Анализ многокритериальных задач.Задачи принятия решений в условиях риска и конфликта

ЛЕКЦИИ-2-4. АНАЛИЗ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ. ЗАДАЧИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ РИСКА И КОНФЛИКТА ШКАЛЫ Шкала – упорядоченный числовой или символьный ряд значений, отражающий допустимые вариации значений измеряемой величины. Пять основных видов шкал измерений: шкалы наименований, шкалы порядка, шкалы интервалов, шкалы отношений, абсолютные шкалы. Номинальная шкала (шкала наименований, неметрическая): приписывание качественным свойствам объектов чисел, играющих роль имен; характеризуется только отношениями эквивалентности, то в них отсутствует понятия нуля, "больше" или "меньше" и единицы измерения. Пример 1. Атласы цветов, предназначенные для идентификации цвета. Шкала порядка (рангов, неметрическая): позволяет установить отношение больше/меньше между величинами, характеризующими указанное свойство. Пример 2. Шкала Мооса для определения твердости минералов: тальк – 1; гипс – 2; кальций – 3; флюорит – 4; апатит – 5; ортоклаз – 6; кварц – 7; топаз – 8; корунд – 9; алмаз – 10. Отнесение минерала к той или иной градации твердости осуществляется на основании эксперимента, который состоит в том, что испытуемый материал царапается опорным. Если после царапанья испытуемого минерала кварцем (7) на нем остается след, а после ортоклаза (6) - не остается, то твердость испытуемого материала составляет более 6, но менее 7. Шкала интервалов (разностей, метрическая). Работают отношения эквивалентности, порядка и аддитивности. Шкала интервалов состоит из одинаковых интервалов, имеет единицу измерения и произвольно выбранное начало – нулевую точку. Пример 3. Летоисчисление по различным календарям, температурные шкалы Цельсия. Шкала отношений (метрическая). Работают отношения эквивалентности, порядка и аддитивности (2-го рода, шкала массы); пропорциональности (1-го рода, температуры). Абсолютные шкалы (метрическая). Шкалы отношений, но имеющие однозначное 2 определение единицы измерения. КРИТЕРИИ Х. Маккей (Harvey Mackay, 1932), «критерии, как и мелочи, не играют решающей роли, они решают все». Критерий (греч. – мерило) – это количественная оценка цели, величина, на основании которой сравниваются и выбираются лучшие решения. Цель обычно измеряется в номинальной шкале, а ее критерий − в более сильной шкале, что дает возможность сопоставлять альтернативные решения. Требования к критериям. • Полнота. Совокупность критериев К1, К2,…, Кm обеспечивает объективность оценки множества решений Y1, Y2,…, Yn, в том числе отражение личных интересов лица, принимающего решение (ЛПР). • Независимость. Критерии одного уровня ортогональны (проверяется путем расчета коэффициента попарной корреляции). • Непротиворечивость. Критерии противоречивы, если они близки по смыслу, но их направления оптимизации противоположны. • Неизбыточность. Критерий избыточен если он не обеспечивает различение решений. Если альтернативы заданы и надо найти лучшую из них, то это задача выбора. ПРИМЕРЫ. Критерии социальной стратификации (доход, образование, власть,...) Критерии достижения цели экономического управления (объем продаж, затраты на реализацию товара, % выполнения договоров к объему и времени.....) 3 КРИТЕРИИ И ИХ СКАЛЯРИЗАЦИЯ Суть скаляризации: отдельные критерии Fj, j = 1,…, n каким-либо образом объединяются в один критерий F, а затем находится максимум или минимум данного критерия (оптимальное решение не всегда будет корректным, пример: МАИ). Многокритериальная (векторная) задача принятия решений сводится к однокритериальной (скалярной) задаче; векторная оценка решений в n-мерном пространстве заменяется скалярной оценкой. Критерии аддитивный существенное значение имеют абсолютные значения критериев при Требует нормирования частных критериев выбранном векторе параметров X мультипликативный существенную роль играет изменение абсолютных значений частных Не требует нормирования частных критериев критериев при вариации вектора X; максиминный (минимаксный) задача достижения равенства выбрать такой набор переменных, при котором реализуется нормированных значений максимум (минимум) из минимальных (максимальных) противоречивых (конфликтных) нормированных значений частных критериев частных критериев Недостатки Аддитивный критерий требует нормирования частных критериев, позволяет уменьшением значимости одного из критериев компенсировать увеличением значимости другого критерия. Мультипликативный критерий: при перемножении разных размерностей взаимно компенсируются значимости частных критериев. Максиминный (минимаксный) – сложен в применении, так как цели при проектировании любого объекта, как правило, противоречивы (обеспечение минимальной стоимости и максимальной надежности, 4 максимальной производительности и минимальной энергоемкости). ПРИМЕР ПРИМЕНЕНИЯ АДДИТИВНОГО И МУЛЬТИПЛИКАТИВНОГО КРИТЕРИЕВ Определение оптимального варианта устройства на основе аддитивного критерия. Нормирующие максимальным (4000 и 1500). делители равны значениям Fi Если бы веса критериев были равны С1 = 0,4, С2 = 0,6, то оптимальным был бы вариант 1. Определение оптимального варианта на основе мультипликативного критерия. 1 вариант 2 вариант 3 вариант 360000 480000 480000 5 ДЕМОКРАТИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ (КРИТЕРИИ) ИЗБИРАТЕЛЬНОГО ПРАВА 1. Всеобщность 2. Равенство 3. Тайна выборов 4. Прямое голосование Ке́ннет Джо́зеф Э́рроу, 1951 (Стенфорд) (исследование всех возможных систем голосования) Поставил вопрос в наиболее общем виде: можно ли создать такую систему голосования, чтобы она была одновременно рациональной (без противоречий), демократической (один человек — один голос) решающей (позволяла осуществить выбор). Пусть имеется набор требований (аксиом) к системе выборов: Первая аксиома Эрроу - аксиома универсальности (учет все возможных распределенийранжирований голосов избирателей). Вторая аксиома Эрроу - аксиома единогласия (коллективный выбор повторял в точности единогласное мнение всех голосующих). Третья аксиома Эрроу - независимости от несвязанных альтернатив (Пусть избиратель считает, что из пары кандидатов А и В лучшим является А, но это предпочтение не должно зависеть от отношения избирателя к другим кандидатам). Пример нарушения 3-й аксиомы. Посетитель ресторана первоначально сравнивает блюдо А и В и хочет заказать А, потому что приготовление блюда В требует высокой квалификации повара, а по его мнению, такой повар вряд ли есть в данном ресторане. Вдруг он замечает в меню блюдо С — очень дорогое и также требующее высокого искусства приготовления. Тогда он выбирает блюдо В, считая, что повар умеет хорошо готовить. Четвертая аксиома Эрроу - аксиома полноты система голосования должна позволять сравнение любой пары кандидатов, определив, кто из них лучше (допускается равнопривлекательность). Пятая аксиома Эрроу - условие транзитивности. Эрроу доказал (теорема невозможности): системы, удовлетворяющие этим аксиомам, обладают недопустимым с точки зрения демократических свобод недостатком: каждая из них является правилом диктатора — личности, навязывающей всем остальным избирателям свои АКСИОМЫ К. ЭРРОУ. РАННЯЯ РЕДАКЦИЯ Пусть есть N ≥ 2 избирателей (критериев), голосующих за n ≥ 3 кандидатов (альтернатив). У каждого избирателя есть упорядоченный список альтернатив (профиль голосования). Система выборов — функция, превращающая набор из N таких списков в общий упорядоченный список (скаляризация множества векторов оценок). Требования к системе выборов: Универсальность Для любого профиля голосования существует результат — упорядоченный список из n альтернатив. Полнота Система голосования может давать в качестве результата все n! перестановок альтернатив. Монотонность Если во всех N списках некоторая альтернатива X останется на месте или поднимется выше, а порядок остальных не изменится, в общем списке X должен остаться на месте или подняться. Отсутствие диктатора Нет избирателя, предпочтение которого определяло бы результат выборов независимо от предпочтений других избирателей. Независимость от посторонних альтернатив Если профиль голосования изменится так, что альтернативы X и Y во всех N списках останутся в том же порядке, то не изменится их порядок и в окончательном результате. Для N ≥ 2 и n ≥ 3 не существует системы голосования, которая