Цепи с индуктивно связанными элементами

Краткое содержание 3.7. Цепи с индуктивно-связанными элементами 3.7.1. Индуктивно связанные элементы цепи, ЭДС взаимной индукции. 3.7.2. Одноименные зажимы индуктивно связанных катушек. 3.7.3. Положительное направление напряжения взаимной индукции. 3.7.4. Последовательное соединение индуктивно связанных катушек. 3.7.5. Параллельное соединение индуктивно связанных катушек. 3.7.6. Расчет разветвленных цепей при наличии индуктивно связанных элементов. 3.7.7. Эквивалентная замена индуктивных связей. 3.7. Цепи с индуктивно-связанными элементами 3.7.1. Индуктивно-связанные элементы, ЭДС взаимной индукции. В том случае, если изменение тока в одном из элементов цепи приводит к появлению ЭДС в другом элементе цепи, говорят, что эти элементы индуктивно связаны, возникающую ЭДС называют ЭДС взаимоиндукции. Рассмотрим две катушки, которые намотаны в виде тонких колец большого диаметра с числом витков w1 и w2. При указанной форме катушек с большой степенью точности можно считать, что витки каждой катушки сцепляются с одинаковым магнитным потоком. 2 3.7.1. Индуктивно-связанные элементы, ЭДС взаимной индукции. Пусть в первой катушке ток i1, тогда: Ψ11= w1Φ11 – собственное потокосцепление первой катушки (Φ11 – магнитный поток в одном витке), Ψ21 – потокосцепление взаимной индукции – часть потокосцепления Ψ11, сцепленная с витками второй катушки. Ψ21 создан током первой катушки, пронизывает витки второй. Пусть во второй катушке ток i2, тогда: Ψ22= w2Φ22 – собственное потокосцепление второй катушки, Ψ21 – потокосцепление взаимной индукции (создан током второй катушки, пронизывает витки первой). Ψ11 Ψ21 Ψ12 Ψ22 3 Индуктивно-связанные элементы В том случае, если изменение тока в одном из элементов цепи приводит к появлению ЭДС в другом элементе цепи, говорят, что эти элементы индуктивно связаны, возникающую ЭДС называют ЭДС взаимоиндукции. Катушки являются индуктивно-связанными элементами. Схемное изображение 4 Собственные и взаимные индуктивности Для воздушной катушки без ферромагнитного сердечника параметр L1– собственная индуктивность первой катушки [Генри], L2 – собственная индуктивность второй катушки [Генри], для характеристики индуктивной связи вводят параметр M = M 12 = M 21 – взаимная индуктивность [Генри]. Знак собственной индуктивности всегда положителен, т.к. направление тока и магнитного потока самоиндукции всегда согласованы по правилу правого винта. Примем знак взаимной индуктивности также положительным: M 21 =  21  = w2 21 i1 i1 M 12 = 12  = w1 12 i2 i2 Равенство M = M 12 = M 21 может быть доказано исходя из условия независимости энергий магнитного поля для токов i 1 и i 2 от порядка их возрастания от нуля до своих конечных значений. 5 Коэффициент связи Для количественной оценки влияния одной катушки на другую вводят понятие коэффициента связи 12  21 k = 11 22 2 св M 12 M 21 = или kсв = L1L2 M . L1L2 Коэффициент связи зависит от геометрии катушек, от взаимного расположения, от среды, в которой расположены эти катушки (магнитопровода). Коэффициент связи всегда 0  kсв  1 , т.к. из-за явления рассеяния поток самоиндукции больше потока взаимоиндукции. Для идеализированной катушки kсв = 1 , т.е. поток, создаваемый током в одной катушке полностью (без рассеяния) сцепляется с витками другой катушки, что возможно только при совмещении катушек. 6 ЭДС и напряжение самоиндукции ЭДС самоиндукции eL1 = − d 22 d11 и eL2 = − dt dt компенсируются напряжением самоиндукции d11 di1 uL1 = = L1 dt dt d 22 di2 uL2 = = L2 dt dt появляющееся на зажимах первой и второй катушки соответственно. Условно-положительное направление тока и напряжения самоиндукции принято одинаковым (от большего потенциала к меньшему потенциалу). ЭДС взаимоиндукции во второй катушке, вызванное изменением тока в первой катушке, компенсируется напряжением взаимоиндукции uM 21 = d 21 di = M 21 1 , появляющееся на зажимах второй катушки. dt dt Аналогично появляется напряжение взаимоиндукции на зажимах первой катушки uM12 = d12 di = M 12 2 , вызванное изменением тока в первой. dt dt 7 3.7.2. Одноименные зажимы индуктивносвязанных катушек Для определения направления напряжения (ЭДС) взаимной индукции, т.