Цепи с распределенными параметрами. Первичные параметры однородной длинной линии. Линия без потерь

Лекция 10 Цепи с распределенными параметрами При больших напряжениях, встречающихся в электроэнергетике и больших частотах, с которыми имеет дело электросвязь, а также при значительной длине линий пренебрегать токами смещения, которые обусловлены емкостью между проводами и токами утечки, обусловленными проводимостью изоляции и коронарными разрядами, недопустимо. Следовательно, ток в проводах неодинаков в разных сечениях линии, и как следствие, присутствует запаздывание сигнала. В общем случае скорость распространения сигнала электромагнитных колебаний в воздухе равна скорости света C0  3 108 м/с. В какой-то другой среде C C0  , где  - относительная диэлектрическая проницаемость. Рассмотрим в качестве примера, чтобы понять, когда надо говорить о цепях с распределенными параметрами, компьютер. fТ  100 МГц  108 Гц tu  1  5 109  5 нс 8 2 10  C 3 108  3 м f 108 lкаб  30 м tпр  30  100 нс 3 108 То есть импульс передачи закончился, но до конца еще не дошел, поэтому в линии могут возникнуть искажения и задержка распространения сигнала. В 1 качестве критерия используем следующее соотношение: если l   , где l 6 длина линии, а  - длина волны, то на этом расстоянии приходится пользоваться расчетом цепи с распределенными параметрами. Во временной области для цепей с распределенными параметрами время прохождения сигнала соизмеримо с длительностью самого сигнала, или физические размеры цепи соизмеримы с длиной волны сигнала (синусоидальный сигнал). Далее мы будем рассматривать длинные линии - это линии связи, поперечные размеры которых много меньше их длины. 1). Коаксиальный кабель Внутренний кабель - жила, внешний - оболочка (экран), u –расстояние между проводниками. 2). Двухпроводная линия 3). Витая пара 4). Микрополосковая линия Проводник проводник ba l - длина проводника 5). Оптический кабель В таких системах рассмотрим изменение тока и напряжения вдоль одной координаты (вдоль линии).  i  i  x, t    u  u  x, t  Постановка задачи A - источник питания П - пассивный двухполюсник (приемник сигнала) Граничные условия: i1  i  0, t   u1  u  0, t   i2  i  l , t   u2  u  l , t  Первичные параметры однородной длинной линии Однородной (регулярной) называется линия, параметры которой не изменяются по длине.  E Rl   2l - сопротивление утечки S 1). Сопротивление на единицу длины: r0  Rl l  Ом   м  (учитывая нагрев)  См  2). Удельная проводимость между проводами: g 0   м  Характеризует наличие утечки между проводами при неидеальном диэлектрике.   J  E - плоские токи утечки 3).    BdS - магнитный поток S u  di L t dt  Гн  Удельная индуктивность: L0   - характеризует запас энергии магнитного  м поля Ф  4). Емкость на единицу длины: C0   - характеризует запас энергии  м электрического поля Схема замещения длинной линии на основе идеальных элементов Запишем второй закон Кирхгофа:  u  du   u    r0 dx   i   L0dx  i t i   с одной стороны  t  u  du   dx  с другой стороны  x du  r0 dx  i  L0 dx  u i (1)  r0  i  L0 x t Запишем 1-й закон Кирхгофа. i   i  di   ig  iС  0 di   g0 dx  u  du    C0 dx    u  du  (3) t Пренебрегаем величинами следующего порядка малости и из (3) следует (2): u  du  u i  u  x  r0  i  L0 t 1   i  g  u  C u  2   x t - система телеграфных уравнений Полученная система - система дифференциальных производных с постоянными коэффициентами. уравнений в частных Чтобы найти решение надо в дополнение принять начальные условия: i  x, 0  - НУ,  u  x, 0  i  l , t  - ГУ 1 ,  u  l , t   i  0, t  - ГУ 2,   u  0, t  где ГУ - граничные условия Решение