Аналитическая геометрия

Лекции по аналитической геометрия В.Е. Новиков Саратов ۩ 2010 Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е. Обозначения:  — дизъюнкция, заменяет союз «или»;  — конъюнкция, заменяет союз «и»;  — эквивалентность, заменяет словесное выражение «тогда и только тогда»;  — объединение;  — пересечение. — окончание утверждения или доказательства. Нумерация определений, формул и рисунков в каждой главе новая. Глава 1. Алгебра свободных векторов 1. Свободные векторы и действия с ними. Определение 1. Связным вектором в евклидовой плоскости или пространстве называется упорядоченная пара точек, первая называется началом, а вторая — концом вектора. Связный вектор с началом в точке А и концом в точке В (см. рис. 1) обозначают символом AB . Вектор характеризуется длиной | AB | (длина отрезка АВ) и направлением от A к B. А В Рис.1 Если два связных вектора AB и CD имеют одинаковые направления, то пишут AB  CD , а если их направления противоположны, то — AB  CD . Связный вектор, у которого начало и конец совпадают, считают вектором нулевой длины и без направления (или произвольного направления) и называют нулевым связным вектором. Определение 2. Два связных вектора AB и CD называются конгруэнтными, если они одинаковой длины и одинаково направлены, то есть | AB | = | CD | и AB  CD . Обозначение: AB  CD . Отношение конгруэнтности связных векторов обладает следующими свойствами: 1. Любой связный вектор конгруэнтен сам себе, то есть AB  AB (рефлексивность конгруэнтности). 2. Если AB  CD , то CD  AB (симметричность конгруэнтности). 3. Если AB  CD и CD  EF , то AB  EF (транзитивность конгруэнтности). Таким образом, отношение конгруэнтности связных векторов является абстрактным отношением эквивалентности и разбивает всё множество связных векторов на классы конгруэнтных между собой векторов. Любой связный вектор из класса конгруэнтных между собой векторов называют представителем этого класса. Определение 3. Класс конгруэнтных между собой векторов называется свободным вектором. Свободные векторы будем обозначать строчными буквами латинского алфавита с чертой сверху ( a , b , c , d , ... ), иногда опуская слово «свободный». Длиной и направлением свободного вектора a называется длина и направление любого его представителя. Длина свободного вектора обозначается | a | . Если | a | = | b | и a  b , то говорят, что вектор a равен вектору b и записывают a = b . Класс связных нулевых векторов называют нулевым вектором и обозначают 0 . Если | a | = | b | и a  b , то говорят, что векторы a и b называются противоположными, и это записывается a = – b или b = – a . Определение 4. Векторы a и b называются коллинеарными, если их представители, отложенные от одной точки, располагаются на одной прямой, что записывается a || b . Определение 5. Векторы a , b , c называются компланарными, если их представители, отложенные от одной точки, располагаются на одной плоскости. Запись Cp( a , b , c ) означает компланарность векторов a , b и c . 1 Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е. Определение 6. Пусть AB есть представитель вектора a , а BC — представитель вектора b , тогда вектор, определяемый представителем AС , называется суммой векторов a и b и обозначается ( a + b ). См. рис. 2, 3, 4, правило «треугольника», «параллелограмма» и «многоугольника». Сумма векторов a и (– b ) называют разностью векторов a и b и записывают a – b , то есть a – b := a +(– b ). a B A a b C a b Рис. 2 B A b C a b b d b a a e c a b c d e Рис. 4 Рис. 3 Определение 7. Произведением ненулевого вектора a на действительное число (скаляр)   0 называется вектор  a , длина которого равна ||| a |, и одинаково направленный с вектором a , если  > 0, противоположно направленный вектору a , если  < 0. При этом полагаем  a = 0 тогда и только тогда, когда  = 0 или a = 0 . Умножение вектора a на обратное число a 1/ будем называть делением на число  и записывать .  