е. знака, с которым это напряжение будет входить в алгебраическую сумму напряжения на катушке, размечают зажимы индуктивно связанных элементов цепи. Два зажима разных катушек называют одноименными, если при одинаковых направлениях токов катушек относительно этих зажимов магнитные потоки самоиндукции и взаимной индукции направлены одинаково (суммируются). Одноименные зажимы обозначаются одинаковыми значками (, • или  ). Одноименные зажимы (a с) Одноименные зажимы (b с) 8 3.7.3. Положительное направление напряжения взаимоиндукции За положительные направления напряжения само и взаимной индукции принято направление, совпадающее с направлением соответствующего тока по отношению к одноименным зажимам. uL1 uM12 uM13 uL3 uL2 uM 21 uM 31 uкат1 = uL1 + uM12 − uM13 uкат2 = uL2 + uM 21 uкат3 = uL3 − uM 31 uL1 uM12 uM13 u L3 uL2 uM 21 uM 31 uкат1 = u L1 − uM12 − uM13 uкат2 = u L2 − uM 21 uкат3 = uL3 − uM 31 9 Перейдем в комплексную расчетную область к соответствующим комплексным токам и напряжениям. Сопротивление взаимной индукции рассчитывается для заданной частоты X M = M . Комплексное сопротивление взаимной индукции jX M = jM . uL1 uM12 uM13 u L3 uL2 uM 21 uM 31 uкат1 = u L1 + uM12 − uM13 = di di1 di + M 12 2 − M 13 3 dt dt dt uкат2 = uL2 + uM 21= L2 di2 + M 21 di 1 dt dt uкат3 = uL3 − uM 31 = L3 di3 − M 31 di 1 dt dt = L1 U L1 U M12 U M13 u L3 U L2 U M 21 U M 31 U кат1 = U L1 + U M12 − U M13 = = jX L1 I1 + jX M12 I2 − jX M13 I3 U кат 2 = U L2 + U M 21 = jX L2 I2 + jX M 21 I1 U кат3 = U L3 − U M 31 = jX L3 I3 − jX M 31 I1 10 3.7.4. Последовательное соединение индуктивносвязанных катушек Различают согласное и встречное включение индуктивносвязанных катушек. При согласном включении токи в любой момент времени направлены одинаково относительно одноименных зажимов, потоки само и взаимной индукции сонаправлены (напряжения само и взаимной индукции суммируются). При встречном включении токи в любой момент времени направлены противоположно относительно одноименных зажимов, потоки само и взаимной индукции направлены противоположно (напряжения само и взаимной индукции вычитаются). Понятия согласного и встречного включения могут быть применены только для последовательного соединения индуктивно связанных катушек. 11 Согласное соединение индуктивно-связанных катушек Рассмотрим согласное включение последовательно соединенных индуктивно связанных неидеальных катушек. Напряжение на катушках имеет три составляющие: a a UM U ab U L1 U L2 U R1 U R2 U кат1 U R1 UM U M 21 U M12 U L1 b U кат2 U L2 b U ab U R2 I U ab = U кат1 + U кат2 = ( R1 + jX L1 + jX M ) I + ( R2 + jX L 2 + jX M ) I U кат1 U ab = ( R1 + jX L1 + jX M + R2 + jX L 2 + jX M ) I Zс U кат2 U M 21 = U M12 = U M 12 Встречное соединение индуктивно-связанных катушек Рассмотрим встречное включение последовательно соединенных индуктивно связанных неидеальных катушек. Напряжение на катушках имеет три составляющие: a U L1 U L2 U R1 U R2 b U M 21 U M12 U кат1 U MU ab U кат2 U L2 U R1 b U ab U R2 UM a U L1 I U ab = U кат1 + U кат2 = ( R1 + jX L1 − jX M ) I + ( R2 + jX L 2 − jX M ) I U кат1 U ab = ( R1 + jX L1 − jX M + R2 + jX L 2 − jX M ) I Zв U кат2 U M 21 = U M12 = U M 13 Согласное и встречное включение индуктивносвязанных катушек При согласном включении Z с = R1 + jX L1 + R2 + jX L 2 + 2 jX M = Z сс При встречном включении Z в = R1 + jX L1 + R2 + jX L 2 − 2 jX M = Z вв Если напряжение U ab = U = const Z с  Z в I с  I в с   в 14 3.7.5. Параллельное соединение индуктивносвязанных катушек При параллельном соединении к двум неидеальным индуктивно связанным катушкам приложено одинаковое напряжение. Пусть одноименные зажимы находятся в общем узле. Выберем условно-положительные направления тока в ветвях. Напряжение на катушках будет иметь три составляющие. Составим уравнения: I = I1 + I2 U = R1 I1 + jL1 I1 + jMI2 = Z1 I1 + Z M I2 U = R2 I2 + jL2 I2 + jMI1 = Z 2 I2 + Z M I1 a U ab U L1 U M12 U L2 U M 21 I1 = U R1 b Решение: U R2 Z2 − ZM U Z1Z 2 − Z M2 I= I2 = Z1 − Z M U Z1Z 2 − Z M2 Z1 + Z 2 − 2Z M U 2 Z1Z 2 − Z M 15 Параллельное соединение с одноименными зажимами в общем узле Пусть I2 = I 20 a U M 12 U ab U L1U M12 U L2 U M 21 U R1 U R2 b I = I1 + I2 U = R1 I1 + jL1 I1 + jMI2 = Z1 I1 + Z M I2 U = R2 I2 + jL2 I2 + jMI1 = Z 2 I2 + Z M I1 U