Атом водорода по теории Бора

МГУ Им. адм. Г.И. Невельского Кафедра физики В. В. Брунбендер Конспект лекций по физике Атом водорода по теории Бора Владивосток 2020 1 План лекции 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Исследование спектра излучения атома водорода; формула Бальмера Опыт Резерфорда по рассеянию альфа-частиц Планетарная модель атома Резерфорда Постулаты Бора Расчет радиусов электронных орбит и орбитальной скорости по теории Бора Расчет энергии электрона в атоме водорода Расчет спектра атома водорода по теории Бора Спектры водородоподобных атомов Достоинства и недостатки теории Бора 1. Исследование спектра излучения атома водорода; формула Бальмера Первые исследования спектров поглощения и испускания были проведены в 1814 году Фраунгофером. Для атомарного водорода были получены 5 спектральных линий в видимой области спектра Обозначение Hα Hβ Hγ Hδ Hε n 3 4 5 6 7 Длина волны, нм 656,3 486,1 434,1 410,2 397,0 Швейцарский ученый Бальмер в 1885 г. получил эмпирическую формулу, описывающую спектр атомарного водорода: n2  =b 2 2, n −2 (1) где n = 3, 4, 5, 6, 7. Смысл полученных значений числа n во времена Бальмера был неясен. В 1890 г. Ридберг экстраполяцией формулы Бальмера получил обобщенную формулу для частот спектра излучения атомарного водорода: 1 1  ni = R  2 − 2  , n  i (2) где R = 3,29∙ 1015 Гц – постоянная Ридберга; i = 1, 2, 3, ⋯; n = 2, 3, 4, ⋯ (n > i). 2. Опыт Резерфорда по рассеянию альфа-частиц (1904 – 1905 г.) 2 Рис. 1. Рис. 2. Результаты опыта: большинство альфа-частиц пролетали через фольгу, практически не отклоняясь; некоторые частицы испытывали сильное отклонения с углами рассеяния ~ 30° - 50°; изредка обнаруживались частицы, которые отбрасывались фольгой назад. Расчеты показывают, что атом имеет ядро (рис. 2), в котором находится весь положительный заряд атома и практически вся его масса; размер ядра ~ 10−15 м (размер атома ~ 10−10 м). 3. Планетарная модель атома Резерфорда (1911 г.) В центре атома (рис. 3) находится положительное ядро, занимающее ~ 10−15 объема атома; электроны вращаются по орбитам вокруг ядра, подобно планетам, вращающимся вокруг Солнца. Нормальное ускорение электрона обусловлено электрическим взаимодействием между электроном и ядром атома: m 2 zq02 zq02 2 =  = (3) r 4 0r 2 4 0mr , где z – номер элемента в периодической таблице. Менделеева. Недостатки планетарной модели атома: Рис. 3. а) с помощью планетарной модели невозможно объяснить линейчатый спектр излучения атома (формулы Бальмера и Ридберга); б) с точки зрения классической электродинамики вращающийся электрон излучает электромагнитные волны (пример – циклотронное излучение в ускорителях элементарных частиц). В результате испускания электромагнитного излу3 чения кинетическая энергия электрона будет уменьшаться и примерно через полчаса электрон упадет на ядро. 4. Постулаты Бора Теория Бора для атома водорода основана на планетарной модели атома и двух квантовых постулатах. 4.1. Первый постулат (правило отбора орбит): в атоме возможны лишь стационарные электронные орбиты, при движении на которых орбитальный момент импульса электрона кратен рационализированной постоянной Планка: Lорб = n , (4) где n = 1, 2, 3, ⋯ – номер орбиты (главное квантовое число); = h/2 − рационализированная постоянная Планка. 