Вектор 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. a называют ортом вектора a и обычно обозначают a 0 или ēa. |a | Свойства операций сложения векторов и умножения на скаляр a + b = b + a (коммутативность); ( a + b ) + c = a + ( b + c ) (ассоциативность сложения); a + 0 = 0 + a = a (существование нуля); a + (– a ) = (– a ) + a = 0 (существование противоположного элемента); () a = ( a ) (ассоциативность умножения на скаляры); ( + ) a =  a +  a (дистрибутивность относительно сложения скаляров); ( a + b ) =  a +  b (дистрибутивность относительно сложения векторов); 1 a = a . 2. Разложение вектора, базис и координаты. Определение 8. Алгебраическая система на множестве V, с внутренней бинарной операцией (сложение) и внешней операцией (умножение на элементы некоторого поля k) называется линейным пространством V над k, если для этих операций выполняются свойства 1)-8) сложения векторов и умножения векторов на скаляры. При этом элементы базисного множества V линейного пространства называют векторами, а элементы поля k — скалярами. Примеры. 1. Координатное линейное пространство kn = {(a1, a2, …, an) | ai  k, 1  i  n} над произвольным полем k, где операции соответствующие определяются следующим образом: пусть   k, a, b  kn, т.е. a = (a1, a2, …, an), b = (b1, b2, …, bn), тогда a + b := (a1 + b1, a2 + b2 , …, an + bn),  a := ( a1,  a2, …,  an). (Свойства 1)-8) для этих операций проверить самостоятельно.) 2. Линейное пространство C[0,1] действительных функций, непрерывных на отрезке [0,1], для которых операции определяются следующим образом: пусть   R, f(x), g(x)  C[0,1], тогда (f + g)(x) := f(x) + g(x), 2 Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е. ( f)(x) :=  f(x). (Свойства 1)-8) для этих операций проверить самостоятельно.) 3. Линейное пространство R[x] многочленов с действительными коэффициентами относительно операций сложения многочленов и умножения многочленов на действительные числа. 4. Линейное пространство Mmn(k) матриц размерности mn над произвольным полем k относительно сложения матриц и умножения матриц на элементы поля k. 5. Линейное пространство свободных векторов на плоскости (V2) или в пространстве (V3). (Таким образом, все понятия и результаты, рассмотренные в линейных пространствах, естественно переносятся и на пространство свободных векторов). Линейная зависимость и независимость Определение 9. Вектор ā называется линейной комбинацией векторов ā1, ā2, …, ās, если найдутся такие скаляры λ1, λ2, …, λs, что выполняется следующее равенство: ā = λ1ā1 + λ2ā2 + …+ λsās. В этом случае также говорят, что вектор ā линейно выражается через векторы ā1, ā2, …, ās, или линейно разложим по векторам ā1, ā2, …, ās. Определение 10. Система векторов ā1, ā2, …, ās называется линейно зависимой, если существуют скаляры λ1, λ2, …, λs не все равные нулю (т.е. удовлетворяющие неравенству | λ1 | + | λ2 | + … + | λs | > 0), такие что выполняется следующее равенство λ1ā1 + λ2ā2 +…+ λsās = 0 . (1) Другими словами система векторов ā1, ā2,…, ās называется линейно зависимой, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов равная нулю. В противном случае система векторов ā1, ā2, …, ās называется линейно независимой. Подробнее, система векторов ā1, ā2, …, ās называется линейно независимой, если из равенства (1) следует равенство λ1 = λ2 = … = λs = 0. Другими словами система векторов ā1, ā2, …, ās называется линейно независимой, если существует только тривиальная линейная комбинация этих векторов равная нулю. ТЕОРЕМА 1.1 (Признак линейной зависимости). Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один её вектор является линейной комбинацией других её векторов. Доказательство. Докажем необходимость. Пусть система векторов ā1, ā2, …, ās линейно зависима. По определению существует λ1ā1 + λ2ā2 + … + λsās = 0 (2), где | λ1 | + | λ2 | + … + | λs | > 0. Пусть, не теряя общности, λ1 ≠ 0. Тогда из (2) следует ā1 = (– λ2/λ1)ā2 + (–λ3/λ1)ā3+ … + (– λs/λ1)ās, т.е. вектор ā1 является комбинацией других векторов этой системы. Докажем достаточность. Пусть, не теряя общности, вектор ā1 линейно выражается через остальные векторы системы ā1, ā2,…, ās, т.