Аналоговые, дискретные и цифровые сигналы

Лекция № «Аналоговые, дискретные и цифровые сигналы.» Двумя самыми фундаментальными понятиями в данном курсе являются понятия сигнала и системы. Под сигналом понимается физический процесс (например, изменяющееся во времени напряжение), отображающий некоторую информацию или сообщение. Математически сигнал описывается функцией определенного типа. Одномерные сигналы описываются вещественной или комплексной функцией xa (t ) , определенной на интервале вещественной оси (обычно – оси времени) t   t  t  . Примером одномерного сигнала может служить электрический ток в проводе микрофона, несущий информацию о воспринимаемом звуке. Сигнал x(t) называется ограниченным, если существует положительное число A, такое, что для любого t x(t )   . Энергией сигнала x(t) называется величина  E   x(t ) dt , 2 (1.1) Если E   , то говорят, что сигнал x(t) имеет ограниченную энергию. Сигналы с ограниченной энергией обладают свойством lim x (t )  0 . t  Если сигнал имеет ограниченную энергию, то он ограничен. Мощностью сигнала x(t) называется величина T 1 2 (1.2) P  lim x(t ) dt ,  T  T Если P   , то говорят, что сигнал x(t) имеет ограниченную мощность. Сигналы с ограниченной мощностью могут принимать ненулевые значения сколь угодно долго. В реальной природе сигналов с неограниченной энергией и мощностью не существует. Большинство сигналов, существующих в реальной природе, являются аналоговыми. Аналоговые сигналы описываются непрерывной (или кусочно-непрерывной) функцией xa (t ) , причем сама функция и аргумент t могут принимать любые значения на некоторых интервалах xa  x  xa, t   t  t  . На рис. 1.1а представлен пример аналогового сигнала, изменяющегося во времени по закону xa (t )  A * e  *t , где A  1,   0 . Другой пример аналогового сигнала, показанный на рис 1.1б, изменяется во времени по закону xa (t )  U m * sin( 2 *  * f * t ) . x a1 ( t ) x a2 ( t ) t t а Рис.1.1 б Важным примером аналогового сигнала является сигнал, описываемый т.н. «единичной функцией», которая описывается выражением 1 u0 (t )  (1  sign (t )) (1.3), 2 1, t  0  где sign (t )  0, t  0 .  1, t  0  График единичной функции представлен на рис.1.2. 1 u o( t ) 1 t 1 Рис.1.2 Функцию uo(t)=1(t) можно рассматривать как предел семейства непрерывных функций 1(,t) при изменении параметра этого семейства . 1 1 1( , t )   arctg (t ) (1.4). 2  Семейство графиков 1(,t) при различных значениях  представлено на рис.1.3. 1 one ( t  1 ) one ( t  5 ) one ( t  10 ) one ( t  100 ) one ( t  500 ) 1 t Рис.1.3 1 В этом случае функцию uo(t)=1(t) можно записать как u0 (t )  1(t )  lim 1( , t ) (1.5).   Обозначим производную от 1(,t) как (,t). d 1( , t ) 1   ( , t )    dt  1   2t 2 Семейство графиков (,t) представлено на рис.1.4. (1.6). 20  ( t  1)  ( t  5)  ( t  10 )  ( t  50 )  ( t  100) 0.1 t 0.1 Рис.1.4. Площадь под кривой (,t) не зависит от  и всегда равна 1. Действительно   1  1 1    (1.7).  ( , t )   1   2t 2 dt   arctg(t )     ( 2  2 )  1 Функция  (t )  lim  ( , t ) (1.8)   называется импульсной функцией Дирака или -функцией. Значения функции равны нулю во всех точках, кроме t=0. При t=0 -функция равна бесконечности, но так, что площадь под кривой -функции равна 1. На рис.1.5 представлен график функции (t) и (t-). (t) (t-) t  Рис.1.5. Отметим некоторые свойства -функции: 1. x(t ) (t   )  x( ) (t   ) Это следует из того, что  (t )  0 только при t=. (1.9). 2.        x(t ) (t   )dt   x( ) (t   )dt  x( )   (t   )dt x( ) (1.10). В интеграле бесконечные пределы можно заменить конечными, но так, чтобы аргумент функции (t-) обращался в нуль внутри этих пределов.       x(t ) (t   )dt  x(t ) (t   )dt x( ) (1.11). 3. Преобразование Лапласа -функции  L( (t   ))    (t   )e  pt dt  e  p (1.12).  В частности, при =0 L( (t ))  1 (1.13). 4. Преобразование Фурье -функции. При p=j из 1.13 получим (1.14) F ( (t   ))  e  j При =0 F ( (t ))  1 (1.15), т.е. спектр -функции равен 1. Аналоговый сигнал f(t) называется периодическим если существует действительное число T, такое, что f(t+T)=f(t) для любых t. При этом T называется периодом сигнала. Примером периодического сигнала может служить сигнал, представленный на рис.1.2а, причем T=1/f. Другим примером периодического сигнала может служить последовательность -функций, описываемая уравнением   T (t )    (t  nT ) (1.16) n 0 график которой представлен на рис.1.6. T(t) t -3T -2T -T T 2T 3T Рис.1.6. Дискретные сигналы отличаются от аналоговых тем, что их значения известны лишь в дискретные моменты времени. Дискретные сигналы описываются решетчатыми функциями – последовательностями – xд(nT), где T =const – интервал (период) дискретизации, n=0,1,2,…. Сама функция xд(nT) может в дискретные моменты принимать произвольные значения на некотором интервале. Эти значения функции называются выборками или отсчетами функции. Другим обозначением решетчатой функции x(nT) является x(n) или xn. На рис. 1.7а и 1.7б представлены примеры решетчатых функций x д (n)  A * e  *n*T и xд (n)  U m * sin( 2 *  * f * n * T ) . Последовательность x(n) может быть конечной или бесконечной, в зависимости от интервала определения функции. x d1 ( n ) x d2 ( n ) n n а Рис.1.7. б Процесс преобразования аналогового сигнала в дискретный называется временная дискретизация. Математически процесс временной дискретизации можно описать как модуляцию входным аналоговым сигналом последовательности -функций T(t)  xд (t )    (t nT )  xа (t ) (1.17) n 0 Процесс восстановления аналогового сигнала из дискретного называется временная экстраполяция. Для дискретных последовательностей также вводятся понятия энергии и мощности. Энергией последовательности x(n) называется величина  E   x(n) , 2 (1.18) n 0 Мощностью последовательности x(n) называется величина N 1 2 P  lim x(n) , (1.19)  N  2 N  1 n N Для дискретных последовательностей сохраняются те же закономерности, касающиеся ограничения мощности и энергии, что и для непрерывных сигналов. Периодической называют последовательность x(nT), удовлетворяющую условию x(nT)=x(nT+mNT), где m и N – целые числа. При этом N называют периодом последовательности. Периодическую последовательность достаточно задать на интервале периода, например при 0  n  N  1 . Цифровые сигналы представляют собой дискретные сигналы, которые в дискретные моменты времени могут принимать лишь конечный ряд дискретных значений – уровней квантования. Процесс преобразования дискретного сигнала в цифровой называется квантованием по уровню. Цифровые сигналы описываются квантованными решетчатыми функциями xц(nT). Примеры цифровых сигналов представлены на рис. 1.8а и 1.8б. x c1 ( n ) x c2 ( n ) n а n Рис.1.8. б Связь между решетчатой функцией xд(nT) и квантованной решетчатой функцией xц(nT) определяется нелинейной функцией квантования xц(nT)=Fk(xд(nT)). Каждый из уровней квантования кодируется числом. Обычно для этих целей используется двоичное кодирование, так, что квантованные отсчеты xц(nT) кодируются двоичными числами с n разрядами. Число уровней квантования N и наименьшее число двоичных разрядов m, с помощью которых можно закодировать все эти уровни, связаны соотношением (1.20) m  int(log 2 N ) , где int(x) – наименьшее целое число, не меньшее x. Т.о., квантование дискретных сигналов состоит в представлении отсчета сигнала xд(nT) с помощью двоичного числа, содержащего m разрядов. В результате квантования отсчет представляется с ошибкой, которая называется ошибкой квантования e  Fk ( x )  x . (1.21) Шаг квантования Q определяется весом младшего двоичного разряда результирующего числа (1.22) Q  2m . Основными способами квантования являются усечение и округление. Усечение до m-разрядного двоичного числа состоит в отбрасывании всех младших разрядов числа кроме n старших. При этом ошибка усечения e ус  Fус ( x )  x . Для положительных чисел при любом способе кодирования  2 m  e ус  0 . Для отрицательных чисел при использовании прямого кода ошибка усечения неотрицательна 0  e ус  2  m , а при использовании дополнительного кода эта ошибка неположительна  2 m  e ус  0 . Таким образом, во всех случаях абсолютное значение ошибки усечения не превосходит шага квантования: max e ус  2  m  Q . (1.23) График функции усечения дополнительного кода представлен на рис.1.10, а прямого кода – на рис.1.9. 7 y a( n ) y k2( n ) 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 7 7 n 7 Рис.1.9. 7 y a( n ) y k( n ) 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 7 7 n 7 Рис.1.10 Округление отличается от усечения тем, что кроме отбрасывания младших разрядов числа модифицируется и m-й (младший неотбрасываемый) разряд числа. Его модификация заключается в том, что он либо остается неизменным, либо увеличивается на единицу в зависимости от того, больше или меньше отбрасываемая часть числа величины 1 / 2 * 2  m . Округление можно практически выполнить путем прибавления единицы к (m+1)–му разряду числа с последующим усечением полученного числа до m разрядов. Ошибка округления при всех способах кодирования лежит в пределах  2  m1  eок  2  m1 и, следовательно, max( eок )  2  m1  Q / 2 . График функции округления представлен на рис. 1.11. (1.24) 7 y a( n ) y k1( n ) 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 7 7 n 7 Рис.1.11. Рассмотрение и использование различных сигналов предполагает возможность измерения значения этих сигналов в заданные моменты времени. Естественно возникает вопрос о достоверности (или наоборот, неопределенности) измерения значения сигналов. Этими вопросами занимается теория информации, основоположником которой является К.Шеннон. Основная идея теории информации состоит в том, что с информацией можно обращаться почти также, как с такими физическими величинами как масса и энергия. Точность измерений мы обычно характеризуем числовыми значениями полученных при измерении или предполагаемых погрешностей. При этом используются понятия абсолютной и относительной погрешностей. Если измерительное устройство имеет диапазон измерения от x1 до x2, с абсолютной погрешностью , не зависящей от текущего значения x измеряемой величины, то получив результат измерения в виде xn, мы записываем его как  xn и характеризуем относительной погрешностью    . x 2  x1 Рассмотрение этих же самых действий с позиции теории информации носит несколько иной характер, отличающийся тем, что всем перечисленным понятиям придается вероятностный, статистический смысл, а итог проведенного измерения истолковывается как сокращение области неопределенности измеряемой величины. В теории информации тот факт, что измерительный прибор имеет диапазон измерения от x1 до x2, означает, что при использовании этого прибора могут быть получены показания только в пределах от x1 до x2. Другими словами, вероятность получения отсчетов, меньших x1 или больших x2, равна 0. Вероятность же получения отсчетов где-то в пределах от x1 до x2 равна 1. Если предположить, что все результаты измерения в пределах от x1 до x2 равновероятны, т.е. плотность распределения вероятности для различных значений измеряемой величины вдоль всей шкалы прибора одинакова, то с точки зрения теории информации наше знание о значении измеряемой величины до измерения может быть представлено графиком распределения плотности вероятности p(x). Поскольку полная вероятность получить отсчет где-то в пределах от x1 до x2 равна 1, то под кривой должна быть заключена площадь, равная 1, а это значит, что 1 (1.25). p( x)  x 2  x1 После проведения измерения получаем показание прибора, равное xn. Однако, вследствие погрешности прибора, равной , мы не можем утверждать, что измеряемая величина точно равна xn. Поэтому мы записывает результат в виде xn. Это означает, что действительное значение измеряемой величины x лежит где-то в пределах от xn- до xn+. С точки зрения теории информации результат нашего измерения состоит лишь в том, что область неопределенности сократилась до величины 2 и характеризуется намного большей плотностью вероятности 1 p (x)  (1.26). 2 Получение какой-либо информации об интересующей нас величине заключается, таким образом, в уменьшении неопределенности ее значения. В качестве характеристики неопределенности значения некоторой случайной величины К.Шеннон ввел понятие энтропии величины x, которая вычисляется как  H ( x)    p ( x) log p( x)dx (1.27).  Единицы измерения энтропии зависят от выбора основания логарифма в приведенных выражениях. При использовании десятичных логарифмов энтропия измеряется в т.н. десятичных единицах или дитах. В случае же использования двоичных логарифмов энтропия выражается в двоичных единицах или битах. В большинстве случаев неопределенность знания о значении сигнала определяется действием помех или шумов. Дезинформационное действие шума при передаче сигнала определяется энтропией шума как случайной величины. Если шум в вероятностном смысле не зависит от передаваемого сигнала, то независимо от статистики сигнала шуму можно приписывать определенную величину энтропии, которая и характеризует его дезинформационное действие. При этом анализ системы можно проводить раздельно для шума и сигнала, что резко упрощает решение этой задачи. Теорема Шеннона о количестве информации. Если на вход канала передачи информации подается сигнал с энтропией H(x), а шум в канале имеет энтропию H(), то количество информации на выходе канала определяется как q  H ( x)  H ( ) (1.28). Если кроме основного канала передачи сигнала имеется дополнительный канал, то для исправления ошибок, возникших от шума с энтропией H(), по этому каналу необходимо передать дополнительное количество информации, не меньшее чем q  H () (1.29). Эти данные можно так закодировать, что будет возможно скорректировать все ошибки, вызванные шумом, за исключением произвольно малой доли этих ошибок. В нашем случае, для равномерно распределенной случайной величины, энтропия определяется как x2 1 1 (1.30), H ( x)    log( )dx  log( x2  x1 ) x  x x  x 2 1 2 1 x1 а оставшаяся или условная энтропия результата измерения после получения отсчета xn равна xn   1 1 (1.31). H ( x xn )    log( )dx  log( 2) 2 2 xn   Отсюда полученное количество информации равное разности исходной и оставшейся энтропии равно q  H ( x)  H ( x x n )  log( x 2  x1 )  log( 2)  (1.32). x  x1 2  log 2   log 2 x 2  x1 При анализе систем с цифровыми сигналами ошибки квантования рассматриваются как стационарный случайный процесс с равномерным распределением вероятности по диапазону распределения ошибки квантования. На рис. 1.12а, б и в приведены плотности вероятности ошибки квантования при усечении дополнительного кода, прямого кода и округлении соответственно. p(eус) p(eус) 1/Q 1/Q 1/2Q eус -Q p(eок) -Q а Q eус б -Q/2 Q/2 eок в Рис.1.12. Очевидно, что квантование является нелинейной операцией. Однако, при анализе используется линейная модель квантования сигналов, представленная на рис. 1.13. f(nT) e(nT) x(nT) Рис.1.13. где f(nT) – дискретный сигнал, x(nT) – квантованный m – разрядный цифровой сигнал, e(nT) – ошибка квантования. Вероятностные оценки ошибок квантования делаются с помощью вычисления математического ожидания   e  E (e)   e * pe de (1.33)  e 2  E (( e  e ) 2 )  E (e 2 )   2 e (1.34),  и дисперсии где pe – плотность вероятности ошибки. Для случаев округления и усечения будем иметь 0  при округлении и усечении прямого кода , e    m 1  Q / 2  при усечении дополнительного кода;  2 e 2 (1.35), Q 2 / 12  при округлении и усечении дополнительного кода ,  2 (1.36). Q / 3  при усечении прямого кода. Временная дискретизация и квантование по уровню сигналов являются неотъемлемыми особенностями всех микропроцессорных систем управления, определяемыми ограниченным быстродействием и конечной разрядностью используемых микропроцессоров. Лекция №2 «Дискретные и цифровые системы. Временная дискретизация» Системы обрабатывают сигналы, приходящие на них и, в результате этого вырабатывают соответствующие выходные сигналы с целью выполнения закона управления. В зависимости от того, сигналы какого типа используются в системе, последние подразделяются на непрерывные и дискретные системы. Работа непрерывных систем описывается соответствующими системами дифференциальных уравнений типа: dxi  f i ( x1 (t ), x2 (t ),..., xn (t ), u1 (t ), u2 (t ),..., u p (t ), t ) (2.1). dt (i  1,2,..., n ) где x1(t), x2(t), …, xn(t) – переменные состояния системы, u1(t), u2(t), …, up(t) – входные сигналы, fi – функциональные соотношения, которые в общем случае могут быть линейными или нелинейными. Система, в которой используются дискретные сигналы, называется дискретной системой. Дискретные автоматические системы подразделяются на импульсные, релейные и цифровые. Автоматическая система называется импульсной, если хотя бы один сигнал в ней дискретизируется по времени. Автоматическая система называется релейной, если хотя бы один сигнал в ней квантуется по уровню. Автоматическая система называется цифровой, если хотя бы один сигнал в ней дискретизируется по времени и квантуется по уровню. Микропроцессорная автоматическая система это - цифровая система, алгоритм функционирования которой полностью или частично реализован программно с помощью средств микропроцессорной техники. Таким образом, микропроцессорные системы являются подклассом цифровых систем. Характерными особенностями микропроцессорных систем являются: - вычислительное запаздывание реакции системы, связанное с последовательным выполнением программного алгоритма функционирования и конечным быстродействием микропроцессорной техники; - распределение функций системы между ее аппаратной и программной частями. Цифровые системы, в свою очередь, являются подклассом импульсных систем, характерной чертой которого является квантование сигналов по уровню и, связанные с ним, динамические и точностные особенности работы систем. Обобщенная структурная схема импульсной системы, управляющей непрерывным объектом, может быть представлена в виде последовательного соединения импульсного элемента и непрерывной части (рис.2.1). f(t) x(t) y(t) Z(t) Непрерывная часть Обобщенная структурная схема микропроцессорной автоматической системы представлена на рис.2.2. МП ЦАП Объект АЦП Дискретная часть Непрерывная часть Микропроцессор (МП) играет роль задающего, сравнивающего и управляющего устройства. Аналоговые сигналы, соответствующие переменным состояния объекта с помощью аналого-цифрового преобразователя (АЦП) преобразуются в цифровые. Т.о., АЦП играет роль импульсного элемента и квантователя по уровню. Выработанные МП цифровые сигналы управления, с помощью цифро-аналогового преобразователя (ЦАП) преобразуются в аналоговые, и в таком виде подаются на управляемый объект. В преобразовательной технике часто оконечное исполнительное устройство автоматической системы имеет импульсные сигналы управления, вследствие чего ЦАП может быть заменен на цифровой импульсный модулятор. Сущность импульсного элемента заключается в преобразовании входного аналогового сигнала в выходной импульсный сигнал, что осуществляется модуляцией некоторой последовательности импульсов входным аналоговым сигналом. В зависимости от вида модуляции различают широтно-импульсные и амплитудно-импульсные системы. В широтноимпульсных системах модулируемым параметром является длительность импульсов при постоянных их амплитуде и частоте (рис.2.3). В амплитудно-импульсных системах модулируемым параметром является амплитуда импульсов при постоянных их частоте и длительности (рис.2.4). Микропроцессорные автоматические системы можно отнести к амплитудно-импульсным системам с учетом эффекта квантования по уровню. Аналогом модулируемой амплитуды импульсов является величина двоичного кода. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать амплитудно-импульсные системы с учетом вышеуказанных особенностей. В амплитудно-импульсной системе выходным сигналом импульсного элемента является последовательность импульсов, амплитуда которых пропорциональна значению входного аналогового сигнала ошибки x(t) в дискретные моменты времени t=mT, где T – называется периодом дискретизации. Т.о. импульсная система реагирует лишь на дискретные значения ошибки x(t )  f (t )  z (t ) при t=mT x ( mT )  f ( mT )  z ( mT ) (2.2) и не реагирует на изменение внешнего воздействия f(t) и выходной переменной системы z(t) между этими дискретными моментами времени. В амплитудно-импульсных системах выходной сигнал импульсного элемента является периодической последовательностью импульсов определенной формы, амплитуда которых пропорциональна дискретным значения входной величины x(mT). Назовем идеальным импульсным элементом такой, выходной сигнал которого X*(t) представляет собой последовательность -функций, модулированных дискретными значениями входной величины x(mT). Т.о. модулируемая последовательность импульсов идеального импульсного элемента может быть описана уравнением   T (t )    (t  kT ) (2.3). k 0 Она изображена на рис.2.5. t Т 2Т 3Т 4Т 5Т 6Т Модуляция заключается в том, что площади импульсов данной последовательности становятся равными дискретным значениям входной величины x(mT). Очевидно, что любой реальный импульсный элемент с произвольной формой импульсов может быть представлен в виде последовательного соединения идеального импульсного элемента и некоторой непрерывной формирующей цепи, реакция которой на импульсное воздействие равна s(t). Если обозначить через s(p) преобразование Лапласа функции s(t), то структурная схема произвольного импульсного элемента примет вид, изображенный на рис.2.6. X(t) X*(t) y(t) S(p) Рассмотрим вначале работу идеального импульсного элемента. В свете вышеизложенного ясно, что если входной сигнал f(t)=0 при t  0 , то выходной сигнал идеального импульсного элемента может быть представлен в виде  X (t )  f (kT )   T (t )   f (kT )   (t  kT ) * (2.4) k 0 Найдем преобразование Лапласа функции X*(t).  X L( X (t ))  X ( p )  * * * (t )  e  pt dt      f (kT )   (t  kT ) e  pt dt    k 0      k 0  k 0    f ( kT )    (t  kT )  e  pt dt   f ( kT )    (t  kT )  e  pkT dt     k 0  k 0   f ( kT ) e  pkT    (t  kT )dt   f ( kT ) e  pkT Итак,  X * ( p )  L( X * (t ))  L( X ( kT ))   f (kT ) e  pkT (2.5) k 0 Это выражение определяет отношение между решетчатой функцией x(kT) и ее изображением и называется дискретным преобразованием Лапласа. Функцию T(t) как периодическую функцию можно представить в виде разложения в ряд Фурье  C  T (t )  k   k  e  jk 0t (2.6), где  0  2 - частота дискретизации, Ck – коэффициенты ряда Фурье, T определяемые по формуле T T T 1 1 1 Ck    T (t )  e  jk 0t dt    (t )  e  jk 0t dt  T 0 T 0 T T T T 2  T T  jk 0 (  ) T 2  (  )  e d  2 2 T T  jk 0 (  ) 1  jk 0 2 2 T 1  jk 0 2 2 T 2  e    (  )  e  jk 0 d   e    (  )  e d  T 2 T 2 T T   2  1 e T T  jk 0 2 e T jk 0 2 2 T 2 T 1   (  2 )d  T T 2 Итак, имеем 1   jk 0t e T k   Найдем теперь другой вид функции X*(p) 1  1 X * ( p )  L( x (t ) T (t ))  L( x (t )   e jk 0t )  T k   T  T (t )  (2.7).   L( x ( t )  e k   jk 0t ) (2.8) 1    X ( p  jk 0 ) T k   Это соотношение устанавливает связь между изображениями непрерывной функции X(p) и соответствующей ей решетчатой функции X*(p). Подстановкой p=j преобразованию Фурье перейдет от преобразования Лапласа к 1  (2.9).  X ( j ( k0 )) T k   Величина X*(j) называется спектром выходного сигнала идеального импульсного элемента X*(t). Заменим в этом выражении  на   r 0 , где r – целое число 1  X * ( j (  r 0 ))   X ( j ( ( k  r ) 0 ))  , T k   теперь введем новую переменную s  k  r 1  X ( j ( s 0 )  X * ( j ) .  T s  Т.о., получаем X * ( j )  X * ( j (  r 0 )) (2.10). Формула (2.10) означает, что спектр выходного сигнала идеального импульсного элемента является периодической функцией частоты с периодом, равным частоте дискретизации 0. Предположим, что входной сигнал идеального импульсного элемента имеет спектр, изображенный на рис.2.7. Тогда, в соответствии с вышеизложенным, выходной сигнал идеального импульсного элемента будет иметь спектр, представленный на рис.2.8. X * ( j )  Из рисунка видно, что дискретизация по времени вносит искажения в исходный сигнал, выражающиеся в том, что более верхние частоты суммируются с более низкими частотами, и в результате этого исходная форма спектра меняется. Этот эффект называется наложением спектров. Он влечет за собой частичную или полную потерю информации о исходном сигнале. После такой дискретизации исходный сигнал уже никогда не сможет быть восстановлен в полном объеме. Выясним условия, при которых дискретизация по времени не приводит к потере информации о сигнале. Как видно из рис.2.8, если спектр исходного непрерывного сигнала X(j) не ограничен (или не финитен), то искажения будут иметь места всегда. Поэтому предположим, что спектр X(j) финитен, т.е. X(j)=0 при    c , где c – частота среза (рис.2.9). 16 s   4  4 На рис.2.10 представлен результирующий спектр выходного сигнала идеального импульсного элемента при условиях: 0 <2c (а), 0=2c (б), 0>2c (в).    20  19.99  20 При 0>2c происходит наложение смещенных спектров и в результате X*(j) даже в диапазоне частот (-0/2, 0/2) отличается от X(j). При 0>2c и 0=2c наложение смещенных спектров отсутствует и в диапазоне (-0/2, 0/2) X*(j) и X(j) по форме совпадают и различаются лишь масштабом на множитель 1/T. Если такой дискретный сигнал X(nT) пропустить через идеальный фильтр низкой частоты, амплитудно-частотная характеристика которого представлена на рис.2.11, то на выходе получим восстановленный непрерывный сигнал x(t). Определим формулу восстановления. A() T  c -c Из рис.2.11 видно, что частотную характеристику требуемого низкочастотного фильтра можно записать как  T ,    c (2.11). S ( j )    0,    c При условии  0  2 c изображение выходного сигнала идеального импульсного элемента можно записать как Y ( p)  S ( p)  X * ( p) . Переходя к спектрам, получим Y ( j )  S ( j )  X * ( j )  T  X * ( j ) . Найдем y(t) по формуле обратного преобразования Фурье  T 2  1 2  0 2  y (t )  jt  Y ( j )e d    x(mT )e    jmT 2 m 0 T 2  * j t  X ( j )e d    e jt d   x(mT )  m 0 T 2 T 2 0 2 e   2 0 2 T 1   x(mT )    e j ( t  mT )   0 2 2 j (t  mT ) m 0     x(mT )  m 0  j T  (e 2j (t  mT )  0 T 2 ( t  mT )  x(mT )  2j (t  mT )  2 j sin( 0 m 0  2   x(mT )  2 (t  mT )  2 sin( m 0    x(mT )  m 0 sin( 0 0 2 Итак, имеем 2 (t  mT )) (t  mT ) 2 0 2 e j 0 2 ( t  mT ) (t  mT ))  (t  mT ))  ) 0 2 X   * ( j )e jt d  2 j ( t  mT ) d   y (t )   x ( mT )  sin( 0 2 0 (t  mT )) (2.12). (t  mT ) 2 Все вышесказанное суммируется в фундаментальной теореме дискретизации, которая называется еще теоремой Котельникова. Она звучит следующим образом: Непрерывный сигнал, обладающий финитным спектром, ограниченным частотой среза c однозначно представляется своими значениями в равноотстоящих точках, если частота квантования 0 больше или равна 2c. При этом непрерывный сигнал может быть получен из дискретного по интерполяционной формуле (2.12). На практике основная трудность заключается в том, что реальные непрерывные сигналы практически никогда не обладают финитным спектром, т.е., спектр этих сигналов не равен нулю вне полосы частот (-0/2, 0/2). Это приводит к тому, что на вход импульсного элемента поступают гармонические составляющие, не удовлетворяющие теореме Котельникова. Эти составляющие не могут быть корректно обработаны импульсным элементом. Поэтому, та часть выходного сигнала импульсного элемента, которая относится к этим гармоническим составляющим представляет из себя ни что иное, как шум дискретизации, искажающий полезный сигнал. Это искажение может быть проиллюстрировано на примере явления т.н. «наложения частот» (рис.2.12). Пусть гармонический сигнал с частотой 8 Гц дискретизируется с частотой 10 Гц. m 0 1 x d1( n) x d2( nn ) 1 n  nn 3 2 10 Из рис.2.12 видно, что дискретные отсчеты, получившиеся в результате такой дискретизации, нельзя отличить от дискретных отсчетов гармонического сигнала с частотой 2 Гц. Такой эффект, называемый «наложением частот» наблюдается для двух любых гармонических сигналов с частотами f1 и f2 соответственно, когда хотя бы одна из этих частот не соответствует теореме Котельникова и выполняется соотношение f1  f 2  n  f 0 , где f0 – частота дискретизации. Для того, чтобы избежать искажения дискретного сигнала гармоническими составляющими входного аналогового сигнала, не соответствующими теореме Котельникова, все эти высшие гармонические составляющие должны быть отфильтрованы входным аналоговым фильтром до поступления сигнала на вход импульсного элемента. На практике отфильтровать все высшие гармонические составляющие не представляется возможным т.к., в этом случае фильтр должен был бы иметь прямоугольный вид амплитудно-частотной характеристики (рис.2.11), что недостижимо. Поэтому, часть шума дискретизации все-таки поступает на вход системы, ухудшая ее точностные характеристики. Качество фильтрации шума дискретизации зависит от порядка предварительного фильтра и его полосы пропускания. Выходные сигналы дискретной (в том числе и цифровой) системы управления перед подачей на управляемый объект должны быть вновь преобразованы в непрерывные. Это объясняется тем, что большинство систем управления спроектированы в расчете на непрерывные сигналы управления, и подача на них дискретных сигналов будет приводить к чрезмерному износу аналоговых элементов этих систем. Процесс восстановления аналоговых сигналов по их дискретным выборкам называется экстраполяцией. Существует несколько способов экстраполяции. На рис.2.10 представлен спектр дискретного сигнала F*(j). Из рисунка видно, что для полного восстановления аналогового сигнала дискретный сигнал должен быть пропущен через идеальный низкочастотный фильтр с амплитудной характеристикой, показанной пунктиром. В этом случае процесс экстраполяции соответствовал бы формуле (2.12)  y (t )   x ( mT )  sin( 0 2 0 (t  mT )) . (t  mT ) 2 Такой тип экстраполяции называется экстраполяцией Шеннона. Он имеет очень мало практического применения. Причиной этого является очень большая задержка сигнала между входом и выходом, характерная для этого метода. Действительно, в соответствии с (2.12), для того, чтобы точно восстановить значение аналоговой функции y(t) в конечный момент времени t необходимо знать дискретные отсчеты x(mT) для m=0…. Т.о., этот метод экстраполяции может быть реализован лишь посредством запоминания большого числа отсчетов дискретной функции с последующим восстановлением аналоговой функции в соответствии с выражением (2.12). Он не применим в режиме реального времени. Кроме того, этот метод предполагает финитный спектр входного аналогового сигнала, чего реально практически не бывает. Неограниченность спектра реальных аналоговых сигналов приводит к тому, что точно восстановить такой сигнал по его дискретным выборкам невозможно. Можно лишь более или менее точно приблизить результирующий сигнал к его оригиналу. Для режима реального времени пригодны методы экстраполяции, позволяющие восстановить значения функции в моменты времени между двумя последовательными моментами дискретизации kT и (k+1)T на основании известных значений функции во все предшествующие моменты дискретизации kT, (k-1)T, (k-2)T, … и т.