отвечает всем пяти условиям. ТРАКТОВКА ПРИНЦИПА ПАРЕТО Вильфредо Парето (1848-1923) итальянский инженер,экономист, социолог. Принцип Парето, принцип 80/20 20 % усилий дают 80 % результата, остальные 80 % усилий - 20 % результата; теория элит; 20 % самых бедных (население) получают всего 7 % дохода; небольшое количество наиболее жизнеспособных семян производит большую часть урожая. Принцип Парето лежит в основании идеи компьютерных *RISC (reduced instruction set computer)-процессоров Создатели RISC обратили внимание: «в течение 80 % времени работы процессор выполняет 20 % от общего числа реализованных в нём команд». Возникла естественная идея: выбросить из схемы процессора реализацию 80% редко используемых команд, оставив только 20% используемых часто, и за счёт упрощения схемы сделать её более производительной. *архитектура процессора, в которой быстродействие увеличивается за счёт упрощения инструкций, чтобы их декодирование было более простым, а время выполнения — меньшим. • Значимых факторов немного, а факторов несущественных много. • Большая часть усилий не даёт желаемых результатов. • Большая часть неприятностей связано с действием небольшого числа нежелательных факторов. • Большинство успешных событий обязано небольшому числу благоприятных факторов. 8 ОТНОШЕНИЕ ПАРЕТО Отношение Парето Р Объекты х и y находятся в отношении Парето Р (строгого предпочтения), если для всех критериев оценки xi ≥ yi , i = 1, m и хотя бы по одному критерию j оценка xj > yj , j = 1, m. { } x P y ⇒ ( xi ≥ yi , = i 1, m) ∧ (∃j , x j > y j , = j 1, m) . Определение Парето-оптимальных решений • попарно сравнить все решения из Yдоп: • если Yi ≥ Yj, то решение Yj отсеивается и не входит в YP; • если Yi ≤ Yj, то решение Yi отсеивается и не входит в YP В результате отсеиваются доминируемые решения, остаются несравнимые, которые нельзя улучшить по какому-нибудь критерию без ухудшения по другому критерию. ПРИМЕР Выбор лучших студентов (максимизация оценок) ⇒ для получения множества Парето используется предикат НЕ ХУЖЕ. Волков отсеивается при сопоставлении с Алимовым, Бодров − при сопоставлении с Ерёминым⇒ YP = {Алимов, Громов, Дёмкин, Ерёмин} 9 ПОСТРОЕНИЕ МНОЖЕСТВА ПАРЕТО ◊ Для определения множества Парето используют правило "уголка": уголок вида └ используется для определения области компромиссов в критериальном пространстве, когда критерии максимизируются, а уголок ┐– когда минимизируются. ◊ В случае, когда множество D является непрерывным, критериальное пространство представляет собой некоторую область на плоскости. Множество Парето в данном случае представляет собой часть границы области YD: если критерии минимизируются – "юго-западную границу", если максимизируются – "северо-восточную". ◊ Если область YD не выпуклая, ее Парето-оптимальная граница может состоять из отдельных линий и/или точек. 10 ПОСТРОЕНИЕ МНОЖЕСТВА ПАРЕТО. НАПРАВЛЕНИЕ ОПТТИМИЗАЦИИ ДЛЯ КРИТЕРИЕВ Множество оценок устройств в пространстве критериев Методы скаляризации экспертных оценок→ математический аппарат для экспертных систем и СППР 11 МЕТОДЫ ЭЛЕКТРА. Формирование множества Парето и ранжирование альтернатив) Цель применения методов ЭЛЕКТРА: сужение паретовского множества альтернатив. Суть метода – в попарном сравнении всех альтернатив по всему множеству критериев I и определения числовой характеристики правила определения доминирования альтернатив х и у. Пусть сравниваются две альтернативы х и у по n критериям: x=(x1,.....,xn) y=(y1,.......,yn) Множество I разбивается (для каждой пары х и у) на 3 подмножества: I+(x,y) - множество критериев, по которым х превосходит у: x>y. I- (x,y) - множество критериев, по которым у превосходит х: у>х. I=(x,y) - множество критериев, по которым х и у имеют одинаковые оценки: у=х. Определяется относительная важность P +xy P −xy P =xy каждого из этих подмножеств: Pxy∗ = ∑ Pi i ∈I * ( x, y) (∗ ∈{+, − ,=}) Pi. - коэффицент относительной важности i-го критерия. Правило сравнения альтернатив х и у: o метод ЭЛЕКТРА-I: Pxy+ + Pxy= 1  x y⇔ > c1 ,  ≤ c1 ≤ 1 . ∑ Pi 2  (1) i =1 o метод ЭЛЕКТРА-II: Pxy+ x  y ⇔ − > c2 , (c2 ≥1). Pxy (2) 12 МЕТОДЫ ЭЛЕКТРА. ИНДЕКС НЕСОГЛАСИЯ Возможна ситуация: очень маленький выигрыш по одному критерию может компенсировать очень большой проигрыш по другому критерию. ⇒Вводят понятие «несравнимости» альтернатив. ⇒Вводится так называемый «индекс несогласия»: х и у несравнимы, если dxy ≥d, dxy - расстояние между х и у определяется, a d - т.