Автокорреляционные функции (АКФ) периодических и непериодических сигналов

Лекция 6 Дельта-функцию можно, очевидно, представить в виде обратного пре­образования Фурье от ее спектральной плотности S() = 1: Учитывая условие взаимозаменяемости частоты и времени t, послед­нее выражение можно записать следующим образом: Перемена знака в показателе степени экспоненты в этом случае не влияет на значение интеграла (вследствие взаимозаменяемости частоты и времени). Спектральная плотность гармонического сигнала. Определим спектральную плотность гармонического (положим, что косинусоидального) сигнала единичной амплитуды . Подставив в соот­ношение заданный сигнал, и воспользовавшись формулой Эйлера cos x = , находим Это соотношение можно записать в следующем виде: Как и следовало ожидать, гармоническому сигналу с конечной (в дан­ном случае единичной) амплитудой соответствует дискретный спектр, со­стоящий из двух линий бесконечно большой амплитуды в виде дельта-функций, расположенных симметрично относительно нуля на частотах и Рис. 9.1. Спектральная плотность гармонического сигнала. По аналогии с косинусоидальным сиг­налом нетрудно показать, что синусоидаль­ному сигналу отвечает спек­тральная плотность С этой целью представим синусоиду в комплексной форме уравнением Тогда спектральная плотность для этого случая примет вид Здесь знак минус появляется вследст­вие нечетности функции синусоидального сигнала. Автокорреляционные функции (АКФ) периодических и непериодических сигналов. Корреляционный анализ «пришел» в радиотехнику в конце 40-х - начале 50-х гг. п. в., а фундаментальная теорема Хинчина-Винера связала его и гармонический анализ в единое целое. Корреляция – это процесс согласования; автокорреляцией называется согласование сигнала с собственной запаздывающей версией. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ - это анализ временной зависимости сигналов. Автокорреляционная функция действительного энергетического сигнала u(t) определяется следующим образом: (1) где  - некоторый постоянный временной сдвиг функции u(t). - Схема коррелятора представлена на рис. 1. Рис.1. Структурная схема автокоррелятора. Автокорреляционная функция имеет следующие свойства: Значение автокорреляционной функции при сдвиге  = 0 равно энергии сигнала Е, т.е.: Такая энергия Дж выделяется на резисторе с сопротивлением в 1 Ом, если к его выводам подключить некоторое напряжение u(t) В. 1. Автокорреляционная функция при сдвигах   0 меньше энергии сигнала: 2. Автокорреляционная функция является четной функцией, т.е. В справедливости свойств 2 и 3 убедимся на следующем примере. Пример 1.Вычислить автокорреляционную функцию сигнала, показанного на рис.10.1,а. Рис.10.1. К вычислению АКФ прямоугольного видеоимпульса: а - прямоугольный импульс; б - задержанный по времени прямоугольный импульс; в - произведение импульсов; г - автокорреляционная функция Решение. Автокорреляционная функция Определяется интегралом от произведения функции х(t) на её сдвинутую на время t = - копию. Время сдвига находим из уравнения t+ = 0. График функции х(t+) приведен на рис.1,б. Площадь , определяемая графиком произведения функций х(t) х(t+) (рис.1,в), равна Отсюда Д() = А2и(1-/и). Функция В() определяется уравне­нием прямой(рис.10.1 г). Функция мак­симальна при = 0 и равна нулю при  = и. При значениях  > 0 R{x) < < -R(O).Таким образом, убеждаемся в справедливости 2-го свойства. Чтобы убедится в справедливости 3-го свойства, аналогично вычислим функцию для отрицательных значе­ний : Окончательное выражение для автокорреляционной функции: (6) Пример 2.Вычислить АКФ кодированного сигнала Кодовая последовательность sк = 1, 1, -1 (рис10.2, а). Решение. Подставляя выражение для сигнала в формулу (1), получим B(n)= График АКФ показан на рисунке 10.2 , б. Рис10.2. АКФ сигнала Разновидностью дискретных сигналов являются кодовые сигналы, которые на определенном интервале кодового слова Мt могут иметь только два амплитудных значения: 0 и 1 или 1 и –1. При выделении кодов на существенном уровне шумов форма АКФ кодового слова имеет особое значение. С этой позиции наилучшими считаются такие коды, значения боковых лепестков АКФ которых минимальны по всей длине интервала кодового слова при максимальном значении центрального пика. К числу таких кодов относится код Баркера, приведенный в таблице 8.1. Как видно из таблицы, амплитуда центрального пика кода численно равна значению М, при этом амплитуда боковых осцилляций при n  0 не превышает 1. Пример 2.4. Определить автокорреляционную функцию гармонического сиг­нала с ненулевой начальной фазой (рис. 2.18, а). Решение. Используя формулу (2.41), находим Воспользуемся известной тригонометрической формулой где Тогда а , т.к. площадь гармонического сигнала по периоду равна нулю. Как и следовало ожидать (рис. 2.18, б), автокорреляционная функция гармо­нического сигнала любого вида имеет размерность мощности и не зависит от на­чальной фазы колебания . Рис. 2.18. Диаграммы к примеру 2.4: а — гармонический сигнал; б— АКФ гармонического сигнала. Взаимокорреляционная функция двух сигналов. В ряде случаев часто необходимо оценить степень связи между двумя различ­ными аналоговыми сигналами и . Для этих целей используют взаи­мокорреляционную функцию (ВКФ) При = 0 взаимокорреляционная функция равна так называемой взаим­ной энергии двух сигналов Значение взаимокорреляционной функции не меняется, если вместо за­держки второго сигнала рассматривать опережение его первым сигна­лом . Поэтому выражение (2.51) можно обобщить следующим образом о отметим, что в отличие от автокорреляционной взаимокорреляционная функция в общем случае не является четной и необязательно макси­мальна при = 0, т.е. при отсутствии сдвига одного из сигналов.