д. Известный метод экстраполяции основан на разложении искомой функции xa(t) в ряд на интервале между моментами дискретизации kT и (k+1)T 1 xa (t )  xd ( kT )  xd ( kT )  (t  kT )  xd (kT )  (t  kT ) 2  ... (2.13) 2! Для того, чтобы вычислить коэффициенты ряда (2.13) производные функции xd(t) должны быть получены в моменты выборки t=kT. Поскольку единственная доступная информация об xd(t) – это ее значения в моменты выборки, то m 0 производные должны оцениваться по значения xd(kT). При малых периодах дискретизации с достаточной точностью первую производную можно заменить конечной разностью 1 xd ( kT )  ( xd ( kT )  xd (( k  1)T )) (2.14). T Аналогично, вторую производную можно аппроксимировать как 1 xd (kT )  ( xd (kT )  xd (( k  1)T ))  T (2.15) 1  2 xd (kT )  2 xd (( k  1)T )  xd (( k  2)T ) T Отсюда видно, что чем выше порядок производной, тем большее число предшествующих выборок нужно для ее аппроксимации. Можно показать, что для аппроксимации xd(n)(kT) необходима n+1 предшествующая выборка xd(kT). Накопление большого количества предшествующих выборок определяет большое временное запаздывание реакции системы. Это отрицательно сказывается на устойчивости системы. Поэтому на практике при экстраполяции по методу (2.13), как правило, ограничиваются одним или двумя начальными членами ряда. При сохранении только первого члена ряда уравнение экстраполяции имеет вид (2.16). xa (t )  xd (kT ) Такой метод называется экстраполяцией нулевого порядка. При этом методе экстраполяции значение выходной величины неизменно в течение всего интервала дискретизации (рис.2.13). Как видно из рисунка, такой метод экстраполяции сопряжен с ошибкой, максимальное значение которой равно (2.17). eZOH  max( xa (( k  1)T )  xa (kT ))  T  max xa (t ) Оценим частотные свойства такой экстраполяции. Временную реакцию такого экстраполятора на импульсное воздействие можно описать уравнением 1, 0  t  T . s (t )   0, t  T Эту функцию можно записать через единичную функцию s(t )  1(t )  1(t  T ) (2.18). Переходя в область изображений, найдем передаточную функцию экстраполятора нулевого порядка 1 e Tp 1  e Tp (2.19).   p p p Если подать на вход такого экстраполятора сигнал с выхода идеального импульсного элемента, то выходной сигнал экстраполятора можно вычислить как 1  1  e  pT (2.20). Y ( p)  X * ( p)  S ( p)   X ( p  jk0 )  T k  p При подстановке p=j получим 1  1  e  jT Y ( j )   X ( j  jk 0 )   T k   j T T T T 2 sin 2 ( )  cos 2 ( )  (cos( )  j sin( ))  2 2 2 2    X ( j  jk 0 )  Tj k   T T T 2 sin 2 ( )  2 j sin( ) cos( )  2 2 2    X ( j  jk 0 )  Tj k   T T T sin( )  (cos( )  j sin( ))  2 2 2    X ( j  jk 0 )  T k   2 T sin( )  j T  2   e 2   X ( j  jk 0 ) T k   2 T sin( )  j T  2 Итак, получим (2.21) Y ( j )   e 2   X ( j  jk 0 ) T k   2 Амплитудный спектр выходного сигнала экстраполятора нулевого порядка представлен на рис.2.14. S ( p)  1 F   1 6 2.338 10  50  16  Из рисунка видно, что с помощью экстраполятора нулевого порядка не удается полностью восстановить исходный непрерывный сигнал, т.к. в спектре выходного сигнала присутствуют высшие гармоники, хотя и в уменьшенном виде. Точность экстраполятора нулевого порядка существенно зависит от частоты дискретизации 0. Функцию экстраполятора нулевого порядка на практике играет цифро-аналоговый преобразователь (ЦАП). При реализации двух начальных членов ряда (2.13) получим экстраполятор первого порядка (рис.2.15) xa (t )  xd (kT )  xd (kT )  (t  kT )  (2.22). t  kT  xd (kT )  ( xd (kT )  xd (( k  1)T )) T Т 2Т 3Т 4Т 5Т 6Т 7Т 8Т t Ошибка экстраполяции первого порядка не будет превышать величину (2.23). eFOH  T 2  max xa(t ) Выбор правильного значения периода дискретизации на практике зависит от свойств сигнала, метода восстановления и свойств системы. С одной стороны, уменьшение периода дискретизации приводит к снижению ошибки отработки сигнала задания и уменьшению вычислительного запаздывания системы. Но, с другой стороны, это сопряжено с удорожанием системы из-за применения более быстродействующих АЦП, ЦАП и микропроцессоров. Разумными критериями для выбора периода дискретизации могут служить величина рассогласования между исходным и восстановленным сигналами, а также, требуемая ширина полосы пропускания системы управления. При отработке синусоидального сигнала с частотой  и амплитудой ½ максимальные относительные ошибки восстановления вычисляются по формулам T0  e0max   (2.24) 2 N для экстраполятора нулевого порядка, и (T0 ) 2 2 2 e1max   2 (2.25) 2 N для экстраполятора первого порядка, где N – количество интервалов дискретизации на периоде исходного сигнала. Значения этих ошибок для некоторых, часто встречающихся значений N, представлены в табл.2.1. Число отсчетов за период, N 5 10 20 50 100 200 500 1000 Максимальная относительная ошибка, % Эктраполятор 0 порядка Эктраполятор 1 порядка 60 80 30 19 15 5 6 0.8 3 0.2 1.5 0.05 0.6 0.008 0.3 0.002 Если точность отработки сигнала задания не является превалирующим требованием, то величина периода дискретизации оценивается исходя из требуемой ширины полосы пропускания системы. Частота дискретизации в этом случае зависит от динамических свойств объекта управления и, как правило, может быть выбрана на уровне 10*, где  - ширина полосы пропускания. Лекция № «Аналого-цифровое и цифро-аналоговое преобразование». В микропроцессорных системах роль импульсного элемента выполняет аналого-цифровой преобразователь (АЦП), а роль экстраполятора – цифроаналоговый преобразователь (ЦАП). Аналого-цифровое преобразование заключается в преобразовании информации, содержащейся в аналоговом сигнале, в цифровой код. Цифроаналоговое преобразование призвано выполнять обратную задачу, т.е. преобразовывать число, представленное в виде цифрового кода, в эквивалентный аналоговый сигнал. АЦП, как правило, устанавливаются в цепях обратных связей цифровых систем управления для преобразования аналоговых сигналов обратных связей в коды, воспринимаемые цифровой частью системы. Т.о. АЦП выполняют несколько функций, таких как: временная дискретизация, квантование по уровню, кодирование. Обобщенная структурная схема АЦП представлена на рис.3.1. U(t) Ш Q I U*(n) I – импульсный элемент Q – квантование по уровням Ш - шифратор Рис. 3.1 На вход АЦП подается сигнал в виде тока или напряжения, который в процессе преобразования квантуется по уровню. Идеальная статическая характеристика 3-разрядного АЦП приведена на рис.3.2. 111 110 Ulsb 101 100 011 010 001 0 1/8 2/8 3/8 4/8 5/8 6/8 7/8 FSR Uo UN U UFSR Рис.3. 2 1 Входные сигналы могут принимать любые значения в диапазоне от Umin до Umax, а выходные соответствуют восьми (23) дискретным уровням. Величина входного напряжения, при которой происходит переход от одного зачения выходного кода АЦП к другому соседнему значению, называется напряжением межкодового перехода. Разность между двумя смежными значениями межкодовых переходов называется шагом квантования или единицей младшего значащего разряда (МЗР). Начальной точкой характеристики преобразования называется точка, определяемая значением входного сигнала, определяемого как U 0  U 0,1  0.5U LSB (3.1), где U0,1 – напряжение первого межкодового перехода, ULSB – шаг квантования (LSB – Least Significant Bit). Конечная точка характеристики преобразования соответствует входному напряжению, определяемому соотношением U N  U N 1, N  0.5U LSB (3.2). Область значений входного напряжения АЦП, ограниченная значениями U0,1 и UN-1,N называется диапазоном входного напряжения. U  U N 1, N  U 0,1 (3.3). Диапазон входного напряжения и величину младшего разряда N-разрядного АЦП и ЦАП связывает соотношение U U LSB  N (3.4). 2 1 Напряжение U FSR  U  U LSB  2 N U LSB (3.5) называется напряжением полной шкалы (FSR – Full Scale Range). Как правило, этот параметр определяется уровнем выходного сигнала источника опорного напряжения, подключенного к АЦП. Величина шага квантования или единицы младшего разряда т.о. равна U U LSB  FSR (3.6), 2N а величина единицы старшего значащего разряда U U MSB  FSR  0.5U FSR (3.7). 21 Как видно из рис.3.2, в процессе преобразования возникает ошибка, не превышающая по величине половины величины младшего разряда ULSB/2. Существуют различные методы аналого-цифрового преобразования, различающиеся между собой по точности и быстродействию. В большинстве случаев эти характеристики антагонистичны друг другу. В настоящее время большое распространение получили такие типы преобразователей как АЦП последовательных приближений (поразрядного уравновешивания), интегрирующие АЦП, параллельные (Flash) АЦП, «сигма-дельта» АЦП и др. Структурная схема АЦП последовательных приближений представлена на рис.3.3. 2 Генератор К Uвх + Регистр последовательных приближений Выходной регистр ЦАП ИОН Рис. 3.3 Основными элементами устройства являются компаратор (К), цифроаналоговый преобразователь (ЦАП) и схема логического управления. Принцип преобразования основан на последовательном сравнении уровня входного сигнала с уровнями сигналов, соответствующих различным комбинациям выходного кода и формировании результирующего кода по результатам сравнений. Очередность сравниваемых кодов удовлетворяет правилу половинного деления. В начале преобразования входной код ЦАП устанавливается в состояние, в котором все разряды кроме старшего равны 0, а старший равен 1. При этой комбинации на выходе ЦАП формируется напряжение, равное половине диапазона входного напряжения. Это напряжение сравнивается со входным напряжением на компараторе. Если входной сигнал больше сигнала, поступающего с ЦАП, то старший разряд выходного кода устанавливается в 1, в противном случае он сбрасывается в 0. На следующем такте частично сформированный таким образом код снова поступает на вход ЦАП, в нем устанавливается в единицу следующий разряд и сравнение повторяется. Процесс продолжается до сравнения младшего бита. Т.о. для формирования N-разрядного выходного кода необходимо N одинаковых элементарных тактов сравнения. Это означает, что при прочих равных условиях быстродействие такого АЦП уменьшается с ростом его разрядности. Внутренние элементы АЦП последовательных приближений (ЦАП и компаратор) должны обладать точностными показателями лучше величины половины младшего разряда АЦП. Структурная схема параллельного (Flash) АЦП представлена на рис.3.4. 3 Uвх Uref + R/2 R Ш И Ф Р А Т О Р + ИОН + + R R/2 Рис. 3.4 В этом случае входное напряжение подается для сравнения на одноименные входы сразу 2N-1 компараторов. На противоположные входы компараторов подаются сигналы с высокоточного делителя напряжения, который подключен к источнику опорного напряжения. При этом напряжения с выходов делителя равномерно распределены вдоль всего диапазона изменения входного сигнала. Шифратор с приоритетом формирует цифровой выходной сигнал, соответствующий самому старшему компаратору с активизированным выходным сигналом. Т.о. для обеспечения N-разрядного преобразования необходимо 2N резисторов делителя и 2N-1 компаратор. Это один из самых быстрых способов преобразования. Однако, при большой разрядности он требует больших аппаратных затрат. Точность всех резисторов делителя и компараторов снова должна быть лучше половины величины младшего разряда. Структурная схема АЦП двойного интегрирования представлена на рис.3.5. Uвх SW1 ИОН + - SW2 + - SW3 Управление Счетчик Рис.3.5 4 Выходной регистр Основными элементами системы являются аналоговый коммутатор, состоящий из ключей SW1, SW2, SW3, интегратор И, компаратор К и счетчик С. Процесс преобразования состоит из трех фаз (рис.3.6). Uвх. t Uинт Uсч1 t Ucч2 t t Рис. 3.6 На первой фазе замкнут ключ SW1, а остальные ключи разомкнуты. Через замкнутый ключ SW1 входное напряжение подается на интегратор, который в течение фиксированного интервала времени интегрирует входной сигнал. По истечении этого интервала времени уровень выходного сигнала интегратора пропорционален значению входного сигнала. На втором этапе преобразования ключ SW1 размыкается, а ключ SW2 замыкается, и на вход интегратора подается сигнал с источника опорного напряжения. Конденсатор интегратора разряжается от напряжения, накопленного в первом интервале преобразования с постоянной скоростью, пропорциональной опорному напряжению. Этот этап длится до тех пор, пока выходное напряжение интегратора не упадет до нуля, о чем свидетельствует выходной сигнал компаратора, сравнивающего сигнал интегратора с нулем. Длительность второго этапа пропорциональна входному напряжению преобразователя. В течение всего второго этапа на счетчик поступают высокочастотные импульсы с калиброванной частотой. Т.о. по истечению второго этапа цифровые показания счетчика пропорциональны входному напряжению. С помощью данного метода можно добиться очень хорошей точности, не предъявляя высоких требований к точности и стабильности компонентов. В частности, стабильность емкости интегратора может быть не высокой, поскольку циклы заряда и разряда происходят со скоростью, обратно пропорциональной емкости. Более того, ошибки дрейфа и смещения компаратора компенсируются благодаря тому, что каждый этап преобразования начинается и заканчивается на одном и том же напряжении. Для повышения точности используется третий этап преобразования, когда на вход интегратора через ключ SW3 подается нулевой сигнал. Поскольку на этом этапе используется тот же интегратор и компаратор, то вычитание выходного значения ошибки при нуле из результата последующего измерения позволяет компенсировать ошибки, связанные с измерениями вблизи нуля. Жесткие требования не предъявляются даже к частоте тактовых импульсов, поступающих на счетчик, т.к. фиксированный интервал времени на первом этапе преобразования формируется из тех же самых импульсов. Жесткие требования предъявляются только к току разряда, т.е. к источнику опорного 5 напряжения. Недостатком такого способа преобразования является невысокое быстродействие. Однако, АЦП двойного интегрирования имеют ряд недостатков. Вопервых, интегральная нелинейность операционного усилителя, на котором выполнен интегратор, заметным образом сказывается на нелинейности характеристики всего преобразователя. Другим недостатком этих АЦП является тот факт, что интегрирование входного сигнала занимает в цикле преобразования только часть времени, что ухудшает помехоподавляющие свойства подобных АЦП. В-третьих, такие АЦП обычно содержат много внешних резисторов и конденсаторов, что увеличивает место, занимаемое преобразователем и, как следствие, усиливает влияние помех. Эти недостатки, во многом устранены в структуре сигма-дельта АЦП. Структура такого АЦП представлена на рис.3.7. Uin Ue Ui ∫ + D C Nc Цифровой фильтр Fclk +Uref Udac -Uref Рис.3.7 Основными узлами в ней являются сигма-дельта модулятор и цифровой фильтр. Работа системы основана на вычитании из входного сигнала величины сигнала на выходе ЦАП, полученной на предыдущем такте работы схемы. Полученная разность интегрируется, а затем преобразуется в код с помощью АЦП. Последовательность кодов поступает на цифровой фильтр нижних частот. Наиболее широко используются однобитные сигма-дельта модуляторы, в которых в качестве АЦП используется компаратор, а в качестве ЦАП – аналоговый коммутатор. Принцип действия сигма-дельта АЦП поясняется в таб.1 на примере преобразования входного сигнала, равного 0.6В и 0В при величине опорного напряжения Vref=1В. При этом предполагается, что постоянная времени интегратора численно равна периоду тактовых импульсов. В нулевом периоде выходное напряжение интегратора сбрасывается в нуль. На выходе ЦАП также устанавливается нулевое напряжение. Затем система проходит через показанную в таб.3.1 последовательность состояний. №   Ue   Vin=0.6В Ui c     Udac   6 Ue   Vin=0В Ui c     Vdac                                                                                                                                  Таб.3.1. Преимущества сигма-дельта АЦП выражаются в следующем. Прежде всего, в нем входной аналоговый сигнал подвергается т.н. «передискретизации». Её суть заключается в том, что частота дискретизации входного сигнала превышает частоту выдачи выходного сигнала АЦП. Отношение частот дискретизации выходного и входного сигналов называется коэффициентом передискретизации K. Практически, это означает, что на выход АЦП передается только каждый K-ый отсчет выходного сигнала. Такой процесс прореживания отсчетов дискретного сигнала называется «децимацией». Передискретизация входного сигнала способствует увеличению точности преобразования. Во-первых, она снижает требования ко входному аналоговому фильтру, поскольку переходная полоса АЧХ этого фильтра должна иметь ширину Kfs/2-f0, а не fs/2- f0. Во-вторых, если выходной цифровой фильтр имеет полосу заграждения, начинающуюся с частоты fs/2, то он отфильтровывает большую часть энергии шума квантования, относящуюся к полосе частот fs/2 - Kfs/2 (рис.3.8). Рис.3.8 7 Помимо этого, специфика сигма-дельта модулятора заключается в том, что большая часть энергии шума квантования смещается в область высоких частот (рис.3.9). Для повышения разрешающей способности АЦП на N разрядов необходимо обеспечить коэффициент передискретизации 22N. Рис.3.9 Линейность характеристики преобразования сигма-дельта АЦП выше, поскольку интегратор работает в значительно более узком динамическом диапазоне, и нелинейность операционного усилителя, на котором собран интегратор сказывается значительно меньше. Емкость конденсатора интегратора сигма-дельта модулятора значительно меньше, так, что он может быть изготовлен прямо на кристалле АЦП. Как следствие сигма-дельта АЦП имеет значительно меньше внешних элементов. АЦП характеризуются рядом параметров, позволяющих реализовать выбор конкретного устройства исходя из требований, предъявляемых к системе. Все параметры АЦП можно разделить на две группы: статические и динамические. Первые определяют точностные характеристики устройства при работе с неизменяющимся либо медленно изменяющимся входным сигналом, а вторые характеризуют быстродействие устройства как сохранение точности при увеличении частоты входного сигнала. Уровню квантования, лежащему в окрестностях нуля входного сигнала, соответствуют напряжения межкодовых переходов –0.5ULSB и 0.5ULSB (первый имеет место только в случае биполярного входного сигнала). Однако, в реальных устройствах, напряжения данных межкодовых переходов могут отличаться от этих идеальных значений. Отклонение реальных уровней этих напряжений межкодовых переходов от их идеальных значений называется ошибкой биполярного смещения нуля (Bipolar Zero Error) и ошибкой униполярного смещения нуля (Zero Offset Error) соответственно. При биполярных диапазонах преобразования обычно используют ошибку смещения нуля, а при униполярных – ошибку униполярного смещения. Эта ошибка приводит к параллельному смещению реальной характеристики преобразования относительно идеальной характеристики вдоль оси абсцисс (рис.3.10). 8 111 110 101 100 011 010 001 1/8 2/8 3/8 4/8 5/8 6/8 7/8 UFSR Рис. 3.10 Отклонение уровня входного сигнала, соответствующего последнему межкодовому переходу от своего идеального значения UFSR-1.5ULSB, называется ошибкой полной шкалы (Full Scale Error). Коэффициентом преобразования АЦП называется тангенс угла наклона прямой, проведенной через начальную и конечную точки реальной характеристики преобразования. Разность между действительным и идеальным значением коэффициента преобразования называется ошибкой коэффициента преобразования (Gain Error) (рис.3.10). Она включает ошибки на концах шкалы, но не включает ошибки нуля шкалы. Для униполярного диапазона она определяется как разность между ошибкой полной шкалы и ошибкой униполярного смещения нуля, а для биполярного диапазона – как разность между ошибкой полной шкалы и ошибкой биполярного смещения нуля. По сути дела, в любом случае это отклонение идеального расстояния между последним и первым межкодовыми переходами (равного UFSR-2ULSB) от его реального значения. Ошибки смещения нуля и коэффициента преобразования можно скомпенсировать подстройкой предварительного усилителя АЦП. Для этого необходимо иметь вольтметр с точностью не хуже 0.1 ULSB. Для независимости этих двух ошибок сначала корректируют ошибку смещения нуля, а затем, ошибку коэффициента преобразования. Для коррекции ошибки смещения нуля АЦП необходимо: 1. Установить входное напряжение точно на уровне 0.5 ULSB; 2. Подстраивать смещение предварительного усилителя АЦП до тех пор, пока АЦП не переключится в состояние 00…01. Для коррекции ошибки коэффициента преобразования необходимо: 1. Установить входное напряжение точно на уровне UFSR-1.5 ULSB; 2. Подстраивать коэффициент усиления предварительного усилителя АЦП до тех пор, пока АЦП не переключится в состояние 11…1. Из-за не идеальности элементов схемы АЦП ступеньки в различных точках характеристики АЦП отличаются друг от друга по величине и не равны ULSB (рис.3.11). 9 111 110 101 DNL 100 011 010 001 1/8 2/8 3/8 4/8 5/8 6/8 7/8 UFSR Рис. 3.11 Отклонение расстояния между серединами двух соседних реальных шагов квантования от идеального значения шага квантования ULSB называется дифференциальной нелинейностью (DNL – Differential Nonlinearity). Если DNL больше или равна ULSB, то у АЦП могут появиться так называемые “пропущенные коды” (рис.3.11). Это влечет локальное резкое изменение коэффициента передачи АЦП, что в замкнутых системах управления может привести к потере устойчивости. Для тех приложений, где важно поддерживать выходной сигнал с заданной точностью важно, на сколько точно выходные коды АЦП соответствуют напряжениям межкодовых переходов. Максимальное отклонение центра шага квантования на реальной характеристике АЦП от линеаризованной характеристики называется интегральной нелинейностью (INL – Integral Nonlinearity) или относительной точностью (Relative Accuracy) АЦП (рис.3.12). 111 110 INL 101 100 011 010 001 1/8 2/8 3/8 4/8 5/8 6/8 7/8 UFSR Рис. 3.12 10 Линеаризованная характеристика проводится через крайние точки реальной характеристики преобразования после того, как они были откалиброваны, т.е. устранены ошибки смещения нуля и коэффициента преобразования. Ошибки дифференциальной и интегральной нелинейности скомпенсировать простыми средствами практически невозможно. Разрешающей способностью АЦП (Resolution) называется величина, обратная максимальному числу кодовых комбинаций на выходе АЦП 1 R N (3.8). 2 Этот параметр определяет какой минимальный уровень входного сигнала (относительно сигнала полной амплитуды) способен воспринимать АЦП. Точность и разрешающая способность – две независимые характеристики. Разрешающая способность играет определяющую роль тогда, когда важно обеспечить заданный динамический диапазон входного сигнала. Точность является определяющей, когда требуется поддерживать регулируемую величину на заданном уровне с фиксированной точностью. Динамическим диапазоном АЦП (DR - Dynamic Range) называется отношение максимального воспринимаемого уровня входного напряжения к минимальному, выраженное в дБ (3.9). DR  20 lg 2 N  Этот параметр определяет максимальное количество информации, которое способен передавать АЦП. Так, для 12-разрядного АЦП DR=72 дБ. Характеристики реальных АЦП отличаются от характеристик идеальных устройств из-за неидеальности элементов реального устройства. Рассмотрим некоторые параметры, характеризующие реальные АЦП. Отношением сигнал-шум (SNR – Signal to Noise Ratio) называется отношение среднеквадратического значения входного синусоидального сигнала к среднеквадратическому значению шума, который определяется как сумма всех остальных спектральных компонент вплоть до половины частоты дискретизации, без учета постоянной составляющей. Для идеального Nразрядного АЦП, который генерирует лишь шум квантования SNR, выражаемый в децибелах, можно определить как U FSR U 2 FSR U 2 FSR 1.5U 2 FSR 2 2 8 8 SNR  20 lg  10 lg  10 lg 2  10 lg  2 U LSB 2 2  U FSR  (3.10),  N  12  2     10 lg 1.52 N   10 lg 1.5  20 N lg 2  1.76  6.02 N где N – разрядность АЦП. Так, для 12-разрядного идеального АЦП SNR=74 дБ. Это значение больше значения динамического диапазона такого же АЦП т.к. минимальный уровень воспринимаемого сигнала должен быть больше уровня шума. В данной формуле учитывается только шум квантования и не учитываются другие источники шума, существующие в реальных АЦП. Поэтому, значения SNR для реальных АЦП как правило ниже идеального. Типичным значением SNR для реального 12-разрядного АЦП является 68-70 дБ. Если входной сигнал имеет размах меньше UFSR, то в последнюю формулу нужно внести корректировку 2 11 (3.11), SNR  1.76  6.02 N  KОС где КОС – ослабление входного сигнала, выраженное в дБ. Так, если входной сигнал 12-разрядного АЦП имеет амплитуду в 10 раз меньше половины напряжения полной шкалы, то КОС=-20 дБ и SNR=74 дБ – 20 дБ=54 дБ. Значение реального SNR может быть использовано для определения эффективного количества разрядов АЦП (ENOB – Effective Number of Bits). Оно определяется по формуле SNR  1.76 дБ  K ОС ENOB  (3.12). 6.02 Этот показатель может характеризовать действительную решающую способность реального АЦП. Так, 12-разрядный АЦП, у которого SNR=68 дБ для сигнала с КОС=-20 дБ является на самом деле 7-разрядным (ENOB=7.68). Значение ENOB сильно зависит от частоты входного сигнала, т.е. эффективная разрядность АЦП падает с увеличением частоты. Суммарный коэффициент гармоник (THD – Total Harmonic Distortion) – это отношение суммы среднеквадратических значений всех высших гармоник к среднеквадратическому значению основной гармоники 2 2 2 U 2  U 3  ...  U n (3.13), THD  10 lg 2 U1 где n обычно ограничивают на уровне 6 или 9. Этот параметр характеризует уровень гармонических искажений выходного сигнала АЦП по сравнения с входным. THD возрастает с частотой входного сигнала. Полоса частот полной мощности (FPBW – Full Power Bandwidth) – это максимальная частота входного сигнала с размахом, равным полной шкале, при которой амплитуда восстановленной основной составляющей уменьшается не более чем на 3 дБ. С ростом частоты входного сигнала аналоговые цепи АЦП перестают успевать отрабатывать его изменения с заданной точностью, что приводит к уменьшению коэффициента преобразования АЦП на высоких частотах. Время установления (Settling Time) – это время, необходимое АЦП для достижения номинальной точности после того, как на ее вход был подан ступенчатый сигнал с амплитудой, равной полному диапазону входного сигнала. Этот параметр ограничен из-за конечного быстродействия различных узлов АЦП. Вследствие различного рода погрешностей характеристика реального АЦП является нелинейной. Если на вход устройства с нелинейностями подать сигнал, спектр которого состоит из двух гармоник fa и fb, то в спектре выходного сигнала такого устройства кроме основных гармоник будут присутствовать интермодуляционные субгармоники с частотами mf a  nf b , где m,n=1,2,3,… Субгармоники второго порядка – это fa+fb, fa-fb, субгармоники третьего порядка – это 2fa+fb, 2fa-fb, fa+2fb, fa-2fb. Если входные синусоиды имеют близкие частоты, расположенные вблизи верхнего края полосы пропускания, то субгармоники второго порядка далеко отстоят от входных синусоид и располагаются в области нижних частот, тогда как субгармоники третьего порядка имеют частоты, близкие к входным частотам. Коэффициент интермодуляционных искажений (Intermodulation Distortion) – это отношение суммы среднеквадратических значений 12 интермодуляционных субгармоник определенного порядка к сумме среднеквадратических значений основных гармоник, выраженное в дБ  U 2  U A B 2   IMD 2  10 lg  A B 2 2   U A  UB  (3.14).  U 2 A B 2  U 2 A B 2  U A2 B 2  U A2 B 2   IMD3  10 lg  2 2  U  U A B   Любой способ аналого-цифрового преобразования требует некоторого конечного времени для его выполнения. Под временем преобразования АЦП (Conversion Time) понимается интервал времени от момента поступления аналогового сигнала на вход АЦП до момента появления соответствующего выходного кода. Если входной сигнал АЦП изменяется во времени, то конечное время преобразования АЦП приводит к появлению т.н. аппертурной погрешности (рис.3.13). U U1 U U0 t t0 t1 Рис. 3.13 Сигнал начала преобразования поступает в момент t0, а выходной код появляется в момент t1. За это время входной сигнал успел измениться на величину U. Возникает неопределенность: какому уровню значения входного сигнала в диапазоне U0 – U0+U соответствует данный выходной код. Для сохранения точности преобразования на уровне единицы младшего разряда необходимо чтобы за время преобразования изменение значения сигнала на входе АЦП составило бы не более величины единицы младшего разряда U U max  U LSB  FSR (3.15). 2N Изменение уровня сигнала за время преобразования можно приблизительно вычислить как dU in U  * Tc (3.16), dt t t0 где Uin – входное напряжение АЦП, Tc – время преобразования. Подставляя (3.16) в (3.15) получим dU in U FSR  N  *2 (3.17). dt Tc 13 Если на входе действует синусоидальный сигнал с частотой f U U in (t )  FSR sin( 2ft) (3.18), 2 то его производная будет равна dU in U FSR  2f cos( 2ft) (3.19). dt 2 Она принимает максимальное значение, когда косинус равен 1. Подставляя с учетом этого (3.9) в (3.7) получим U U FSRf  FSR * 2  N , или Tc 2N f  Tc (3.20) Конечное время преобразования АЦП приводит к требованию ограничения скорости изменения входного сигнала. Для того, чтобы уменьшить апертурную погрешность и т.о. ослабить ограничение на скорость изменения входного сигнала АЦП на входе преобразователя устанавливается т.н. «устройство выборки-хранения» (УВХ) (Track/Hold Unit). Упрощенная схема УВХ представлена на рис.3.14. SW Uвх + + UВЫХ C Рис. 3.14 Это устройство имеет два режима работы: режим выборки и режим фиксации. Режим выборки соответствует замкнутому состоянию ключа SW. В этом режиме выходное напряжение УВХ повторяет его входное напряжение. Режим фиксации включается по команде, размыкающей ключ SW. При этом связь между входом и выходом УВХ прерывается, а выходной сигнал поддерживается на постоянном уровне, соответствующем уровню входного сигнала на момент поступления команды фиксации за счет заряда, накопленного на конденсаторе. Т.о., если подать команду фиксации непосредственно перед началом преобразования АЦП, то выходной сигнал УВХ будет поддерживаться на неизменном уровне в течение всего времени преобразования. После окончания преобразования УВХ снова переводится в режим выборки. Работа реального УВХ несколько отличается от идеального случая, который был описан (рис.3.15). 14 U TA 1 2 1- Команда фиксации 2- Ключ замкнут TA – апертурная задержка t Рис. 3.15 Если за время хранения сигнал на входе УВХ значительно изменился по отношению к его выходному сигналу, то требуется конечное некоторое время для того, чтобы после снятия команды фиксации они сравнялись. Интервал времени от момента снятия команды фиксации до момента, когда выходной сигнал УВХ станет равным входному с погрешностью 0.5ULSB, называется временем выборки УВХ (Track/Hold Acquisiton Time). Вследствие конечного быстродействия элементов управления УВХ момент поступления команды фиксации и момент действительного размыкания ключа SW несколько отстоят друг от друга. Интервал времени от момента поступления команды фиксации до действительного момента начала фиксации называется апертурной задержкой УВХ (Aperture Delay). Оно определяется временем срабатывания переключающей схемы УВХ. В реальных УВХ сигнал синхронизации оказывается модулирован по фазе из-за паразитного воздействия шумов, помех питания и цифровых линий. Вследствие этого величина апертурной задержки УВХ может варьироваться в некоторых пределах от выборки к выборке. Диапазон вариации апертурной задержки в последовательных отсчетах называется апертурной неопределенностью (Aperture Jitter). Этот эффект воспринимается как дополнительный шум и снижает действительное отношение сигнал-шум на величину 1 SNRJ  20 lg (3.21), 2ft A где f – частота входного сигнала, tA – величина апертурной неопределенности. В реальных УВХ выходной сигнал не может оставаться абсолютно неизменным в течение конечного времени преобразования. Конденсатор будет постепенно разряжаться маленьким входным током выходного буфера. Для сохранения требуемой точности необходимо чтобы за время преобразования заряд конденсатора не изменился больше чем на 0.5ULSB. Цифро-аналоговые преобразователи устанавливаются обычно на выходе микропроцессорной системы для преобразования ее выходных кодов в аналоговый сигнал, подаваемый на непрерывный объект регулирования. 