н. порог индекса несогласия. dxy= maxi xi - yi Итоговая запись соотношений примет вид: в ЭЛЕКТРА-I x y⇔ в ЭЛЕКТРА-II Pxy+ + Pxy= n ∑ Pi > c1 ∧ d xy < d . (3) i =1 Pxy+ x  y ⇔ − > c2 ∧ d xy < d . Pxy (4) Таким образом, в полученном паретовском множестве на основе формул (1), (2), далее на базе формул (3), (4) выделяется ядро, состоящее из недоминируемых по заданному бинарному отношению элементов и всех, несравнимых с ними (любой элемент, не вошедший в ядро, доминируется хотя бы одним элементом ядра). 13 МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ Условия определенности: ЛПР может определить результат каждого альтернативного решения, возможного в данной ситуации МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ Для однокритериальных линейных задач - методы ЛП: графический (для задачи с двумя неизвестными x j , j = 1, 2), симплексный. Для многокритериальных задач используется процедура свертывания критериев. Условия: 1) частные критерии количественно соизмеримы по важности, каждому из них можно поставить в соответствие некоторое число λ j , которое численно характеризует его важность по отношению к другим критериям; 2) частные критерии являются однородными (имеют одинаковую размерность). U (i ) = n n ∑λ a , ∑λ j ij =j 1 =j 1 j = 1, i = 1,..., m - аддитивный критерий оптимальности. Метод свертывания критериев 1) отобрать показатели; 2) ранжировать показатели по важности в соответствии с предпочтениями ЛПР, переписать их в порядке уменьшения значимости; 3) определить ВК каждого показателя, нормировать полученные результаты; 4) ранжировать проекты в соответствии с предпочтениями ЛПР по каждому показателю; 5) определить ВК сравниваемых проектов по каждому показателю и нормировать полученные результаты; 6) рассчитать значения обобщенного показателя для каждого проекта U (i ), i = 1,..., m ; 7) принять решение о выборе проекта по критерию наибольшего результата. 15 МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ. ПРИМЕР (1/5) Рассмотрим 5 проектов (А, В, С, D, Е), сравниваемых по показателям: 1) чистому дисконтированному доходу (ЧДД); →max 2) индексу доходности (ИД); →max 3) внутренней норме доходности (ВНД); →max 4) сроку окупаемости (СО); →min 5) рентабельности инвестиций (РИ). →max Проекты А В С D Е Таблица 1. Значения показателей для каждого проекта Исходные данные для показателей ЧДД, ВНД, СО, ИД тыс. дол. % лет 900 1,10 25 2,0 800 1,15 40 1,5 1000 1,20 30 1,8 1010 1,25 20 1,0 300 1,40 15 1,2 РИ, % 27 30 35 25 20 Таблица 2. Ранжирование проектов (предпочтения ЛПР) по каждому из показателей Ранги ЧДД, тыс. дол. ИД ВНД, % СО, лет РИ, % 1 D Е В D С 2 С D С Е В 3 А С А В А 4 В В D С D 5 Е А Е А Е 16 МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ. ПРИМЕР (2/5) Проекты Исходные показатели ЧДД, ВНД, СО, РИ, тыс. ИД % лет % дол. А 900 1,10 25 2,0 27 В 800 1,15 40 1,5 30 С 1000 1,20 30 1,8 35 D 1010 1,25 20 1,0 25 300 1,40 15 1,2 20 Е А ЧДД ИД ВНД СО РИ Е ЧДД ИД ВНД СО РИ D ЧДД ИД ВНД СО ИР В + – – – – А – + – + – А + + – + – С – – – – – В – + – + – В + + – + – D – – + – + С – + – + – С + + – + – Е + – + – + D – + – – – Е + – + + + Правило для таблиц частных предпочтений (см. табл.1): в клетку пересечения строки (показатель ЧДД) и столбца (идентификатор проекта, В) ставится «+», если значение показателя строки ЧДД по проекту А больше, чем по проекту В; знак «-», если меньше, знак 0, если значения равны. С ЧДД ИД ВНД СО РИ А + + + + + В + + – – + D – – + – + Е + – + – + Наличие в таблице для проекта С столбца А, не имеющего ни одного знака «-», означает, что проект С превосходит проект А (по Парето) Таблица 3. Сравнительные попарные предпочтения для проектов Применим метод аддитивной оптимизации. По данным табл. 1. определим максимум + + локального критерия: a1 = 1010 , a2 = 1, 40 , a4+ = 2,0 , a5+ = 35 . каждого a3+ = 40 , При решении задачи максимизируются первый, второй, третий и пятый критерии, четвертый – минимизируется. Нормализуем критерии. 