (4) M  max K  t ,s  . a  t ,s  b (5) Тогда для любых t ,s   a ,b  имеет место неравенство K  t ,s   M . (6) Заметим, что для непрерывных функций x  s  и y  s  выполнено аналогичное неравенство x  s   y  s   max x  t   y  t  . at b (7) Учитывая, что в пространстве C a ,b расстояние задается формулой   x , y   max x  t   y  t  , a t b (8) неравенство (7) мы можем переписать в виде x  s   y  s     x, y  (9) для любых s   a ,b  . Подставляя неравенства (6) и (9) в (4), получим b  F  x    t    F  y    t     K  t ,s  x  s   y  s  ds  a  b b a a  M   x , y  ds   M   x , y   ds   M   x , y  b  a  . Таким образом, для любых t   a ,b  выполнено неравенство  F  x  t    F  y t    M b  a    x , y  . (10) Так как   F  x  ,F  y    max  F  x    t    F  y    t  , то из неравенства (10) a t b следует   F  x  ,F  y     M  b  a    x, y  . Обозначим (11)    M b  a . (12) Тогда неравенство (11) мы можем переписать в виде   F  x  ,F  y        x , y  . (13) Для того, чтобы отображение F было сжимающим, достаточно потребовать, чтобы было выполнено условие    M  b  a   1 , откуда следует   1 . M b  a (14) Таким образом, если выполнено условие (14), то отображение F является сжимающим в пространстве C a ,b . Выполнены все условия теоремы Банаха. Значит, по теореме Банаха интегральное уравнение (1) имеет единственное решение x  t   Ca ,b , и его можно найти с помощью метода последовательных приближений как предел x   t   lim xn  t  n (15) в пространстве C a ,b , где  xn  t  ,n  1  C a ,b – последовательность итераций, которая строится по реккурентной формуле xn  F  xn1  , n  1 , (16) т.е. b xn  t     K  t ,s  xn1  s  ds  f  t  , n  1 , (17) a а функция x0  t   Ca ,b – произвольное начальное приближение. Мы доказали следующую теорему. Теорема 2 (о решении интегрального уравнения Фредгольма II рода в пространстве C a ,b методом последовательных приближений). Если функция f  t  непрерывна на отрезке  a ,b  , функция K  t ,s  непрерывна на квадрате  a ,b    a ,b  , то тогда для любого  , удовлетворяющего неравенству   1 , где M  max K  t ,s  , интегральное уравнение Фредa  t ,s  b M b  a гольма (1) имеет единственное решение x  t   Ca ,b , которое можно найти как предел x   t   lim xn  t  в C a ,b , где n b xn  t     K  t ,s  xn1  s  ds  f  t  , n  N , a x0  t  – произвольная непрерывная функция на отрезке  a ,b  . Замечание (об оценках скорости сходимости и абсолютной погрешности метода последовательных приближений для интегрального уравнения Фредгольма II рода в пространстве C a ,b ). Обозначим    max K  t ,s   b  a  . Справедливы следующие оценки a  t ,s  b скорости сходимости и абсолютной погрешности метода последовательных приближений для интегрального уравнения Фредгольма II рода в пространстве C a ,b :   xn , x    n    x0 , x   ,   xn , x    n    x1 , x0  . 1  III.2. Решение интегральных уравнений Фредгольма II рода методом последовательных приближений в пространстве L2a ,b . Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма II рода b x  t     K  t ,s  x  s  ds  f  t  a (1) в пространстве L2a ,b . Справедлива следующая теорема. Теорема 3 (о решении интегрального уравнения Фредгольма II рода в пространстве L2a ,b методом последовательных приближений). Если f  t   L2a ,b , K  t ,s   L2 a ,b2 , то тогда для любого  , удовлетворяющего не- равенству   1 , где B  B  K  t ,s  dtds , интегральное уравнение Фред2  a ,b2 гольма имеет единственное решение x  t   L2a ,b , которое можно найти как предел x   t   lim xn  t  в L2a ,b , где n b xn  t     K  t ,s  xn1  s  ds  f  t  , n  N , a x0  t  – произвольная функция пространства L2a ,b . Доказательство теоремы 3 можно найти в дополнении №4 к лекции №2. Замечание (об оценках скорости сходимости и абсолютной погрешности метода последовательных приближений для интегрального уравнения Фредгольма II рода в пространстве L2a ,b ). Обозначим     K  t ,s  dtds . Справедливы следующие оценки ско2  a ,b2 рости сходимости и абсолютной погрешности метода последовательных приближений для интегрального уравнения Фредгольма II рода в пространстве L2a ,b :   xn , x     n    x0 , x   , n   xn , x      x1 , x0  . 