15 Идеальная статическая характеристика 3-разрядного ЦАП представлена на рис.3.16. Fs 7/8 6/8 5/8 4/8 3/8 2/8 1/8 0 001 010 011 100 101 110 111 Ufsr Рис. 3.16 Начальная точка характеристики определяется как точка, соответствующая первому (нулевому) входному коду U00…0. Конечная точка характеристики определяется как точка, соответствующая последнему входному коду U11…1. Определения диапазона выходного напряжения, единицы младшего разряда квантования, ошибки смещения нуля, ошибки коэффициента преобразования аналогичны соответствующим характеристикам АЦП. С точки зрения структурной организации у ЦАП наблюдается гораздо меньшее разнообразие вариантов построения преобразователя. Основной структурой ЦАП является т.н. “цепная R-2R схема” (рис.3.17). Uref R R 2R 2R 2R 2R 2R imax/2 imax/4 imax/8 n imax/2 imax Рис. 3.17 Легко показать, что входной ток схемы равен Iin=UREF/R, а токи последовательных звеньев цепи соответственно Iin/2, Iin/4, Iin/8 и т.д. Для преобразования входного цифрового кода в выходной ток достаточно собрать 16 все токи плечей, соответствующих единицам во входном коде, в выходной точке преобразователя (рис.3.18). 2R 2R 2R 2R Uвых = I*R R + Uвых Рис. 3.18 Если к выходной точке преобразователя подключить операционный усилитель, то выходное напряжение можно определить как U U OUT  REF K (3.22), 2N где K – входной цифровой код, N – разрядность ЦАП. Все существующие ЦАП делятся на две больших группы: ЦАП с выходом по току и ЦАП с выходом по напряжению. Различие между ними заключается в отсутствии или наличии у микросхемы ЦАП оконечного каскада на операционном усилителе. ЦАП с выходом по напряжению являются более завершенными устройствами и требуют меньше дополнительных элементов для своей работы. Однако, оконечный каскад наряду с параметрами лестничной схемы определяет динамические и точностные параметры ЦАП. Выполнить точный быстродействующий операционный усилитель на одном кристалле с ЦАП часто бывает затруднительно. Поэтому большинство быстродействующих ЦАП имеют выход по току. Дифференциальная нелинейность для ЦАП определяется как отклонение расстояния между двумя соседними уровнями выходного аналогового сигнала от идеального значения ULSB. Большое значение дифференциальной нелинейности может привести к тому, что ЦАП станет немонотонным. Это означает, что увеличение цифрового кода будет приводить к уменьшению выходного сигнала на каком-нибудь участке характеристики (рис.3.19). Это может приводить к нежелательной генерации в системе. 17 Ufsr 7/8 6/8 5/8 4/8 3/8 2/8 1/8 0 001 010 011 100 101 110 111 Рис. 3.19 Интегральная нелинейность для ЦАП определяется как наибольшее отклонение уровня аналогового выходного сигнала от прямой линии, проведенной через точки, соответствующие первому и последнему коду после того, как они отрегулированы. Время установления ЦАП определяется как время, за которое выходной сигал ЦАП установится на заданном уровне с погрешностью не более 0.5ULSB после того, как входной код изменился со значения 00…0 до значения 11…1. Если ЦАП имеет входные регистры, то определенная часть времени установления обусловлена фиксированной задержкой прохождения цифровых сигналов, и лишь оставшаяся часть – инерционностью самой схемы ЦАП. Поэтому время установления измеряют обычно не от момента поступления нового кода на вход ЦАП, а от момента начала изменения выходного сигнала, соответствующего новому коду, до момента установления выходного сигнала с точностью 0.5ULSB (рис.3.20). U +- 0.5ULSB +- 0.5ULSB t ts Рис. 3.20 В этом случае время установления определяет максимальную частоту стробирования ЦАП 1 f MAX  (3.23), tS 18 где tS – время установления. Входные цифровые цепи ЦАП имеют конечное быстродействие. Вдобавок, скорость распространения сигналов, соответствующих различным разрядом входного кода, неодинакова вследствие разброса параметров элементов и схемных особенностей. В результате этого плечи лестничной схемы ЦАП при поступлении нового кода переключаются не синхронно, а с некоторой задержкой один относительно другого. Это приводит к тому, что в диаграмме выходного напряжения ЦАП, при переходе от одного установившегося значения к другому наблюдаются выбросы различной амплитуды и направленности (рис.3.21). Fs 7/8 6/8 5/8 4/8 3/8 2/8 1/8 0 001 010 011 100 101 110 111 Ufsr U 011…1 100…0 011…1 t Рис. 3.21 Амплитуда выброса зависит от количества изменяющихся разрядов кода при переходе его от одного значения к другому. Наибольшие выбросы наблюдаются в середине шкалы, где изменяются сразу все разряды кода (это переходы 011…1 – 100…0 и 100…0 – 011…1). Как видно из рис.3.21, эти выбросы неодинаковы. Таким образом, эти выбросы являются кодозависимыми, т.е. их амплитуда и полярность зависти от соответствующего перехода кодов. Два самых больших выброса, которые образуются в середине шкалы ЦАП появляются дважды за период восстановления синусоидального сигнала. Это означает, что они добавляют в спектр выходного сигнала ЦАП вторую гармонику относительно восстанавливаемого сигнала и субгармоники высшего порядка. Эти паразитные спектральные составляющие очень плохо фильтруются т.к. располагаются либо ниже половины частоты дискретизации, либо не намного выше от нее. Эти 19 выбросы характеризуются таким параметром как область выброса (Glitch Area), который определяет максимальную площадь под кривой выброса и измеряется в пВ сек или нВ сек. Для уменьшения выбросов на выходе ЦАП можно установить УВХ, который вводить в режим фиксации непосредственно перед очередной сменой кода, а выводить из фиксации уже после завершения выброса (рис.3.22). Это позволит значительно уменьшить результирующий коэффициент гармоник выходного сигнала ЦАП. DAC INPUT t DAC OUTPUT t УВХ упр-е t УВХ выход t Рис. 3.22 Согласно алгоритму работы, ЦАП представляет из себя экстраполятор нулевого порядка, частотная характеристика которого может быть представлена выражением  T sin( )  j  sin( )  j T s 2 2 2 (3.24), G ( j )  T e   e s T  s T 2 2 где s – частота дискретизации. Амплитудно-частотная характеристика ЦАП представлена на рис.3.23. H DAC ( j ) - 3.92 Дб  s/2 s Рис. 3.23 20 2 s 3 s Как видно, на частоте 0.5s восстанавливаемый сигнал ослабляется на 3.92 дБ по сравнению с низкочастотными составляющими сигнала. Таким образом, имеет место небольшое искажение спектра восстанавливаемого сигнала. В большинстве случаев это небольшое искажение не сказывается значительно на параметрах системы. Однако, в тех случаях, когда необходима повышенная линейность спектральных характеристик системы (например, в системах обработки звука), для выравнивания результирующего спектра на выходе ЦАП необходимо ставить специальный восстанавливающий фильтр с частотной характеристикой типа x/sin(x). 21 Лекция № «Аналоговые фильтры». Электрическим фильтром называется устройство, предназначенное для выделения и передачи на его выход полезного сигнала из смеси полезных и нежелательных сигналов, поступающих на его вход. Для обработки аналоговых сигналов применяются аналоговые фильтры, а для обработки цифровых сигналов – цифровые фильтры. Аналоговые фильтры можно разделить на сосредоточенные (на элементах с сосредоточенными параметрами) и распределенные (на элементах с распределенными параметрами). В зависимости от типа элементов, используемых для реализации фильтра, можно различать активные и пассивные фильтры. Уравнение фильтра в изображениях Лапласа имеет вид Y ( p)  H ( p) X ( p) (4.1), где X(p) и Y(p) – преобразования Лапласа функций входного и выходного сигналов фильтра соответственно, а H(p) – передаточная функция фильтра. При подстановке в H(p) p=j подучим частотную характеристику фильтра H(j), которая задает соотношение между спектрами входного и выходного сигналов Y ( j )  H ( j )Y ( j ) (4.2). Используя экспоненциальную форму записи функции комплексной переменной можно записать (4.3), H ( j )  H ( j ) e j arg( H ( j ) где H ( j ) - модуль, а arg(H(j)) – фазовый угол опережения функции H(j). Из соотношения (4.1) ясно, что Y ( j )  H ( j )  X ( j ) (4.4). arg( Y ( j ))  arg( H ( j ))  arg( X ( j )) Функцию H ( j ) называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), а arg(j) – фазо-частотной характеристикой (ФЧХ) фильтра. Отсюда следует, что величина выходного сигнала представляет собой произведение входного сигнала на амплитудно-частотную характеристику фильтра. Это означает, что если АЧХ фильтра равна нулю для определенного диапазона частот, то выходной сигнал не будет иметь частотных составляющих в этом диапазоне. Полоса частот, в которой АЧХ фильтра равна нулю, называется полосой задерживания. Аналогично, если АЧХ фильтра в некотором диапазоне частот больше или равна определенному числу K, то этот диапазон часто называется полосой пропускания. Частотные составляющие входного сигнала внутри этого диапазона будут присутствовать в выходном сигнале и будут усилены в K раз. Диапазон частот между полосой пропускания и полосой заграждения называется переходной полосой. В зависимости от взаимного расположения полосы пропускания и полосы заграждения вдоль частотной оси можно определить следующие основные типы частотно-избирательных фильтров: - фильтр нижних частот (ФНЧ) – фильтр с полосой пропускания от 0 до некоторой частоты p и с полосой задерживания от некоторой частоты s до бесконечности, причем p<s; 1 фильтр верхних частот (ФВЧ) – фильтр с полосой пропускания от некоторой частоты p до бесконечности и полосой задерживания от 0 до s, причем s<p; - полосовой фильтр (ПФ) – фильтр с полосой пропускания от некоторой частоты p1 до другой частоты p2 и полосами задерживания от 0 до s1 и от s2 до бесконечности, причем s1<p1<p2<s2; - заграждающий фильтр (ЗФ) – фильтр с полосами пропускания от 0 до p1 и от p2 до бесконечности и полосой задерживания от s1 до s2, причем p1<s1<s2<p2; - всепропускающий фильтр – фильтр с полосой пропускания от 0 до бесконечности (этот фильтр используется для обеспечения требуемого фазового сдвига). Характеристики АЧХ перечисленных типов фильтров представлены на рис.4.1 в порядке перечисления. - [H(j)] [H(j)] 1 1   p s а [H(j)] s p б   [H(j)] 1 1   s1p1p2s2 в p1s1s2p1 г   [H(j)] 1 д   Рис. 4.1 Фазо-частотная характеристика фильтра определяет сдвиг фаз частотных составляющих выходного сигнала от аналогичных составляющих входного сигнала. Первая производная ФЧХ по частоте называется групповым временем задержки (ГВЗ) d arg( H ( j )  ( )   (4.5). d 2 Рассмотрим фильтр, передаточная функция которого равна (4.6). H ( p)  Ke pt0 Если на вход такого фильтра подать сигнал, изображение Лапласа которого равно X(p), то выходной сигнал Y(p) можно определить как (4.7). Y ( p)  H ( p) X ( p)  KX ( p)e  pt0 Этому изображению соответствует оригинал (4.8). y(t )  Kx(t  t0 ) Это означает, что выходной сигнал с точностью до коэффициента K повторяет входной сигнал. Он лишь задержан относительно входного на время t0 (рис.4.2). Y(t) X(t) t0 t Рис. 4.2 Это обеспечивается при линейной ФЧХ фильтра arg( H ( j )  t0 (4.9). При этом ГВЗ фильтра d ( t0 )  ( )    t0 (4.10). d Если спектр входного сигнала фильтра полностью лежит внутри полосы пропускания, то для исключения искажения выходного сигнала относительно входного необходимо чтобы АЧХ и ГВЗ фильтра были бы постоянными, а ФЧХ - линейной на всей ширине полосы пропускания фильтра. Во всех остальных случаях форма выходного сигнала фильтра будет искажаться относительно формы входного сигнала. С помощью аналогового фильтра на сосредоточенных элементах невозможно обеспечить совершенно линейную ФЧХ при всех значениях частоты. Графики АЧХ и ФЧХ идеального ФНЧ представлены на рис.4.3. [H(j    arg[H(j     Рис. 4.3 3   Его передаточную функцию можно представить как 1e  j  для 0     0 (4.11). H ( j )   0  для    0 Однако ни одна линейная схема на сосредоточенных элементах не способна точно воспроизвести такую передаточную функцию. Это объясняется двумя причинами: во-первых, любая линейная схема с сосредоточенными и неизменными во времени параметрами описывается передаточной функцией являющейся рациональной функцией частоты, и, во-вторых, значение рациональной функции не может иметь постоянную величину в пределах какойлибо полосы частот, если оно не характеризуется постоянной величиной повсюду. Поэтому возможно лишь искать аппроксимацию (4.11) в виде физически реализуемой передаточной функции. При этом необходимо ослабить требования к частотной характеристике фильтра. Эти ослабления касаются конечной неравномерности АЧХ в полосе пропускания, ее ненулевого значения в полосе задерживания и конечной скорости наклона АЧХ в переходной полосе. Все вышеописанные допуски демонстрируются на рис.4.4. [H(j)] 1 p s  Рис. 4.4 В общем виде передаточная функция реализуемого фильтра нижних частот может быть представлена в виде K H ( p)  (4.12), 1  c1 p  c2 p 2  ...  cn p n где c1, c2, …, cn – положительные действительные коэффициенты. Порядок фильтра определяется максимальной степенью переменой p. Полином знаменателя можно разложить на множители первого и второго порядка. Тогда в общем виде можно записать K H ( p)  (4.13). 2 (1  a1 p  b1 p )(1  a 2 p  b2 p 2 )... Для множителей первого порядка коэффициент bi равен нулю. Таким образом фильтр произвольного порядка можно составить из последовательного соединения звеньев первого и второго порядка. Рассмотрим звено первого порядка, схема которого представлена на рис.4.5. 4 Рис. 4.5 Передаточная функция такого звена равна 1 H ( p)  1  pRC АЧХ и ФЧХ такого звена представлены на рис.4.6. (4.14). 1 MODUL H    0.708 0.5 0.1 1 10 100 1 10 100 1 10 3  ARGUM  H    1 2 0.1 1 10 3  Как видно, АЧХ монотонно убывает в полосе пропускания с ростом частоты, а полосе заграждения имеет наклон 20 дБ на декаду или 6 дБ на октаву. Под декадой понимается диапазон частот, соответствующий десятикратному увеличению частоты. Под октавой понимается диапазон частот, соответствующий двукратному увеличению частоты. В общем виде передаточную функцию ФНЧ первого порядка можно записать в виде K H ( p)  (4.15), 1 p 1 0 где K – коэффициент усиления постоянного сигнала, 0 – частота полюса. Звенья устойчивых ФНЧ первого порядка всегда имеют вещественные отрицательные корни. При =0 модуль передаточной функции фильтра снижается на 3 дБ по сравнению с K, а аргумент равен –45 градусов. Частота, при которой АЧХ снижается на 3 дБ по сравнению с K называется частотой среза ФНЧ. У ФНЧ первого порядка она совпадает с частотой полюса. Если необходимо получить более быстрое уменьшение коэффициента передачи, 5 можно соединить последовательно n звеньев ФНЧ первого порядка. Передаточная функция такой системы имеет вид K (4.16), H ( p)  n 1 2 (1  p )(1  p )...(1  p) 0 0 0 где 1, 2, …, n – действительные положительные коэффициенты. Такой фильтр n-го порядка имеет наклон АЧХ в переходной полосе 20n дБ на декаду или 6n дБ на октаву. Все корни передаточной функции (4.16) являются отрицательными и действительными. Это не позволяет обеспечить крутого перелома АЧХ на краю полосы пропускания. Если 1   2  ...   n  (4.17), 2 1 то частота среза всего фильтра n-го порядка будет в 1/ меньше частоты среза отдельного звена (рис.4.7). n 1  MODUL H4     0.5 0.708 0.1 1 10 100 1 10 100 1 10 3   ARGUM H4     5 0.1 1 10 3  Такой фильтр называется фильтром с критическим затуханием. Более крутой спад АЧХ на краю полосы пропускания можно обеспечить если реализовывать фильтр из звеньев второго порядка. Схема пассивного ФНЧ второго порядка показана на рис.4.8. Рис. 4.8 6 Его передаточная функция равна 1 (4.18). 1  RCp  LCp2 Такой ФНЧ имеет наклон АЧХ в переходной полосе 40 дБ на декаду или 12 дБ на октаву. В общем виде передаточную функцию ФНЧ второго порядка можно записать в виде K H ( p)  (4.19), 1 2 1 p  p 1  pQ p  p2 H ( p)  где K – коэффициент передачи постоянного сигнала, p – частота полюса, Qp – добротность полюса. Добротность полюса – параметр, характеризующий склонность фильтра к колебательности. При Q p  1 полюса передаточной 2 функции фильтра вещественные и его АЧХ в полосе пропускания имеет монотонный характер (рис.4.9). В этом случае выражение для передаточной функции ФНЧ второго порядка можно разложить на два сомножителя первого порядка. 10 1   0.1 MODUL H2   1   0.01 MODUL H2   5   1 10 3 4 MODUL H2   10   1 10 MODUL H2   0.25   0.708 1 10 5 1 10 6 1 10 7 0.1 1 10 100    ARGUM  H2   1   ARGUM  H2   5   ARGUM  H2   10   ARGUM H2   0.25   1 2 3 0.1 1 10 100  При Q p  1 полюса передаточной функции фильтра становятся комплексно2 сопряженными, а на АЧХ появляется выброс на частоте 7 r   p 1  1 2 2Q p (4.20). Значение коэффициента передачи на этой частоте равно KQ p Kr  1 1 2 4Q p (4.21). При этом частота среза по уровню –3 дБ составляет  3дБ   p (1  1 1 2 )  (1  ) 1 2 2 2Q p 2Q p (4.22). На частоте p аргумент передаточной функции равен –90 градусов. Как видно из рис.4.9 меняя настройки ФНЧ второго порядка можно по разному аппроксимировать частотную характеристику идеального фильтра. Наиболее известными и часто используемыми видами аппроксимации характеристик идеального фильтра являются: - аппроксимация Баттерворта (Butterworth S.); - аппроксимация Чебышева; - аппроксимация Бесселя (Bessel). Если в выражении для передаточной функции ФНЧ n-го порядка произвести замену p=j, то получим выражение для частотной характеристики ФНЧ K H ( j )  (4.23) 1  c1 j  c2 ( j ) 2  ...  cn ( j ) n Можно показать, что квадрат модуля частотной характеристики ФНЧ является функцией 2 или четной функцией  K2 2 (4.24). H ( j )  1  d 2 2  d 4 4  ...  d 2 n 2 n Пусть для определенности полоса пропускания ФНЧ ограничена чавстотой 1 рад/секунду (т.е. p=1). При аппроксимации Баттерворта основной 2 задачей является обеспечение максимально горизонтальной кривой H ( j ) внутри полосы пропускания (т.е.при   1 ). Для выполнения такого требования необходимо, чтобы функция H ( j ) зависела только от старшей степени . 2 Это связано с тем, что при   1 младшие степени  вносят большой вклад в знаменатель (4.24) и, следовательно приводят к существенному уменьшению коэффициента передачи фильтра. Таким образом, для максимально плоской АЧХ в полосе пропускания будем иметь K2 2 (4.25). H ( j )  (1  d 2 n 2 n ) Коэффициент k2n определяется из условия снижения коэффициента передачи фильтра на 3 дБ при частоте =1, т.е. K2 K2  (4.26), 2 1  d 2n 8 откуда следует, что d2n=1. Окончательно для квадрата модуля частотной характеристики фильтра Баттерворта будем иметь K2 2 (4.27). H ( j )  (1   2n ) Для получения коэффициентов передаточной функции фильтра Баттерворта nго порядка достаточно приравнять коэффициенты (4.23) и (4.26). Таким образом можно вычислить полиномы Баттерворта n-го порядка, которые стоят в знаменателе частотной характеристики фильтра Баттерворта n-го порядка. АЧХ и ФЧХ нормированных фильтров Баттерворта различных порядков представлены на рис.4.10.  MODUL MODUL MODUL MODUL MODUL MODUL 0.708 10 1 0.1 0.01 HB1    3 1 10 4  1 10 HB2     5 1 10 6 1 10 HB3    1 10 7 8 1 10 HB4    1 10 9 10 1 10 11 HB5    1 10 12 1 10  13 HB6    1 10 14 1 10 15 1 10 16 1 10 17 1 10 18 1 10 19 1 10 0.1       1 10   ARGUM  HB2    ARGUM  HB3    ARGUM  HB4    1 10 3  ARGUM HB1    100 2 4 6 0.1 1 10 100 1 10 3  При любом порядке для фильтра Баттерворта справедливы соотношения 2 2 2 H ( j 0)  1, H ( j1)  0.5, H ( j)  0 (4.28). Отсюда следуют свойства фильтров Баттерворта: - АЧХ фильтра Баттерворта любого порядка монотонно убывает с ростом частоты, т.е. имеет максимальное значение при =0; - При =1, т.е. на частоте среза ослабление сигнала для фильтра Баттерворта любого порядка составляет –3 дБ; 9 Первые (2n-1) производные модуля частотной характеристики фильтра Баттерворта равны нулю при =0. По этой причине фильтры Баттерворта называют фильтрами с максимально плоскими АЧХ. Крутизна спада АЧХ фильтра Баттерворта n-го порядка в переходной полосе составляет 20n дБ на декаду или 6n дБ на октаву. При аппроксимации по Баттерворту основное внимание уделялось обеспечению максимально плоской АЧХ в области низких частот. При этом перелом АЧХ на границе полосы пропускания получается не очень резкий. Во многих случаях можно пожертвовать в некоторых пределах равномерностью АЧХ в на низких частотах взамен на более резкий спад характеристики на границе полосы пропускания. Эта задача решается при аппроксимации частотной характеристики идеального фильтра полиномами Чебышева. Полином Чебышева n-го порядка определяется выражением (4.29). Tn ( )  cos( n arccos  ) Чтобы доказать, что Tn() является полиномом  введем промежуточную переменную (4.30). x  arccos  Тогда (4.31). Tn ( )  cos nx Для различных значений n получим T0 ( )  cos 0  1, - T1 ( )  cos x  cos(arccos  )   , (4.32). T2 ( )  cos 2 x  2 cos 2 x  1  2 2  1, T3 ( )  cos 3x  3 cos x  4 cos 3 x  3  4 3 . Рекуррентная формула полинома Чебышева имеет вид Tn1 ( )  2Tn ( )  Tn1 ( ), n  1,2,... (4.33). С помощью нее можно получить выражение полинома Чебышева любого порядка. Графики полиномов Чебышева различных порядков представлены на рис.4.11. 1.5 1.5 T 0  T 1  1 T 2  T 3  T 4  0.5 T 5  T 6  T 7  T 8  0.5 T 9  1 1 0.5 1  10 1.5 2 2 Полиномы Чебышева имеют следующие свойства: 0  Tn ( )  1 при 0    1 Tn ( )  1 при   1 - - (4.34) Tn() монотонно возрастает при >1 и при всех n; Tn() является нечетным полиномом  если n нечетно и наоборот – четным полиномом  если n четно; Tn (0)  0, когда n нечетно, Tn (0)  1, когда n четно. Для   1 значение функции arccos является вещественным углом. Следовательно Tn() представляет собой косинус вещественного угла. Это означает, что значение Tn() периодически изменяется в пределах 0т –1 до 1. Для   1 функция arccos представляет собой мнимую величину и Tn() является гиперболическим косинусом вещественного угла и изменяетс яв пределах от 0 до бесконечности. Фильтр Чебышева имеет квадрат модуля частотной характеристики, определяемый выражением K 2 2 H ( j )  (4.35), 2 1   2Tn ( ) где  - свободный параметр, который устанавливает величину неравномерности АЧХ в полосе пропускания. При постоянном H (0)  K 2 2 H (0)  K 2 для нечетных n, 2 Для четных n (4.36). 1 Свободный коэффициент  выбирается так, чтобы при =0 выполнялось 2 условие H (0)  K 2 . Отсюда следует, что =1 для фильтров нечетного порядка 2 и =1+2 для четного порядка. Приравняв коэффициенты (4.35) и (4.23) можно вычислить коэффициенты передаточной функции фильтров Чебышева n-го порядка. АЧХ фильтров Чебышева различных порядков представлены на рис.4.12. 11   0  0.01  10 1.5   MODUL HCH2    MODUL HCH3    MODUL HCH4    MODUL HCH5    MODUL HCH6    MODUL HCH1    1 0.5 0.708 0.01 0.1   0  0.1  1000 1 10    ARGUM HCH2    ARGUM HCH3    ARGUM HCH4    ARGUM HCH1    2 4 6 0.1 1 10 100 1 10 3  В полосе пропускания АЧХ колеблется в перделах от Amin до Amax, причем Amax  1 2 (4.37). Amin Отсюда Amax  K 1   2   для четных n,  Amin  K (4.38). Amax  K    для нечетных n. Amin  K 2  1  В переходной полосе АЧХ фильтра Чебышева монотонно убывает со скоростью 20n дБ на декаду или 6n дБ на октаву, где n – порядок фильтра. Частота среза, соответствующая ослаблению сигнала на –3дБ зависит от величины , т.е. от неравномерности АЧХ в полосе пропускания и не равна в общем случае 1 рад/с. Для возможности сопоставления характеристик фильтров разных типов АЧХ всех фильтров обычно нормируют по одной и той же частоте среза -3дБ=1 рад/с. Для фильтров Чебышева это нормирование осуществляется 12 коррекцией коэффициентов полиномов Чебышева таким образом, чтобы при различных  ослабление сигнала на частоте 1рад/с составляло –3 дБ. При сравнении одинаково нормированных фильтров Баттерворта и Чебышева можно заметить, что при одном и том же порядке фильтр Чебышева имеет более резкий спад АЧХ в зоне частоты среза. При аппроксимации Баттерворта и Чебышева накладывались условия на вид АЧХ фильтра, не учитывая влияния этих условий на ФЧХ. И, действительно, ФЧХ фильтров Баттервотра и Чебышева отличаются от линейных. Для обеспечения максимального приближения ФЧХ фильтра к идеальной (т.е. линейной) необходимо при аппроксимации наложить условие не равенства нулю первой производной ФЧХ и равенства нулю как можно большего числа производных ФЧХ высшего порядка при =0. Рассмотрим снова звено низкой частоты второго порядка. Его передаточная функция равна K H ( p)  (4.39). 1  a1 p  b1 p 2 Уравнение ФЧХ такого звена будет иметь вид a1  ( )  arg( H ( j ))  arctg (4.40). 1  b1 2 Групповое время задержки определяется как a1 (1  b1 2 ) d ( )  ( )    (4.41). 2 2 d 1  ( a1  2b1 ) 2  b1  4 При <<1 последнее слагаемое в знаменателе можно не учитывать. Тогда получим a1 (1  b1 2 ) d ( )  ( )    (4.42). 2 d 1  ( a1  2b1 ) 2 Для выполнения поставленных условий необходимо чтобы это выражение не зависело от частоты. Это возможно если коэффициенты при 2 в числителе и знаменателе совпадают 2 b1  a1  2b1 , a1  3b1 или (4.43). Для определения коэффициентов необходимо еще одно условие. Им может условие равенства ГВЗ на постоянном сигнале единице (4.44).  (0)  a1  1 Решая систему уравнений (4.43) и (4.44) получим требуемые значения коэффициентов передаточной функции. Аналогичным образом можно получить полиномы более высокого порядка, обеспечивающие линейную ФЧХ. Такие полиномы называются полиномами Бесселя, а фильтры на их основе – фильтрами Бесселя или фильтрами Томсона (Thomson W.E.). АЧХ и ФЧХ фильтров Бесселя представлены на рис.4.13. 2 13   0  0.01  10 1   MODUL HBS2    MODUL HBS3    MODUL HBS4    MODUL HBS5    MODUL HBS6    MODUL HBS1    0.5 0.708 0.01   0  0.1  1000 0.1 1 10  1   ARGUM HBS2    ARGUM HBS3    ARGUM HBS4    ARGUM HBS1    2 3 4 0.5 1 1.5 2  Фильтры Бесселя обладают самой линейной ФЧХ из всех рассмотренных типов фильтров. Однако, АЧХ фильтров Бесселя имеет самый пологий спад на границе полосы пропускания. Интенсивность спада в переходной полосе составляет 20n дБ на декаду или 6n дБ на октаву. На границе полосы пропускания (=1) ослабление сигнала не равно –3 дБ. Для возможности сопоставления характеристик различных типов фильтров полиномы Бесселя обычно нормируют так, чтобы ослабление сигнала на границе полосы пропускания составляло бы –3 дБ. Для сравнения свойств различных фильтров АЧХ и ФЧХ фильтров Баттерворта, Чебышева и Бесселя предствалены на рис.4.14. 14 1.5   MODUL HCH4    MODUL HBS4    MODUL HB4    1 0.708 0.5 0.01 0.1   ARGUM  HCH4    ARGUM  HBS4    ARGUM HB4    1 10  2 4 6 0.1 1 10 100 1 10 3  Нормирование всех типов фильтров для реальных значений полос пропускания осуществляется заменой переменной в передаточной функции фильтра  (4.45), 0 где 0 – истинное значение частоты среза. Например нормированный (т.е. с частотой среза 1 радиан в секунду) ФНЧ Баттерворта второго порядка имеет передаточную функцию 1 H ( p)  2 (4.46). p  1.4142 p  1 Для того, чтобы спроектировать ФНЧ Баттерворта второго порядка с частотой среза 1 КГц необходимо в уравнении (4.46) сделать замену переменной  p p  2  (1 КГц) 6283.1853 При подстановке (4.47) в (4.46) получим p 15 (4.47). 1 H ( p)   p p 2 ( )  1.4142 1 (4.48). 6283.1853 6283.1853 1  0.00000002533 p 2  0.000225 p  1 Фильтры Баттерворта, Чебышева и Бесселя получили наибольшее распространение. Среди других типов фильтров, встречающихся на практике можно отметить следующие: - Фильтры Баттерворта-Бесселя. Эти фильтры имеют промежуточную характеристику между максимально плоской АЧХ фильтров Баттерворта и линейной ФЧХ фильтров Бесселя, в результате чего получается фильтр с приемлемыми значениями равномерности амплитудной и линейности фазовой характеристики; - Фильтры Лежандра (или оптимально монотонные). Они сочетают в себе свойства фильтров Баттерворта и Чебышева. Их АЧХ не столь равномерна как у фильтров Баттерворта, но не содержит пульсаций, характерных для фильтров Чебышева. Более крутой спад, чем у фильтров Баттерворта достигается за счет ухудшения равномерности АЧХ; - Инверсные фильтры Чебышева. АЧХ этих фильтров монотонна в полосе пропускания, но имеет равномерные пульсации в полосе подавления; - Фильтры Золотарева-Кауэра (эллиптические). АЧХ этих фильтров имеет пульсации как в полосе пропускания, так и вполосе подавления. При этом достигается максимальная крутизна спада АЧХ. Для того, чтобы из нормированного ФНЧ получить ФВЧ с аналогичными свойствами частотной характеристики необходимо в уравнении передаточной функции ФНЧ сделать замену переменной 1 p (4.49). p Так, из нормированного ФНЧ Баттерворта (4.46) получается нормированный ФВЧ Баттерворта с передаточной функцией 1 p2 (4.50). H ( p)   2 p 2  1.4142 p  1 1 1    1.4142  1 p  p Для того, чтобы денормировать эту характеристику для частоты среза 1 КГц необходимо опять сделать замену переменной (4.47). При этом получим p2 H ( p)  2 (4.51). p  8885,6807 p  39478417,5141 Звено ФВЧ второго порядка имеет передаточную функцию вида Kp 2 (4.52), H ( p)  p 2 2 p  p p Qp где p – частота полюса; Qp – добротность полюса, K – коэффициент передачи на высокой частоте. 16 Для того, чтобы из нормированного ФНЧ получить ПФ с аналогичными свойствами частотной характеристики необходимо в уравнении передаточной функции нормированного ФНЧ сделать замену переменной 2 p 2  0 (4.53), p Bp где 0 – средняя частота полосы пропускания; B – ширина полосы пропускания, определяемая как разность между двумя частотами среза p1 и p2 по уровню –3 дБ, которые расположены симметрично относительно 0. Это преобразование удваивает порядок фильтра. Для того, чтобы из нормированного ФНЧ получить ЗФ с аналогичными свойствами частотной характеристики необходимо в уравнении передаточной функции нормированного ФНЧ сделать замену переменной Bp (4.54), p 2 2 p  0 где 0 – средняя частота полосы заграждения; B – ширина полосы заграждения, определяемая как разность между двумя частотами среза p1 и p2 по уровню –3 дБ. Таким образом, подбирая различные комбинации коэффициентов передаточных функций различных типов фильтров можно получить фильтр с требуемыми частотными характеристиками. Как правило исходными данными для проектирования реальных фильтров являются (рис.4.15): - тип фильтра (ФНЧ, ФВЧ, ПФ или ЗФ); - частота (или частоты) среза p; - максимально возможная неравномерность АЧХ в полосе пропускания Amax; - минимально возможное ослабление в полосе заграждения Amin; - начальная частота зоны заграждения s. 1    p s  Рис. 4.15 Требуемый порядок фильтра можно определить из следующих соотношений: - для фильтра Баттерворта 10 0.1 Amin  1 lg( 0.1 Amax ) 1 n  10 (4.55); 2 lg( s ) p 17 - для фильтров Чебышева 10 0.1 Amin  1 arch 10 0.1 Amax  1 n  arch ( s ) (4.56). p Как правило, при одних и тех же исходных данных требуемый порядок фильтра Чебышева оказывается меньше чем порядок фильтра Баттерворта. В общем случае все рассмотренные типы фильтров обеспечивают наклон АЧХ за границей полосы пропускания 20n дБ на декаду или 6n дБ на октаву, где n – порядок фильтра. Для расчета предварительного фильтра АЦП полоса пропускания фильтра принимается равной полосе пропускания системы a, начальная частота полосы заграждения – половине частоты дискретизации. При этом требуемый порядок фильтра определяется из соотношения D n (4.57), fs 6 log 2 ( ) 2 fa где fs – частота дискретизации АЦП, fa - полоса пропускания системы, D – динамический диапазон АЦП. В формулах (4.55), (4.56), (4.57) получившееся n округляется до большего целого. Пассивные цепи первого и второго порядков, рассмотренные выше обладают, в общем случае, весьма высоким выходным и низким входным сопротивлением. Это осложняет каскадное соединение пассивных звеньев. Кроме того, реализация звеньев второго порядка на низких частотах сопряжено с использованием больших индуктивностей, которые имеют большие габаритные размеры, сложны в изготовлении и обладают плохими электрическими характеристиками. Применение индуктивностей при реализации фильтров можно избежать, используя RC-схемы с активными элементами или активные фильтры. В качестве активных элементов удобнее всего использовать операционные усилители. В силу своих особенностей схемы на операционных усилителях имеют низкое выходное и высокое входное сопротивление, что упрощает реализацию на их основе фильтров высоких порядков. В 1955 году Саллен (Sallen R. P.) и Ки (Key E. L.) из Массачусетского технологического института опубликовали каталог из 18 активных схем, реализующих передаточные функции фильтров. Сложность реализации звена фильтра зависит в первую очередь от его добротности. Звенья с относительно низкой добротностью (Q  0.5 – 20) могут быть реализованы с помощью схемы на одном операционном усилителе. Однако, с повышением добротности, как правило, возрастает чувствительность схемы к изменению параметров компонентов. Все реальные компоненты имеют допуски на значения своих номинальных характеристик, которые, к тому же, зависят от температуры и других факторов окружающей среды и изменяются с течением времени. Это приводит к тому, что реальный фильтр с предполагаемой высокой добротностью, реально может обладать характеристикой, далекой от расчетной. Для ослабления этого эффекта при реализации звеньев с высокой добротностью приходится использовать более сложные схемы на нескольких операционных усилителях. Наибольшее распространение для звеньев с низкой и средней 18 добротностью получила схема на одном усилителе, которая называется схемой Саллена и Ки (рис.4.16). Рис. 4.16 Для этой схемы, с учетом свойств идеального операционного усилителя, можно записать следующие уравнения 1 U x  U out U in  U x U  U out K   x , R1 R2 pC2 Ux  1 1 U out U out K  K , R2 pC1 (4.58), R3  R4 R 1 3 R4 R4 где K – коэффициент передачи на постоянном сигнале. После подстановки этих выражений одно в другое можно найти передаточную функцию схемы в виде U out ( p ) K  2 (4.59). U in ( p ) p R1 R2 C1C2  p(C1 ( R1  R2 )  (1  K ) R1C2 )  1 Таким образом, схема имеет передаточную функцию звена НЧ второго порядка со следующими характеристиками 1 0  , R1 R2C1C2 K 1  Q R2C1  R1C2 R1C1 RC  (1  K ) 1 2 , R2 C2 R2C1 (4.60). H0  K Для приведения передаточной функции в соответствие с табличным аппроксимирующим полиномом необходимо осуществить нормализацию передаточной функции по частоте. Это осуществляется заменой переменной ppp, где p – реальная частота среза фильтра. При этом передаточная функция (4.59) примет вид U out ( p ) K  2 (4.61). 