17 МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ. ПРИМЕР (3/5) Проекты А В С D Е Исходная информация: весовой коэффициент (ВК) показателей (ЛПР), в сумме дающих 1 ЧДД, тыс. дол. 0,89 0,79 0,99 1,00 0,30 0,45 ИД 0,79 0,82 0,86 0,89 1,00 0,25 Таблица 4 (нормализованная табл.1) Значения показателей ВНД, СО, РИ, % лет % 0,63 1,00=2/2 0,77 1,00 0,25=1-1,5/2 0,86 0,75 0,10=1-1,8/2 1,00 0,50 0,50=1-1/2 0,71 0,38 0,40=1-1,2/2 0,57 0,15 0,10 0,05 Определяем обобщенную функцию цели по каждому варианту: U A = 0,89 ⋅ 0,45 + 0,79 ⋅ 0,25 + 0,63 ⋅ 0,15 ++1,00 0,00 ⋅ 0,10 + 0,77 ⋅ 0,05 = 0,73, U B = 0,79 ⋅ 0, 45 + 0,82 ⋅ 0, 25 + 1,00 ⋅ 0,15 + 0, 25 ⋅ 0,10 + 0,86 ⋅ 0,05 = 0,78 , U C = 0,99 ⋅ 0, 45 + 0,86 ⋅ 0, 25 + 0,75 ⋅ 0,15 + 0,10 ⋅ 0,10 + 1,00 ⋅ 0,05 = 0,78 , U D =1,00 ⋅ 0, 45 + 0,89 ⋅ 0, 25 + 0,50 ⋅ 0,15 + 0,50 ⋅ 0,10 + 0,71 ⋅ 0,05 = 0,83 , U E = 0,30 ⋅ 0, 45 + 1,00 ⋅ 0, 25 + 0,38 ⋅ 0,15 + 0, 40 ⋅ 0,10 + 0,57 ⋅ 0,05 = 0,51. Выбор падает на проект D, как имеющий максимальную величину обобщенной оценки. Замечание. Выбор не однозначен, поскольку ВК критериев определены мнением экспертов. 18 МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ. ПРИМЕР (4/5) Другой метод скаляризации критериальных оценок БОФ (Быстров Олег Филаретович), позволяющий определить ВК критериев. Замечание. Здесь может быть другое ранжирование, отличное от табл. 4. 1. Ранжирование показателей оценивания проектов от ЛПР. Самым важный - ЧДД ( R1 = 1) . Таблица 5. Ранги показателей по оценкам ЛПР Показатели (W j ) в порядке уменьшения важности Ранг ( R j ) ЧДД ВНД СО ИД W3 W1 W2 W4 1 2 3 4 2. Определение весовых коэффициентов показателей и нормирование их значений. M Rj −1  , , где М – число показателей. Cj = 1− j = 1,, M C j = C j ∑ Cm . M m =1 Результаты расчета весовых коэффициентов: 1−1 2 −1 4 3 −1 3 4 −1 2 5 −1 1 5 , , , , . ∑ Cm 1− =C3 = 1− =C4 = C1 = 1− = 1 C2 = 1− 1− = =C5 = 5 5 5 5 5 5 5 m =1 5 5 Больший ранг наибольший ВК Таблица 6. Нормированные значения весовых коэффициентов W1 W2 W3 W4 M ∑C m =1 =3 дает Wj C j = C j РИ W5 5 m 5 15 4 15 3. Ранжирование проектов по каждому показателю. 3 15 2 15 W5 1 15 19 Исходные данные МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ. ПРИМЕР (5/5) Ранжирование проектов по каждому показателю. Пример заполнения таблицы 7, R ji – ранг варианта проекта с номером i по показателю с номером j. Таблица 2. Ранжирование проектов (предпочтения ЛПР) по каждому из показателей W4 СО, лет W3 ВНД, % W1 ЧДД, тыс. дол. W2 ИД РИ, % Ранги D С В Е 1 D Е В С С D 2 В А С А А 3 D D С В 4 В Е А Е Е А 5 Таблица 5. Ранги показателей Показатели (W j ) в порядке уменьшения важности Ранг ( R j ) Таблица 7 Показатели W1 W2 W3 W4 W5 ИД W2 2 ЧДД W1 1 A R11 = 3 5 3 5 3 B 4 4 1 3 2 Проекты D 2 3 2 4 1 1 2 4 1 4 C E 5 1 5 2 5 ВНД W3 3 4. Определение проектов по C ji = 1 − R ji − 1 K СО W4 4 РИ W5 5 весовых коэффициентов каждому показателю , где К – число сравниваемых 3 −1 3 4 −1 2 , C12 = , 1− = = 5 5 5 5 2 −1 4 5 −1 1 , и т.д. C55 = . C13 = 1− = 1− = 5 5 5 5 K  4   = C 3 C ji = C ji ∑ C j k .  ∑ jk . 20 k =1  k =1  проектов: C11 = 1− МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ. ПРИМЕР (5/5) 3. Ранжирование проектов по каждому показателю. Заполняется таблица, в которой R ji – ранг варианта проекта с номером i по показателю с номером j (с учетом таблиц 5 и 2). Таблица 7 Показатели W1 W2 W3 W4 W5 A B Проекты C D E R11 = 3 4 4 1 3 2 2 3 2 4 1 1 2 4 1 4 5 1 5 2 5 5 3 5 3 Таблица 8 Показатели A B W1 3 15 W2 1 15 W3 3 15 W4 1 15 2 15 2 15 5 15 W5 3 15 3 15 4 15 ⇓ Проекты C D E 4 15 5 15 3 15 4 15 4 15 2 15 5 15 2 15 1 15 5 15 1 15 2 15 5 15 4 15 1 15 4. C ji = 1 − R ji − 1 , где К – число сравниваемых проектов: K 3 −1 3 2 −1 4 4 −1 2 , , C12 = ... ... C11 = 1− = 1− = 1− = C13 = 5 5 5 5 5 5 5 −1 1 . C C55 = 1− =  ji = C ji 5 5 Таблица 6 W1 W2 W3 W4 W5 K ∑C jk . k =1 4 ∑C k =1 jk =3 5 4 3 2 1 15 15 15 15 15 5. Расчет значений обобщенного показателя W j по M  каждому проекту проводят по формуле Wi = ∑ C ji , где   . (уточнить расчеты) C= C j × C ji ji j =1 Таблица 9. (м.б. неточности в связи с изм.