1  Часть IV. Обобщенный принцип сжимающих отображений. Пусть  X ,   – метрическое пространство, F : X  X и n  . Определение. n -й степенью отображения F называют отображение F n , действующее по правилу F n  x   F ( F ( F ( F ( ( F ( x )) )))) для любого x   X ,   . n Теорема 4 (обобщенный принцип сжимающих отображений). Пусть выполнены следующие условия: 1)  X ,   – полное метрическое пространство; 2) F : X  X ; 3) существует такое число n  , что отображение F n является сжимающим. Тогда отображение F имеет единственную неподвижную точку x    X ,   . □ Обозначим G  F n . Для отображения G выполнены все условия теоремы Банаха: 1)  X ,   – полное метрическое пространство; 2) G : X  X ; 3) G – сжимающее отображение. Тогда по теореме Банаха в метрическом про- странстве  X ,   отображение G имеет единственную неподвижную точку x .   Так как x – неподвижная точка отображения G , то G x   x  . Обозна-     чим y  F x  и рассмотрим G y :       F  F  x   F  F  x   F G  x   F  x   y . G y  G F x n  n     Мы видим, что y – неподвижная точка отображения G . Но так как G имеет   единственную неподвижную точку x , то y  x , т.е. F x   x  . Значит, x – неподвижная точка отображения F . Эта неподвижная точка x    X ,   является единственной для отображения F , поскольку всякая точка, неподвижная относительно F , неподвижна и относительно сжимающего отображения G , для которого неподвижная точка может быть только одна. ■ Часть V. Решение интегральных уравнений Вольтерра II рода методом последовательных приближений. Рассмотрим интегральное уравнение Вольтерра II рода t x  t     K  t ,s  x  s  ds  f  t  . (1) a Пусть функция f  t  непрерывна на отрезке  a ,b  , функция K  t ,s  непрерывна на квадрате  a ,b    a ,b  . Покажем, что интегральное уравнение Вольтерра II рода имеет единственное решение при любом значении параметра  . Проверим выполнение условий обобщенного принципа сжимающих отображений. 1. Заметим, что C a ,b – полное метрическое пространство. 2. Определим отображение F и покажем, что F : Ca ,b  Ca ,b . Полагаем t  F  x    t     K  t ,s  x  s  ds  f  t  . (2) a Тогда уравнение (1) можно переписать в виде x  F  x. (3) Возьмем произвольную непрерывную на отрезке  a ,b  функцию x  t  , т.е. x  Ca ,b . Тогда функция K  t ,s  x  s  непрерывна на квадрате  a ,b    a ,b  как произведение непрерывных функций. По свойствам собственных интеграt лов, зависящих от параметра, функция  K  t ,s  x  s  ds непрерывна на отрезке a t  a ,b . Следовательно,  F  x    t     K  t ,s  x  s  ds  f  t  также непрерывна a на отрезке  a ,b  по свойствам непрерывных функций, т.е. F  x   Ca ,b . Таким образом, x  Ca ,b  F  x   Ca ,b . Значит, F : Ca ,b  Ca ,b . 3. Покажем, что существует такое натуральное число n , что F n является сжимающим отображением в C a ,b . Пусть u,v  Ca ,b – произвольные функции. Рассмотрим t t a a  F  u    t    F  v    t     K  t ,s  u  s  ds  f  t     K  t ,s  v  s  ds  f  t   t    K  t ,s   u  s   v  s   ds   a t  K  t ,s  u  s   v  s  ds . (4) a Обозначим M  max K  t ,s  . a  t ,s  b (5) Тогда для любых t ,s   a ,b  имеет место неравенство K  t ,s   M . (6) Подставляя неравенство (6) в (4), получим t  F  u    t    F  v    t     K  t ,s  u  s   v  s  ds  a  t t a a  M u  s   v  s  ds   M  u  s   v  s  ds . Таким образом, для любых t   a ,b  выполнено неравенство t  F  u    t    F  v    t    M  u  s   v  s  ds . (7) a Рассмотрим неравенство (7) при u  x и v  y , где x, y  Ca ,b – произвольные функции. Заметим, что для непрерывных функций x  s  и y  s  выполнено неравенство x  s   y  s   max x  t   y  t  . at b (8) Учитывая, что в пространстве C a ,b расстояние задается формулой   x , y   max x  t   y  t  , a t b (9) неравенство (8) мы можем переписать в виде x  s   y  s     x, y  (10) для любых s   a ,b  . Подставляя (10) в (7), получим t  F  x    t    F  y    t    M  x  s   y  s  ds  a t   M   x , y   ds   M   x , y  t  a  . a Таким образом, для любых t   a ,b  выполнено неравенство  F  x  t    F  y t    M  t  a    x , y  . (11) Рассмотрим вторую степень отображения F .  