2 U in ( p ) p R1 R2C1C2 p  p(C1 ( R1  R2 )  (1  K ) R1C2 ) p  1 19 Теперь можно поставить в соответствие табличным коэффициентам соответствующих полиномов аппроксимации коэффициенты передаточной функции a1  (C1 ( R1  R2 )  (1  K ) R1C2 ) p , b1  R1 R2C1C2 p , 2 (4.62). H0  K Видно, что имеются пять независимых переменных R1, R2, C1, C2, K при трех уравнениях. Первый путь упрощения расчетов состоит в принятии условия R1=R2=R, C1=C2=C. При этом получим b RC  1 , p (4.63). R3 a1 1 K 1  3  3 R4 Q b1 В этом случае коэффициент передачи на постоянном сигнале H0=K не является свободным параметром, а зависит от добротности фильтра. При увеличении коэффициента усиления усиливается зависимость характеристики фильтра от разброса параметров элементов. Второй путь упрощения расчетов состоит в принятии условия K=1. При этом резистор R3 превращается в перемычку, а R4 не нужен вообще. При этом передаточная функция каскада принимает вид U out ( p ) 1 (4.64).  2 2 U in ( p ) p R1 R2C1C2 p  p(C1 ( R1  R2 )) p  1 Если C1 и C2 заданы, то a1C2  a1 C2  4b1C1C2 (4.65). 2 p C1C2 Чтобы значения R1 и R2 были действительными должно выполняться условие C2 4b1 (4.66).  C1 a12 Другой часто используемой схемой для реализации фильтров со средней добротностью является схема с многопетлевой обратной связью (рис.4.17). 2 2 R1  R2  Рис. 4.17 20 Передаточная функция схемы имеет вид R2 U out ( p ) R1  RR 2 U in ( p ) p 2 R2 R3C1C2 p  p( R2  R3  2 3 )C1 p  1 R1 Приравняв коэффициенты этой передаточной функции аппроксимирующего полинома, получим H 0   R2 , R1 a1  ( R2  R3  R2 R3 )C1 p , R1 (4.67). коэффициентам (4.68). b1  R2 R3C1C 2 p . Если значения C1 и C2 заданы, то сопротивления резисторов можно вычислить по следующим формулам 2 a C  a1 C2  4C1C2 b1 (1  H 0 ) R2  1 2 , 2 p C1C2 2 R1  2 R2 ,  H0 (4.69). b1 .  p C1C2 R2 Для того чтобы значения сопротивления были действительными, должно выполняться условие C2 4b1 (1  H 0 ) (4.70).  2 C1 a1 Существуют модификации схемы Саллена-Ки и схемы с многопетлевой обратной связью для ФВЧ, ПФ, ЗФ. Эти схемы могут применяться при необходимости обеспечить малую или среднюю добротность (Q20). При необходимости обеспечить большую добротность необходимо использовать более сложные схемы фильтров. Как упоминалось ранее, фильтр любого порядка можно получить последовательным соединением звеньев первого и второго порядка. Необходимо заметить, что при разложении передаточной функции фильтра n-го порядка с любой из рассмотренных выше аппроксимаций на сомножители первого и второго порядка, звенья, соответствующие этим сомножителям, сами по себе не являются фильтрами с такого же типа аппроксимацией. Т.е., если фильтр Баттерворта четвертого порядка представить в виде последовательного соединения двух фильтров второго порядка, то эти фильтры по отдельности не являются фильтрами Баттерворта второго порядка (они имеют другую частоту среза и частотную характеристику) и образуют фильтр Баттерворта лишь при совместной работе. С теоретической точки зрения порядок включения отдельных звеньев первого или второго порядка в единую цепочку, образующую фильтр высокого порядка может быть произвольным. Частотная характеристика результирующего фильтра в любом случае будет одной и той же. На практике, однако, существуют различные соображения о последовательности соединения звеньев фильтров. С точки зрения уменьшения R3  2 21 вероятности перегрузки схемы, лучше расположить эти фильтры в порядке возрастания частоты среза. В противном случае уже первый каскад может перегрузиться, тогда, как на выходе второго каскада уровень сигнала будет значительно меньше предельного. Дело в том, что сомножители с более высокой частотой среза, как правило, обладают более высокой добротностью полюсов и их АЧХ имеет подъем вблизи частоты среза. Это иллюстрирует АЧХ пяти звеньев фильтра Чебышева десятого порядка с неравномерностью 0.5 дБ, приведенные на рис.4.18. 4 4   MODUL H CH101    MODUL H CH102    MODUL H CH103    MODUL H CH104    MODUL H CH105    MODUL H CH10    3 2 1 0.708  13 2.655 10 0.01 0.1  0.01 1 10 3 Другая точка зрения на порядок расположения звеньев фильтра связана с обеспечением минимального уровня шумов на выходе. В этом случае последовательность подключения фильтров должна быть обратной, поскольку наличие фильтра с наименьшей частотой среза в конце цепочки ослабляет шумы предыдущих каскадов. 22 Лекция № «Нормализация аналоговых сигналов» Требуемая точность и динамический диапазон цифровой системы управления определяют разрядность АЦП и отношение сигнал-шум на его входе. Конкретный тип АЦП, в свою очередь определяет диапазон изменения сигнала на своем входе. Однако, аналоговые сигналы обратных связей, поступающие с датчиков системы, в общем случае, не согласованы по уровню с используемым АЦП. Кроме того, на полезные сигналы обратных связей налагаются сигналы помех конечной величины, определяющие конечное отношение сигнал-шум на входе системы. Это отношение может быть значительно меньше, чем значение, требуемое в соответствии с заданной точностью. Задача приведения в соответствие уровня входного сигнала с уровнем АЦП и подавления излишних помех, присутствующих в нем называется нормализацией аналогового сигнала. Общепринятая структурная схема канала сбора данных представлена на рис.5.1. Ua(t) ПУ АФ АЦП Uу(u) Рис. 5.1 Она состоит из предварительного усилителя, аналогового фильтра и АЦП. Одной из основных задач предварительного усилителя является масштабирование входного сигнала для приведения его в соответствие с требуемым диапазоном изменения входного сигнала АЦП. Если входной сигнал изменяется в диапазоне от U inmin до U inmax , а диапазон входного сигнала АЦП – от U ADCmin до U ADCmax , то процесс масштабирования можно описать выражением U ADC  U in  K  U OFF  K  (U in  U OFF ) K (5.1), где K U inmax  U inmin U ADCmax  U ADCmin , (5.2). U OFF  U ADCmin  U inmin  K Если диапазон входного сигнала и диапазон АЦП одинаково симметричны или несимметричны относительно нуля, то смещение в процессе масштабирования не требуется (UOFF=0). В этом случае задачу масштабирования может решить простейший каскад неинвертирующего усилителя на операционном усилителе (ОУ) (рис.5.2). Рис. 5.2 1 Принцип действия ОУ состоит в усилении разности сигналов, приложеных к его входам на коэффициент KOL, который называется коэффициентом усиления ОУ без обратной связи. Это очень большая величина (как правило болше 105), которую в случаях, не требующих повышенной точности можно считать равной бесконечности. Коэффициент усиления представленного каскада определяется как отношение выходного напряжения ко входному и может быть выражен как U R1  R 2 R1  R 2 R2 (5.3). K NI  OUT   1 R 1  R 2 U IN R 1 R 1 R1  K OL Как видно из последнего выражения коэффициент усиления практически не зависит от свойств ОУ и полностью определяется параметрами цепи обратной связи. В данном случае коэффициент обратной связи равен R1 K FB  (5.4), R1  R 2 а коэффициент усиления каскада можно выразить через коэффициент усиления ОУ без обратной связи и коэффициент обратной связи K OL 1 1 1 K NI     (5.5). R1 1 1 1  K OL K FB K FB  K FB  R1  R 2 K OL K OL Однако, для прецизионных случаев даже большое значение KOL может оказать пагубное влияние на погрешность усилителя. Произведение KOL*KFB называется коэффициентом петлевого усиления. Если обозначить идеальное значение коэффициента усиления как R2 K NI I  1  (5.5), R1 то относительную ошибку коэффициента усиления можно определить как K NI I  K NI K NI I (5.6). EK   K NI I KOL Для обеспечения заданной точности эта ошибка должна быть меньше разрешающей способности АЦП. Для этого необходимо выбирать ОУ с большими значениями KOL. У идеального ОУ нулевому выходному напряжению соответствует нулевое входное напряжение, т.е. одинаковые уровни сигналов на обоих входах. Однако у реального ОУ существует некоторое ненулевое входное напряжение, которое соответствует нулю на выходе ОУ. Это напряжение называется напряжением смещения нуля UOFF. Напряжение смещения нуля можно смоделировать вклюBчением источника напряжения UOFF последовательно с одним из выводов ОУ (рис.5.3). При нулевом входном сигнале выходное напряжение усилителя, вызванное напряжением смещения нуля равно R2 U OUTUOFF  U OFF (1  ) (5.7). R1 2 Рис. 5.3 Аналогично напряжению смещения нуля реальный ОУ имеет ненулевые входные токи, протекающие через его входы при нулевом входном сигнале. Эти токи называются токами смещения ОУ. Они могут быть промоделированы как источники тока IB- и IB+, подключенными параллельно входам ОУ (рис.5.4). Рис. 5.4 Выходное напряжение усилителя, определяемое токами смещения ОУ определяется как R2 U OUTIOFF  I B  R3(1  )  I B R2 (5.8). R1 Обычно токи смещения ОУ характеризуются двумя параметрами: средним током смещения IB и разностью токов смещения IO, которые определяются следующими соотношениями 1 I B  ( I B   I B  ), 2 (5.9). I O  I B  I B Если IO=0, то IB+=IB-=IB и влияние токов смещения можно скомпенсировать при условии R1R 2 R3  (5.10). R1  R 2 3 Операционный усилитель состоит из нескольких каскадов усиления, каждый из которых из-за наличия паразитных реактивных связей ведет себя как фильтр низких частот, т.е. его коэффициент усиления уменьшается с увеличением частоты. В результате этого частотная характеристика ОУ представляет собой характеристику фильтра низких частот высокого порядка. Для такого фильтра характерно увеличение сдвига фазы выходного сигнала относительно входного с ростом частоты (рис.5.5). [Kol(] 1  (   - Рис. 5.5 На высоких частотах угол сдвига фаз может достигнуть и превысить 180 градусов. Это приведет к тому, что прямой и инверсный входы ОУ фактически поменяются местами и отрицательная обратная связь превратится в положительную. Если при этом модуль коэффициента петлевого усиления g  KOL K FB  1 , то в усилителе возникнут автоколебания. Для исключения возможности этого явления в схеме ОУ осуществляется частотная коррекция, которая приводит к тому, что частотная характеристика ОУ принимает вид частотной характеристики фильтра нижних частот первого порядка с наклоном –20 дБ на декаду в диапазоне частот, в котором KOL  1 . Кроме того, угол сдвига фаз во всем этом диапазоне частот ограничивается на уровне, меньшем 120 градусов (рис.5.6). При этом для любого коэффициента обратной связи 0  K FB  1 запас по фазе будет составлять не менее 60 градусов, что исключает возможность появления автоколебаний в указанной полосе частот. Частотная характеристика такого ОУ описывается выражением KOL0 (5.11), KOL ( f )  1 j f f GOL где KOL0 – коэффициент усиления ОУ на постоянном сигнале, а fGol – частота среза. В полосе частот выше частоты среза модуль коэффициента усиления обратно пропорционален частоте 4 KOL ( f )  KOL0 1 1 ( f f GOL )2  KOL0 f GOL 2 f GOL  f 2 2  KOL0 f GOL f (5.12). Это значит, что в данной полосе частот выполняется условие (5.13). KOL ( f ) f  KOL0 f GOL  f1 На частоте f1 модуль коэффициента усиления ОУ без обратной связи равен 1. Эта частота называется частотой единичного усиления или произведением коэффициента усиления на полосу пропускания. Т.о., для полностью частотно компенсированных ОУ произведение коэффициента усиления на полосу пропускания есть величина постоянная. [Kol(] 1 T    65 min - Рис. 5.6 Если теперь подставить выражение (5.11) в выражение (5.5), то получим частотную характеристику всего усилительного каскада K OL0 1 j f f GOL K OL0 K OL ( f ) K NI ( f )     K OL0 f 1  K OL ( f ) K FB 1 K FB (1  K OL0 K FB )  j f G OL f 1 j (5.14). f GOL  K OL0 K OL0 K FB  j f  f GOL 1 K FB  j f  f GOL K OL0 1 K FB 1 j f f GOL K OL0 K FB Определим частоту среза усилителя fG как частоту, на которой квадрат модуля частотной характеристики коэффициента усиления уменьшается в два раза (-3 дБ) f G  f GOL K OL0 K FB  f1 K FB (5.15). Таким образом, получим 5 1 (5.16),  f G K NI  f1 K FB а значит, для усилителя с замкнутой обратной связью произведение полосы пропускания на коэффициент усиления есть величина постоянная. На рис.5.7 иллюстрируется определение частотной характеристики коэффициента усиления усилителя с замкнутой цепью обратной связи. fG [Kol()] Kni1() Kni2() ff1 ff2 f Рис. 5.7 Для реализации усилителя с заданным коэффициентом усиления необходимо выбирать ОУ, у которого полоса единичного усиления больше чем произведение полосы пропускания входного сигнала на требуемый коэффициент усиления. Иначе высокочастотные составляющие входного сигнала будут непропорционально ослабляться. Шумы в сигнале, поступающем на вход АЦП, в зависимости от их происхождения можно подразделить на три группы: шумы источника сигнала, шумы линии передачи и тракта нормирования сигнала. Шумы источника сигнала являются неискоренимыми и для их уменьшения нужно модернизировать схему источника сигнала. Шумы линии передачи – это те шумы, которые наводятся на проводах, по которым передается сигнал от источника к приемнику действующими в области пролегания проводов электрическими и магнитными полями. Для их уменьшения необходимо применять экранирование проводов, по которым передаются сигналы, а также специальные схемы измерительных усилителей. И, наконец, шумы тракта нормировки сигнала – это шумы, которые зараждаются в каскадах предварительного усилителя и фильтра в силу неидеальности элементов, на которых они собраны. В каскадах на ОУ могут возникать три вида шумов: шумы Джонсона (Johnson noise), который также называется тепловым шумом, шумы Шоттки (Schottky) (или дробовые шумы) и фликкер-шумы (или 1/f-шумы). Тепловой шум вызван случайным движением зарядов под влиянием тепловой энергии, получаемой из окружающей среды. Частота шума изменяется случайно, а амплитуда пропорциональна корню квадратному из температуры. Все материалы (проводники и полупроводники), имеющие свободные заряды, генерируют тепловой шум. Среднеквадратическое значение напряжения теплового шума на концах разомкнутого резистора будет равно 2 (5.17), U J  4kTRf 6 где k – постоянная Больцмана (1.38*10-23 Дж/К), T – температура в кельвинах (С+273), f – диапазон рассматриваемых частот. Спектральная плотность теплового шума не зависти от частоты («белый шум»). Поэтому, напряжение шума зависит не от частоты, а от полосы пропускания и пропорционально величине сопротивления. Это значит, что низкий уровень сопротивления и узкая полоса пропускания снижают шумовой эффект. Так как все компоненты усилителя, несущие заряды генерируют эти шумы и усилитель усиливает все шумы на входе, то общий шум на выходе может быть значительным. Шум Шоттки, или дробовой шум, появляется вследствие того, что носителями тока являются частицы – электроны. Когда на пути своего движения электроны встречают барьер (например, pn-переход), то пересечь его могут только те из них, чья потенциальная энергия достаточна для этого. Несмотря на постоянное среднее значение количества электронов, протекающих по материалу в единицу времени (при постоянном токе), пересечение электронами потенциального барьера носит вероятностный характер. По этому, число электронов, пересекающих барьер в единицу времени непостоянно. Это вызывает шумовой ток, который накладывается на установившийся ток, измеряемый в этой точке. Шум Шоттки ассоциируется с полупроводниковыми материалами. Он наблюдается и в проводниках, но его уровень очень мал из-за малой величины барьеров (примеси, неоднородности и пр.) и огромного числа свободных электронов. Усиленный шум Шоттки в полосе звуковых частот напоминает звук дроби, сыплющейся на бетонный пол. Шум Шоттки тоже является «белым шумом», т.е. его спектральная плотность не зависти от частоты. Среднеквадратическое значение этого шумового тока в полупроводнике равно 2 (5.18), I SH  2qI const f -19 где q – заряд электрона (1.6*10 Кл), Iconst – среднее значение постоянного тока в данной цепи, f – диапазон рассматриваемых частот. Фликкер-шум или 1/f – шум в полупроводниках обусловлен изменением скоростей электронов (или дырок) из-за дефектов полупроводникового материала. Его уровень снижается с усовершенствованием технологического процесса производства полупроводниковых схем. Этот шум увеличивается с уменьшением частоты. Зависимость фликкер-шума от частоты показана на рис.5.8. Мощность импульса f fс Рис. 5.8 Он доминирует на низких частотах, где его спектральная плотность изменяется по закону 1/f («розовый шум»), но при увеличении частоты уменьшается и 7 переходит в частотонезависимый белый шум. Частота, при которой фликкершум переходит в белый шум называется угловой частотой. Фликкер-шум ОУ обычно характеризуется своим приведенным ко входу максимальным диапазоном изменения в полосе частот от 0.1 Гц до 10 Гц. Общий уровень шумов ОУ характеризуются своей приведенной ко входу спектральной плотностью в области белого шума. Среднеквадратическое значение напряжения шума ОУ может быть вычислено как f (5.19), U NOISE   f C ln( H )  ( f H  f L ) fL где  - спектральная плотность шума в данной области частот, fC – угловая частота, fH и fL – соответственно верхняя и нижняя частота исследуемой области частот. Первое слагаемое в этой формуле относится к розовому «фликкершуму». Его энергия изменяется с ростом полосы частот по логарифмическому загону (интеграл от 1/f). Если угловая частота не входит в рабочую полосу частот, то первым слагаемым в подкоренном выражении можно пренебречь. Тогда получим (5.20). U NOISE   f H  f L Влияние различных видов шумов на выходное напряжение усилителя определяется как среднеквадратическое значение напряжения шума на выходе усилителя. Генератор шумового напряжения в эквивалентной схеме всегда включается последовательно с неинвертирующим входом. Генераторы шумового тока включаются между обоими входами и землей. Шумовая модель исследуемого усилительного каскада представлена на рис.5.9. Рис. 5.9 При этом среднеквадратическое значение напряжения шума на выходе усилителя равно 8 R2 2 R2 2 R2 )  4kTR3(1  )  4kTR1( ) 2  R1 R1 R1 (5.21). U NOISEOUT  f  R2 2 2 2 2 2  I NOISE  R3 (1  )  I NOISE  R 2  4kTR2 R1 С помощью неинвертирующего усилителя невозможно реализовать коэффициент усиления меньше единицы. При необходимости реализации такого коэффициента усиления можно использовать каскад инвертирующего усилителя, представленный на рис.5.10. U NOISE (1  2 Рис. 5.10 Коэффициент усиления такой схемы определяется как R2 R2 KI    R1  R 2 R1 R1  K OL Коэффициент обратной связи в этой схеме равен R1 K FB  R1  R 2 Через него коэффициент усиления можно выразить как K OL 1  K FB K I  (1  K FB )  1  K OL K FB K FB Относительная ошибка коэффициента усиления равна R1  R 2 K II  K I R1  K NI I EK   K II K OL K OL (5.22). (5.23). (5.24). (5.25). Выражения для ошибок усилителя, связанных с напряжением смещения нуля и токами смещения нуля также совпадают с соответствующими выражениями для неинвертирующего усилителя. В случае, когда необходимо кроме масштабирования осуществить и смещение шкалы входного сигнала можно использовать схемы суммирования или вычитания. Схема вычитания двух сигналов с масштабированием представлена на рис.5.11. 9 Рис. 5.11 Коэффициент передачи данной схемы равен K OL R 4( R1  R 2) K OL R 2 U OUT  U IN 2  U IN1  ( R1  R 2  K OL R1)( R3  R 4) R1  R 2  K OL R1  K OL R4 ( U IN 2  (1  K FB )U IN1 )  1  K OL K FB R3  R 4 (5.26), 1 R4 ( U IN 2  (1  K FB )U IN1 )  K DIF K FB R3  R 4 R1 где K FB  - коэффициент обратной связи схемы. В частном случае, при R1  R 2 R3=R1 и R4=R2 будем иметь K (1  K FB ) U OUT  OL (U IN 2  U IN1 )  1  K OL K FB (5.27). 1  K FB R2  (U IN 2  U IN1 )  (U IN 2  U IN1 ) K FB R1 Относительная ошибка коэффициента усиления каскада, вызвынная конечным значением коэффициента усиления ОУ без обратной связи, как и в предыдущих случаях равна R1  R 2 K DIFI  K DIF R1  K NI I (5.28). EK   K DIFI K OL K OL  Выходное напряжение схемы, вызванное ненулевыми значениями напряжения смещения нуля и токов смещения нуля равно R2 R 3R 4 R2 U OUTOFF  (1  )U OFF  I B  R 2  I B  (1  ) (5.29). R1 R3  R 4 R1 Если между номиналами резисторов выполняется соотношение R1R 2 R 3R 4  (5.30), R1  R 2 R 3  R 4 то R1 U OUTOFF  (1  )U OFF  I O R 2 (5.31), R2 где IO – разность токов смещения ОУ. Если ОУ имеет выравненные токи смещения, то в последнем выражении остается только первое слагаемое. Среднеквадратическое значение напряжения шума на выходе усилителя равно 10 R2 2 ( R1  R 2) R 4 2 )  4kTR3( )  R1 ( R3  R 4) R1 ( R1  R 2) R3 2 R2  f   4kTR4( )  4kTR1( ) 2  ( R3  R 4) R1 R1 U NOISE (1  2 U NOISEOUT (5.32). ( R3R 4) 2 R2 2 2  I NOISE  (1  )  I NOISE  R 2 2  4kTR2 2 ( R 3  R 4) R1 Схема суммирования двух сигналов с масштабированием представлена на рис.5.12. 2 Рис. 5.12 Коэффициент передачи такого каскада равен R2 R2 1 K SUM  (U IN1  U IN 2 )  R12 R 22 R11R12  R 2( R11  R12)  1 R11R12 K OL  (U IN1 R2 R2  U IN 2 ) R12 R 22 1 1 1 K FB K OL  (5.33), K FB K OL R2 R2 R2 R2  U IN 2 )  (U IN1  U IN 2 )  K SUM I R12 R 22 K FB K OL  1 R12 R 22 R11R12 где K FB  - коэффициент обратной связи каскада. R11R12  R 2( R11  R12) Относительная ошибка коэффициента усиления, связанная с конечным значением коэффициента усиления ОУ без обратной связи равна K SUM I  K SUM K FB KOL 1 1 (5.34). EK   1   K SUM I 1  K FB KOL 1  K FB KOL K FB KOL  (U IN1 Выходное напряжение схемы, вызванное ненулевыми значениями напряжения смещения нуля и токов смещения нуля равно ( R11  R12) R 2  R11R12 U OUTOFF  (U OFF  I B  R3)  I B  R 2 (5.35). R11R12 Для компенсации токов смещения необходимо выполнения условия R11R12 R 2 R3  (5.36). ( R11  R12) R 2  R11R12 11 Среднеквадратическое значение напряжения шума на выходе усилителя равно (U NOISE  I NOISE  R32  4kTR3)  2 2 ( R11  R12) R 2  R11R12 2 )  R11R12  f  2  I NOISE  R 2 2  4kTR2  ( U NOISEOUT (5.37). R2 2 R2 2 )  4kTR12( ) R11 R12 Все рассмотренные схемы имеют одинаковый коэффициент усиления как для полезного сигнала, так и для помехи, которая располагается в том же частотном диапазоне, что и сигнал. Для того, чтобы ослабить действие помех линии передачи необходимо усиливать полезный сигнал значительно больше чем помеху. На этом основан принцип т.н. измерительных усилителей. Принципиальным отличием измерительного усилителя от обычного усилительного каскада заключается в том, что измерительный усилитель имеет двойной дифференциальный вход. Выходное напряжение измерительного усилителя пропорционально разности напряжений на его прямом и инверсном входе. В этом смысле он подобен дифференциальному усилителю. Таким образом для передачи сигнала от источника к приемнику используются два провода. При этом, информация, передаваемая сигналом, заложена в текущей разности потенциалов этих проводов. Если в местах пролегания канала передачи информации действует помеха, то она воздействует на оба провода одинаково. Поэтому такая помеха называется синфазной. Измерительный усилитель, на который поступает сигнал, вычитает из потенциала одного провода потенциал другого, компенсируя при этом действие синфазной помехи. При таком способе передачи информации возможно нейтрализовать действие синфазной помехи, уровень которой во много раз превышает уровень полезного сигнала. Уровень ослабления усилителем действия синфазной помехи оценивается коэффициентом ослабления синфазного сигнала (CMRR Common Mode Rejection Ratio), который определяется как отношение коэффициента усиления дифференциального сигнала к коэффициенту усиления синфазного сигнала K CMRR  DIF (5.38). K CM Если на оба входа идеального ОУ подать одно и тоже напряжение, то выходной сигнал должен быть равен нулю. Однако, для реальных ОУ это не вполне соответствует действительности, т.е. коэффициент усиления синфазного сигнала U K CM  OUT (5.39) U CM не равен нулю. В последнем выражении UCM – синфазное напряжение на входах ОУ, UOUT – выходное напряжение ОУ. Таким образом CMRR операционного усилителя омеет конечное значение, а значит синфазная помеха не может быть устранена полностью. Примером простейшего измерительного усилителя может служить дифференциальный усилительный каскад, рассмотренный выше, у которого выполняется условие R1*R4= R2*R3 (рис.5.13).  4kTR11( 12 Рис. 5.13 Реальные резисторы имеют конечный разброс значений своих номиналов, в результате чего даже при идеальном ОУ одинаковым напряжениям на входах усилителя будет соответствовать ненулевое выходное напряжение. Коэффициент усиления синфазного сигнала такого усилителя, обусловленный рассогласованием резисторов, равен R1R 4  R 2 R3 K CM1  (5.40). R1( R3  R 4) Кроме того, реальный ОУ, сам по себе имеет конечное значение CMRR, которое обуславливает коэффициент усиления синфазного сигнала R2 K DIF R1 (5.41), K CM 2   CMRROA CMRROA где KDIF=R2/R1 – дифференциальный коэффициент усиления каскада, CMRROA – коэффициент ослабления синфазного сигнала ОУ, на котором построен каскад. Общий коэффициент ослабления синфазного сигнала схемы определяется как K DIF (5.42). CMRR  K CM1  K CM 2 Таким образом, ослабление синфазной помехи в таком усилителе зависит от качества ОУ и, еще больше, от согласования резисторов. Максимальный CMRR достигается при R1*R4=R2*R3, но в действительности к значения сопротивлений R1 и R3 добавляются импедансы источников сигнала по инвертирующему и неинвертирующему входам, что в совокупности с неточностями сопротивлений резисторов приводит к ослаблению подавления синфазной помехи. В такой схеме необходимо использовать высокоточные резисторы и низкоомные источники сигнала. Схема, представленная на рис.5.14 позволяет значительно уменьшить влияние выходного сопротивления источника сигнала на ослабление синфазной помехи. 13 Рис. 5.14 Выходное напряжение схемы выражается через входное как R1  R 2 R 4 R1 U OUT  U IN 2  U IN1 (1  ) (5.43). R2 R3 R 2 При выполнении условия R2*R3=R1*R4 получим коэффициент усиления дифференциального сигнала U OUT R1 (5.44). K DIF  1 U IN 2  U IN1 R2 Коэффициент усиления синфазного сигнала из-за несогласованности резисторов можно вычислить как R1R 4  R 2 R3 K CM  (5.55). R 2 R3 В данном случае, на это соотношение практически не влияет выходное сопротивление источника сигнала. Однако, для получения большого значения CMRR схемы опять требуются высокоточные резисторы. Недостатком данной схемы является необходимость менять все резисторы при смене коэффициента усиления. Небольшая модернизация схемы (рис.5.15) позволяет исправить эту ситуацию. Коэффициент передачи такой схемы при выполеннии условия R3=R1 и R4=R2равен R1 R1 K DIF  1  2 (5.56). R2 R5 Теперь его можно изменять с помощью одного резистора R5. CMRR при этом не зависит от R5 и определяется по (5.55). При необходимости осуществить смещение выходного напряжения усилителя относительно входного, к резистору R3 можно подключить вместо нулевого потенциала, как на рис.5.14, источник опорного напряжения, как на рис.5.15. При этом выходное напряжение будет определяться как U OUT  K DIF (U IN 2  U IN1 )  U REF (5.57). 14 Рис. 5.15 Схема измерительного усилителя на трех ОУ, представленная на рис.5.16 позволяет снизить требования к точности используемых резисторов для обеспечения заданного уровня CMRR. Рис. 5.16 Первый каскад, состоящий из ОУ A1 и A2, обеспечивает коэффициент усиления дифференциального сигнала R1  R 2  R3 K DIF1  (5.58), R1 в то время, как коэффициент усиления синфазного сигнала равен 1 и не зависит от конкретных значений сопротивлений R1, R2 и R3. Второй каскад, реализованный на ОУ A3 представляет из себя обычный дифференциальный усилитель, который имет коэффициент усиления дифференциального сигнала R5 K DIF2  (5.59) R4 при условии R5*R6=R4*R7. Коэффициент усиления синфазного сигнала из-за разбаланса резисторов во втором каскаде равен R 7 R 4  R 5R 6 K CM 21  (5.60), R 4( R6  R7) 15 а коэффициент усиления синфазного сигнала из-за конечного значения CMRR ОУ A3 равен R5 K DIF2 R4 (5.61). K CM 22   CMRR A3 CMRR A3 Общий коэффициент усиления дифференциального сигнала равен R5 R1  R 2  R3 K DIF  K DIF1 K DIF2   (5.62). R4 R1 Общий CMRR измерительного усилителя равен K DIF (5.63). CMRR  K CM 21  K CM 22 Как видно, коэффициент усиления синфазного сигнала такой же как и у обычного дифференциального усилителя на одном ОУ при одинаковых значениях соответствующих резисторов. Однако, в данном случае он не зависит о выходного сопротивления источника сигнала из-за очень большого входного сопротивления усилителя. Коэффициент усиления дифференциального сигнала в данном случае, за счет первого каскада, значительно больше, чем у обычного дифференциального усилителя. Это обеспечивает значительно большее ослабление синфазной помехи в данной схеме при меньших требованиях к подбору резисторов. При расчете схемы, как правило, все усиление сосредотачивают в первом каскаде, поскольку именно он обеспечивает максимальное усиление дифференциального сигнала по сравнению с синфазным. Если R3=R2, то 2R2 K DIF1  1  (5.64) R1 и его можно изменять с помощью резистора R1. Второй каскад, как правило, делают с единичным усилением, что обеспечивается при R4=R5=R6=R7. Выходное напряжение усилителя, обусловленное напряжением смещения нуля ОУ равно R1  R 2  R3 R5 R5 U OUTUOFF   (U OFFA1  U OFFA 2 )  (1  )U OFFA 3 (5.65), R1 R4 R4 где UOFFA1, UOFFA2, UOFFA3 – напряжения смещения нуля соответственно A1, A2 и A3. Выходное напряжение усилителя, обусловленное токами смещения ОУ равен R5 U OUTIOFF  ( R3I B  A2  R 2 I B  A1  ( I B  A2  I B  A1 ) ROUTSOURCE )  I OA3 R5 (5.66), R4 где IB-A2, IB+A2 – токи смещения ОУ A2, IB-A1, IB+A1 – токи смещения ОУ A1, IOA3 – разность токов смещения ОУ A3. 