Z1Z 2 − Z M2 Z вх = = I Z1 + Z 2 − 2Z M Качественно построенные ВДТ и ТДН 16 3.7.5. Параллельное соединение индуктивносвязанных катушек При параллельном соединении к двум неидеальным индуктивно связанным катушкам приложено одинаковое напряжение. Пусть разноименные зажимы находятся в общем узле. Выберем условно-положительные направления тока в ветвях. Напряжение на катушках будет иметь три составляющие. Составим уравнения: I = I1 + I2 U = R1 I1 + jL1 I1 − jMI2 = Z1 I1 − Z M I2 U = R2 I2 + jL2 I2 − jMI1 = Z 2 I2 − Z M I1 a U ab U L1 U M12 U L2 U M 21 I1 = U R1 b Решение: U R2 Z2 + ZM U Z1Z 2 − Z M2 I= I2 = Z1 + Z M U Z1Z 2 − Z M2 Z1 + Z 2 + 2Z M U 2 Z1Z 2 − Z M 17 Параллельное соединение с разноименными зажимами в общем узле Пусть I2 = I 20 a U ab U L1U M12 U L2 U M 21 U R1 U R2 b I = I1 + I2 U = R1 I1 + jL1 I1 − jMI2 = Z1 I1 − Z M I2 U = R2 I2 + jL2 I2 − jMI1 = Z 2 I2 − Z M I1 U Z1Z 2 − Z M2 Z вх = = I Z1 + Z 2 + 2Z M Качественно построенные ВДТ и ТДН 18 3.7.6. Расчет разветвленных цепей при наличии индуктивно-связанных катушек Расчеты разветвленных цепей можно вести, составляя уравнения по первому и второму закону Кирхгофа или методом контурных токов. Метод узловых потенциалов, эквивалентные преобразования частей цепи, содержащей индуктивные связи, применять нельзя. Это объясняется тем, что напряжение на катушке представляет собой алгебраическую сумму двух напряжений: собственного и наведенного. Эти составляющие определяются разными токами, знак напряжения взаимной индукции определяется разметкой и выбором условноположительного направления токов. Поэтому на участке с наведенным напряжением нельзя определить комплексное сопротивление участка как отношение комплекса напряжения к комплексу тока – разные токи составляют это напряжение. Теорему об активном двухполюснике можно применять, если внешняя по отношению к двухполюснику часть цепи не имеет индуктивной связи с той частью, которая входит в состав двухполюсника. 19 Расчет разветвленных цепей при наличии индуктивно-связанных катушек При расчете цепей с взаимной индукцией в комплексных схемах замещения удобно учитывать наведенное напряжение как источник напряжения, управляемый током (ИНУТ). Так при согласованных направлениях токов ветвей от «звездочки» в ветвь схема цепи в комплексной области имеет вид: При несогласованных направлениях токов: 20 3.7.7. Эквивалентная замена индуктивных связей Анализ и расчет электрических цепей в ряде случаев упрощается, если часть схемы, содержащей индуктивные связи заменить эквивалентной схемой без индуктивных связей. Этот прием называют развязкой индуктивных связей. Рассмотрим развязку индуктивных связей элементов, присоединенных к общему узлу. Пусть индуктивно связанные катушки присоединены к общему узлу разноименными зажимами: 21 Эквивалентная замена индуктивных связей Рассмотрим развязку индуктивных связей элементов, присоединенных к общему узлу. Пусть индуктивно связанные катушки присоединены к общему узлу одноименными зажимами: Устранение индуктивных связей добавляет в ветви слагаемые , токи и внешние напряжения при этом не меняются. Однако узел с перестает быть общим узлом, появляется новый узел и топология цепи меняется. Устранение индуктивных связей позволяет рассчитать входное сопротивление цепи без составления уравнений по законам Кирхгофа, применять разные методы для расчета токов в комплексной форме. 22 Эквивалентная замена индуктивных связей В рассмотренном примере параллельного соединения индуктивносвязанных катушек комплексное входное сопротивление может быть найдено после развязки индуктивных связей (катушки в общем узле одноименными зажимами) с использованием последовательно-параллельного преобразования пассивных двухполюсников. Z1 − Z M )( Z 2 − Z M ) ( U Z1Z 2 − Z M2 = ZM + = I Z1 + Z 2 − 2Z M Z1 + Z 2 − 2Z M 23 Эквивалентная замена индуктивных связей Замечания: • Дополнительные расчетные слагаемые  jX M рекомендуется в эквивалентных схемах обозначать прямоугольниками. • Построение топографической диаграммы напряжения после определения комплексных токов необходимо проводить для исходной схемы, т.к. топология преобразованной схемы отличается от исходной. 24 Автор доц. каф. ТОЭ НИУ «МЭИ» Жохова М.П. ZhokhovaMP@mpei.ru 25