F  x   t    F  y   t    F  F  x   t    F  F  y  t   2  F  x  u F  y  v 2   F  u   t    F  v    t  . Подставляя неравенство (7) в соотношение (12), получим (12)  F  x    t    F  y    t    F  u   t    F  v    t   2 2 t t   M  u  s   v  s  ds   M   F  x    s   F  y  s  ds . a (13) a Подставим неравенство (11) в (13), получим t  F  x    t    F  y    t    M   F  x    s    F  y    s  ds  2 2 a t t   M   M  s  a    x , y  ds   M 2 2 a    s  ad  s  a    x, y  a 2  s  a M2 2 t 2    x, y   M 2 t  a 2 2 2    x, y . a Мы видим, для любых t   a ,b  выполнено неравенство  F  x   t    F  y   t   2 2  M 2 t  a 2 2 2    x , y  . (14) Рассмотрим третью степень отображения F .  F  x   t    F  y   t    F  F  x   t    F  F  y  t   3  3 F 2  x  u F 2  y  v 2 2   F  u   t    F  v    t  . (15) Подставляя неравенство (7) в соотношение (15), получим  F  x    t    F  y    t    F  u   t    F  v    t   3 3 t t     M  u  s   v  s  ds   M  F 2  x   s   F 2  y  s  ds . a a Подставим неравенство (14) в (16), получим (16) t  F  x    t    F  y    t    M   F  x    s    F  y    s  ds  3 3 2 2 a t   M  M 2  s  a 2 2 2 a  M3 3  2    x , y  ds   s  a  3 3 t  M3 3 2    x, y  t  s  a d s  a    x, y  2 a  M 3 t  a 3 6 3    x, y . a Мы видим, для любых t   a ,b  выполнено неравенство  F  x   t    F  y  t   3 3  M 3 t  a 3 3 6    x, y . (17)    x, y , (18)    x, y , (19) Аналогично получаем неравенства  F  x   t    F  y  t    M 4 t  a  F  x   t    F  y  t    M 5 t  a 4 4 5 5 4 4 24 5 5 120 и т.д. Таким образом, для любых t   a ,b  и любого натурального n выполнено неравенство  F  x   t    F  y  t   n n  M n t  a n n n!    x, y , (20) Так как   F n  x  ,F n  y    max  F n  x    t    F n  y    t  , то из нераa t b венства (20) следует F Обозначим n  x  ,F  y    n  M n b  a n n! n    x, y. (21)  M n b  a n n  n n! . (22) Тогда неравенство (21) мы можем переписать в виде   F n  x  ,F n  y    n    x, y  . Рассмотрим числовой ряд n 1 M n 1  b  a   n  1 !  M n b  a n 1 n!    n 1  n 1   n   n n 1  n n!  M n n b  a n  (23) n . Так как  M b  a n1 для любого числа  , то по признаку д’Аламбера числовой ряд 01 n   n 1 n сходится. Значит, n  0 , и для   1 существует такой номер N , что для любого n n  N выполнено неравенство n  1 . Следовательно, F n – сжимающее отоб- ражение для любого n  N . Выполнены все условия обобщенного принципа сжимающих отображений. Значит, для любого числа  интегральное уравнение (1) имеет единственное решение x  t   Ca ,b , и его можно найти с помощью метода последовательных приближений как предел x   t   lim xn  t  n (24) в пространстве C a ,b , где  xn  t  ,n  1  C a ,b – последовательность итераций, которая строится по реккурентной формуле xn  F  xn1  , n  1 , (25) т.е. t xn  t     K  t ,s  xn1  s  ds  f  t  , n  1 , a (26) а функция x0  t   Ca ,b – произвольное начальное приближение. Мы доказали следующую теорему Теорема 5 (о решении интегрального уравнения Вольтерра II рода в пространстве C a ,b методом последовательных приближений). Если функция f  t  непрерывна на отрезке  a ,b  , функция K  t ,s  непрерывна на квадрате  a ,b    a ,b  , то тогда для любого  интегральное уравнение Вольтерра имеет единственное решение x  t   Ca ,b , которое можно найти как предел x   t   lim xn  t  в C a ,b , где n t xn  t     K  t ,s  xn1  s  ds  f  t  , n  N , a x0  t  – произвольная непрерывная функция на отрезке  a ,b  . Замечание (об оценках скорости сходимости и абсолютной погрешности метода последовательных приближений для интегрального уравнения Вольтерра II рода в пространстве C a ,b ). Обозначим    max K  t ,s   b  a  . Справедлива следующая оценка a  t ,s  b скорости сходимости метода последовательных приближений для интегрального уравнения Вольтерра II рода   xn , x    n n!     x0 , x  .