16 Лекция № «Z – преобразование.» Z – преобразование является одним из математических методов анализа и проектирования дискретных систем. Аппарат z-преобразования играет для цифровых систем ту же роль, что и преобразование Лапласа для непрерывных систем. Мотивировку использования z-преобразования для исследования дискретных систем можно пояснить на примере преобразования Лапласа дискретного сигнала. Если выходной сигнал идеального импульсного элемента fd(t) определен как  f d (t )  f ( kT )   T (t )   f ( kT )   (t  kT ) (7.1), k 0 то преобразование Лапласа для fd(t) определяется выражением  Fd ( p )  L( f d (t ))  L( f ( kT ))   f ( kT ) e  pkT (7.2). k 0 выражение для Fd(p) не является рациональной функцией относительно p, поскольку содержит множитель e-Tp. Для упрощения анализа желательно преобразовать иррациональную функцию Fd(p) в рациональную, посредством замены комплексной переменной p на другую комплексную переменную z. Выбор такой замены очевиден z  e Tp (7.3). При этом обратное соотношение имеет вид 1 p  ln z (7.4). T В этих выражениях T – период квантования, z – комплексная переменная, действительная и мнимая части которой определяются как Re z  eT cos T , (7.5), Im z  eT sin T где p    j (7.6). Подставляя новую переменную z в выражение (7.2) получим  1 Fd ( p  ln z )  Fd ( z )   f (kT ) z  k (7.7), T k 0 что является рациональной функцией относительно z. Выражение (7.7) называется z-преобразованием функции f(t). Поскольку z-преобразование функции получается из ее преобразования Лапласа, то в общем, для любой функции f(t), имеющей преобразование Лапласа, существует также и z-преобразование. Процедура нахождения z-преобразования непрерывной функции f(t) включает следующие этапы: - определение fd(t) как выходного сигнала идеального импульсного элемента для входной функции f(t); - определение преобразования Лапласа fd(t)  Fd ( p )  L( f d (t ))  L( f ( kT ))   f ( kT ) e  pkT ; k 0 1 - замена eTp на z в выражении для Fd(p), чтобы получить  Fd ( z )   f (kT ) z  k . k 0 Выражение (7.7) используется для нахождения z-преобразования функции f(t). Рассмотрим несколько примеров нахождения z-преобразования функций, описывающих типовые дискретные сигналы. Единичный импульс описывается выражением 1, 𝑛 = 0; 𝛿 (𝑛 ) = { (7.8). 0, 𝑛 ≠ 0. В соответствии с формулой (7.7) z-преобразование можно найти как 𝑍(𝛿 (𝑛)) = ∑∞𝑛=0 𝛿 (𝑛)𝑧 −𝑛 = 1 ∗ 𝑧 0 + 0 ∗ 𝑧 −1 + 0 ∗ 𝑧 −2 + 0 ∗ 𝑧 −3 + ⋯ = 1 (7.9). Задержанный единичный импульс описывается выражением 0, 0 ≤ 𝑛 < 𝑘; ( ) 𝛿 𝑛 − 𝑘 = { 1, 𝑛 = 𝑘; (7.10). 0, 𝑛 > 𝑘. В соответствии с формулой (7.7) z-преобразование можно найти как 𝑍(𝛿 (𝑛 − 𝑘)) = ∑∞𝑛=0 𝛿 (𝑛 − 𝑘)𝑧 −𝑛 = 0 ∗ 𝑧 0 + 0 ∗ 𝑧 −1 + ⋯ + 1 ∗ 𝑧 −𝑘 + 0 ∗ 𝑧 −(𝑘+1) + ⋯ = 𝑧 −𝑘 (7.11). Единичный ступенчатый сигнал u1(n) описывается выражением 0, 𝑛 < 0; 𝑢1 (𝑛) = { (7.12). 1, 𝑛 ≥ 0. Подставляя это выражение в (7.7) получим ∞ ∞ 𝑍(𝑢1 (𝑛)) = ∑ 𝑢1 (𝑛)𝑧 −𝑛 = 1∗𝑧 +1∗𝑧 −1 +1∗𝑧 −2 +1∗𝑧 −3 𝑛=0 + ⋯ = ∑ 𝑧 −𝑛 𝑛=0 Это выражение представляет собой сумму бесконечной геометрической прогрессии. При условии |𝑧 −1 | < 1 предел этой суммы будет равен 1 𝑍(𝑢1 (𝑛)) = 𝑈1 (𝑧) = (7.13). 1−𝑧−1 Убывающая дискретная экспонента описывается выражением 𝐴𝑒 −𝛼𝑛 , 𝑛 ≥ 0, |𝛼 | > 0; 𝑓 (𝑛 ) = { (7.14). 0, 𝑛 < 0. Подставляя описание этой функции в (7.7) её z-преобразование можно найти как ∞ ∞ 𝑍 (𝑓(𝑛)) = 𝐴 ∑ 𝑒−𝛼𝑛 𝑧 −𝑛 = 𝐴 ∑ (𝑒−𝛼 𝑧 −1 ) 𝑛=0 𝑛 𝑛=0 При условии |𝑒 −𝛼 𝑧 −1 | < 1, т.е. |𝑧| > |𝑒 −𝛼 | предел этой суммы будет равен 𝐴𝑧 = 𝑧−𝑒 (7.15). −𝛼 Дискретная косинусоида описывается выражением 𝑓 (𝑛) = cos(𝜔𝑛) (7.16). Учитывая формулу Эйлера, эту функцию можно записать в виде 1 𝑓 (𝑛) = cos(𝜔𝑛) = 2 (𝑒 𝑗𝜔𝑛 + 𝑒 −𝑗𝜔𝑛 ) (7.17). Подставляя (7.17) в (7.7) получим ∞ ∞ 1 𝑗𝜔𝑛 −𝑛 𝐹 (𝑧) = (∑ 𝑒 𝑧 + ∑ 𝑒 −𝑗𝜔𝑛 𝑧−𝑛 ) 2 𝑍 (𝑓(𝑛)) = 𝐹(𝑧) = 𝑛=0 𝐴 1−𝑒−𝛼𝑧 −1 𝑛=0 2 При условии |𝑧| > |1| сумму членов геометрических прогрессий можно записать как 1 1 1 этих двух убывающих 𝑧 2 −𝑧𝑐𝑜𝑠𝜔 𝐹(𝑧) = 2 (1−𝑒 𝑗𝜔 𝑧 −1 + 1−𝑒 −𝑗𝜔 𝑧 −1) = 𝑧 2−2𝑧𝑐𝑜𝑠𝜔+1 (7.18). Неудобство выражения (7.7) состоит в том, что оно является бесконечным рядом, а не эквивалентной функцией в компактной форме. Альтернативное выражение для z-преобразования функции можно получить, если использовать ее изображение F(p) и теорему о вычетах. Так, если функция f(t) имеет изображение F(p), которое представимо в виде N ( p) F ( p)  (7.19), D( p ) то z-преобразование этой функции можно найти в виде k N ( n ) 1 (7.20), F ( z)     nT 1 z n 1 D ( n ) 1  e где n – простые полюса функции F(p), k – число этих полюсов. Если F(p) имеет кратные полюсы p1, p2, …, pk с кратностью m1, m2, …, mk соответственно, то z-преобразование F(p) можно найти в виде k mn F ( z )   n 1 i 1 ( 1) mn i K ni (mn  i )!  d mn i  1  dp mn i (1  e Tp )   p  p  pn (7.21), z eTp где K ni   1  d i 1 ( p  pn ) mn F ( p )  i 1 (i  1)!  dp  p p (7.22). n Проектирование непрерывных систем часто основывается на анализе распределения нулей и полюсов передаточной функции системы на плоскость комплексной переменной p. Аналогично, полюсы и нули z-преобразования передаточной функции определяют реакцию системы в моменты дискретизации. Поэтому важно определить соответствие между плоскостью комплексной переменной p и плоскостью комплексной переменной z. Как было установлено ранее, преобразование Лапласа дискретной функции fd(t) является периодической функцией с периодом js, где s – частота дискретизации. В соответствии с этим плоскость комплексной переменной p можно разделить на бесконечное число периодических полос (рис.7.1). Основная полоса расположена в диапазоне частот от -s/2 до +s/2, а дополнительные полосы расположены в диапазоне от -s/2 до -3s/2, от -3s/2 до -5s/2 и т.д. для отрицательных частот и от s/2 до 3s/2, от 3s/2 до 5s/2 и т.д. для положительных частот. Если рассматривать только основную полосу, то контур 1-2-3-4-5-1, расположенный в левой половине p-плоскости, отображается преобразованием z=eTp в единичную окружность на z-плоскости с центром в начале координат (рис.7.2). 3 j 3s/2 s/2 2 3  1 5 4 -s/2 -3s/2 Рис. 7.1 jImZ 1 2 3 1 1 4 ReZ 5 Рис. 7.2 Так как e ( p  jn s )T  e Tp e j 2n  e Tp  z (7.23) для целых n, то все другие дополнительные полосы в левой половине pплоскости отображаются в тот же самый единичный круг на z-плоскости. Все точки левой половины p-плоскости отображаются внутрь единичного круга на z-плоскости. Точки правой половины p-плоскости отображаются в области вне единичного круга на z-плоскости. Линии постоянного затухания, описываемые на p-плоскости уравнением =1 отображаются на z-плоскости в окружность с радиусом z  e 1T и с центром в начале координат (рис.7.3). 4 jImZ j 1  1 -2 ReZ exp(-2T) exp(1T) jImZ j Z=exp(j2T) js/2 Z=exp(j1T) j2 j1 1T  Z=exp(j2T/2) -j1 Рис. 7.3 ReZ 1T Z=exp(-j1T) Линии постоянной частоты, описываемые на p-плоскости уравнением =1 отображаются в луч, исходящий из начала координат под углом 1T радиан. Угол измеряется от положительного направления действительной оси. Преобразование Лапласа и его обратное преобразование являются однозначными, т.е. если F(p) есть преобразование Лапласа для функции f(t), то f(t) является обратным преобразованием Лапласа для функции F(p). Для zпреобразования обратное z-преобразование не является однозначным. Корректный результат обратного z-преобразования функции F(z) есть f(kT), которая равна f(t) только в моменты квантования t=kT. В общем случае обратное z-преобразование может быть определено одним из следующих методов. Метод разложения на простые дроби. Известно, что z-преобразованием для функции f(kT)=Ae-akT является функция Az/(z-e-aT). Таким образом, если удастся представить функцию F(z) в виде Az Bz F ( z)    (7.24), z a z b то функция f(kT), которая является обратным z-преобразованием для функции F(z) будет иметь вид f (kT )  AakT  Bb kT   (7.25). Следуя данному методу необходимо: - разложить на простые множители функцию F(z)/z; F ( z) A B    z z a z b (7.26), 5 - умножить обе части получившегося выражения на z Az Bz   (7.27), z a z b - записать выражение для обратного z-преобразования как сумму отдельных составляющих, каждая из которых соответствует своему слагаемому в выражении для F(z). В качестве примера рассмотрим нахождение оригинала функции, Zпреобразование которой имеет вид 1 𝐹(𝑧) = 1−0.5𝑧 −1+0.06𝑧 −2 (7.28). Данную функцию можно представить в виде суммы простых дробей −2 3 𝐹 (𝑧 ) = + 1 − 0.2𝑧 −1 1 − 0.3𝑧 −1 Согласно (7.25) выражение для оригинала этой функции будет выглядеть как 𝑓 (𝑛) = −2(0.2)𝑛 + 3(0.3)𝑛 (7.29). F ( z)  Метод разложения в степенной ряд. Из (7.7) следует, что Fd ( z )  f (0)  f (T ) z 1  f (2T ) z 2    f (kT ) z  k  ... (7.30). Следовательно, коэффициенты ряда соответствуют значениям f(t) в моменты квантования. Таким образом, из записи ряда можно получить выражение для f(kT). Формула обратного z-преобразования. Обратное z-преобразование можно получить с помощью формулы 1 f ( kT )  F ( z ) z k 1dz (7.31),   2j где  - замкнутый контур на z-плоскости, включающий все особые точки F(z)zk-1. При этом значение интеграла можно найти по теореме вычетов (7.32) f (kT )   Re sF ( z) z k 1 в полюсах F(z). Свойства z-преобразования. 1. Суммирование и вычитание. Если Z ( f1 (t ))  F1 ( z); Z ( f 2 (t ))  F2 ( z) то (7.33). Z ( f1 (t )  f 2 (t ))  F1 ( z)  F2 ( z) 2. Умножение на константу. Если Z ( f (t ))  F ( z ) , то Z ( af (t ))  aF ( z ) (7.34), где a – константа. 3. Сдвиг во временной области. Если Z ( f (t ))  F ( z ) , то Z ( f (t  nT ))  z  n F ( z ) (7.35), где n – положительное целое число. 4. 4. Смещение в области изображений. Если Z ( f (t ))  F ( z ) , то Z (e  at f (t ))  F ( ze  aT ) (7.36), где a – константа. 5. Теорема о начальном значении. Если Z ( f (t ))  F ( z ) и если существует предел lim F ( z ) , то z  6 lim f ( kT )  lim F ( z ) k 0 (7.37), z  т.е. значение дискретного сигнала f(t) при t=0 определяется значением F(z) при z=. 6. Теорема о конечном значении. Если Z ( f (t ))  F ( z ) и если функция (1  z 1 ) F ( z ) не имеет полюсов на окружности единичного радиуса и вне ее, то (7.38). lim f (kT )  lim (1  z 1 ) F ( z ) k  z1 7. Теорема о свертке во временной области. Z ( f1 (t ))  F1 ( z); Z ( f 2 (t ))  F2 ( z) и f1(t)=f2(t)=0 при t<0, то Если k F1 ( z ) F2 ( z )  Z (  f1 ( nT ) f 2 ( kT  nT )) (7.39). n 0 Выражение (7.39) называется сверткой во временной области. Поскольку метод z-преобразования при анализе дискретных систем аналогичен методу преобразования Лапласа при анализе непрерывных систем, необходимо найти способ описания дискретной системы в терминах zпреобразования. Для линейной непрерывной системы (рис.7.4) X(p) Y(p) H(p) Рис. 7.4 отношение между непрерывным выходным сигналом с(t) и непрерывным входным сигналом r(t) описывается передаточной функцией Y ( p) H ( p)  (7.40), X ( p) где X(p) и Y(p) – преобразования Лапласа входного и выходного сигнала системы соответственно. Преобразует эту системы в дискретную, установив на входе и на выходе ее синхронизированные импульсные элементы (рис.7.5). Xd(p) X(p) Y(p) H(p) Yd(p) Рис. 7.5 Если ко входу линейной системы приложен дискретный сигнал rd(t), то выходной сигнал системы можно записать в форме y (t )  x(0)h(t )  x(T )h(t  T )  x(2T )h(t  2T )   (7.41), где h(t) – импульсная переходная функция системы. При t=kT, где k – положительное целое число, это выражение примет вид y (kT )  x(0)h(kT )  x(T )h(( k  1)T )  x(2T )h(( k  2)T )   k (7.42).  x(kT )h(0)   x(nT )h(( k  n)T ) n 0 7 Беря z-преобразование от обеих частей последнего выражения и применяя теорему о свертке во временной области, получим Y ( z)  X ( z)H ( z) (7.43), где  H ( z )   h(kT ) z  k (7.44) k 0 называется импульсной передаточной функцией линейной дискретной системы. При последовательном соединении двух дискретных систем с импульсными передаточными функциями H1(z) и H2(z), частота дискретизации которых одинакова, а моменты дискретизации синхронизированы, импульсная передаточная функция системы в целом равна произведению импульсных передаточных функций этих систем (7.45). H ( z )  H1 ( z ) H 2 ( z ) Экстраполятор нулевого порядка имеет передаточную функцию 1  e Tp (7.46). H ZOH ( p)  p Z-преобразование этой функции, а следовательно импульсная передаточная функция экстраполятора нулевого порядка равна 1 1 H ZOH ( z )  (1  z 1 ) Z ( )  (1  z 1 ) 1 (7.47). p 1  z 1 Этот результат очевиден, так как экстраполятор нулевого порядка в течение периода дискретизации удерживает постоянным дискретный сигнал, полученный в результате дискретизации, и вычисление z-преобразования для передаточной функции фиксатора должно определять исходный дискретный сигнал. Однако в большинстве случаев на практике за экстраполятором нулевого порядка следует непрерывная часть системы (рис.7.6). X(p) Y(p) Xd(p) HZOH(p) H(p) Рис. 7.6 Z-преобразование выходного сигнала такой системы равно Y ( z)  H d ( z) X ( z) где H d ( z )  Z ( H ZOH ( p) H ( p))  (7.48), (7.49). 1  e Tp H ( p)  Z( H ( p))  (1  z 1 ) Z ( ) p p В данном случае z-преобразование числителя передаточной функции экстраполятора нулевого порядка можно вынести за скобки в соответствии с теоремой о сдвиге во временной области (7.35), однако z-преобразование G(p)/p должно быть определено как для одного целого. Теоретически при бесконечном возрастании частоты дискретизации дискретная система стремится к соответствующей аналоговой системе. Однако, это не означает, что 8 lim H d ( z )  H ( p) (7.50). T 0 Так как z-преобразование основано на амплитудно-импульсной модуляции, то устремление T к нулю лишено физического смысла. Другими словами, если сигнал x(t) поступает на импульсный элемент, выходным сигналом которого является xd(t), то устремление периода квантования к нулю не обеспечивает совпадение x(t) и xd(t). Это объясняет, почему выражение (7.50) в общем случае не справедливо. Однако если дискретный сигнал xd(t) подать на вход экстраполятора нулевого порядка, выходным сигналом которого является сигнал xr(t), то при устремлении периода дискретизации к нулю справедливо соотношение lim xr (t )  x(t ) (7.51), T 0 или lim X r ( p )  X ( p ) (7.52). T 0 Таким образом, если непрерывный сигнал послан на идеальный импульсный элемент с экстраполятором нулевого порядка, то выходной сигнал последнего совпадает с исходным непрерывным сигналом при устремлении периода дискретизации к нулю. 9 Лекция № «Понятие цифровых фильтров» Передаточная функция звена фильтра низкой частоты первого порядка, схема которого представлена на рис.8.1 Рис. 8.1 1 (8.1). 1  pRC Этой передаточной функции соответствует дифференциальное уравнение, описывающее процессы в данном звене, которое имеет вид dU O (t ) RC  U O (t )  U I (t ) (8.2). dt Преобразуем данную непрерывную систему в дискретную установкой на входе и на выходе синхронных идеальных импульсных элементов, работающих с частотой f (рис.8.2). равна H ( p)  Рис. 8.2 Дифференциальное уравнение непрерывной системы преобразуется в разностное уравнение дискретной системы заменой производной конечной разностью. U ( n )  U O ( n  1) RC O  U O (n)  U I (n) (8.3), T где T  1 . Обозначив f RC A (8.4) T преобразуем уравнение (8.3) к виду A 1 U O (n)  U O ( n  1)  U I (n) (8.5). A1 A1 Обозначив A 1  a1  , b1  (8.6), A1 A1 1 придем к окончательному виду (8.7). U O (n)  a1U O (n  1)  b1U I (n) Уравнение (8.7) представляет из себя разностное уравнение простейшего дискретного фильтра низких частот первого порядка. В общем случае линейным дискретным фильтром называется дискретная система, удовлетворяющая линейному разностному уравнению M 1 K 1 m 1 k 0 y ( n )    a m y ( n  m)   bk x ( n  k ) (8.8), где x(n) и y(n) – соответственно входная и выходная последовательности устройства. Если хотя бы один коэффициент зависит от переменной n, то такой фильтр такой фильтр называется параметрическим или фильтром с переменными параметрами. Если все коэффициенты являются константами, то такой фильтр называется фильтром с постоянными коэффициентами. Передаточная функция линейного дискретного фильтра имеет вид K 1 H ( z)  b z k k k 0 M 1 1   am z (8.9), m m 1 который получается в результате применения z-преобразования к левой и правой частям уравнения (8.8). Значения выходной последовательности y(n) определяются N значениями входного дискретного сигнала x(n) в моменты nT, (n-1)T, (n-2)T, и т.д. и M-1 значениями самого выходного дискретного сигнала в прошлые моменты (n-1)T, (n-2)T и т.д. Фильтры, описываемые уравнением (8.8) называются рекурсивными. В частном случае, при am  0, m  1,2,  из (8.8) получаем K 1 y ( n )   bk x ( n  k ) (8.10). k 0 В этом случае значение выходного дискретного сигнала y(n) в любой момент nT определяется лишь значениями входного дискретного сигнала в этот же момент и N-1 его прошлыми значениями. Фильтры, описываемые уравнением (8.10) называются нерекурсивными. Передаточная функция нерекурсивного фильтра имет вид K 1 H ( z )   bk z k (8.11) k 0 Как видно из уравнения (8.8), в общем случае линейный дискретный фильтр может быть реализован путем комбинации операций умножения сигнала на константу, алгебраического сложения и задержки сигнала на один интервал дискретизации T. Для условного изображения алгоритмов дискретных фильтров используются структурные схемы, на которых вышеперечисленные операции изображаются так, как показано на рис.8.3. x1(n) y(n) x(n) b bx(n) x(n-1) x(n) z-1 x2(n) Рис.8.3. 2 Для реализации дискретных фильтров наиболее часто используются следующие формы структурных схем. Прямая форма структурной схемы рекурсивного фильтра, представленная на рис.8.4, реализуется непосредственно по разностному уравнению (8.8) или по передаточной функции (8.9). X(n) -1 Z -1 Z -1 Z b0 b1 b2 bn-1 Y(n) + -ak-1 -ak-2 -1 Z -1 Z -a1 -1 Z Рис. 8.4 Эта схема содержим один сумматор, умножители и N+M-2 элементов задержки. В качестве примера рассмотрим реализацию в прямой форме т.н. «биквадратного блока» – фильтра второго порядка, описываемого уравнением y(n)  a1 y(n  1)  a2 y(n  2)  b0 x(n)  b1 x(n  1)  b2 x(n  2) (8.12) или соответствующей передаточной функцией b  b z 1  b2 z 2 (8.13). H ( z )  0 1 1 1  a1 z  a2 z 2 Прямая форма структурной схемы биквадратного блока представлена на рис.8.5. X(n) -1 Z -1 Z b0 b1 b2 Y(n) + -a2 -a1 -1 Z -1 Z Рис. 8.5 3 Прямая каноническая форма содержит минимальное число элементов задержки. Она получается если передаточную функцию рекурсивного фильтра (8.9) представить в виде Y ( z) H ( z)   H1 ( z ) H 2 ( z) (8.14), X ( z) 1 V ( z) H1 ( z)   M 1 X ( z) 1   a m z m где (8.15). m 1 K 1 Y ( z) H 2 ( z )   bk z k  V ( z) k 0 Передаточным функциям H1(z) и H2(z) соответствуют разностные уравнения M 1 v(n)  x(n)   am v(n  m) m 1 (8.16). K 1 y ( n )   bk v ( n  k ) k 0 Так как в фильтрах, реализующих H1(z) и H2(z), имеет место только задержка сигнала v(n), то можно использовать только один набор элементов задержки. Прямая каноническая форма структурной схемы фильтра, описываемого уравнением (8.8) или соответствующей передаточной функцией (8.9) представлена на рис.8.6. (n) X(n) Y(n) b0 + + -a1 -a2 -ak-1 -1 Z b1 -1 Z b2 -1 Z bn-1 Рис. 8.6 Она содержит минимальное число элементов задержки L  max( N  1, M  1) и два сумматора. В качестве примера на рис.8.7 представлена прямая каноническая форма структурной схемы биквадратного блока с передаточной функцией (8.13). 4 X(n) Y(n) b0 + + -a1 -a2 -1 Z b1 -1 Z b2 Рис. 8.7 Каскадная (последовательная) форма структурной схемы дискретного фильтра соответствует представлению передаточной функции (8.9) в виде произведения L H ( z)   H l ( z) (8.17), l 1 где Hl(z) – передаточная функция биквадратного блока b  b1l z 1  b2l z 2 (8.18), H l ( z )  0l 1  a1l z 1  a2l z 2 max( N  1, M  1)  1) . где L  int( 2 При этом отдельные биквадратные блоки, реализующие Hl(z) соединяются между собой последовательно. Такое представление всегда можно получить разложением числителя и знаменателя (8.9) на сомножители первого и второго порядка. Так что возможно, что в некоторых сомножителях Hl(z) некоторые коэффициенты равны нулю. При этом данные сомножители реализуются более простой структурой, чем показано на рис.8.5 и рис.8.7. Кроме того, при последовательном соединении биквадратных блоков, реализованных в прямой форме (рис.8.5), может оказаться, что элементы задержки в цепи обратной связи предшествующего блока дублируют элементы задержки в прямой ветви последующего блока. Поэтому при каскадной реализации L-звенного фильтра на биквадратных блоках в прямой форме из схемы могут быть исключены 2(L1) элементов задержки. Параллельная форма структурной схемы рекурсивного дискретного фильтра соответствует представлению передаточной функции (8.9) в виде H ( z)   H l ( z) (8.19), l где слагаемые Hl(z) получаются при разложении H(z) на простые дроби типа b0l  b1l z 1 (8.20) H l ( z)  1  a1l z 1  a2l z 2 и могут быть реализованы в виде упрощенных структур биквадратных блоков. Прямая форма структурной схемы нерекурсивного фильтра является непосредственной реализацией передаточной функции нерекурсивного фильтра (8.11) или его разностного уравнения (8.10). Прямая форма, представленная на 5 рис.8.8 содержит N-1 элементов задержки, N умножителей и сумматор на N входов. X(n) -1 Z -1 Z -1 Z b0 b1 b2 bn-1 + Y(n) Рис. 8.8 Эту форму называют также трансверсальным фильтром или фильтром с многоотводной линией задержки. Каскадная (последовательная) форма структурной схемы нерекурсивного фильтра соответствует представлению передаточной функции (8.11) в виде произведения L H ( z)   H l ( z) (8.21), l 1 где H l ( z )  b0l  b1l z 1  b2l z 2 H l ( z )  b0l  b1l z 1 или Такое разложение всегда можно получить разложением H(z) на сомножители первого и второго порядка, каждый из которых реализуется с помощью упрощенной структуры биквадратного блока, а все составляющие блоки соединяются между собой последовательно. Важнейшей временной характеристикой линейной дискретной системы является импульсная характеристика, под которой понимают реакцию системы h(n) на единичный импульс (n) при нулевых начальных условиях. Импульсную характеристику можно рассчитать путем решения соответствующего разностного уравнения дискретной системы. В качестве примера вычислим импульсную характеристику дискретного линейного фильтра, описываемого разностным уравнением y ( n )  0.5 y ( n  1)  x ( n ) . Пусть y(-1)=0, x(n)=(n). При этом y(n) есть h(n). Тогда получим h(0)  0.5h ( 1)   (0)  1 h(1)  0.5h (0)   (1)  0.5 h( 2)  0.5h(1)   ( 2)  0.25  h( n )  (0.5) n Входной дискретный сигнал фильтра x(n) можно представить в виде 6  x ( n )   x ( m ) ( n  m ) (8.22). m 0 Так как реакция дискретного фильтра на единичный импульс есть импульсная характеристика h(n), то вследствие стационарности фильтра реакцией фильтра на (n-m) будет h(n-m). Тогда, вследствие линейности фильтра реакцией на входную последовательность x(n) будет  y ( n )   x ( m )h( n  m ) (8.23). m 0 Заменой переменных это выражение может быть приведено к виду  y ( n )   x ( n  m)h( m) (8.24). m 0 При этом предполагается, что h(n)=0 при n<0 и x(n)=0 при n<0. Поэтому n n m 0 m 0 y ( n )   x ( m )h ( n  m )   x ( n  m )h ( m ) (8.25). Последняя формула определяет реакцию линейного дискретного фильтра на произвольное входное воздействие как свертку этого входного воздействия и импульсной характеристики. Согласно формуле (8.25) переходная характеристика линейного дискретного фильтра т.е. его реакция на единичную последовательность при нулевых начальных условиях, может быть вычислена как n n m 0 m 0 g ( n )   h ( m )u 0 ( n  m )   h ( m ) (8.26). В свою очередь, очевидно, что h(n )  g (n )  g (n  1) (8.27). Если на вход линейного дискретного фильтра подается сигнал x(n)=(n), то реакцией системы будет y(n)=h(n). При этом z-преобразования обоих сигналов будут иметь вид X(z)=1, Y(z)=H(z). Тогда передаточная функция фильтра Y ( z) H ( z)   Y ( z)  H ( z) (8.28). X ( z) Это означает, что передаточная функция линейного дискретного фильтра есть ни что иное, как z-преобразование импульсной характеристики. Если записать передаточную функцию в виде  H ( z )   bk z k (8.29), k 0 то видно, что коэффициенты bk совпадают с k-ми выборками импульсной характеристики и следовательно  H ( z )   h( k ) z k (8.30). k 0 Таким образом, импульсную характеристику можно вычислить как обратное zпреобразование передаточной функции. Фильтром с конечной импульсной характеристикой (КИХфильтром) называется фильтр, у которого импульсная характеристика представляет собой конечный дискретный сигнал, т.е. может принимать отличные от нуля значения лишь при n=0, 1, …, N-1. 7 Фильтром с бесконечной импульсной характеристикой (БИХфильром) называется фильтр, у которого импульсная характеристика может принимать отличные от нуля значения на бесконечном множестве значений n=0, 1, … Нерекурсивный фильтр всегда является КИХ-фильтром, в то время как рекурсивный фильтр может быть как КИХ так и БИХ фильтром. Линейный дискретный фильтр физически реализуем, если его выходной сигнал не опережает входного, т.е. в любой момент n выходной сигнал y(n) зависит лишь от значений входного сигнала в моменты, предшествующие n и не зависит от его значений в последующие моменты. Критерием физической реализуемости линейного дискретного фильтра является равенство нулю отсчетов импульсной характеристики при отрицательных значениях моментов отсчетов, т.е. h(n)=0 при n<0. Фильтр называется устойчивым, если при любых начальных условиях реакция фильтра на любое ограниченное воздействие x(n) также ограничена, т.е. если x(n)  A   для всех n, то y(n)  B   тоже для всех n, причем A и B – постоянные, не зависящие от n. Из выражения (8.24) следует, что если x(n) – ограничено, т.е. x(n)  A   для всех n, то абсолютное значение выходного сигнала   m 0 m 0 y ( n )   x ( n  m ) h ( m )  A h ( m ) (8.31). Значит, критерием устойчивости дискретного фильтра является абсолютная сходимость ряда отсчетов импульсной характеристики.   h(m)   (8.32). m 0 Можно показать, что условие (8.32) является не только достаточным, но и необходимым условием устойчивости фильтра. Однако непосредственное использование этого условия для проверки устойчивости практически затруднено. Поэтому рассмотрим другую формулировку критерия устойчивости. Если представить передаточную функцию фильтра в общем виде (8.30), то можно сделать вывод о том, что  H ( z )   h( k ) z k (8.33). k 0 Если z 1  1 , то  H ( z )   h(k ) (8.34). k 0 Это значит, что в устойчивом фильтре H(z) конечна во всех точках z-плоскости, где z  1, и, следовательно, передаточная функция H(z) не должна иметь особых точек полюсов при z  1 , т.е. на и вне единичного круга z-плоскости. Таким образом, фильтр будет устойчивым только тогда, когда все полюсы H(z) расположены внутри единичного круга z-плоскости. Найдем преобразования Фурье входного и выходного сигнала линейного дискретного фильтра 8  X ( e jT )   x ( nT )e  jnT n 0 Y (e jT  )   y ( nT )e (8.35).  jnT n 0 Здесь суммирование производится от n=0 так как предполагается, что x(n)=0 и y(n)=0 при n<0. Частотной характеристикой дискретного фильтра называется отношение Y (e jT ) (8.36). H (e jT )  X (e jT ) частотная характеристика совпадает с передаточной функцией на единичной окружности z-плоскости, т.е. при z  e jT . Поэтому для рекурсивного фильтра получим K 1 b e  j kT H ( e jT )  k k 0 M 1 1   am e (8.37), jmT m 1 а для нерекурсивного фильтра K 1 H ( e jT )   bk e jkT (8.38). k 0 В общем случае H(ejT) – комплексная функция, которая может быть записана в виде (8.39), H (e jT )  A( )e j ( )  R( )  jJ ( ) где A() – модуль частотной характеристики – амплитудно-частотная характеристика (АЧХ), () – аргумент частотной характеристики – фазочастотная характеристика (ФЧХ), R()=A()cos(), J()=A()sin() – вещественная и мнимая части частотной характеристики. Производная от ФЧХ d ( )  ( )   (8.40) d называется групповым временем замедления (ГВЗ). Из теории дискретных систем вытекает ряд важных свойств частотных характеристик линейных дискретных фильтров. 1. Все частотные характеристики дискретных фильтров являются непрерывными периодическими функциями частоты с периодом d=2/T. 2. Для вещественных фильтров, т.е. фильтров, передаточные функции которых имеют только вещественные коэффициенты, АЧХ A() и ГВЗ () представляют собой четные функции частоты, а ФЧХ () – нечетную функцию частоты. Из этого следует, что требования к частотным характеристикам достаточно задавать лишь на интервале полупериода 0,  T  . Под цифровым фильтром понимают дискретный фильтр, описываемый уравнением (8.8) и реализованный программным путем с помощью микропроцессора или аппаратным путем в виде специализированного цифрового вычислительного устройства, состоящего из элементов памяти (регистров), сумматоров, умножителей и устройств управления. 9 Сигналы на входе и на выходе цифрового фильтра являются цифровыми, т.е. последовательностями чисел. Каждое из этих чисел представляется в виде двоичного кода определенной конечной разрядности. В цифровом фильтре в соответствии с алгоритмом (8.8) выполняются операции пересылки, сложения и умножения кодов. При этом алгоритм функционирования (8.8) реализуется неточно. Ошибки цифровой фильтрации обусловлены, во-первых, квантованием входных и выходных сигналов, вовторых, квантованием коэффициентов фильтра и, в-третьих, конечной разрядностью операционных устройств, вследствие чего имеет место округление результатов арифметических операций. Таким образом, выбранная структура цифрового фильтра, разрядность входных и выходных сигналов, разрядность арифметических устройств влияют на точность работы устройства идолжны выбираться таким образом, чтобы результирующая ошибка цифрового фильтра не превышала допустимой величины. Другим важным критерием качества цифрового фильтра является его быстродействие, определяемое минимальным временем, необходимым для вычисления одного отсчета выходного сигнала. Очевидно, что это время должно быть не больше периода дискретизации сигналов. Цифровые фильтры могут иметь свойства как КИХ так и БИХ фильтров. В обоих случаях фильтры имеют свои преимущества и недостатки. Преимущества КИХ фильтров: 1. КИХ фильтры могут иметь линейную ФЧХ. 2. КИХ фильтры, реализованные по нерекурсивному алгоритму всегда устойчивы. 3. Для КИХ фильтров, реализованных по нерекурсивному алгоритму шумы квантования можно сделать приемлемо малыми. 4. КИХ фильтры могут быть реализованы по рекурсивному алгоритму, если это необходимо. Недостатки КИХ фильтров: 1. Длительность импульсной характеристики КИХ фильтра, несмотря на то, что она конечна, может оказаться достаточно большой для достижения резкого спада частотной характеристики на границе зоны пропускания. 2. Разработка КИХ фильтров более сложна, чем разработка БИХ фильтров с аналогичными характеристиками. Преимущества БИХ фильтров: 1. БИХ фильтры могут быть использованы для реализации цифровых аналогов классических видов аналоговых фильтров, таких, как фильтры Баттерворта, Чебышева и т.д. 2. При аналогичных характеристиках, БИХ фильтры имеют более простую реализацию по сравнению с КИХ фильтрами. Недостатки БИХ фильтров: 1. БИХ фильтры более чувствительны к конечной разрядности вычислений, которая приводит у них к появлению колебаний т.н. «предельных циклов». 2. За исключением специального случая, когда все полюса передаточной функции лежат на единичной окружности z-плоскости, невозможно построить реализуемый стабильный БИХ фильтр, имеющий точно линейную ФЧХ. 10 Лекция № «Эффекты квантования и шумы в цифровых фильтрах» В реальных устройствах, реализующих алгоритмы цифровой обработки сигналов, необходимо учитывать эффекты, обусловленные квантованием входных сигналов и конечной разрядностью всех регистров. Источниками ошибок в процессах обработки сигналов являются округление (или усечение) результатов арифметических операций, шум квантования, связанный с аналогоцифровым преобразованием входных аналоговых сигналов, неточность реализации характеристик цифровых фильтров из-за округления их коэффициентов. Для анализа эффектов, связанных с конечной разрядностью представления данных, необходимо сделать некоторые предположения относительно статистической независимости различных источников шумов, возникающих в цифровом фильтре. Принимается статистическая модель, основанная на следующих предположениях: 1. Любые два отсчета шума от одного и того же источника не коррелированны. 