данных) Проект A B C D E Wi 0,146 0,222 0,266 0,293 0,186 Пример. Вес критерия (табл.6) Вес проекта по критерию (табл.8) 21 МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ Условия неопределенности: невозможно оценить вероятность потенциальных результатов ЗАДАЧИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ (1/4) Используется вероятностная модель реального явления или процесса. Критерии для ПР в условиях неопределенности: Лапласа, Вальда, Гурвица, ХоджаЛемана, Гермейера, критерий произведений. Условия применения: 1) множество состояний S j конечно j = 1,..., n или счетно и все их варианты известны; 2) неизвестно, какое состояние будет реализовано; 3) множество решений Ri также конечно и равно m; 4) известен результат (выигрыш, полезность) при исходе Vij от выбора i-го действия Ri и реализации j-го состояния S j осуществляют по правилам: Критерий Критерий Лапласа. Состояния природы S j полагаются равновероятными q j = 1 n . (S , R ) →V . j i ij Выбор оптимального решения Ri Матрица выигрышей 1 n  max  ∑Vij  Ri  n j =1  Матрица потерь 1 n  min  ∑Vij  Ri  n j =1  Критерий Вальда (минимаксный или максиминный) опирается на принцип min max {Vij } max min {Vij } i j j i наибольшей осторожности и основывается на выборе наилучшей из наихудших стратегий Ri . Критерий Гурвица: природа может находиться в самом невыгодном состоянии с α max Vij +  α min Vij +  j j вероятностью (1− α ) и в самом выгодном  Z = min   Z = max  i i  + (1 − α ) min Vij   + (1 − α ) max Vij  состоянии с вероятностью α , 0 ≤ α ≤ 1 – j j     коэффициент доверия (баланс между крайним пессимизмом и крайним оптимизмом). Критерий Ходжа-Лемана опирается одновременно на минимаксный критерий (критерий 23 Вальда) и критерий Лапласа со степенью доверия 0 ≤ γ ≤ 1 к распределению вероятностей ЗАДАЧИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ (2/4) Критерий Критерий Ходжа-Лемана опирается одновременно на минимаксный критерий (критерий Вальда) и критерий Лапласа со степенью доверия 0 ≤ γ ≤ 1 к распределению вероятностей. Если доверие велико, то доминирует критерий Лапласа, в противном случае – минимаксный критерий Вальда. Решение   = Z min  γ ∑Vij q j + (1 − γ ) min Vij  . i j  j  Матрица результатов дополняется столбцом, составленным из сумм средних взвешенных математических ожиданий и взвешенного наименьшего результата каждой строки. В данном столбце отбирается вариант с наибольшим весом. Критерий Гермейера ориентирован на = Z max min Vij ⋅ q j j i величину потерь, т.е. на отрицательные Матрица решений дополняется столбцом, значения всех Vij . содержащим в каждой строке наименьшее произведение имеющегося в ней результата на вероятность соответствующего состояния, а затем выбирается вариант с наибольшим весом в столбце. Критерий произведений. Рекомендуется для Z = max ∏Vij { V случаев, когда все ij положительны. i } j Матрица решений дополняется столбцом, содержащим произведения всех результатов каждой строки, из которого затем выбирается вариант с наибольшим значением. Критерий Сэвиджа. Выбирать ту стратегию, min max rij . Элементы матрицы рисков: i j при которой величина риска принимает max Vij − Vij , если V − выигрыш, наименьшее значение в самой i r =  ij неблагоприятной ситуации, min max rij Vij , если V − потери. i j Vij − min i 24 { } { } ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ПР В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ (3/4) Телефонная компания. Для каждого уровня спроса существует наилучший уровень возможностей телефонной компании (например, с точки зрения возможных затрат на ввод нового тарифа). Отклонения от этих уровней могут приводить к дополнительным затратам. Выбрать оптимальную стратегию. Определить уровень возможностей по предоставлению телефонных услуг таким образом, чтобы удовлетворить спрос своих клиентов на планируемый период. Варианты решений по разным критериям КРИТЕРИЙ Критерий Лапласа. По условию критерия все состояния природы S j полагаются 1 1 равновероятными q j = 1 n ., p= = = 0, 25 . n 4 1 n  min  ∑Vij  Ri  n j =1  в случае матрицы потерь Критерий Вальда принцип наибольшей осторожности - выбор наилучшей из наихудших стратегий