системы уравнений (1) и (2) операторным методом С помощью преобразований Лапласа получаем: i  x, t  I  x, p  u  x, t  U  x, p  i t u t pI  x, p   i  x, 0  pU  x, p   u  x, 0  Для определенности возьмем i  x,0  0 u  x,0  0  d  x dx Таким образом  dU  r0 I  pL0 I   r0  pL0   I  Z 0  I dx Z0  r0  pL0 - операторное продольное сопротивление на единицу длины  dI  g 0U  pC0U   g 0  pC0  U  Y0 U dx Y0  g0  pC0 - операторная поперечная проводимость на единицу длины Важно заметить, что Z 0  1 , так как это абсолютно разные по свойствам Y0 величины.  dU  dx   Z 0  I (1a) - телеграфные уравнения в операторной форме   dI  Y  U (2a)  dx Это уравнения от одной переменной при нулевых начальных условиях. Сведем систему (1a), (2a) к одному уравнению 2-го порядка. d 2U dI   Z 0  =Z 0  Y0 U 2 dx dx   Z0  Y0   r0  pL0    g0  pC0     p  - постоянная распространения d 2U   2  U  3  2 dx d 2U    2 U  0 - волновое уравнение (однородное уравнение 2-го порядка) dx 2 Характеристическое уравнение: 2  2  0 1,2   - решение характеристического уравнения U  p   A1  e x  A2  e x U  x, p   A1  p   e 1а    Z0  ZВ  I  Z 0  Y0 Z0   p  x  A2  p   e   p  x - решение для напряжения 1 dU      A1  e  x  A2  e x  Z 0 dx Z 0  Y0 1  Z0 Z В  1   Ом  Z0 - волновое операторное сопротивление линии Y0 A1  p    p x A2  p    p  x - решение для тока e  e ZВ ZВ A1 , A2 - неизвестные константы интегрирования. Найти их можно из граничных условий. I  x, p   Граничные условия для линий удобно задавать в следующем виде: (отсчет слева направо) u1 t   e t   u  0, t  u2  t   RН  i2 t  u  l , t   RН  i  l , t  U  l , p   RН  I  l , p  u  0, t   e  t   U  0, p   E  p  Граничные условия:  U  0, p  E  p    U  l , p   RН  I  l , p   U  0, p   E  p   A1  p   A2  p    U (l , p) A1  p   e l  A2  p   e l     RН   A1  p  , A2  p  A p A p I ( l , p )       1  e  l  2  e l   Z Z  В В  Получаем полностью определенные решения U  x, p   A1  p   e   p x  A2  p   e  p x   A1  p    p x A2  p    p x e  e  I  x, p   ZВ ZВ  (4а) (4в) Для того, чтобы получить решение для напряжения и тока во временной области, переходим от изображений к оригиналу. Замечание: Для преобразований Лапласа справедлива теорема смещения: если выполняется F  p  f  t  , то для изображения e pt  F  p  оригиналом будет являться f  t  t0  . То есть: e pt  F  p  f  t  t0  . Рассмотрим частный случай длинной линии: Линия без потерь (ЛБП) В линии без потерь: r0  g0  0 Соответственно Z0  r0  pL0  pL0 Y0  g0  pC0  pC0   Z0  Y0  pL0  pC0  p  L0C0 L0C0  Гн Ф 1 1 Гн Ф 2 с Ом с 1  =  Гн  Ф =   с =  =  м м м м с с м Ом м v U  x, p   A1  p   e  p x v  A2  p   e p x v A1  p  u10  t   x  x U  x, p  u  x, t   u1  t    u2  t    v  v  5 ZВ  Z0  Y0 pL0 L0   const  p  - чисто активное сопротивление для линии pC0 C0 без потерь.  x  x u1  t   u2  t   v v i  x, t      ZВ ZВ  6 Рассмотрим решение уравнения  5 :  x u1  t   - первое слагаемое  v x  Зафиксируем значения функции в нескольких моментах времени: t  t1 , u1  t1   v  x  t  t2  t1 , u1  t2   v  t  t2  t1 t1  x1 x  t2  2 v v x  v  t  x2  x1  t2  t1 v dx v dt u1 t , x  - бегущая волна вдоль линии со скоростью v при неизменной форме напряжения волны  x u1  t    uпр  x, t  - прямая волна (от генератора к нагрузке)  v Второе слагаемое уравнения  5 :  x u2  t    v t2  t1 x  t  v u2  t , x  - бегущая волна в обратном направлении, без изменения формы напряжения  x u2  t    uобр  x, t  - обратная волна (от нагрузки к генератору)  v u  x, t   uпр  x, t   uобр  x, t   uпр  x, t  uобр  x, t     iпр  x, t   iобр  x, t  i  x, t   ZВ ZВ  Вывод: решение телеграфных уравнений представляет собой сумму волн напряжений