2. Любые два источника шума создают некоррелированные шумы. 3. Шум каждого из источников не коррелирован с входным сигналом. Эти предположения значительно упрощают анализ процессов, связанных с шумами квантования в цифровых фильтрах, поскольку делают отдельные источники шума статистически независимыми друг от друга и дают возможность проводить анализ для каждого из них отдельно. Однако, принятые предположения справедливы далеко не всегда. Можно привести множество примеров, для которых эти предположения не верны. Например, если входной сигнал является постоянным или синусоидальным, с частотой кратной частоте дискретизации. В первом случае все отсчеты ошибки квантования будут одинаковы, а во втором они образуют периодическую последовательность. Таким образом, в обоих случаях выдвинутые предположения неверны. Эффекты квантования приводят в конечном итоге к погрешностям в выходных сигналах цифровых фильтров, а в некоторых случаях и к неустойчивым режимам работы. В силу принятых допущений выходная ошибка цифрового фильтра вычисляется как суперпозиция ошибок, обусловленных каждым независимым источником. Если на вход цифрового фильтра с импульсной характеристикой h(t) поступает сигнал x(t), то выходной сигнал фильтра определяется выражением N y ( n )   h ( m) x ( n  m) (9.1). m 0 В результате квантования входного сигнала образуется шум квантования ein(n), который накладывается на входной сигнал и воздействует на фильтр. В силу линейности фильтра можно вычислить реакцию фильтра eout(n) на входной шум N eout (n)   h(m)ein (n  m) (9.2). m 0 При этом подразумевается, что все вычислительные устройства и запоминающие устройства фильтра имеют бесконечную разрядность. Аналогично можно найти ошибку сигнала в любой точке структурной схемы фильтра, обусловленную шумом квантования входного сигнала ein(n). 1 N ei (n)   hi (m)ein (n  m) (9.3), m 0 где hi(n) – импульсная характеристика части фильтра от его входа до точки, в которой оценивается ошибка. Если входной сигнал фильтра квантуется с разрядностью bin, то ошибка квантования входного сигнала при использовании округления ограничена величиной Q Ein  max( ein ( n ) )  2 bin 1  in (9.4), 2 а ошибка выходного сигнала фильтра, вызванная квантованием входного сигнала, может быть оценена как  Q  Eout  max( eout (n) )  max( ein (n) )  h(m)  in  h(m) (9.5). 2 m 0 m 0 Таким образом, верхняя граница ошибки, вызванной квантованием входного сигнала, зависит от разрядности квантования и от суммы модулей выборок импульсной характеристики фильтра. Дисперсия входного шума округления 2 2bin Q 2 in  2 in   (9.6), 12 12 поэтому дисперсия шума квантования на выходе фильтра в соответствии с (9.3) равна  Q 2 in  2 2 2 2 (9.7).  out   in  h (m)   h ( m) 12 m0 m 0 Согласно равенству Парсеваля    h ( m)  2 m 0 T  T  H (e jT 2 ) d (9.8) можно записать (9.7) в виде   2 out   2 in T  T  H (e jT 2 ) d (9.9), где H ( e jT ) - амплитудно-частотная характеристика цифрового фильтра. Таким образом, по допустимой величине out2 и известной АЧХ или импульсной характеристике фильтра можно определить допустимую величину дисперсии ошибки входного сигнала in2, которая в свою очередь определяет требуемую разрядность bin квантования входного сигнала. Отношение сигнал-шум на выходе фильтра, которое определяется, как отношение мощности сигнала к мощности шума в логарифмическом масштабе определяется как  2 2bin   2s 2 С   10 lg  2 s  6bin  10.8 (9.10),  10 lg( 2 )  10 lg  s  10 lg  Ш  in  12  где s2 – дисперсия полезного входного сигнала, а bin – разрядность квантования входного сигнала. Следовательно, при увеличении разрядности квантования на один разряд отношение сигнал-шум увеличивается примерно на 6 дБ. В качестве примера рассмотрим цифровой фильтр первого порядка, описываемый уравнением 2 y ( n )  x( n )  ay ( n  1) Его структурная схема представлена на рис.9.1. X(n) (9.11). Y(n) + -1 Z a Рис. 9.1 Пусть шум квантования входного сигнала имеет дисперсию in2. Импульсная характеристика такого фильтра имеет вид (9.12). h( n )  a n Согласно (9.7) дисперсия шума выходного сигнала такого фильтра, обусловленного квантованием входного сигнала равна  1  2 out   2 in  a 2 n   2 in (9.13). 1  a2 n 0 Для устойчивости фильтра необходимо выполнения условия a  1 и, следовательно,  2 out   2 in , т.е. мощность выходного шума больше мощности входного шума. Чем ближе a к единице, тем больше усиление входного шума фильтром. С использованием теоремы Парсеваля можно определять дисперсию выходного шума фильтра по его АЧХ. Пусть задан фильтр, АЧХ которого представлена на рис.9.2. A()= H(exp(jt))  1  ¼*/Т ¾*/Т Рис. 9.2 Тогда, согласно (9.9) дисперсия выходного шума фильтра, вызванного квантованием входного сигнала, будет равна  3 4T T 2  4T 2T 2  2 (9.14).  out   in   1d   (1.5   ) d   0.417 2 in    0   4T   Выбор оптимальной разрядности квантования входного сигнала определяется необходимой точностью представления информации, заложенной 3 во входном сигнале, наличием в нем предвходящего шума и процедурой, которая применяется для обработки сигнала. Содержащийся в сигнале шум определяет верхнюю границу числа уровней квантования. Очевидно, нет смысла использовать большое количество разрядов когда в сигнале содержится большой шум, так как в этом случае с большой точностью будет квантоваться шум, а не сигнал. Достаточно выбрать столько уровней квантования, чтобы вклад шума квантования был мал по сравнению с шумом, содержащимся в сигнале. С другой стороны, минимально допустимое количество уровней квантования должно обеспечивать желаемое качество выходного сигнала. Ухудшение качества входного сигнала может быть вызвано воздействием неидеальностей на этапе предварительной обработки сигнала (шумы и ограниченные частотные характеристики предварительных масштабирующих усилителей и аналоговых фильтров). До сих пор принималось, что коэффициенты разностного уравнения фильтра заданы с бесконечной точностью. При физической реализации фильтра эти коэффициенты хранятся в элементах электронной памяти (запоминающих ячейках), которые имеют ограниченную разрядность. Это означает, что коэффициенты фильтра также как и входной сигнал подвергаются квантованию. Квантование коэффициентов фильтра подчиняется тем же закономерностям, что и квантование входного сигнала. В результате квантования коэффициентов фильтра, значения полюсов и нулей передаточной функции фильтра в большей или меньшей степени изменяются, что, в свою очередь, приводит к соответствующему изменению частотных характеристик фильтра. Так, кантование коэффициентов фильтра приводит к появлению ошибки (9.15), A  A( )  Ad ( ) где A() – АЧХ фильтра с неквантованными коэффициентами, Ad() – АЧХ фильтра с квантованными коэффициентами. Величина A( ) не должна превосходить допустимую величину A( ) max , определяемую обычно из условия, чтобы отклонения реальной АЧХ от идеальной были в допустимых пределах. Различные структуры фильтров имеют различную чувствительность к изменению отдельных коэффициентов. Поэтому универсального метода определения требуемого количества разрядов квантования коэффициентов, для всех типов фильтров предложить невозможно. Необходимое количество разрядов в квантованных коэффициентах фильтров можно определить путем вычисления A( ) для последовательно возрастающего числа разрядов в кодах коэффициентов, до выполнения условия A( )  A( ) max . Возможны и практически применяются и другие методы, в частности методы, основанные на предварительном изучении чувствительности характеристик конкретного типа фильтра к изменениям его коэффициентов. В качестве примера рассмотрим биквадратный блок описываемый передаточной функцией b0  b1 z 1  b2 z 2 (9.16), H ( z)  1  a1 z 1  a2 z 2 структурная схема которого представлена на рис.9.3. 4 X(n) Y(n) b0 + + -a1 -a2 -1 Z b1 -1 Z b2 Рис. 9.3 Если обозначить полюсы передаточной функции (9.16) через e  j , то легко убедиться, что   a1 (9.17). a1 cos   2 a2 Тогда при малых изменениях a1 и a2 координаты полюсов изменяются на величины a   (9.18),   a1  a2  1 a1 a2 2 a a    1 sin   22 tg аналогично (9.19). 2 2 Можно заметить, что  резко изменяется при значениях , близких к единице, тогда как  резко изменяется при значениях , близких к нулю. Чувствительность частотных характеристик фильтров к изменению значений коэффициентов сильно зависит от структуры, выбранной для реализации фильтра. При реализации алгоритма цифрового фильтра выполняются операции сложения и умножения на коэффициенты. Сложение чисел с фиксированной точкой при разрядности сумматора, не меньшей разрядностей представления слагаемых, не приводит к ошибкам округления представления суммы. Выполнение операции умножения связано с ошибками округления. Произведение двух чисел с фиксированной точкой с b1 и b2 разрядами соответственно может содержать до b1+b2 разрядов. При последовательном выполнении операций умножения необходимо ограничивать разрядность произведений. Иначе, разрядность последующих произведений будет неограниченно возрастать. Поэтому, для хранения произведений обычно отводят запоминающие ячейки с разрядностью, меньшей, чем до b1+b2. Таким образом, результат умножения подвергается округлению. В результате округления произведений алгоритм фильтра реализуется неточно и выходной сигнал вычисляется с ошибкой. Модель умножителя с конечным числом разрядов представляется в виде последовательного соединения идеального умножителя (с неограниченным числом разрядов) и сумматора, на вход которого наряду с точным значением 5 произведения поступает шум квантования. На выходе сумматора получается квантованное значение произведения с bmul разрядами (рис.9.4). X(n) Y(n) + a emul(n) Рис. 9.4 Ошибка округления одного произведения может быть оценена своей верхней границей Q E mul  max( emul ( n ) )  2 bmu l 1  mul (9.20), 2 где Qmul – шаг квантования произведения. Эта ошибка может рассматриваться как дискретный стационарный случайный процесс с равномерной плотностью распределения вероятности, с нулевым средним и дисперсией равной 2 2bmul  mul 2  (9.21). 12 Приняв такую линейную модель для каждого узла умножения на структурной схеме фильтра, можно вычислить ошибку в выходном сигнале фильтра как суперпозицию ошибок, обусловленных всеми источниками шума округления. С этой целью следует лишь определить импульсные характеристики hi(n) частей структуры фильтра от каждого i-го источника шума (т.е. выхода i-го умножителя) до выхода фильтра и вычислить составляющую в выходном шуме фильтра, обусловленную i-м источником шума как  emul.out.i (n)   hi (k )emul.i (n  k ) (9.22). k 0 Тогда, шум округления на выходе, обусловленный всеми L источниками шума можно вычислить как L emul.out ( n )   emul.out.i ( n ) (9.23). i 0 Таким образом, выходной шум фильтра, обусловленный i-м источником округления, не превышает величины   Q E mul.out.i  max( emul.out.i )  max( emul.i ) hi (k )  mul  hi (k ) (9.24). 2 k 0 k 0 Тогда максимальная величина выходного шума, обусловленного всеми L источниками округления (при том, что разрядность всех умножителей одинакова) равна L  Q E mul.out  max( emul.out )  mul  hi (k ) (9.25). 2 i 1 k 0 На основании (9.7) можно оценить дисперсию результирующего шума округления от всех источников как L Q 2 mul L  2 2 2  mul.out   mul.i  (9.26).  hi (k ) 12 i 1 k 0 i 1 6 Уровень выходного шума фильтра, обусловленного квантованием произведений, сильно зависит от особенностей структуры, выбранной для реализации фильтра. Это объясняется тем, что импульсная характеристика участка фильтра от выхода конкретного умножителя до выхода фильтра зависит от применяемой структуры. При выборе структуры фильтра необходимо учитывать влияние ошибок квантования произведений наряду с ошибками квантования коэффициентов. Все источники шума квантования произведений вносят различный вклад в результирующий выходной шум. В качестве примера рассмотрим оценку выходного шума квантования произведений в биквадратном блоке, имеющем импульсную характеристику h(n). Шумовая модель рассматриваемой структуры представлена на рис.9.5. X(n) b0 + + -a1 -1 Z b1 + emul.4 emul.1 + -a2 -1 Z b2 emul.2 + + emul.5 + Y(n) emul.3 Рис. 9.5 Из представленной модели видно, что структура фильтра имеет пять источников шума квантования произведений. Источники emul.4 и emul.5 проходят по той же цепи, что и входной сигнал. Это означает, что их импульсные характеристики h4(n) и h5(n) совпадают с общей импульсной характеристикой фильтра h(n). Источники emul.1, emul.2, emul.3 непосредственно добавляют ошибку на выходе фильтра, вследствие чего не могут быть усилены фильтром. Их импульсные характеристики равны (n). В соответствии с (9.7) и (9.26) можно оценить вклад отдельных источников шума как Q 2 mul  2 Q 2 mul  2 Q 2 mul  2 mul.1   2 mul.2   2 mul.3  h ( k )   ( k )   i  12 k 0 12 k 0 12 (9.27). 2  Q mul 2 2 2  mul.4   mul.5   h (k ) 12 k 0 Дисперсия суммарного шума квантования на выходе фильтра в соответствии с (9.26) будет равна  2 mul.out   2 mul.1   2 mul.2   2 mul.3   2 mul.4   2 mul.5   (9.28). Q 2 mul    3  2 h 2 ( k )   12  k 0  7 Общая ошибка квантования, обусловленная квантованием входного сигнала и квантованием произведений, определяется суммой оценок соответствующих ошибок. При суммировании чисел с фиксированной точкой ошибка округления не возникает (если только сумматор имеет разрядность не меньше разрядности слагаемых). Однако, при суммировании чисел с фиксированной разрядностью возможно возникновение переполнения, когда получившийся результат не помещается в количество разрядов, соответствующее разрядности слагаемых. При возникновении переполнения во избежание нарушения алгоритма функционирования фильтра сумма должна быть ограничена с учетом знака на уровне максимального значения, умещающегося в заданное количество разрядов результата. При программной реализации фильтра это осуществляется соответствующим ветвлением алгоритма функционирования, а при аппаратной реализации требует включения в схему фильтра специальных устройств анализа переполнения и ограничения суммы с учетом знака. Однако, даже реализация указанных средств не решает всех проблем, связанных с переполнением, так как при наличии переполнений фильтр превращается в существенно нелинейное устройство со всеми вытекающими из этого последствиями. Поэтому, для нормальной работы фильтра необходима реализация специальных мер, позволяющих избежать появления ситуации переполнения вообще. Одно из средств, для предотвращения переполнения заключается во введении масштабирования, которое сводится к сдвигу вправо (что эквивалентно делению) двоичных кодов слагаемых на всех входах сумматоров. Если исходные слагаемые нормированы на уровне 1.0, то при суммировании двух чисел, для исключения возможности переполнения необходимо каждое из слагаемых сдвинуть на один разряд вправо, что эквивалентно делению каждого слагаемого на 2. После этого, каждое из слагаемых по модулю не будет превышать 0.5, а, значит, их сумма не превысит 1.0. Если у сумматора больше двух входов, то слагаемые должны быть сдвинуты на большее количество разрядов. Такой метод называется автоматическим масштабированием. В результате такого масштабирования возникает ошибка масштабирования, связанная с тем, что младший разряд (или разряды при сдвиге более чем на один разряд) сдвигаемых слагаемых теряются, и результирующая ошибка их представления увеличивается. Так, при сдвиге слагаемых на один разряд максимальное значение ошибки масштабирования равно (9.29), Es  max  es (n)   2 b  Q где b – количество разрядов в представлении слагаемого. Если сдвигаемое слагаемое представляет собой число со знаком в прямом коде, то возможные значения этой ошибки равны 2-b, -2-b, 0. Если принять p(2  b )  1 4 b (9.30), p( 2 )  1 4 p ( 0)  1 2 то эта ошибка может быть представлена как случайный шум со средним значением равным 0 и дисперсией 2 2b  2m  (9.31). 2 8 Если слагаемое представляет собой число в дополнительном коде, то ошибка масштабирования может принимать значения -2-b или 0 с равной вероятностью 0.5. При этом шум масштабирования имеет среднее значение -2-b/2 и дисперсию 2 2b (9.32).  2m  2 Таким образом, ошибки масштабирования могут быть учтены в модели фильтра аналогично ошибкам квантования. Другой способ предотвращения возможности переполнения сводится к масштабированию входных сигналов фильтра или его составных частей. Если импульсная характеристика фильтра или некоторой его части равна hi(n), то выходной сигнал фильтра (или его части) yi(n) ограничен величиной  yi ( n )  x ( n ) max  hi ( n ) (9.33), n 0 где x(n) max - верхняя граница входного сигнала фильтра. Если x(n) max  1 , то необходимым условием отсутствия переполнения является   h (n)  1 n 0 (9.34). i Если коэффициенты фильтра заданы (т.е. заданы hi(n)), то, для того чтобы не было переполнений, т.е. чтобы выходной сигнал любого сумматора не превышал единицы, необходимо соответствующим образом ограничить величины входного сигнала и выходных сигналов умножителей. С этой целью вводится такое масштабирование, чтобы сигналы yi ( n )    h (n) x(n  m)  1 m 0 i i (9.35), где i – масштабирующие коэффициенты. Масштабирующие умножители включают на входах фильтра или на выходах умножителей. Если x(n) max  1 , то достаточным условием отсутствия переполнений является согласно (9.35) выбор масштабирующих коэффициентов исходя из условия 1 i   (9.36).  hi (n) n 0 Коэффициенты i выбирают, как и в случае автоматического масштабирования, обычно равными степеням двойки, и масштабирующее умножение сводится к сдвигам. При этом, аналогично случаю автоматического масштабирования, возникает шум масштабирования, который снижает отношение сигнал-шум на выходе фильтра. При существенном уменьшении амплитуд сигналов, проходящих через фильтр, уменьшается отношение сигнал-шум на выходе фильтра. Вычисление масштабирующих коэффициентов по формуле (9.36) часто приводит к завышенным результатам и, следовательно, к уменьшению эффективности работы фильтра. Помимо этого, при сложных структурах фильтра вычисление суммы бесконечного ряда отсчетов импульсной характеристики фильтра может оказаться сложно реализуемым. Поэтому расчет масштабных коэффициентов часто реализуют по другой методике, основанной на анализе спектра входного сигнала и частотных свойств фильтра. 9 Если структура фильтра содержит m сумматоров, то выходной сигнал iго сумматора vi(n) можно представить в виде  vi ( n )   hi ( k ) x ( n  m) (9.37), k 0 где x(n) – входной сигнал фильтра, hi(n) – импульсная характеристика части фильтра от входа до выхода i-го сумматора. Z-преобразование сигнала vi(n) можно записать как (9.38), Vi ( z )  H i ( z ) X ( z ) где Hi(z) – передаточная функция части фильтра от входа до выхода i-го сумматора. Частотную характеристику сигнала vi(n) (для устойчивого фильтра) можно получить, сделав в выражении (9.38) замену переменных z  e jT Vi ( e jT )  H i ( e jT ) X ( e jT ) (9.40). Тогда сам выходной сигнал сумматора vi(n) можно определить как обратное преобразование Фурье от Vi(ejT) 2 T T (9.41). vi ( n )  H i (e jT ) X (e jT )e jnT d  2 0 Если сделать предположение о том, что модуль спектра входного сигнала x(n) ограничен некоторой величиной C, то можно оценить максимальное значение модуля выходного сигнала сумматора 2 vi ( n )  max ( X ( e 0 2 2 jT T T )) 2  H (e i  T T jT )d  (9.42). T T T H i ( e jT )d  C  H i ( e jT )d  2 0  0 Если входной сигнал фильтра x(n) подвергается предварительному масштабированию на коэффициент i, то последнее выражение принимает вид C  vi (n )  i C T  T  H (e jT i )d (9.43). Для исключения переполнений на выходе сумматора, т.е. для выполнения условия vi (n)  1 достаточно выбрать значение нормирующего множителя i таким, что 1 i   C T  T  H (e i (9.44). jT )d Если сделать предположение о том, что модуль частотной характеристики Hi(ejT) ограничен некоторой величиной D, то можно сделать оценку максимального значения модуля выходного сигнала сумматора другим способом, а именно 10 2 T vi ( n )  max ( H i ( e jT ) )i 2  0  2 T 2  Di T 2  X (e  X (e jT )d  Di T  jT )d   T T (9.45). T  X (e jT )d В этом случае нормирующий множитель i для исключения переполнения на выходе сумматора может быть выбран таким, что 1 i  (9.46).  T T D  X ( e jT )d  Наконец, применив к выражению (9.41) неравенство Коши-Буняковского 2 (  AB   A 2 B 2 ) можно получить следующее неравенство  vi ( n )  T   T  i H i (e jT 2 ) d T  T  X (e jT 2 ) d (9.47). Если предположить, что энергия спектра входного сигнала (второе подкоренное выражение в неравенстве (9.47)) ограничена некоторой величиной E, то нормирующий множитель i может быть выбран исходя из следующего выражения 1 (9.48). i   T T jT 2 E H ( e ) d i   Все три варианта выбора масштабирующего множителя базируются на наличии достоверной информации о спектральных характеристиках входного сигнала фильтра. Если эта информация не является абсолютно достоверной, то вероятность возникновения переполнения на выходе сумматора не является нулевой. Для исключения переполнения на выходах всех сумматоров, входящих в структурную схему фильтра необходимо сделать оценку коэффициентов i для каждого из сумматоров и выбрать окончательное значение нормирующего коэффициента на входе фильтра как   min( 1 , 2 , , m ) (9.49). Как и в случае автоматического масштабирования, коэффициенты  выбирают обычно равным степеням числа 2, что превращает операцию масштабирующего умножения в сдвиг кода входного сигнала на соответствующее число разрядов вправо. Масштабирующий умножитель, как и любой другой умножитель в структурной схеме фильтра является источником шума ошибки квантования, влияние которого на выходной сигнал может быть учтено аналогично шумам других умножителей. Очевидно, что в случаях, когда некоторый сумматор в структурной схеме фильтра складывает больше двух слагаемых, даже при отсутствии переполнения в конечной сумме, оно может иметь место в промежуточных частичных суммах. Этот факт не был учтен в предыдущих рассуждениях. Однако, если входные и промежуточные цифровые сигналы фильтра 11 представлены в дополнительном коде, то все вышеприведенные методы нормирования остаются правомерными, поскольку при суммировании чисел в дополнительном коде, конечный результат остается правильным (при отсутствии в нем переполнения) даже при наличии переполнения в частичных суммах. Предыдущий анализ базировался на предположении о том, что сигналы шумов статистически независимы от выборки к выборке и от источника к источнику. Это справедливо если разность между двумя соседними отсчетами входного сигнала значительно больше шага квантования. Ясно, что во многих случаях (в частности, когда входной сигнал постоянен или равен нулю) такое предположение несправедливо. При этих обстоятельствах ошибки квантования могут быть сильно коррелированы. Это может привести к нарушению нормальной работы фильтра, в результате чего фильтр становится неустойчивым, а на его выходе генерируются установившиеся периодические колебания. Это явление называется эффектом мертвой зоны, а периодические колебания на выходе называются колебаниями предельного цикла. Общий анализ этого нелинейного эффекта довольно сложен. Поэтому проведем исследование данного явления для простейших цифровых фильтров. Рассмотрим фильтр первого порядка, описываемый разностным уравнением (9.50). y (n)  b0 x(n)  a1 y (n  1) Передаточная функция такого фильтра имеет вид b0 bz H ( z)   0 (9.51). 1 1  a1 z z  a1 Структурная схема фильтра представлена на рис.9.6. X(n) b0 Y(n) + a1 -1 Z Рис. 9.6 Импульсная характеристика такого фильтра равна h( n )  b0 ( a1 ) n (9.52). Если коэффициент a1 равен 1 или –1, то фильтр становится неустойчивым и имеет импульсную характеристику b0 , при a1  1 (9.53). h( n )   n b (  1 ) , при a   1 1  0 В таблице 9.1 представлены точные значения отсчетов импульсной характеристики (9.52) при b0=10, a1=0.9. n h(n) 10 HQ(n) 10 12 1 2 3 4 5 6 … 100 9 8.1 7.29 6.561 5.9049 5.31441 … 2.65614*10-4 9 8 7 6 5 5 … 5 Теперь предположим, что фильтр имеет десятичный умножитель с фиксированной точкой, в котором каждое произведение a1*y(n-1) округляется до ближайшего целого согласно условию (9.54). Q( a1 y(n  1) )  Int ( a1 y(n  1)  0.5) В третьем столбце таблицы 9.1 представлены отсчеты импульсной характеристики такого фильтра. Как видно, при n  5 отклик фильтра становится постоянным, и квантование делает фильтр неустойчивым. Если предположить, что разностное уравнение (9.50) остается справедливым для неустойчивого фильтра, то эффективное значение a1 должно быть равно 1 при a1>0 или –1 при a1<0. Если это имеет место, то (9.55). Q( a1 y(n  1) )  y(n  1) Это значит, что Int ( a1  y(n  1)  0.5)  y(n  1) (9.56), или (9.57). Int ( y(n  1)  (1  a1 )  y(n  1)  0.5)  y(n  1) Это равенство выполняется при условии, что (9.58). 0  (1  a1 )  y(n  1)  0.5  1 Поэтому фильтр будет неустойчивым, если 0.5 (9.59). y (n  1)  k 1  a1 Поскольку y(n-1) – целое число, то фильтр будет устойчивым при a1  0.5 . Если a1  0.5 , то отклик фильтра будет затухать при отсутствии входного сигнала пока выходной сигнал не достигнет зоны [-k,k], называемой мертвой зоной. Когда это произойдет, режим фильтра станет неустойчивым. Любая причина, обуславливающая превышение модулем выходного сигнала величины k, приводит к восстановлению устойчивости. Однако, при отсутствии входного сигнала отклик снова затухает до величины, соответствующей мертвой зоне. Таким образом, фильтр будет находиться в режиме предельного цикла с амплитудой выходного сигнала равной k. Поскольку эффективное значение a1 равно 1 при a1>0 или –1 при a1<0, то частота такого предельного цикла равна 0 или s/2. Если в фильтре используется двоичный умножитель с шагом квантования результата равным q, то условие появления колебаний предельного цикла имеет вид q (9.60). y (n  1)  k 2(1  a1 ) 13 Это выражение может быть использовано для выбора минимального количества разрядов вычислительного устройства из условия ограничения амплитуды колебаний предельного цикла на заданном уровне. Проведем анализ эффекта мертвой зоны для фильтра второго порядка, который описывается разностным уравнением (9.61), y(n)  x(n)  a1 y(n  1)  a2 y(n  2) и имеет передаточную функцию 1 z2 (9.62). H ( z)   1  a1 z 1  a2 z 2 z 2  a1 z  a2 z 2 Если полюсы фильтра комплексные, то импульсная характеристика такого фильтра описывается выражением rn h( n )  ( ) sin(( n  1) ) (9.63), sin  где a (9.64). r  a 2 ,   arccos(  1 ) 2 a2 При a2=1 импульсная характеристика имеет вид синусоиды с постоянной амплитудой и частотой равной a arccos(  1 ) 2  (9.65). T Поэтому, квантование произведений будет приводить к неустойчивости, если эффективное значение a2 будет равно 1. При этом (9.66). Q( a2 y(n  2) )  y(n  2) Следовательно, как и ранее условие неустойчивой работы фильтра можно определить как 0.5 (9.67). y ( n  2)  k 1  a2 Если k – целое, то величины a2 из диапазонов 0.5  a2  0.75 0.75  a2  0.833 (9.68)  (2k  1)  a2  (2k  1) 2k 2(k  1) будут приводить к появлению мертвых зон [-1,1], [-2,2], …, [-k,k] соответственно. Если в фильтре используется двоичный умножитель с шагом квантования результата равным q, то условие появления колебаний предельного цикла имеет вид q (9.69). y (n  2)  k 2(1  a2 ) 14 Лекция № «Цифровые фильтры с конечной импульсной характеристикой» Передаточная функция физически реализуемого цифрового фильтра с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтра) может быть представлена в виде N 1 H ( z )   h( n ) z n (10.1). n 0 При замене в выражении (10.1) z  e j получим частотную характеристику КИХ-фильтра в виде N 1 H ( e j )   h( n )e  jn  A( )e j ( ) (10.2), n 0 где A( )  H ( e j ) - амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) фильтра,  ( )  arg H (e j ) - фазо-частотная характеристика (ФЧХ) фильтра. Фазовая задержка фильтра определяется как  ( )  p ( )   (10.3).  Групповая задержка фильтра определяется как d ( )  g ( )   (10.4). d Отличительной особенностью КИХ-фильтров является возможность реализации у них постоянных фазовой и групповой задержек, т.е. линейной ФЧХ  ( )   (10.5), где  - константа. При соблюдении этого условия сигнал, проходящий через фильтр, не искажает своей формы. Для вывода условий, обеспечивающих линейную ФЧХ, запишем частотную характеристику КИХ-фильтра с учетом (10.5) N 1 H (e j )   h(n)e  jn  H (e j ) e  j (10.6). n 0 Приравнивая действительные и мнимые части этого равенства, получим N 1 H ( e j ) cos( )   h( n ) cos(n ), n 0 N 1 H ( e ) sin(  )   h( n ) sin( n ) j (10.7). n 0 Разделив второе уравнение на первое, получим N 1 sin(  )  tg( )  cos( )  h(n) sin( n) n 0 N 1  h(n) cos(n) n 0 Окончательно можно записать (10.8). N 1 tg( )   h(n) sin( n) n 1 N 1 h(0)   h( n ) cos(n ) (10.9). n 1 Это уравнение имеет два решения. Первое при =0 соответствует уравнению N 1 0  h(n) sin( n) n 1 N 1 h(0)   h( n ) cos(n ) (10.10). n 1 Это уравнение имеет единственное решение, соответствующее произвольному h(0) (sin(0)=0), и h(n)=0 при n>0. Это решение соответствует фильтру, импульсная характеристика которого имеет единственный ненулевой отсчет в начальный момент времени. Такой фильтр не представляет практического интереса. Другое решение найдем для   0 . При этом перекрестно перемножив числители и знаменатели в (10.8) получим N 1 N 1 n 0 n 0  h(n) cos(n) sin( )   h(n) sin( n) cos() (10.11). Отсюда имеем N 1  h(n) sin(  (  n))  0 (10.12). n 0 Поскольку это уравнение имеет вид ряда Фурье, то его решение, если оно существует, является единственным. Легко заметить, что решение этого уравнения должно удовлетворять условиям N 1  (10.13), 2 h( n )  h( N  1  n ), 0  n  N  1 (10.14). Из условия (10.13) следует, что для каждого порядка фильтра N существует только одна фазовая задержка , при которой может достигаться строгая линейность ФЧХ. Из условия (10.14) следует, что импульсная характеристика N 1 фильтра должна быть симметричной относительно точки n  для 2 N  2 N  ;  (рис.10.1). нечетного N, и относительно средней точки интервала  2  2 h(n) N = 10 n h(n) N=9 n Рис. 10.1 Частотную характеристику такого фильтра (для нечетного N) можно записать в виде ( N 3) 2  h(n)e  jn  h( j H (e )  n 0 N 1 N  1  j ( N 1) 2 )e   h( n )e  jn 2 n ( N 1) (10.15). 2 Делая во второй сумме замену m=N-1-n, получим ( N  3) ( N  3) 2 N  1  j ( N 1) 2 H ( e )   h( n )e  h( )e   h( N  1  m)e  j ( N 1m ) (10.16). 2 n 0 m 0 Поскольку h(n)=h(N-1-n), то две суммы можно объединить 2 j j H (e )  e  jn  j ( N 1) ( N 3) 2 [  2 h(n )( e j ( ( N 1) n ) 2 e  j ( ( N 1) n ) 2 )  h( n 0 e  j ( N 1) ( N 3)  2h(n) cos( (( N  1) 2  n))  h( 2 2 [ n 0 Подставив m  j H (e )  e N 1 )]  2 (10.17). N 1 )] 2 N 1  n , получим 2  j ( N 1) ( N 1) 2 [  m 1 Если обозначить 2 2h( N 1 N 1  m) cos(m)  h( )] 2 2 N 1 ), 2 N 1 a ( m )  2h (  m) 2 (10.18). a (0)  h( (10.19), то окончательно можно записать j H (e )  e ( N 1)  j ( N 1) 2  a(n) cos(m) 2 (10.20). m 0 Таким образом, для фильтра с линейной ФЧХ имеем ( N  1) 2  a(n) cos(m), A( )  m0 (10.21). N 1    2 Для случая четного N аналогично будем иметь  ( )   j H (e )  N 1 2  h(n)e  jn  n 0 N 1  h( n )e n N  jn (10.22). 