Ri . max min {Vij } min max {Vij } i j выигрыш i j потери Таблица 1. Прогнозируемые затраты Варианты Варианты спроса решений S1 S2 S3 S4 7 10 18 22 R1 8 25 R2 9 6 25 18 16 21 R3 24 22 20 26 R4 Max∀Riпо столбцам, Затем выбор minRiпо всем строкам (по критерию Вальда) РЕШЕНИЕ Ожидаемые затраты при действиях R1,R2,R3,R4: W { R1}= 0, 25 ⋅ ( 7 + 10 + 18 + 22 )= 14, 25 , W { R2= } 0, 25 ⋅ ( 9 + 6 + 8 + 25=) 12 , W { R3 }= 0, 25 ⋅ ( 21 + 18 + 16 + 21)= 19 , W { R4 }= 0, 25 ⋅ ( 24 + 22 + 20 + 26 )= 23 . Наилучшей стратегией развития телефонных возможностей в соответствии с минимаксным критерием будет первая R1. Наименьшие затраты из наибольших по строкам 25 ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ПР В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ (4/4) Критерий Вальда(табл.2). Таблица 2 (критерий Вальда) Стратегия R1 R2 R3 R4 Вариант спроса S1 S2 S3 S4 7 9 25 24 10 6 18 22 18 8 16 20 22 25 21 26 max Vij 22 25 21 26 Критерий Сэвиджа. Таблица 3 (критерий Сэвиджа) min max Vij Страте гия 22 R1 R2 R3 R4 S1 2 14 17 Вариант спроса S2 S3 4 10 12 8 16 12 S4 1 4 5 max rij 10 4 14 17 min max rij 4 - max Vij − Vij , V − выигрыш, i Критерий Сэвиджа. min max {rij } , rij =  (минимум потерь при риске макс.) i j . V − V V − поте ри min , ij  ij i Выбор стратегии R2, обеспечивающей наименьшие потери в самой неблагоприятной ситуации. Критерий Гурвица. Положим α =0,5 – коэффициент доверия к наиб. выгодному состоянию Таблица 4 Wi = α ⋅ min Vij + Для матрицы потерь: min V max V min Wi S1 S2 S3 S4 ij ij α min Vij + + (1 − α ) ⋅ max Vij j   Z = min  i  + 1 − α max V  ( ) j ij   R1 7 10 18 22 7 22 14,5 14,5 R2 9 6 8 25 6 25 15,5 R3 21 18 16 21 16 21 18,5 — R4 24 22 20 26 20 26 23,0 — Задача ЛПР! Сделать итоговый выбор, какое из возможных решений предпочтительнее: по критерию Лапласа – выбор стратегии R2, по критерию Вальда – выбор стратегии R1, по критерию Сэвиджа – выбор стратегии R2, по критерию Гурвица при α =0,5 – выбор стратегии R1. 26 МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ РИСКА Условия РИСКА: результаты решений не являются определенными, но вероятность каждого возможного результата можно определить ЗАДАЧИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ РИСКА (1/5) Ситуация риска характеризуется следующими признаками. − наличием неопределенности; − необходимостью выбора альтернатив действий; − возможностью оценить вероятность осуществления выбранной альтернативы. На основе вероятностей рассчитываются стандартные характеристики риска: математическое ожидание, дисперсия, стандартное отклонение, коэффициент вариации. Как правило, используемые критерии применяются к нормальному распределению вероятностей, т.к. существенно упрощается анализ. (Искать под фонарем) Пример постановки и решения задачи в условиях риска. Фирма рассматривает план капиталовложений на ближайшие годы. Берутся четыре варианта: А, Б, В и Г. В таблицах приведены расходы на выполнение инвестиционных программ. Исходные предположения и данные. 1) средства должны быть инвестированы в начале первого года (планируемые поступления R в млн. руб. и вероятности поступления наличности); 2) Длительность инвестиционных программ: А - 1 год; Б - 2 года; В - 3 года; Г - 4 года; 3) Ставка дисконтирования считается постоянной и равной 24% годовых. 4) Планируемые поступления денег происходят в конце года. Требуется определить ожидаемый средний доход по четырем вариантам 28 инвестиционных программ и уровень риска для каждого варианта. ЗАДАЧИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ РИСКА (2/5) Исходные предположения КапиталоПланир. Вариант вложения, Вероятность, поступления, А млн. руб. Pm млн. руб. Rm Год ( ) (S ) 1 Вариант Б 1 72 172 2 Вариант В1 2 3 262 100 120 140 160 100 120 140 160 180 210 240 270 100 120 140 160 180 210 240 270 260 300 340 380 ( ) 0,2 0,3 0,4 0,1 0,2 0,3 0,4 0,1 0,1 0,3 0,4 0,2 0,2 0,3 0,4 0,1 0,1 0,3 0,4 0,2 0,1 0,4 0,4 0,1 Вариант Г Капитало- Планир. Год вложения, поступления, Вероятность млн. руб. млн. руб. 100 0,2 120 0,3 1 140 0,4 160 0,1 180 0,1 210 0,3 2 240 0,4 270 0,2 420 260 0,1 300 0,4 3 340 0,4 380 0,1 400 0,2 450 0,3 4 500 0,3 550 0,2 29 ЗАДАЧИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ РИСКА (3/5) Ожидаемое среднее поступление наличности и ожидаемый средний доход. R M ∑R m =1 m ⋅ Pm - средневзвешенная величина поступлений Rm в каждом варианте. Pm - вероятности поступления денег в m-ом периоде, М - количество планируемых поступлений. Длительность инвестиционных программ (ИП) различная⇒необходимо дисконтировать ожидаемые средние поступления к моменту начала проектов. n Rk − S - ожидаемый средний доход, Rk - средние денежные поступления по годам по ИП, D ∑ k k =1 (1 + i ) i - ставка дисконтирования, п - количество лет, на которые рассчитана инвестиционная программа, S - капиталовложения (млн. р.). Расчет ожидаемого среднего дохода (табл.) ПРОВЕРИТЬ! n =1 n=2 т R P R ⋅P R P R ⋅P 1 2 3 4 т 1 2 3 4 m 100 120 140 160 R1 = 128 Rm 260 300 340 380 R3 = 320 m 0,2 0,3 0,4 0,1 n=3 Pm 0,1 0,4 0,4 0,1 m 20 36 56 16 m Rm ⋅ Pm 26 120 136 38 m 180 210 240 270 Rm 400 450 500 550 m 0,1 0,3 0,4 0,2 R2 = 231 n=4 Pm 0,2 0,3 0,3 0,2 R4 = 475 m 18 63 96 54 m Rm ⋅ Pm 80 135 150 110 30 ЗАДАЧИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ РИСКА (4/5) Ожидаемый средний доход для инвестиционных программ А 128 −= 72 31, 226 млн. руб. 1 + 0, 24 128 231 D = + − 172 = 81, 460 млн. руб. Б 1 + 0, 24 (1 + 0, 24 )2 = DA Б 128 231 320 + + − 262 = 159, 296 млн. руб 2 1 + 0, 24 (1 + 0, 24 ) (1 + 0, 24 )3 128 231 320 475 202, 208 млн. DГ = + + + − 420 = 2 3 1 + 0, 24 (1 + 0, 24 ) (1 + 0, 24 ) (1 + 0, 24 )4 В D= B Г Оценки рисков. Основные показатели D ( R )= M ∑ P ⋅(R m =1 n D( R) = ∑ m m D ( Rk ) − R ) - дисперсия (СВ поступления наличности, R - ожидаемое среднее). 2 - дисперсия дохода по ИП, если поступления наличности независимы. (1 + i ) σ R = D ( R ) - среднее квадратичное отклонение (СКО). k =1 2k σ ε R = R - относительный показатель риска (отношение СКО к ожидаемому среднему доходу D программы). 31 ЗАДАЧИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ РИСКА (5/5) Основные показатели рисков для инвестиционных программ n =1 n=2 n=3 n=4 т R −R P R −R ⋅P R −R Pm ( R2 − Rm ) ⋅ Pm R3 − Rm Pm R3 − Rm ⋅ Pm R4 − Rm Pm ( R4 − Rm ) ⋅ Pm m) m m ( 1 1 m 2 m 1 2 3 4 А 28 8 -12 -32 Б В 0,2 0,3 0,4 0,1 ∑ 336 156,8 19,2 57,6 102,4 D ( RB ) = Г D ( RГ ) = 51 21 -9 -39 0,1 0,3 0,4 0,2 ( 260,1 132,3 32,4 304,2 ∑ 729 60 20 -20 60 0,1 0,4 0,4 0,1 ∑1040 ) 360 160 160 360 75 25 -25 -75 336 218,522 = 14,782 . , σ RA = 218,522= 2 (1 + 0, 24 ) 336 729 527,422 = 22,970 . , σ RБ D ( RБ ) = + = 527, 422= 2 4 (1 + 0, 24 ) (1 + 0, 24 ) = D ( RA ) 336 (1 + 0, 24 ) 336 (1 + 0, 24 ) 2 + 2 + 729 (1 + 0, 24 ) 729 (1 + 0,24 ) 4 + 4 + 1040 (1 + 0, 24 ) 1040 (1 + 0, 24 ) 6 + , σ RВ = 976,660= 6 1040 (1 + 0, 24 ) 8 , σ RГ = = 1340,950 0,2 0,3 0,3 0,2 1125,0 187,5 187,5 1125,0 ∑ 2625 976,660 = 31,251. 1340,950 = 36,619 . Ожидаемые средний доход, СКО и относительный коэффициент риска, в последнем столбце величина ожидаемого среднего дохода в расчете на один год. Програм D , млн. σ R , млн. руб. ε R D , млн. Из сопоставления данных следует, что для n ма руб. руб. рассмотренных инвестиционных программ А 31,226 14,782 0,473 31,226 с увеличением длительности программ Б 81,460 22,970 0,282 40,730 увеличивается доход и снижается В 159,296 31,251 0,196 53,099 коэффициент относительного риска.32 Г 202,208 36,619 0,181 50,552 ЛИТЕРАТУРА Гилл Ф. Практическая оптимизация: пер. с англ./ Ф. Гилл, У. Мюррей, М. Райт; пер. В. Ю. Лебедев, ред. пер. А. А. Петров. - М.: Мир, 1985. - 509 с. Кини Р.Л. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения: Пер. с англ./ Р. Л. Кини, Х. Райфа; пер. В. В. Подиновский, пер. М.Г. Гафт, пер. В.С. Бабинцев, ред. пер. И.Ф. Шахнов, послесл. Г.С. Поспелов. - М.: Радио и связь, 1981. - 560 с. С. И. Колесникова, C. А. Караванова. Оптимизация алгоритма многокритериального выбора с динамически пополняемым большим набором альтернатив. Информационные технологии. Том 27. №5. 2021. С. 235-241. 10.17587/it.27.235-241 Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе: Учебное пособие для вузов/ А.М. Дубров, Б.А. Лагоша, Е.Ю. Хрусталев, Т.П. Барановская; Ред. Б.А. Лагоша. - 2- изд., перераб. и доп. - М.: Финансы и статистика, 2001. - 224 с 33