и токов, бегущих в прямом и обратном направлении. Расчет распределенной системы в частотной области Рассмотрим установившийся режим в линии при синусоидальных токах и напряжениях. p  j Z0  r0  j L0 Y0  g0  jC0   Z0  Y0   r0  jL0    g0  jC0     j , (коэффициент), где  - постоянная фазы  - постоянная затухания (коэффициент). В общем случае:              - зависят от частоты        ZВ  Z0  Y0 r0  j L0 - волновое сопротивление линии g 0  jC0 A  p   A  j   A U  x, p   U  j   U  x  I  x, p   I  j   I  x  Телеграфные уравнения в комплексной форме записи  dU  dx   Z 0  I   dI  Y  U  dx U  x   A1  e x  A2  e x (7а)  - решение телеграфных уравнений в комплексной  A1  x A2  x I x   e   e (7б)    ZВ ZВ  форме Обозначим: A1  A1  e j1 A2  A2  e j2 U пр  A1  e x Uобр  A2  e x A1  x  e  I пр ZВ A2  x  e  I обр ZВ U пр  A1  e x  A1  e j1  e x  e j x  A1  e x  e j 1   x   U пр  x  Uпр  x  - комплексное значение напряжения в виде функции от координаты Мгновенное значение: uпр  x, t   A1 2  e x  sin t   x  1  t   x  1    x, t  Изменение напряжения во времени и пространстве:   x uпр  x, t   A1 2  e  x  sin   t          1    Зафиксируем t1 так, чтобы синус начинался с нуля, то есть  t1  1  0 Обозначим v   .  x  t  v   t2  t1     Определим смысл β : uпр  x, t   A1 2  e x  sin , где   t   x  1 . Зафиксируем фазу, то есть   t   x  1  const . Определим скорость точки с этой фазой. d dx   0 dt dt v     v  0 , где dx v dt   vфаз - фазовая скорость (скорость перемещения точки с постоянной  фазой). Длина волны  - расстояние между двумя точками, в которых аргумент синусоиды (фаза) отличается на 2 . x2  x1     t , x1    t , x2   2 t1   x1  1  t1    x1     1  2 2 2 ,    2       vф   vф     2 f     f  2 2 vф    f Замечание: Так как коэффициент затухания  и фазовый коэффициент  зависят от частоты в общем случае нелинейно, то линия с потерями является искажающей, то есть сигнал, проходя вдоль линии искажается по форме. l - длина линии Рассмотрим линию как четырехполюсник: U  x   A1  e  x  A2  e x   A1  x A2  x e  e I  x   ZВ ZВ  Зафиксируем U  0  U1  A1  A2 , I  0   I1  A1 A2  ZВ ZВ  A1  A2  U1   A1  A2  Z В  I1  U  x   A1  U1  Z В  I1 , 2 A2  U1  Z В  I1 . 2  e x  e   x U1  Z В  I1  x U1  Z В  I1  x e   e  U1   2 2 2    e x  e   x  Z  I   В 1  2   ch   x  sh  x     U  x   ch   x   U1  Z В  sh   x   I1  sh   x    U1  ch   x   I1 I  x    ZВ  Зафиксируем конец линии: U2  U l  I2  I l  U 2  ch    l  U1  Z В  sh    l   I1  sh    l    U1  ch    l   I1 I2   ZВ  U 2   A B  U1       I 2  C D   I1  U 2    - вход четырехполюсника,  I 2  U1    - выход четырехполюсника  I1  Вывод: Длинные линии аналогичны симметричному четырехполюснику. Мы получили уравнения четырехполюсника в A - параметрах. Условие симметричности: A  D AD  BC  1 Изменим начало отсчета: x y l ylx xl y U  y   A1  e l  y   A2  e l  y    A1  l  y  A2  l  y  e  e I  y   ZВ ZВ  Обозначим B1  A1  e l , B2  A2  e l U  y   B1  e y  B2  e y  U пр  Uобр I  y  B1  y B2  y e   e  I пр  I обр ZВ ZВ Рассматривая длинную линию как четырехполюсник и поступая аналогично предыдущим рассуждениям, получаем решение: U  y   ch    y  U 2  Z В  sh    y   I 2  - распределение напряжения и тока вдоль sh    y   U 2  ch    y   I 2 I  y   ZВ  линии в гиперболических функциях U1  U  l   ch   l  U2  Z В  sh   l   I 2 I1  I  l   sh    l  U 2  ch    l   I 2 ZВ Входное сопротивление линии U1 ch    l  U 2  Z В  sh    l   I 2  I2 ch   l   Z Н  Z В  sh   l    ZН sh    l  I1  sh    l   ch    l  U 2  ch    l   I 2 ZВ ZВ Z  Z В  th    l  ZВ  Н . Z В  Z Н  th    l  Z вх. л   ch   l       j  ZВ  - вторичные параметры длинной линии   ch   l  