2 Делая замену во второй сумме m  N  1  n , получим j H (e )  N 1 2  h( n )e  jn  N 1 2 n 0 e  j ( N 1)  j ( N 1 m )  m 0 N 1 2  h(n)( e 2  h( N  1  m )e j ( ( N 1)  n ) 2 e  j ( ( N 1)  n ) 2 ) (10.23). n 0 e  j ( N 1) N 1 2 1  2h(n) cos( ( N 2  n  2 )) 2 n 0 Делая замену m  j H (e )  e N  n , получим 2  j ( N 1) N 2 2 N 1  2h( 2  m) cos( (m  2 )) (10.24). m1 Обозначив b( n )  2h( N  n) 2 (10.25), будем окончательно иметь j H (e )  e  j ( N 1) N 2 2 1  b(n) cos( (m  2 )) (10.26). m1 Таким образом, для КИХ-фильтра с линейной ФЧХ и четным порядком N можно записать N 2 1 A( )   b( n ) cos( ( m  )), 2 m 1 (10.27). N 1  ( )      2 В дальнейшем, для простоты будем рассматривать только фильтры с нечетным порядком. При синтезе передаточной функции фильтра исходными параметрами, как правило, являются требования к частотной характеристике. Существует много методик синтеза КИХ-фильтров. Рассмотрим некоторые из них. Поскольку частотная характеристика любого цифрового фильтра является периодической функцией частоты, то ее можно представить в виде ряда Фурье H ( e j )    h ( n )e  jn (10.28), n   где коэффициенты ряда Фурье равны  1 (10.29). h(n)  H (e j )e jn d  2  Видно, что коэффициенты ряда Фурье h(n) совпадают с коэффициентами импульсной характеристики фильтра. Поэтому, если известно аналитическое описание требуемой частотной характеристики фильтра, то по нему можно легко определить коэффициенты импульсной характеристики, а по ним – передаточную функцию фильтра. Однако на практике это не реализуемо, поскольку импульсная характеристика такого фильтра имеет бесконечную длину. Кроме того, такой фильтр физически не реализуем, поскольку импульсная характеристика начинается в -, и никакая конечная задержка не сделает это фильтр физически реализуемым. Одним из возможных методов получения КИХ-фильтра, аппроксимирующего заданную частотную характеристику заключается в усечении бесконечного ряда Фурье и импульсной характеристики фильтра, N 1 полагая что h(n)=0 при n  . Тогда 2 ( N 1) H ( z )  h ( 0)  2  (h( n ) z n  h ( n ) z n ) (10.30). n 1 Физическая реализуемость передаточной функции H(z) может быть достигнута путем умножения H(z) на z ( N 1) H ( z)  z 2 . ( N 1) ( N 1) 2  n 0 2 an n ( z  z n ) 2 (10.31), где a0  h(0), (10.32). a n  2h ( n ) При такой модификации передаточной функции амплитудная характеристика фильтра не изменяется, а групповая задержка увеличивается на постоянную N 1 величину . 2 В качестве примера рассчитаем КИХ-фильтр низких частот с частотной характеристикой вида  1, при    c H (e j )   (10.33). , при       c  В соответствии с (10.29) коэффициенты импульсной характеристики фильтра описываются выражением  1 c jn 1 h( n)  e d  sin( c n) (10.34).  2 c n Теперь из (10.31) можно получить выражение для передаточной функции H ( z)  z ( N 1) ( N 1) 2  n 0 2 an n ( z  z n ) 2 (10.35), где a0  h(0), (10.36). a n  2h ( n ) Амплитудные характеристики рассчитанного фильтра для различных N представлены на рис.10.2. 1 H( z (  ) 17) H( z (  ) 51) H( z (  ) 129) 0.5  0.2  0.1 0.1 0.2 0.3  Рис.10.2 Пульсации в полосах пропускания и задерживания происходят вследствие медленной сходимости ряда Фурье, которая, в свою очередь, обусловлена наличием разрыва функции H (e j ) на частоте среза полосы пропускания. Эти пульсации известны как пульсации Гиббса. Из рис.10.2 видно, что с увеличением N частота пульсаций растет, а амплитуда уменьшается как на нижних, так и на верхних частотах. Однако амплитуда последней пульсации в полосе пропускания и первой пульсации в полосе задерживания остаются практически неизменными. На практике такие эффекты часто нежелательны, что требует отыскания путей снижения пульсаций Гиббса. Усеченную импульсную характеристику h(n) можно представить в виде произведения требуемой бесконечной импульсной характеристики и некоторой функции окна w(n) длины n (рис.10.3). h(n)  hd (n) w(n) (10.37). h(n) , w(n) n Рис. 10.3 В рассмотренном случае простого усечения ряда Фурье используется прямоугольное окно N 1 N 1  1, при  2  n  2 w( n )   (10.38). 0, при n  N  1  2 В этом случае частотную характеристику фильтра можно представить в виде комплексной свертки  1 (10.39). H (e j )  H d (e j )W (e j (  ) d  2  Это значит, что H (e j ) будет «размытой» версией требуемой характеристики H d ( e j ) . Задача сводится к отысканию функций окон, позволяющих уменьшить пульсации Гиббса при той же избирательности фильтра. Для этого необходимо вначале изучить свойства функции окна на примере прямоугольного окна. Спектр функции прямоугольного окна можно записать как N 1 2 j WR ( e )   e j N j 2 e N 1 n  2 e  j N  j 2  jn  e j ( N 1)  j ( N 1) e 1  e  j sin( N ) 2   sin( ) 2 2  e 2 e 2 2 Спектр функции прямоугольного окна представлен на рис.10.4. (10.40). 150 100 w(   127) 50 50 0.2 0.15 0.1 0.05 0.05 0.1 0.15 0.2  Рис.10.4 Поскольку WR (e j )  0 при   спектра оказывается равной 4 m 2 , то ширина главного лепестка N . N Наличие боковых лепестков в спектре функции окна приводит к увеличению пульсаций Гиббса в АЧХ фильтра. Для получения малых пульсаций в полосе пропускания и большого затухания в полосе задерживания необходимо, чтобы площадь, ограниченная боковыми лепестками, составляла малую долю от площади, ограниченной главным лепестком. В свою очередь, ширина главного лепестка определяет ширину переходной зоны результирующего фильтра. Для высокой избирательности фильтра ширина главного лепестка должна быть по возможности малой. Как видно из вышеизложенного, ширина главного лепестка уменьшается с увеличением порядка фильтра. Таким образом, свойства подходящих функций окна можно сформулировать следующим образом: - функция окна должна быть ограничена во времени; - спектр функции окна должен наилучшим образом аппроксимировать функцию, ограниченную по частоте, т.е. иметь минимум энергии за пределами основного лепестка; - ширина основного лепестка спектра функции окна должна по возможности малой. Наиболее часто используют следующие функции окон: 1. Прямоугольное окно. Рассмотрено выше. 2. Окно Хэмминга (Hamming). 2n N 1    (1   ) cos( N  1), при n  2 wH ( n )   0, при n  N  1  2 где   0.54 . При   0.5 это окно называется окном Хэнна (hanning). 3. Окно Блэкмана (Blackman). 2n 4n N 1  0.42  0.5 cos( N  1)  0.08 cos( N  1), при n  2 wB ( n )   0, при n  N  1  2 4. Окно Бартлета (Bartlett). N 1  2n  N  1  1, при  2  n  0  2n N 1  wBR (n )  1  , при 0  n  2  N 1 N 1  0, при n  2 Показатели фильтров, построенных с применением функций окон, сведены в таблицу 10.1. Окно Прямоугольное Хэннинга Хэмминга Блэкмана Ширина главного лепестка 4 N 8 N 8 N 12 N (10.41), (10.42). (10.43). указанных Коэффициент пульсаций, % N=11 N=21 N=31 22.34 21.89 21.80 2.62 2.67 2.67 1.47 0.93 0.82 0.08 0.12 0.12 Коэффициент пульсации определяется как отношение максимальной амплитуды бокового лепестка к амплитуде главного лепестка в спектре функции окна. Для выбора требуемого порядка фильтра и наиболее подходящей функции окна при расчете реальных фильтров можно использовать данные таблицы 10.2. Окно Ширина Неравномерность Затухание в переходной в полосе полосе полосы пропускания (дБ) заграждения (дБ) Прямоугольное 0.7416 21 0.9 / N Хэннинга 0.0546 44 3.1 / N Хэмминга 0.0194 53 3.3 / N Блэкмана 5.5 / N 0.0017 75 Как видно из таблицы 10.1, существует определенная зависимость между коэффициентом пульсаций и шириной главного лепестка в спектре функции окна. Чем меньше коэффициент пульсаций, тем больше ширина главного лепестка, а значит и переходной зоны в АЧХ фильтра. Для обеспечения малой пульсации в полосе пропускания приходится выбирать окно с подходящим коэффициентом пульсаций, а требуемую ширину переходной зоны обеспечивать повышенным порядком фильтра N. Эту проблему можно решить с помощью окна, предложенного Кайзером (Kaiser). Функция окна Кайзера имеет вид N 1 I 0 ( ) , n   I 0 ( ) 2 wK ( n )   (10.44), 0, n  N  1  2 где  - независимый параметр,    1  (2n ) 2 , I0 – функция N 1 Бесселя первого рода нулевого порядка, определяемая выражением 2  1 x  I 0 ( x)  1    ( )k  (10.45).  k 1  k! 2 Привлекательным свойством окна Кайзера является возможность плавного изменения коэффициента пульсаций от малых значений до больших, при изменении только одного параметра . При этом, как и для других функций окон, ширина главного лепестка может регулироваться порядком фильтра N. Основными параметрами, задаваемыми при разработке реального фильтра, являются: - полоса пропускания - p; - полоса заграждения - a; - максимально допустимая пульсация в полосе пропускания – Ap; - минимальное затухание в полосе задерживания – Aa; - частота дискретизации - s. Эти параметры иллюстрируются на рис.10.5. При этом максимальная пульсация в полосе пропускания определяется как 1 Ap  20 lg (10.46), 1 а минимальное затухание в полосе задерживания как Aa  20 lg  (10.47). Сравнительно простая процедура расчета фильтра с окном Кайзера включает в себя следующие этапы: 1. Определяется импульсная характеристика фильтра h(n) при условии, частотная характеристика является идеальной  1, при    c H (e j )   (10.48), , при       c   p  a c  где (10.49). 2 2. Выбирается параметр  как   min(  1 ,  2 )  1  10 0.05 A , (10.50), a где 0.05 A (10.51). 10 p  1 0.05 A 10 p  1 3. Вычисляется истинное значение Aa и Ap по формулам (10.46), (10.47). 4. Выбирается параметр  как 0, Aa  21    0.5842( Aa  21) 0.4  0.07886( Aa  21), 21  Aa  50 (10.52). 0.1102( A  8.7), A  50 a a  2  5. Выбирается параметр D как 0.9222, Aa  21 D  ( A  7.95) (10.53). , Aa  21  a 14.36 6. Выбирается наименьшее нечетное значение порядка фильтра из условия s D (10.54), N 1 a   p где s – частота дискретизации. 7. Записывается выражение для функции окна Кайзера с учетом найденных параметров  и N. 8. Записывается выражение для передаточной функции фильтра в виде H K ( z)  z где ( N 1) ( N 1) 2  n 0 2 an n ( z  z n ) 2 (10.55), a0  wK (0)h(0), (10.56). an  2wK (n )h(n ) Формулы для расчета импульсных характеристик фильтров различных типов представлены в таблице 10.3. Тип фильтра Фильтр низких частот Фильтр высоких частот Полосовой фильтр Заградительный фильтр h( n ), n  0 h ( 0) 1 sin( c n ) n 1  sin( c n ) n 1 1 sin( 2 n )  sin( 1n ) n n 1 1 sin( 1n )  sin( 2 n ) n n 2 fc 1  2 fc 2( f 2  f1 ) 1  2( f 2  f1 ) Здесь f c , f1 , f 2 - нормированные частоты краев полос пропускания или заграждения. Для обеспечения требуемого качества работы фильтра необходимо не только найти требуемую передаточную функцию, но и оценить достаточную разрядность входного и выходного сигнала, а также коэффициентов фильтра. Поскольку АЧХ фильтра нормируются так, чтобы при всех значениях частоты модуль передаточной функции фильтра не превышал единицы, то из теоремы Парсеваля   h 2 m 0 ( m)  T  T  H (e jT 2 ) d (10.57) следует, что  h 2 (m)  1 (10.58), m 0 т.е. (10.59). h( m)  1 Поскольку отсчеты импульсной характеристики фильтра являются коэффициентами его передаточной функции, то условие (10.59) означает, что коды всех коэффициентов фильтра содержат лишь дробную часть и знаковый разряд и не содержат целой части. Количество разрядов дробной части коэффициентов фильтра определяется из условия удовлетворения передаточной функции фильтра с квантованными коэффициентами, заданных требований по приближению к эталонной передаточной функции с точными значениями коэффициентов. Абсолютные величины отсчетов входных сигналов фильтра обычно нормированы так, что (10.60). x(n )  1 Если анализ проводится для КИХ-фильтра с линейной ФЧХ, то алгоритм вычисления его выходного сигнала может быть следующим y(n)  N 1 1 2  l 0 ~ ~ bl ( x(n  l )  x(n  N  1  l ))  bN 1 x(n  N  1 ) 2 2 (10.61), ~ где bl - округленные до sk коэффициенты фильтра. Этому алгоритму соответствует структурная схема фильтра, представленная на рис.10.5. x (nT) -1 Z -1 Z -1 Z -1 Z -1 Z -1 Z -1 Z -1 Z   ~ b0  ~ bk 2 ~ b1  ~ bk 1 ~ bk  y(nT) Рис. 10.5 Существуют два способа реализации этого алгоритма. В первом случае, все операции умножения выполняются точно и округление произведений отсутствует. В этом случае разрядность произведений равна sin+sk, где sin – разрядность входного сигнала, а sk – разрядность коэффициентов фильтра. В этом случае структурная схема фильтра, представленная на рис.10.5 точно соответствует реальному фильтру. При втором способе реализации алгоритма (10.61) каждый результат операции умножения округляется, т.е. произведения вычисляются с некоторой погрешностью. В этом случае необходимо изменить алгоритм (10.61) так, чтобы учесть погрешность вносимую, округлением произведений y(n)  N 1 1 2  ~ [bl ( x ( n  l )  x ( n  N  1  l ))   l ( n )]  (10.62), l 0 ~  bN 1 x ( n  N  1 )   N 1 ( n ) 2 2 2 где  l (n ) - величины погрешностей вычисления соответствующих произведений. В этом случае на структурной схеме фильтра каждый умножитель должен быть дополнен сумматором точного произведения и погрешности (рис.10.6). ~ bk   r (nT) Рис. 10.6 Из (10.60) и (10.61) следует, что N 1 ~ y ( n )   bl (10.63), l 0 откуда следует, что количество разрядов для целой части кода выходного сигнала фильтра sц может быть определено как N 1 ~  , при bl  1,    l 0 (10.64). sц   N 1 N 1 ~ ~ int(log при  bl  1 2  bl ,  l 0 l 0 Пусть задана величина допустимой дисперсии шума на выходе фильтра 2  out . Как известно, дисперсия шума округления входного сигнала  2 in связана с разрядностью входного сигнала как 2 2 sin  2 in  (10.65). 12 Если значения отсчетов выходного сигнала фильтра вычисляются по первому способу (с точными значениями произведений), то дисперсия выходного шума определяется как N 1 ~  2 out   2 in  bl 2 (10.66), l 0 т.е. зависит от дисперсии шума округления входного сигнала и значений коэффициентов фильтра. Отсюда можно найти требуемое количество разрядов входного сигнала как N 1 ~ bl  1 sin  int( log 2 ( l 0 2 )) (10.67). 2 12 out По известным значениям sin и sk можно определить количество разрядов, необходимое для дробной части кода выходного сигнала как sд  sin  s k (10.68). Если значения отсчетов выходного сигнала вычисляются по второму способу, когда каждое произведение округляется до sд разрядов, то дисперсию шума округления, создаваемого каждым из умножителей можно выразить через разрядность произведения как 2 2 sд  2m  (10.69). 12 Из (10.62) следует, что в этом случае дисперсия выходного шума фильтра определяется как N 1 ~ N 1 2  2 out   2 in  bl 2   m (10.70). 2 l 0 При этом мощность собственных шумов фильтра должна быть мала по сравнению с мощностью шума округления входного сигнала N 1 ~ N 1 2  2 in  bl 2   m, 2 l 0 N 1 N 1 2 ~  m  K 2 in  bl 2 т.е. (10.71), 2 l 0 где K<<1 (можно например, принять K=0.1). Из (10.69)-(10.71) следуют формулы для определения требуемой разрядности входного сигнала и количества разрядов для дробной части выходного сигнала N 1 ~ bl  1 (10.72), sin  int[ log 2 ((1  K ) l 0 2 )] 2 12 out 1 N 1 (10.73). s д  int[ log 2 (( )] N 1 ~ 2  2 sin 1 K2  bl l 0 Требуемое значение дисперсии выходного шума фильтра, которое является исходным параметром для вычисления всех разрядностей, можно определить исходя из заданных значений динамического диапазона входного сигнала фильтра DRin и отношения сигнал-шум на выходе фильтра SNRout. Значение динамического диапазона входного сигнала в децибелах определяется как A DR  20 lg max (10.74), Amin где Amax и Amin – максимальная и минимальная амплитуды входного сигнала фильтра. Отношение сигнал-шум на выходе фильтра, выраженное в децибелах, определяется как P SNRout  10 lg s (10.75), Pn A2 min (10.76) 2 определяет среднеквадратическое значение мощности выходного синусоидального сигнала фильтра с амплитудой Amin, а Pn   2 out (10.77) определяет мощность шума на выходе фильтра. Из (10.75) и (10.76) при Amax=1 получаем выражение для дисперсии выходного шума фильтра 1  ( DR SNRo u t )10  2 out  10 (10.78). 2 Это значение дисперсии выходного шума фильтра может быть использовано для вычисления разрядностей входного и выходного сигналов фильтра. где Ps  Лекция № «Цифровые фильтры с бесконечной импульсной характеристикой» Передаточная функция физически реализуемого цифрового фильтра с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтра) может быть представлена в виде K 1 H ( z)  b z k k k 0 M 1 1   am z (11.1). m m 1 Вид дискретной передаточной функции БИХ-фильтра аналогичен виду непрерывной передаточной функции аналоговых фильтров. Поэтому можно использовать структуры цифровых БИХ-фильтров для получения частотных характеристик, соответствующих классическим видам аппроксимации (фильтры Баттерворта, Чебышева, Бесселя и пр.). Однако, реализовать цифровой фильтр с частотной характеристикой, точно совпадающей с частотной характеристикой аналогового фильтра невозможно. Причиной этого является тот факт, что, в отличие от аналогового фильтра в диапазоне частот 0  f   цифровой фильтр обладает периодической частотной характеристикой с периодом, равным частоте дискретизации fs. Однако используемая полоса частот у цифровых фильтров ограничивается диапазоном 0  f  1 f s . Поэтому поставленную 2 задачу можно видоизменить таким образом, чтобы частотная характеристика цифрового фильтра совпадала с требуемой частотной характеристикой аналогового фильтра лишь в диапазоне частот 0  f  1 f s . 2 Для этого нужно модифицировать передаточную функцию аналогового фильтра посредством преобразования оси частот таким образом, чтобы диапазон 0  f   отображался в диапазон 0  f  1 f s и на высоких частотах 2 периодически повторялся. Для этого введем f f f a  s tg( d ) (11.2).  fs При f a   , как и требуется, f d  f s 2 . При f d  f s имеем f d  f a . Искажение частотной оси, вносимое таким преобразованием, тем меньше, чем больше частота дискретизации по сравнению с интересующим нас диапазоном частот. Свойства цифрового фильтра на определенной частоте определяется отношением этой частоты к частоте дискретизации. Поэтому, введем нормированные частот f f f (11.3), f d'  d ; f a'  a ; f 0  0 fs fs fs где f 0 - частота среза фильтра. При этом из (11.2) получим 1 tg(f d ) (11.4).  В качестве примера преобразования частотной оси на рис.11.1. приведена АЧХ аналогового фильтра и соответствующая АЧХ преобразованного фильтра. f a  0.8 M ODUL( H(  ) )   M ODUL H  d(  ) 0.707  0.6 0.4 0.2 0.01 0.1 1  Рис.11.1 Видно, что преобразованная характеристика приблизительно совпадает с исходной на начальном участке оси частот, а в дальнейшем представляет из себя периодическую функцию частоты, что соответствует цифровому фильтру. Из рисунка видно, что произошел сдвиг частоты среза фильтра. Для того, чтобы в процессе преобразования не смещалась частота среза фильтра необходимо, чтобы при f a  f 0 выполнялось равенство f d  f 0 ' . Для этого необходимо модифицировать формулу преобразования f a  f 0ltg (f d ) (11.5), l  ctg(f 0) где (11.6). Преобразованная частотная характеристика представлена на рис.11.2. 10 0.8 M ODUL( H(  ) )   M ODUL H  d1(  )  0.707 0.6 0.4 0.2 0.01 0.1 1 10  Рис.11.2 Очевидно, что полученная характеристика подобна характеристике аналогового фильтра в диапазоне частот 0  f   1 . 2 Благодаря описанным операциям преобразования преобразованная частотная характеристика имеет вид, позволяющий реализовать ее с помощью цифрового фильтра. Для расчета передаточной функции цифрового фильтра H(z) необходимо иметь уравнение преобразования переменной p в переменную z. Изначально аналоговые фильтры задаются в нормированном виде, т.е. с частотой среза 1 рад/сек. Поэтому введем нормированную комплексную переменную p j a f f' p (11.7), p'    j a  j a' 0 0 f0 f0 0  2f 0 , где (11.8). При подстановке в выражение (11.7) выражения (11.5) получим sin( f d' ) (11.9). p '  jltg (f d' )  jl cos(f d' ) Из формулы Эйлера e jx  cos( x)  j sin( x) (11.10) вытекают следующие соотношения e jx  e  jx e jx  e  jx cos( x )   ch( jx), sin( x )   sh( jx) (11.11). 2 2j Используя эти соотношения в (11.9) получим e jf d  e  jf d ' p  jl ' ' ' j (e jf d  e  jf d ) ' 1  e  j 2f d ' l 1  e  j 2f d ' (11.12). С учетом того, что f d'  fd  f d Ts fs (11.13), получим 1  e  jd Ts 1  e  pTs p l l 1  e  jd Ts 1  e  pTs  z . Поэтому 1  z 1 z 1 p'  l l 1 z 1 1 z ' Однако e pTs l  ctg(f 0) при (11.14). (11.15), (11.16). Это соотношение называется билинейным преобразованием. Таким образом, аналоговый фильтр можно преобразовать в цифровой следующим образом. В выражение для передаточной функции H(p) нормированного аналогового фильтра вместо переменой p подставляется z 1 переменная l и получаем передаточную функцию H(z) цифрового фильтра z 1 с аналогичной частотной характеристикой в диапазоне частот 0  f   1 . 2 Фазо-частотная характеристика при билинейном преобразовании изменяется сильнее. По этой причине не имеет смысла применять билинейное преобразование к фильтрам Бесселя, поскольку линейность ФЧХ в этом случае нарушается. При построении цифровых фильтров, как и для аналоговых фильтров, наиболее просто соединять блоки первого и второго порядка. Поэтому произведем пересчет коэффициентов передаточной функции аналогового фильтра H(p) в коэффициенты передаточной функции цифрового фильтра H(z) для звеньев первого и второго порядка. Используя билинейное преобразование, из выражения для аналоговой передаточной функции b0  b1 p  b2 p 2 (11.17) H ( p)  a0  a1 p  a2 p 2 найдем дискретную передаточную функцию B  B1 z  B2 z 2 (11.18). H ( z)  0 A0  A1 z  A2 z 2 Для фильтра первого порядка ( a2  b2  0 ) будем иметь b bl a  a1l B0  0 1 ; A0  0 ; a0  a1l a0  a1l B1  b0  b1l ; a0  a1l A1  1; B2  0; A2  0. Для фильтра второго порядка ( c2  0 ) будем иметь (11.19). b0  b1l  b2 l 2 B0  ; a0  a1l  a 2 l 2 a0  a1l  a 2 l 2 A0  ; a0  a1l  a 2 l 2 2(b0  b2 l 2 ) B1  ; a0  a1l  a 2 l 2 2( a 0  a 2 l 2 ) A1  ; a0  a1l  a 2 l 2 (11.20). b0  b1l  b2 l 2 ; A2  1. a0  a1l  a 2 l 2 Порядок действий при определении передаточной функции H(z) цифрового ФНЧ по заданным требованиям к максимально допустимой неравномерности АЧХ в полосе пропускания Ap, минимально допустимому затуханию в полосе задерживания Aa, а также граничным нормированным частотам полосы пропускания p и полосы задерживания a должен быть следующим. Вначале определяются нормированные частоты полосы пропускания и полосы задерживания аналогичного аналогового фильтра с помощью нелинейного соотношения (11.7). После этого, одним из способов синтеза аналоговых фильтров определяется аналоговая передаточная функция H(p’) фильтра-прототипа, удовлетворяющего заданным требованиям неравномерности АЧХ в полосе пропускания и затуханию в полосе задерживания. В заключение в определенной передаточной функции аналогового фильтра делается замена переменной p в соответствии с (11.15). Существует более общее преобразование, разработанное Констандинидисом и позволяющее преобразовывать аналоговый ФНЧ в избирательный БИХ-фильтр любого типа (ФНЧ, ФВЧ, ПФ, ЗФ). Не рассматривая вывода соответствующих формул приведем их в таблице 11.1. B2  Цифровой фильтр Граничные цифровые частоты Нижних частот f п, f з Верхних частот f п, f з Полосовой f п1 , f з1 , f п2 , f з2 Режекторный f п1 , f з1 , f п2 , f з2 Формула замены Параметр z 1 z 1 z 1 p  l z 1 z 2  2z  1 p  l z2  1 p  l p  l z2  1 z 2  2z  1 Граничные аналоговые частоты l  ctg(f п) Связь аналоговых частот с цифровыми частотами f a  ltg (f d ) l  tg(f п) f a  lctg (f d ) f aз  lctg (f dз ) l  ctg( ( f п2  f п1 )) cos( ( f п2  f п1 ))  cos( ( f п2  f п1 )) l  tg( ( f п2  f п1 )) cos( ( f п2  f п1 ))  cos( ( f п2  f п1 )) f aз  ltg(f dз ) f a  l   cos 2f  sin 2f dd f aз  min( f aз 1 , f aз 2 )   cos 2f dз 1 f aз 1  l sin 2f dз 1   cos 2f dз 2 f aз 2  l sin 2f dз 2 f a  l sin 2f d   cos 2f d f aз  min( f aз 1 , f aз 2 ) sin 2f dз 1 f aз 1  l   cos 2f dз 1 sin 2f dз 2 f aз 2  l   cos 2f dз 2 Для обеспечения требуемого качества работы фильтра необходимо не только найти требуемую передаточную функцию, но и оценить достаточную разрядность входного и выходного сигнала, а также коэффициентов фильтра. Количество разрядов для представления коэффициентов фильтра определяется с помощью итерационной процедуры из условия удовлетворения передаточной функции фильтра с квантованными коэффициентами, заданных требований по приближению к эталонной передаточной функции с точными значениями коэффициентов. Абсолютные величины отсчетов входных сигналов фильтра обычно нормированы так, что (11.21). x(n )  1 Разрядность входного сигнала sin и разрядность сумматоров цифрового фильтра определяются на основе оценок составляющих шума квантования выходного сигнала, обусловленных квантованием входного сигнала (входного шума) и квантованием выходных кодов сумматоров фильтра (собственного шума), а также оценок диапазона изменения сигналов в фильтре. При этом допустимая величина мощности выходного шума фильтра распределяется в определенной пропорции на составляющие выходного шума, обусловленные входными и собственными шумами фильтра Pn.in  KPn.out. max (11.22), Pn. f  Pn.out. max  Pn.in где Pn.in и Pn . f - составляющие выходного шума фильтра, обусловленные соответственно входным шумом и собственными шумами фильтра, Pn.out. max максимально допустимый уровень мощности выходного шума фильтра, K – коэффициент (K=0.8 – 0.9). Как известно, дисперсия шума округления входного сигнала  2 in связана с разрядностью входного сигнала как 2 2 sin 2  in  (11.23). 12 В тоже время, дисперсия выходного шума определяется как  2 2 sin  2 (11.24), Pn.in   2 in  h 2 (m)   h ( m) 12 m0 m 0 т.е. зависит от дисперсии шума округления входного сигнала и значений отсчетов импульсной характеристики фильтра. Отсюда можно найти требуемое количество разрядов входного сигнала как  h 2 (m)  1 sin  int( log 2 ( m 0 )) (11.25). 2 12 KPn.out. max Количество разрядов для представления дробной части выходного кода сумматоров зависит от структуры фильтра и определяется по формуле L    2 hi (k )   1 i 1 k 0  (11.26), sд  int  log 2 2 12 ( P  n.out. max  Pn.in )    где L - число умножителей в структурной схеме фильтра, hi(k) – импульсная характеристика части фильтра от выхода i-го умножителя до выхода фильтра. Количество разрядов sц для представления целой части переменных фильтра определяется на основе оценки диапазона изменения сигналов в фильтре. Как известно, диапазон изменения сигнала на выходе j-го сумматора фильтра определяется как  V j   h j (n) (11.27), n 0 где hj(n) – импульсная характеристика части фильтра от входа до выхода j-го сумматора. Поэтому величину sц можно определить как sц  int(log 2 (max ( j ,lV j ))) j ,l (11.28), где  j,l - коэффициент l-го умножителя, подключенного к выходу j-го сумматора. Расчет sц по формуле (11.28) гарантирует отсутствие переполнений при нулевых начальных условиях. Общая разрядность s, ячеек памяти фильтра определяется как s  sц  s д (11.29). Лекция № «Дискретное преобразование Фурье». Спектральный состав дискретного сигнала определяется его преобразованием Фурье. Преобразование Фурье дискретного сигнала x(nT) описывается выражением  X (e jT )   x(nT ) e  jnT (12.1), n 0 где T – период дискретизации. Спектр дискретного сигнала обладает следующими свойствами: 1. Спектр дискретного сигнала является периодической функцией частоты с периодом, равным частоте дискретизации 𝜔𝑠 = 2𝜋⁄𝑇. 2. Если дискретный сигнал x(nT) представляется линейной комбинацией сигналов 𝑥(𝑛𝑇) = 𝑎1 𝑥1 (𝑛𝑇) + 𝑎2 𝑥2 (𝑛𝑇) + ⋯, то его спектр X ( j ) равен линейной комбинации спектров исходных сигналов 𝑋 ( e jT ) = 𝑎1 𝑋1 ( e jT ) + 𝑎2 𝑋2 ( e jT ) + ⋯ 3. Умножение дискретного сигнала x(nT) на комплексную экспоненту e j0 nT приводит к сдвигу его спектра 𝑋 ( e jT ) по оси частот вправо на величину 𝜔0 . 4. Сдвиг сигнала x(nT) на m периодов дискретизации вправо, что равносильно его задержке, приводит к умножению его спектра 𝑋 ( e jT ) на комплексную экспоненту e  jmT . 5. Энергия сигнала во временной области равна энергии сигнала в частотной области (теорема Парсеваля)   T x(nT )   2 n 0 2 T   2 X (e jT ) d (12.2). T 6. Если x(nT) – вещественный сигнал, то модуль его спектра X (e jT ) является четной функцией частоты, а аргумент arg(𝑋 ( e jT )) – нечетной функцией частоты. В качестве примера найдем спектр дискретного косинусоидального сигнала с частотой 𝜔0 𝑥 (𝑛𝑇) = cos⁡(𝜔0 𝑛𝑇) (12.3). В соответствии с (12.1) получим 1 −𝑗𝜔𝑛𝑇 𝑗𝜔0 𝑛𝑇 𝑋(𝑒 𝑗𝜔 ) = ∑∞ = 2 ∑∞ + 𝑒 −𝑗𝜔0 𝑛𝑇 ) 𝑒 −𝑗𝜔𝑛𝑇 = 𝑛=0 cos(𝜔0 𝑛𝑇 ) 𝑒 𝑛=0(𝑒 1 2 1 1 2 2 1−𝑒 −𝑗(𝜔−𝜔0) 𝑇 −𝑗(𝜔−𝜔0)𝑛𝑇 −𝑗(𝜔+𝜔0) 𝑛𝑇 ∑∞ + ∑∞ = ( 𝑛=0 𝑒 𝑛=0 𝑒 1 + 1 −𝑗(𝜔+𝜔0) 𝑇 1−𝑒 ) (12.4). Модуль полученного спектра при 𝜔0 = 2𝜋 и периоде дискретизации T=0.001с представлен на рис.12.1. Рис. 12.1 С практической точки зрения применение формулы (12.1) вызывает затруднение, обусловленное необходимостью иметь в наличии бесконечное количество отсчетов дискретного сигнала. Поэтому, на практике, для вычисления спектра дискретного сигнала x(nT), представленного конечным количеством отсчетов N, выражение (12.1) представляется в виде N 1 X (e jT )   x(nT ) e  jnT (12.5). n 0 Данное выражение описывает т.н. «дискретно-временное преобразование Фурье» (ДВПФ). Такая запись равносильна вычислению по формуле (12.1) спектра дискретного сигнала, который совпадает с исходным сигналом X(nT) только на первых N отсчетах, а во все остальные моменты дискретизации равен нулю. Такая аппроксимация не может остаться без последствий в вычисленном спектре. Убедимся в этом на примере косинусоидального дискретного сигнала (12.3). При вычислении его спектра по формуле (12.5) получим 1 −𝑗𝜔𝑛𝑇 𝑗𝜔0 𝑛𝑇 𝑋(𝑒 𝑗𝜔 ) = ∑𝑁−1 = 2 ∑𝑁−1 + 𝑒 −𝑗𝜔0 𝑛𝑇 ) 𝑒 −𝑗𝜔𝑛𝑇 = 𝑛=0 cos(𝜔0 𝑛𝑇 ) 𝑒 𝑛=0 (𝑒 1 1 1 1−𝑒 ∑𝑁−1 𝑒 −𝑗(𝜔−𝜔0)𝑛𝑇 + ∑𝑁−1 𝑒 −𝑗(𝜔+𝜔0) 𝑛𝑇 = 2 ( 2 𝑛=0 2 𝑛=0 1 2 1 ( 𝑒 −𝑗(𝜔−𝜔0) 𝑁𝑇⁄2 𝑗(𝜔−𝜔0) 𝑁𝑇⁄2 −𝑗(𝜔−𝜔0) 𝑁𝑇⁄2 (𝑒 −𝑒 ) 𝑒 −𝑗(𝜔−𝜔0) 𝑇⁄2 𝑗(𝜔−𝜔0) 𝑇⁄2 −𝑗(𝜔−𝜔0) 𝑇⁄2 (𝑒 −𝑒 ) sin⁡((𝜔−𝜔 𝑁𝑇 ⁄2) 1 + 𝑒 −𝑗(𝜔−𝜔0) 𝑁𝑇 −𝑗(𝜔−𝜔0) 𝑇 1−𝑒 + 1−𝑒 −𝑗(𝜔+𝜔0) 𝑁𝑇 1−𝑒 −𝑗(𝜔+𝜔0) 𝑇 −𝑗(𝜔+𝜔0) 𝑁𝑇⁄2 𝑗(𝜔+𝜔0) 𝑁𝑇⁄2 (𝑒 −𝑒 −𝑗(𝜔+𝑁𝑇⁄2 ) 𝑒 −𝑗(𝜔+𝜔0) 𝑇⁄2 𝑗(𝜔+𝜔0) 𝑇⁄2 −𝑗(𝜔+𝜔0) 𝑇⁄2 (𝑒 −𝑒 ) sin⁡((𝜔+𝜔 𝑁𝑇 ⁄2) 𝑒 −𝑗(𝜔−𝜔0) (𝑁−1)𝑇 ⁄2 sin⁡((𝜔−𝜔0)𝑁𝑇 ⁄2) + 2 𝑒 −𝑗(𝜔+𝜔0) (𝑁−1)𝑇⁄2 sin⁡((𝜔+𝜔0) 𝑁𝑇 ⁄2) 2 0) )= 0) )= (12.6). Модуль полученного спектра при 𝜔0 = 2𝜋, периоде дискретизации T=0.001 с и количестве отсчетов дискретного сигнала, равном 1024, 2048 и 4096 (1.024, 2.048 и 4.096 периода сигнала на измерительном интервале соответственно), представлен на рис.12.2. Рис. 12.2 Как видно на рис.12.2, следствием ограничения конечного числа отсчетов сигнала стала т.н. «размытость» спектра. Она выражается в расширении т.н. основного спектрального лепестка, ширина которого составляет 4𝜋⁄𝑇𝑁 , и появлении боковых лепестков. Помимо этого, заметна появившаяся зависимость высоты спектрального лепестков от величины N. Все это естественно является искажением спектральной картины исследуемого сигнала. При анализе спектра дискретного сигнала средствами цифровой вычислительной техники, её конечный объем памяти предопределяет возможность одновременного хранения конечного количества спектральных составляющих. Резюмируя все вышесказанное задачу нахождения спектра дискретного сигнала средствами цифровой вычислительной техники можно сформулировать как нахождение N отсчетов спектра сигнала по N его дискретным временным отсчетам. Эту задачу решает т.н. «дискретное преобразование Фурье» (ДПФ), описываемое выражением N 1 X (m)  X (m)   x(n)e  j ( 2 N ) nm , m  0,1,..., N  1 (12.7), n 0 где   2 NT - основная частота преобразования (бин ДПФ). Смысл ДПФ заключается в том, что по N отсчетам дискретного сигнала вычисляется N отсчетов его спектра, соответствующих частотам 0, Ω, 2Ω, 3Ω, …,(N-1)Ω. Таким образом, ДПФ по сути является дискретной N-точечной выборкой непрерывного спектра дискретного сигнала, представленного своими N отсчетами. В качестве примера вычислим ДПФ для дискретного косинусоидального сигнала, имеющего k полных периодов на измерительном интервале в N отсчетов 𝑥(𝑛) = cos⁡( 2𝜋𝑛𝑘 𝑁 ) (12.8). 