4.2. Второй постулат (правило изменения орбит): при переходе электрона с n-ой стационарной орбиты на i-ую стационарную орбиту атом излучает (или поглощает) квант электромагнитного излучения. По закону сохранения энергия излученного (или поглощенного) кванта равна разности между энергиями электрона на n-ой и i-ой орбитах: h  = n − i (5) 5. Расчет радиусов электронных орбит и орбитальной скорости Решим совместно уравнения (3) и (4) 2 zq02 nh  0h2 2 = ; m r=  r = 2 n . 4 0 mr 2  q0 m (6) Для первой боровской орбиты (n = 1) r1 ≈ 5,3∙10−11 м; для последующих орбит r1 = r1n2. (7) Радиус электронной орбиты по теории Бора пропорционален квадрату главного квантового числа. Из системы уравнений (6) находим формулу для расчета орбитальной скоq02 = . (8) рости электрона: 2 0 hn м Для первой орбиты 1  2,18  106 . Для последующих орбит n = 1 . Орбис n тальная скорость электрона по теории Бора обратно пропорциональна номеру орбиты. 6. Расчет энергии электрона в атоме водорода 4 Энергия электрона при орбитальном движении складывается из кинетической энергии электрона и потенциальной энергии электрического взаимодейm 2 q02 ствия зарядов электрона и ядра: = . Подстановка найденных ра− 2 4 0 r нее значений rn и n приводит к формуле для расчета кинетической, потенциальной и полной энергии электрона на n-ой орбите к q04m = 2 2 2; 8 0 h n q04m ; п =− 4 02h2n2 n q04m =− 2 2 2. 8 0 h n (9) Энергию состояния с n = 1 называют энергией ионизации атома водорода q04m  2,18  10−18 Дж = 13,6 эВ. Энергию состояний с большим знаи =| n |= 2 2 2 8 0 h n чением n находим из (9): n = −и /n2 (10) 7. Расчет спектра атома водорода по теории Бора В соответствии со вторым постулатом атом испускает квант излучения при переходе электрона с внешней i-ой орбиты на внутреннюю n-ю орбиту h  = n − i = q04m q04m q04m  1 1  − =  − . 8 02 h2i 2 8 02 h2 n2 8 02 h2  i 2 n2  Из данного соотношения получим формулу Ридберга и найдем значение постоянной Ридберга: q04m  1 1   = 2 3  2 − 2  ; (11) 8 0 h  i n  q 4m R = 02 3  3,29  1015 Гц, что совпа8 0 h дает с экспериментальным значением. Спектр атома водорода состоит из серий (рис. 4). Серия Лаймона описывает переходы на первую орбиту (i = 1), все излучаемые длины волн этой серии лежат в ультрафиолетовой области спектра. Серия Бальмера описывает переходы на вторую орбиту (i = 2), пять длин волн этой серии находятся в видимой, остальные – в ультрафиолетовой области спектра. Серия Паше- Рис. 4. 5 на описывает переходы на третью орбиту (i = 3), все длины волн этой серии находятся в инфракрасной области спектра. Известны также инфракрасные серии Брекета (i = 4), Пфунда (i = 5), и т. д. 8. Модель Бора для водородоподобных атомов Водородоподобными называют атомы с одним электроном на внешней оболочке (атомы Li, Na, K и др.). Энергия валентного электрона (по модулю) в таких атомах в z2 раз больше энергии электрона в атоме водорода: n z 2 q04m =− 2 2 2, 8 0 h n (12) где z – номер элемента в периодической таблице Менделеева. 9. Достоинства и недостатки теории Бора Теория Бора является достаточно простой физической теорией. Тем не менее она позволила объяснить все известные к тому времени экспериментальные данные для атома водорода (спектр испускания атома водорода, опыт Резерфорда, устойчивость атома). Недостатком теории является ее внутренняя противоречивость – она не является ни последовательной классической, ни последовательно квантовой теорией (в модели атома применяются законы классической механики, но отвергаются законы классической электродинамики; момент импульса и энергия квантуются, но вводится понятие орбит, чуждое квантовой физике). 6