𝑋 (𝑚) = ∑𝑁−1 𝑛=0 cos ( 1 2 1 2 1 −𝑗2𝜋 ∑𝑁−1 𝑛=0 𝑒 (𝑚−𝑘)𝑛 𝑁 2𝜋𝑛𝑘 𝑁 ) 𝑒 −𝑗 1 −𝑗2𝜋 + 2 ∑𝑁−1 𝑛=0 𝑒 𝑒 −𝑗2𝜋 (𝑚−𝑘) (𝑚−𝑘) (𝑚−𝑘) 𝑗2𝜋 −𝑗2𝜋 2 (𝑒 2 −𝑒 2 ) 𝑒 −𝑗2𝜋 (𝑚−𝑘) (𝑚−𝑘) (𝑚−𝑘) 𝑗2𝜋 −𝑗2𝜋 2𝑁 (𝑒 2𝑁 −𝑒 2𝑁 ) ( 𝑒 −𝑗𝜋 2 (𝑚−𝑘)(𝑁−1) 𝑁 sin⁡(𝜋(𝑚−𝑘)) (𝑚−𝑘) sin⁡(𝜋 ) 𝑁 1 2𝜋𝑚𝑛 𝑁 (𝑚+𝑘)𝑛 𝑁 2𝜋𝑛𝑘 𝑁 1 1−𝑒 −𝑗2𝜋(𝑚−𝑘) = 2( + 𝑒 −𝑗 + 2𝜋𝑛𝑘 𝑁 ) 𝑒 −𝑗 1−𝑒 −𝑗2𝜋(𝑚+𝑘) (𝑚−𝑘) (𝑚+𝑘) −𝑗2𝜋 −𝑗2𝜋 𝑁 𝑁 1−𝑒 1−𝑒 (𝑚+𝑘) (𝑚+𝑘) (𝑚+𝑘) −𝑗2𝜋 𝑗2𝜋 −𝑗2𝜋 2 (𝑒 2 −𝑒 2 ) 𝑒 + + 2 𝑒 −𝑗𝜋 1 𝑗 = 2 ∑𝑁−1 𝑛=0 (𝑒 𝑒 −𝑗2𝜋 (𝑚+𝑘) (𝑚+𝑘) (𝑚+𝑘) 𝑗2𝜋 −𝑗2𝜋 2𝑁 (𝑒 2𝑁 −𝑒 2𝑁 ) (𝑚+𝑘)(𝑁−1) 𝑁 sin⁡(𝜋(𝑚+𝑘)) = )= )= (12.9) (𝑚+𝑘) ) 𝑁 sin⁡(𝜋 Модуль полученного спектра при N=2048 и k=2 𝑘 2𝜋𝑚𝑛 𝑁 (при периоде дискретизации 2 T=0.001 с частота косинусоиды 𝜔0 = 2𝜋 𝑁𝑇 = 2𝜋 2048∗0.001 ≈ 2𝜋)представлен на рис.12.3. Рис. 12.3 2𝜋 В данном случае при N=2048 и T=0.001 с бин ДПФ равен Ω = 𝑁Т ≈ 𝜋. Вычисленные дискретные значения спектральных отсчетов представлены на рисунке точками. Как видно единственный ненулевой отсчет соответствует частоте 2Ω ≈ 2𝜋, которая соответствует частоте исходного сигнала. Аналогичный результат дает функция FFT пакета Mathcad, который представлен на рис.12.4. Рис. 12.4 Для функции 𝑥(𝑛) = cos ( 2𝜋𝑛𝑘1 𝑁 ) + 0.5 cos ( 2𝜋𝑛𝑘2 𝑁 ) при 𝑘1 = 2 и 𝑘2 = 5 функция FFT пакета Mathcad дает ожидаемый результат, обусловленный свойством линейности преобразования Фурье, который представлен на рис.12.5. Рис. 12.5 Однако, если на измерительном интервале в N периодов дискретизации не укладывается целое число периодов оцениваемой функции, дискретное преобразование Фурье дает искаженный результат. Действительно, при подстановке в формулу (12.9) 𝑘 = 3.4 получается результат, представленный на рис.12.6. Рис. 12.6 Аналогичный результат для исследуемой функции дает и использование функции FFT пакета Mathcad, который представлен на рис.12.7. Рис. 12.7 Как видно на обоих рисунках, вместо одной гармоники, которая на самом деле присутствует в сигнале, в полученном спектре имеется большое количество гармоник с амплитудой, отличной от нуля (включая постоянную составляющую). Данный эффект называется «утечкой ДПФ». Его смысл заключается в том, что если в сигнале присутствуют гармоники, частота которых не кратна бину ДПФ, то энергия этой гармоники растекается по всем гармоникам, представленным в результате ДПФ. Причина этого эффекта кроется в дискретном характере ДПФ. В его результате присутствует только дискретная выборка непрерывного спектра сигнала. Чем больше шаг дискретизации по частоте, равный бину ДПФ Ω, тем больше вероятность того, что частота гармоники, действительно присутствующей в сигнале, не совпадет ни с одним из дискретных значений, кратных бину ДПФ Ω. В свою очередь, бин ДПФ определяется количеством дискретных временных отсчетов сигнала N, присутствующих в исследуемой выборке. Поэтому, для увеличения точности ДПФ необходимо накапливать большее количество отсчетов исследуемого сигнала. Однако, на практике реализация ДПФ с большим значением дискретных отсчетов N сопряжено с большим временем накопления этих отсчетов и большим количеством вычислительных операций, необходимых для этого. Это затрудняет вычисление многоотсчетного ДПФ, особенно в системах реального времени. Поэтому желательно иметь возможность коррекции результатов ДПФ без необходимости увеличения N. Для понимания механизма коррекции результатов ДПФ необходимо прояснить первопричину их искажения. Из предыдущего анализа становится ясно, что ДПФ, результаты которого представлены на рисунках (12.3) и (12.6) точками, является дискретной версией ДВПФ соответствующих функций, результаты которого представлены на этих же рисунках непрерывными кривыми. В общем случае, при вычислении ДВПФ действительного косинусоидального сигнала, имеющего k полных периодов на измерительном интервале в N отсчетов, получается результат, модуль которого представлен на рис.12.8. Рис. 12.8 В зависимости от конкретного значения k дискретные отсчеты ДПФ лежат на представленной кривой с шагом, определяемым количеством дискретных отсчетов исходного сигнала N, которые участвовали в преобразовании. Увеличение N приводит лишь к уменьшению шага дискретизации по частоте в результатах преобразования. Но причиной самих искажений является наличие в представленном результате ДВПФ боковых спектральных лепестков и ненулевая ширина основного спектрального лепестка. Действительно, ведь истинный вид спектра дискретного косинусоидального сигнала представлен на рис.12.1, а спектральная картина, представленная на рис.12.8 является результатом ограничения длины выборки сигнала до конечного количества отсчетов N. Такое ограничение длины выборки сигнала можно представить как умножение бесконечного дискретного сигнала на функцию т.н. «окна», график которой представлен на рис.12.9 пунктирной линией. Рис. 12.9 В результате такой модификации исходный косинусоидальный преобразуется в бесконечный сигнал, представленный на рис.12.10. сигнал Рис. 12.10 Именно его спектр мы видим на рис.12.8. Причиной наличия боковых лепестков в этом спектре является очень резкие скачки сигнала на границах окна. Отсюда следует вывод о том, что если мы будем умножать выборку дискретных отсчетов сигнала на более плавную функцию окна, принимающую ненулевые значения только на N дискретных отсчетах, то боковые спектральные лепестки должны уменьшиться. На практике чаще всего используются следующие функции окон: 1. Окно Хэннинга (Hanning) 𝑤𝐻 = 0.5 − 0.5 cos ( 2𝜋𝑛 𝑁 ) , 𝑛 = 0,1, … , 𝑁 − 1 (12.10) 2. Окно Бартлетта (Bartlett) 𝑛 𝑁 ⁄2 , 𝑛 = 0,1, … , 𝑁⁄2 − 1 𝑤𝐻 = { 𝑛 2 − 𝑁 ⁄2 , 𝑛 = 𝑁⁄2 , … , 𝑁 − 1 3. Прямоугольное окно 𝑤𝑅 = 1, 𝑛 = 0,1, … , 𝑁 − 1 (12.11) (12.12) Продемонстрируем применение окон для коррекции результатов ДПФ на примере косинусоидального сигнала, имеющего 3.4 полных периодов на измерительном интервале в N отсчетов. На рис.12.11 сплошной линией показан результат 64-точечного ДПФ данного сигнала с применением прямоугольного окна, а пунктирной линией – с применением окна Хэннинга. Рис. 12.11 Как видно, применение окна Хэннинга позволяет существенно понизить уровень утечки ДПФ. Недостатком использования окна можно признать снижение уровня главного лепестка. Это объясняется снижением уровней временных отсчетов исследуемого сигнала за счет использования окна. Еще одним недостатком использования окон можно считать ухудшение действительной точности ДПФ поскольку ширина главного спектрального лепестка у функций окон Хэннинга и Бартлета в два раза больше, чем у прямоугольного окна. Следующий пример демонстрирует, как использование окна помогает обнаружить слабый сигнал в присутствии близкого по частоте мощного сигнала. На рис.12.12 представлен результат 64-точечного ДПФ сигнала 𝑥(𝑛) = cos ( 2𝜋𝑛𝑘1 𝑁 ) + 0.1 cos ( 2𝜋𝑛𝑘2 𝑁 ) при 𝑘1 = 3.4 и 𝑘2 = 7. Сплошной линией изображен спектр, полученный с использование прямоугольного окна, а пунктирной линией – с использованием окна Хэннинга. Рис. 12.12 На практике количество отсчетов дискретного сигнала, использующихся для вычисления ДПФ обычно делают равным целой степени двойки (64, 128, 512 и т.п.). Это объясняется техническими особенностями реализации вычислительного алгоритма ДПФ. В том случае, когда в наличии имеется количество отсчетов дискретного сигнала, не равное целой степени двойки, его можно дополнить нулевыми отсчетами до количества, равного ближайшей целой степени двойки. Как было показано ранее, это не приведет к дополнительному искажению результирующего спектра. Наоборот, увеличение количества отсчетов дискретной выборки сигнала приводит к улучшению разрешающей способности ДПФ. С этой целью размер дискретной выборки часто специально увеличивают, дополняя нулями реально измеренную выборку сигнала меньшего размера. Однако, здесь нужно иметь в виду, что дополнение нулями выборки меньшего размера действительно улучшает разрешающую способность ДПФ, но не увеличивает его точность. В конечном итоге, точность ДПФ определяется шириной основного спектрального лепестка, которая зависит от количества реальных отсчетов сигнала, участвующих в вычислении ДПФ. Увеличение размера выборки дополнением ее нулями просто увеличивает количество дискретных отсчетов ДПФ на главном спектральном лепестке, не изменяя его ширины. Если осуществляется дополнение измерительной выборки нулями и взвешивание окном, то окно должно накладываться только на ту часть выборки, которая соответствует действительным отсчетам сигнала. Иначе нулевые отсчеты приведут к тому, что часть окна будет фактически обнулена, и, таким образом, искажена. Обратное дискретное преобразование Фурье (ОДПФ) определяется выражением x ( m)  1 N 1 j ( 2 ) nm X (n)e N , m  0,1,..., N  1  N n 0 (12.13). Оно определяет алгоритм восстановления N-точечной временной последовательности сигнала по N отсчетам его дискретного спектра. Если сравнить выражения прямого (12.7) и обратного (12.13) ДПФ, то становится понятно, что они отличаются только масштабирующим множителем и знаком показателя степени экспоненты. Как говорилось ранее, вычисленные значения отсчетов ДВПФ и ДПФ зависят от количества дискретных отсчетов сигнала N, образующих измерительную выборку. Поэтому, при интерпретации результатов ДПФ необходимо производить коррекцию вычисленных величин частотных дискрет. Если действительный входной сигнал содержит гармонику с амплитудой 𝐴𝑘 и целым количеством периодов на N отсчетах измерительного интервала, модуль соответствующего отсчета ДПФ будет равен 𝐹𝑘 = 𝐴𝑘 𝑁 2 (12.14). В случае комплексной гармоники с амплитудой 𝐴𝑘 и целым количеством периодов на N отсчетах измерительного интервала, модуль соответствующего отсчета ДПФ будет равен 𝐹𝑘 = 𝐴𝑘 𝑁 (12.15). Если входной сигнал имеет постоянную составляющую величиной 𝐴0 , то модуль нулевого отсчета ДПФ будет равен 𝐹0 = 𝐴0 𝑁 (12.16). В случае, когда измерительная выборка из L реальных отсчетов дополняется нулевыми до получения общего размера выборки в N отсчетов, то в формулах (12.14) – (12.16) величину N необходимо заменить на L. Поскольку модуль ДПФ вещественного сигнала является четной функцией частоты и периодической функцией с периодом, равным частоте дискретизации, то в результате Nточечного ДПФ вещественного сигнала будут присутствовать только 𝑁⁄2 + 1 независимых отсчета. Отсчеты с номерами 𝑁⁄2 , 𝑁⁄2 + 1, … , 𝑁 − 1 будут зеркальным отражением отсчетов 𝑁⁄2 , 𝑁⁄2 − 1, … , 1. Свойство симметрии ДПФ имеет еще одно проявление. Оно касается действительных дискретных сигналов, для которых индекс номера периода дискретизации принимает как положительные, так и отрицательные значения. Если такой действительный сигнал является четным, то последовательность его спектральных составляющих тоже является действительной и четной. Если же такой действительный сигнал является нечетным, то последовательность его спектральных составляющих является чисто мнимой. Лекция № «Быстрое преобразование Фурье». Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) дискретного сигнала x(n) с периодом N определяется как N 1 X ( k )  X ( k )   x ( n ) e  j ( 2 N ) nk периодического , k  0,1,..., N  1 (13.1), n 0 где   2 - основная частота преобразования (бин ДПФ). NT Выражение (13.1) можно переписать в виде N 1 X ( k )   x ( n )WN , k  0,1,..., N  1 nk (13.2), n 0  j ( 2 ) N где (13.3). WN  e Коэффициент WN называется поворачивающим множителем. Легко показать, nk что WN является периодической функцией с периодом N ( n mN )( k lN )  j ( 2 )( n mN )( k lN )  j ( 2 ) nk N N (13.4). WN e e  WN Поэтому ДПФ X(k) также является периодической функцией по аргументу k с периодом N. Дискретное преобразование Фурье может быть использовано и для представления сигнала x(n) конечной длины N, определенного при n=0,1,…,N-1 и равного нулю вне интервала [0,N-1]. Действительно, такой сигнал можно рассматривать как один период соответствующего периодического сигнала и использовать преобразования (13.2). Следует только считать, что вне интервала [0,N-1] X(k) и x(n) равны нулю. Если сравнить ДПФ конечного дискретного сигнала со спектром этого же сигнала, определяемым выражением nk  X ( e jT )   x ( n )e  jnT (13.5), n 0 то очевидно, что ДПФ представляет собой N отсчетов спектра, взятых на периоде с интервалом дискретизации по частоте, равным   2 . NT В случае, когда x(n) является комплексным, при прямом вычислении Nточечного ДПФ нужно выполнить для каждого значения k (N-1) умножений и (N-1) сложений комплексных чисел или 4(N-1) умножений и 2(N-1) сложений действительных чисел. Для всех N значений k=0,1,…,N-1 требуется (N-1)2 умножений и N(N-1) сложений комплексных чисел. Для больших значений N (порядка нескольких сотен или тысяч) прямое вычисление ДПФ по выражению (13.2) требует выполнения весьма большого числа арифметических операций умножения и сложения, что затрудняет реализацию вычислений в реальном масштабе времени. Быстрым преобразованием Фурье (БПФ) называют набор алгоритмов, реализация которых приводит к существенному уменьшению вычислительной сложности ДПФ. Основная идея БПФ состоит в том, чтобы разбить исходный N-отсчетный сигнал x(n) на два более коротких сигнала, ДПФ которых могут быть скомбинированы таким образом, чтобы получить ДПФ исходного Nотсчетного сигнала. Так, если исходный N-отсчетный сигнал разбить на два N/2-отсчетных сигнала, то для вычисления ДПФ каждого из них потребуется около (N/2)2 комплексных умножений. Тогда для вычисления искомого N-отсчетного ДПФ потребуется порядка 2(N/2)2=N2/2 комплексных умножений , т.е. вдвое меньше по сравнению с прямым вычислением. Операцию разбиения можно повторить, вычисляя вместо (N/2)-отсчетного ДПФ два (N/4)-отсчетных ДПФ и сокращая тем самым объем вычислений еще в два раза. Выигрыш в два раза является приблизительным, поскольку не учитывается, каким образом из ДПФ меньшего размера образуется искомое N-отсчетное ДПФ. Существует большое количество алгоритмов БПФ. Однако все они являются частными случаями единого алгоритма, базирующегося на задаче разбиения одного массива чисел на два. Тот факт, что это можно сделать более чем одним способом, определяет многообразие алгоритмов БПФ. Расмотрим два из них. Первый алгоритм называется алгоритмом БПФ с прореживанием по времени. Пусть задан N-отсчетный дискретный сигнал x(n). Примем, что N равно степени двойки. Если это не так, то всегда можно легко дополнить заданный сигнал нулевыми отсчетами до количества отсчетов, равного ближайшей степени двойки. Разобьем исходный сигнал x(n) на два N/2-отсчетных сигнала x1(n) и x2(n), составленных соответственно из четных и нечетных отсчетов исходного сигнала x(n) N x1 ( n )  x(2n ), n  0,1,...,  1 2 (13.6). N x2 ( n )  x(2n  1), n  0,1,...,  1 2 N-точечное ДПФ сигнала x(n) можно записать как N 1 X ( k )   x1 (n )WN nk n 0 N 1 2  x(2n)W n 0  2 nk N N 1   x2 ( n )WN nk  n 0 (13.7). N 1 2  x(2n  1)W n 0 ( 2 n 1) k N С учетом того, что WN   e  можно записать 2 X (k )   j ( 2 N ) 2  e  N 1 2  x (n)W n 0 1  j ( 2 nk N 2 N ) 2  WN k  WN (13.8) 2 N 1 2  x (n)W n 0 2 N nk (13.9) 2 или (13.10), X (k )  X 1 (k )  WN X 2 (k ) где X1(k) и X2(k) – N/2-отсчетные ДПФ сигналов x1(n) и x2(n) соответственно. Таким образом, N-точечное ДПФ X(k) может быть разложено на два N/2точечных ДПФ, результаты которых объединяются согласно (13.10). Если бы N/2-точечные ДПФ вычислялись прямым способом, то для вычисления N-точечного ДПФ потребовалось бы (N2/2+N) комплексных умножений. При больших N (когда N2/2>>N) это позволяет сократить время вычислений на 50%. K Поскольку X(k) определено при 0  k  N  1 , а X1(k) и X2(k) определены при 0  k  N  1 , необходимо доопределить формулу (13.10) для k  N . 2 2 Учитывая, что X1(k) и X2(k) – периодические функции с периодомN/2, можно записать ( K N ) 2 X (k  N )  X ( k  N )  X 1 ( k  N )  WN 2 2 2 2 (13.11), K  X 1 ( k )  WN X 2 ( k ) j N 2 N WN 2  e N 2  1 . поскольку Поэтому окончательно для N-точечного ДПФ можно записать  X 1 (k )  WN K X 2 (k ), 0  k  N  1  2 (13.12). X (k )   K X 1 (k  N )  WN X 2 (k  N ), N  k  N  1   2 2 2 На рис.13.1 представлена последовательность операций при выполнении восьмиточечного ДПФ с использованием двух четырехточечных ДПФ. х1(0)=х(0) х1(1)=х(2) 4-точен БПФ х1(2)=х(4) х1(3)=х(6) Х1(0) Х(0) Х1(1) Х(1) Х1(2) Х(2) Х1(3) Х(3) х2(0)=х(1) х2(1)=х(3) 4-точен БПФ х2(2)=х(5) х2(3)=х(7) w 1 Х2(0) w w2 Х(4) Х2(1) Х2(2) Х2(3) Х(5) w3 Х(6) Х(7) Рис 13.1 Сначала входной сигнал x(n) разбивается на два сигнала x1(n) и x2(n), составленных соответственно из четных и нечетных отсчетов x(n). После этого расчитывается ДПФ X1(k) и X2(k). Затем в соответствии с (13.12) получается X(k). Рассмотренная схема вычислений может быть использована и для расчета N/2-точечных ДПФ. В соответствии с этим каждый из сигналов x1(n) и x2(n) разбиваются на последовательности, состоящие из четных и нечетных отсчетов родительских сигналов. Аналогично N/2-точечные ДПФ могут быть записаны как комбинации двух N/4-точечных ДПФ  X 3 ( k )  WN K X 4 (k ), 0  k  N  1 4  2 X 1 (k )   (13.13). K  X 3 ( k  N 4 )  WN X 4 (k  N 4 ), N 4  k  N 2  1  2 С учетом того, что WN k 2  WN 2k можно записать  X 3 (k )  WN 2 K X 4 (k ), 0  k  N  1  4 (13.14). X 1 (k )   2 K N N N N X (k  )  WN X 4 (k  ), k 1   3 4 4 4 2 На рис.13.2 представлена последовательность операций при выполнении восьмиточечного ДПФ с использованием двух четырехточечных ДПФ и четырех двухточечных ДПФ. х3(0)= х1(0)=х(0) х3(1)= х1(2)=х(4) х4(0)= х2(1)=х(2) х4(1)= х2(3)=х(6) х5(0)= х2(0)=х(1) х5(1)= х2(2)=х(5) х6(0)= х2(1)=х(3) х6(1)= х2(3)=х(7) 2-т БПФ 2-т БПФ 2-т БПФ 2-т БПФ Х3(0) Х3(1) w0 Х1(0) Х(0) Х1(1) Х(1) Х4(0) w 2 Х1(2) Х4(1) Х1(3) Х5(0) Х5(0) Х6(0) Х2(0) w0 w2 Х6(1) Х2(1) w0 w1 w2 w 3 Х(2) Х(3) Х(4) Х(5) Х2(2) Х(6) Х2(3) Х(7) Рис. 13.2 Таким образом, процесс уменьшения размера ДПФ может быть продолжен, пока не останутся только двухточечные ДПФ, которые могут быть рассчитаны без операции умножения   F (0)  f (0)  WN f (1) (13.15).   F ( 1 )  f ( )  W f ( 1 ) N  Поскольку WN  1 , то окончательно получим  F (0)  f (0)  f (1) (13.16).   F (1)  f (0)  f (1) На рис.13.3 представлена порядок операций при последовательном вычислении восьмиточечного ДПФ в соответствии с описанным алгоритмом. х(0) Х(0) w х(4) Х(1) w0 х(2) w w2 х(6) х(1) w w0 Х(2) w1 Х(3) w2 Х(4) w3 Х(5) х(5) w0 х(3) w2 Х(6) w0 х(7) Х(7) Рис. 13.3 Анализ рис.13.3 показывает, что на каждом этапе БПФ необходимо выполнить N/2 комплексных умножений. Поскольку общее количество этапов равно log 2 N , то число комплексных умножений, необходимое для нахождения N-точечного ДПФ, приблизительно равно N log 2 N . Приблизительность 2 N N 3N оценки означает, что умножения на WN , WN 2 , WN 4 , WN 4 , ... в действительности сводятся просто к сложениям и вычитаниям комплексных чисел. Так на первом этапе алгоритма, представленного на рис.13.3, содержатся только сложения и вычитания комплексных чисел поскольку W8  1 . Даже на втором этапе используются только сложения и вычитания комплексных чисел 2 т.к. W8  1, W8   j . Фактически вместо ожидаемых 12 ( 4 log 2 8 ) достаточно выполнить всего два нетривиальных умножения. Однако для больших значений N фактическое число нетривиальных умножений хорошо аппроксимируется выражением N log 2 N . 2 Базовая операция алгоритма с прореживанием по времени (так называемая «бабочка») состоит в том, что два входных числа A и B объединяются для получения двух выходных чисел X и Y по правилу  X  A  WN k B (13.17).  Y  A  WN k B На рис.13.4 изображен направленный граф базовой операции. d B X Y W NR Рис. 13.4 Каждый из этапов ДПФ содержит N/2 базовых операций. В случае когда WN k нетривиальный множитель, для каждой базовой операции необходимо выполнить только одно умножение, поскольку величину WN k B можно вычислить и запомнить. Таким образом, структура базовых операций такова, что для выполнения БПФ N-отсчетного сигнала, отсчеты которого размещены в памяти, достаточно иметь лишь одну дополнительную ячейку памяти. Результаты всех промежуточных этапов БПФ можно размещать в те же ячейки памяти, где находились исходные данные. Алгоритм БПФ, в котором для размещения входной и выходной последовательности используется один и тот же массив памяти, называется алгоритмом с замещением. При реализации алгоритма необходима перестановка отсчетов входного сигнала, чтобы выходная последовательность имела естественный порядок расположения отсчетов, т.е. k=0,1,…,N-1. В приведенном примере для 8точечного БПФ для этого требовался следующий порядок размещения отсчетов входного сигнала: x(0), x(4), x(2), x(6), x(1), x(5), x(3), x(7). Закономерность перестановки заключается в том, что отсчеты входного сигнала должны быть размещены в памяти в двоично-инверсном порядке. Это означает, что требуемый номер ячейки памяти для размещения очередного отсчета входного сигнала определяется обратной перестановкой двоичных разрядов в двоичном представлении номера отсчета. Для случая N=8 соответствие номеров отсчетов входного сигнала и их номеров ячеек памяти представлено в таблице 13.1. Номер Двоичное Двоичная инверсия Двоично-инверсный представление порядок 000 000 1 001 100 4 2 010 010 2 3 011 110 6 4 100 001 1 5 101 101 5 6 110 011 3 7 111 111 7 На рис.13.5 показан алгоритм определения двоично-инверсного номера, предложенный Рейдером. Начиная с первого числа с прямым номером 0, этот алгоритм позволяет формировать последовательно все остальные двоичноинверсные номера. Входной номер Х в двоично-инверсном виде Нет Старший разряд =1 ? Х = Х + N/2 Да Нет Второй старший разряд = 1 ? Х = Х + N/4 – N/2 Да Нет Третий старший разряд = 1 ? Х = Х + N/8 – N/4 – N/2 Да Нет Х = Х + 1 – 2 – 4 - … - N/2 Младший разряд =1? Да Следующий двоично-инверсный Номер Х Достигнут предел N-1 конец Рис. 13.5 Половина из общего числа двоично-инверсных номеров формируются с использованием лишь двух операций, поскольку только в половине случаев старший разряд не равен единице. Аналогично четверть всех двоичноинверсных номеров формируется с использованием трех операций и т.д. таким образом, этот алгоритм является весьма эффективным. На всех этапах алгоритма БПФ используются коэффициенты k WN , k  0,1,..., N  1 . Существует несколько способов получения этих коэффициентов. Простейший способ – составление таблицы, к которой можно обращаться в процессе счета. В этом случае для определения коэффициентов не требуется дополнительных вычислений. Однако, для хранения таблицы коэффициентов необходима дополнительная память примерно из N ячеек. Второй способ заключается в непосредственном вычислении коэффициентов как k (13.18) WN  cos[( 2 )k ]  j sin[( 2 )k ] N N с использованием процедур вычисления синуса и косинуса. Этот способ связан с большими временными затратами. Третий способ основан на применении рекуррентной формулы k k l l (13.19) WN  WN WN с начальным условием WN 0  1 . При вычислении по описываемому алгоритму 16-точечного БПФ на первом этапе используются коэффициенты WN 0 , на втором - 2 4 4 6 WN , WN , на третьем - WN , WN , WN , WN , на четвертом - 1 2 3 4 5 6 7 WN , WN , WN , WN , WN , WN , WN , WN . Поэтому, чтобы иметь возможность использовать формулу (13.19) на каждом из этапов, достаточно предварительно вычислить и запомнить коэффициенты WN 1 ,WN 2 ,WN 4 . Рассмотрим еще один алгоритм БПФ, который называется алгоритм с прореживанием по частоте. Пусть снова имеем входной дискретный сигнал x(n), состоящий из N отсчетов, причем N равно степени двойки. Разобъем это сигнал на два N/2отсчетных сигнала x1(n) и x2(n) так, что x1(n) состоит из первых N/2 отсчетов x(n), а x2(n) – из остальных N/2 отсчетов x(n), т.е. x1 (n )  x(n ), n  0,1,..., N  1 2 (13.20). x2 ( n )  x(n  N ), n  0,1,..., N  1 2 2 При таком разбиении N-точечное ДПФ сигнала x(n) можно записать как X (k )  N 1 2  x(n)WN nk n 0 N 1 2  x (n )W n 0 Поскольку WN N k 2 1 e X (k )  nk N  jk  x(n)W nN  x (n)W  n 0 nk N  2 N 1 2 2 N (13.21). ( n N )k 2 , то получим N 1 2  x(n)WN nk N 1 2  [ x (n)  e  jk 1 N 1  x(n)W  n 0 n 0 N 1  nN nk N  2 (13.22). nk x 2 ( n )]WN Запишем выражения отдельно для четных и нечетных отсчетов ДПФ. X ( 2k )  N 1 2  [ x (n)  x (n)](W n 0  1 2 N 1 2  [ x (n)  x (n)]W n 0 1 2 X ( 2k  1)  2 (13.23).  [ x (n)  x (n)]W 1  [( x (n)  x (n))]W 1 2  nk N 2 N 1 2 n 0 ) N 1 2 n 0  2 nk N n N WN n ( 2 k 1) N  nk 2 Из выражения (13.23) видно, что N-точечное ДПФ можно получить как сумму двух N/2-точечных ДПФ N/2-отсчетных сигналов: сигнала ( x1 (n)  x2 (n)) и сигнала [( x1 (n)  x2 (n))]WN . Аналогично предыдущему алгоритму, описанную процедуру можно применить повторно и представить каждое из N/2-точечных ДПФ в виде n комбинации двух N/4-точечных ДПФ и т.д. На рис.13.6 представлен пример 8точечного БПФ, реализованного по этому алгоритму. х(0) Х(0) w0 х(1) х(2) w0 w Х(4) w2 Х(2) w0 х(3) w1 х(4) w2 Х(6) Х(1) w0 х(5) w0 w3 х(6) w2 х(7) Х(5) Х(3) w0 Х(7) Рис. 13.6 Базовая операция этого алгоритма описывается выражением  X  ( A  B) (13.24).  k Y  ( A  B )WN Сравнение двух описанных алгоритмов позволяет выявить два очевидных различия между ними. Во-первых, при прореживании по времени порядок следования входных отсчетов двоично-инверсный, а выходных – прямой. При прореживании по частоте – наоборот. Однако это отличие кажущееся, поскольку в обоих алгоритмах порядок следования входных отсчетов можно сделать прямым. Тогда порядок следования выходных отсчетов будет двоично-инверсным. И наоборот. Второе отличие заключается в несколько ином выполеннии базовой операции. При прореживании по частоте комплексное умножение выполняется после сложения-вычитания. В обоих алгоритмах для вычисления N-точечного ДПФ требуется около N log N операций комплексного умножения. Вычисления по обоим 2 2 алгоритмам могут быть произведены с замещением. В обоих случаях должно быть предусмотрено выполнение двоичной инверсии. Обратное ДПФ N-точечной последовательности X(k), k=0,1,…,N-1 определяется как 1 N 1  nk x ( n )   X ( k )WN (13.25). N k 0 Взяв выражение, комплексно-сопряженное с (13.25) и умножив его на N, получим N 1 Nx* ( n )   X * ( k )WN k 0 nk (13.26). Однако, правая часть (13.26) представляет собой прямое ДПФ последовательности X*(k) и может быть вычислена с использованием одного из вышеописанных алгоритмов БПФ. Искомую последовательность x(n) можно получить, взяв комплексно-сопряженное с (13.26) выражение и разделив его на N 1 N 1 nk x ( n )  [  X * ( k )WN ]* (13.27). N k 0 Таким образом, алгоритмы БПФ обеспечивают вычисление и прямого и обратного ДПФ. Алгоритмы БПФ могут быть использованы для вычисления реакции цифрового фильтра. Предположим, необходимо вычислить выходной сигнал цифрового фильтра порядка N с импульсной характеристикой h(n), n=0,1,…,N1, на входной сигнал x(n), n=0,1,…,M-1. Если на вход фильтра N-го порядка с импульсной характеристикой h(n) подан входной сигнал x(n), то реакция фильтра может быть вычислена по правилу свертки N 1 y ( n )   h ( m) x ( n  m) (13.28) m 0 при n=0,1,…,N+M-2. Применение алгоритмов БПФ позволяет выполнить эффективное вычисление выходного сигнала y(n) цифрового фильтра. С этой целью следует определить ДПФ H(k) и X(k) в N+M-1 точках для последовательностей h(n) и x(n), затем определить ДПФ Y(k)=X(k)H(k) выходного сигнала y(n). Вычисление y(n) по правилу обратного ДПФ выполняется также с помощью алгоритмов БПФ. Однако, если длина M последовательности x(n) велика, то реализация такого алгоритма вычисления y(n) связана со значительной временной задержкой, необходимой для накопления всех M выборок x(n). С целью уменьшения этой задержки можно входной сигнал x(n) разбить на отрезки xi(n) каждый длиной L и обрабатывать каждый из них независимо от других. Представим входной сигнал x(n) как P 1 x ( n )   xi ( n ), M  PL, 0  n  PL  1 (13.29). i 0 Тогда (13.28) можно записать в виде N 1 P 1 P 1 m 0 i 0 i 0 y ( n )   xi ( n  m)h( m )   yi ( n ) (13.30), где частная свертка yi(n) определяется как N 1 y i ( n )   h ( m ) xi ( n  m ) (13.31). m 0 Таким образом, можно начинать расчет с помощью алгоритмов БПФ частных сверток и формировать выходной сигнал фильтра y(n) путем соответствующего суммирования элементов частных сверток. Лекция № «Цифровые регуляторы» При проектировании как цифровой, так и аналоговой системы управления, ее основная задача заключается в обеспечении такого режима работы, при котором выходные параметры системы соответствуют входному сигналу задания. Традиционным методом обеспечения такого режима работы является использование обратной связи для образования сигнала ошибки между входным и выходным сигналами. Вычисленный сигнал ошибки обрабатывается регулятором, который на основе этого вырабатывает управляющий сигнал, поступающий на объект регулирования. Регулятор должен вырабатывать управляющий сигнал таким образом, чтобы свести сигнал ошибки между входным и выходным сигналами ошибки к нулю. При этом переходный процесс изменения сигнала ошибки должен удовлетворять определенным критериям качества. Таким образом, обобщенная структурная схема системы управления имеет вид, представленный на рис.14.1. e(t) z(t) + Hc(p) u(t) Hp(p) x(t) HLB(p) Рис. 14.1 Здесь Hp(p) – передаточная функция объекта регулирования, Hc(p) – передаточная функция регулятора. В цифровой системе управления вычисляемый сигнал ошибки является цифровым, а регулятор реализуется программно с помощью микропроцессора или аппаратно с помощью специального вычислительного устройства. Структурная схема цифровой системы управления представлена на рис.14.2. z(t) e(n) z(n) + Hc(p) u(n) HLB(p) Hp(p) x(t) x(n) Рис. 14.2 Импульсные элементы с экстраполяторами нулевого порядка на входе и выходе системы соответствуют аналого-цифровому и цифро-аналоговому преобразователям. На основании рис.14.2 можно определить импульсную передаточную функцию цифрового регулятора как 1  eTp H ( p) H c ( z )  Z ( H h 0 ( p) H c ( p))  Z ( H c ( p))  (1  z 1 )Z ( c ) (14.1). p p Отсюда H c ( p) 1 ) H c ( z) (14.2). p 1  z 1 В аналоговых системах регулирования регуляторы, как правило, имеют передаточные функции фильтров нижних или верхних частот. В цифровых системах управления регуляторы реализуются с помощью цифровых фильтров. Простейшими видами регуляторов являются классические П-, ПИ- и ПИД-регуляторы. Уравнение аналогового ПИД-регулятора имеет вид 1 t de(t ) (14.3), u(t )  K ( e(t )   e( )d  TD ) TI 0 dt где K – коэффициент усиления, TI – постоянная времени интегрирования, TD – постоянная времени дифференцирования. Структурная схема аналогового ПИДрегулятора представлена на рис.14.3. Z( П e(t) И u(t) + Д Рис. 14.3 Для малых интервалов дискретизации T0 это уравнение можно преобразовать в разностное с помощью замены производной первой разностью, а интеграла – суммой. Непрерывное интегрирование может быть заменено численным интегрированием по методу прямоугольников или трапеций. При использовании метода прямоугольников получим T n T (14.4). u(n)  K (e(n)  0  e(i  1)  D (e(n)  e(n  1))) TI i 0 T0 Уравнение (14.4) представляет нерекуррентный алгоритм цифрового ПИДрегулятора. В нем для формирования суммы необходимо помнить все предыдущие значения сигнала ошибки e(t). Поскольку каждый раз значение управляющего сигнала u(n) вычисляется заново, такой алгоритм называется позиционным. Запишем уравнение (14.4) для предыдущего момента дискретизации T n1 T (14.5). u(n  1)  K (e(n  1)  0  e(i  1)  D (e(n  1)  e(n  2))) TI i 0 T0 Если теперь вычесть из уравнения (14.4) уравнение (14.5), то получим T T T T u( n )  u( n  1)  K (1  D )e( n )  K (1  2 D  0 )e( n  1)  K D e( n  2) (14.6). T0 T0 TI T0 Из уравнения (14.6) текущее значение управляющего сигнала можно вычислить как u(n)  u(n  1)  q0 e(n)  q1e(n  1)  q2 e(n  2) (14.7), где q0  K (1  TD ), T0 q1   K (1  2 TD T0  ), T0 TI (14.8). TD T0 В соответствии с уравнением (14.7), для вычисления нового значения управляющего сигнала необходимо помнить лишь прошлое значение управляющего сигнала и значения сигнала ошибки на текущем и двух предыдущих шагах дискретизации. Каждый раз вычисляется только приращение управляющего сигнала по сравнению с предыдущим его значением. Такой алгоритм называется скоростным. Уравнение скоростного алгоритма цифрового ПИД-регулятора представляет собой разностное уравнение цифрового фильтра со входным сигналом e(n) и выходным сигналом u(n). Структурная схема цифрового ПИД-регулятора, реализованного по такому алгоритму представлена на рис.14.4. q2  K e(n) -1 Z q0 -1 Z q1 q2 u(n) + -1 Z Рис. 14.4 Если для аппроксимации интеграла использовать метод трапеций, то уравнение скоростного алгоритма цифрового ПИД-регулятора будет иметь вид, аналогичный (14.7), однако коэффициенты этого уравнения будут вычисляться по формулам T T q0  K (1  0  D ), 2TI T0 q1   K (1  2 q2  K TD T0 TD T0  ), T0 2TI (14.9).