е. ā1 = γ2ā2 + γ3ā3 + … +γsās. Тогда ā1– γ2ā2 – γ3ā3 – … – γsās = 0 , где | 1 | + | –γ2 | + … + | –γs | > 0, следовательно, система векторов ā1, ā2, …, ās линейно зависима. ТЕОРЕМА 1.2 (Свойства линейной зависимости). 1) Если какая-либо подсистема системы векторов линейно зависима, то и вся система этих векторов линейно зависима; 2) Если система векторов линейно независима, то и любая её подсистема линейно независима. Доказательство. Докажем 1). Пусть в системе ā1, ā2, …, ār, ār+1, …, ās подсистема ā1, ā2,…, ār линейно зависима. По определению существует λ1ā1+ λ2ā2+…+ λrār = 0 (3), где | λ1 | + | λ2 | + … + | λr | > 0. Перепишем равенство (3) следующим образом: λ1ā1 + λ2ā2 + …+ λrār + 0ār+1 + … + 0ās = 0 , где | λ1 | + | λ2 | + … + | λr | > 0, тогда по определению система ā1, ā2,…, ār, ār+1, …, ās линейно зависима. Докажем 2). Пусть система ā1, ā2, …, ār, ār+1, …, ās линейно независима. Допустим, в ней нашлась линейно зависимая подсистема ā1, ā2, …, ār. Но тогда по первому утверждению и вся система линейно зависима, что противоречит нашему предположению. Следовательно, таких подсистем не существует. ЗАМЕЧАНИЕ. Эти свойства показывают, что добавлением векторов линейно независимую 3 Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е. систему можно превратить в линейно зависимую. СЛЕДСТВИЕ. Система векторов, содержащая нулевой вектор или два пропорциональных вектора является линейно зависимой. Доказательство. Для доказательства достаточно показать, что система из одного вектора линейно зависима, только если это нулевой вектор, и система из двух векторов линейно зависима, только если они пропорциональны. Первое следует из того, что λ1ā1 = 0  (λ1 = 0  ā1 = 0 ). Докажем второе. Пусть λ1ā1 + λ2ā2 = 0 и λ1 ≠ 0, тогда ā1 = (– λ2/λ1)ā2, т.е. ā1 и ā2 пропорциональны. Пусть ā1 = λā2, тогда ā1 – λā2 = 0 , где | 1 | + | –λ | > 0, т.е. ā1 и ā2 линейно зависимы. ТЕОРЕМА 1.3 (Основная о линейной зависимости). Пусть даны две системы векторов {ā1, ā2,…, āp}(I) и {đ1, đ2,…, đq}(II), причем система (I) линейно независимая и каждый её вектор линейно выражается через векторы системы (II). Тогда число векторов в системе (I) не превосходит числа векторов системы (II), т.е. p ≤ q. Доказательство. Будем вести по индукции от числа векторов системы (II), т.е. по q. При q = 1 имеем {đ1}(II). Допустим ā1, ā2  (I), тогда по условию ā1 = 1đ1, ā2 = 2đ1. Так как (I) линейно независима, то 1  0 и 2  0, откуда ā1 = (1/2)ā2, что опять противоречит линейной независимости (I). Следовательно (I) не может содержать более одного вектора, т.е. p ≤ 1 = q. Пусть теорема справедлива при q – 1 векторе системы (II). Докажем для q векторов. По условию: ā1 =  11 đ1 +  12 đ2 + … +  1q đq ā2 =  21 đ1 +  22 đ2 + … +  2q đq ……………. (4) āp =  p1 đ1 +  p2 đ2 + … +  pq đq Для выражения (4) возможны два случая, либо все коэффициенты при đq равны нулю, либо есть отличные от нуля. В первом случае векторы ā1, ā2,…, āp линейно выражаются через q – 1 вектор системы (II), и по предложению индукции p ≤ q – 1 < q. Рассмотрим второй случай. Допустим, не теряя общности,  pq  0. Отнимем в (4) от i-того равенства последнее равенство, умноженное на iq/pq, 1 ≤ i ≤ p – 1 . Получим выражения: ā́1 = β11 đ1 + β12đ2 + … + β1(q – 1 )đq – 1 ā́2 = β21 đ1 + β22đ2 + … + β2(q – 1 )đq – 1 ……………. (5) ā́p– 1 = β(p – 1)1đ1 + β(p – 1)2đ2 + …+ β(p – 1) (q – 1 ) đ q – 1 āp =  p1 đ1 + p2đ2 + … +  p (q – 1 ) đ q – 1 +  pq đq где ā́i = āi – ( iq/ pq) āp, 1 ≤ i ≤ p – 1, (6). Покажем, что для систем {ā́1, ā́2, …, ā́p – 1}(I*) и {đ1, đ2,…, đq – 1} (II*) выполняются условия теоремы, т.е. система (I*) линейно независимая. Допустим противное, существует γ1ā́1 + γ2ā́2 + … + γp – 1 ā́p – 1 = 0 , где | γ1 | + | γ2 | + … + | γp – 1 | > 0. Подставим (6), получим γ1ā1 + γ2ā2 + … + γp – 1 āp – 1 + γ p ā p = 0 , где γp = – γ1(1q/pq) – γ2(2q/pq) – … – γp-1((p-1)q/pq) и | γ1 | + | γ2 | + … + | γp – 1 | + | γp | > 0, что противоречит линейной независимости системы (I). Следовательно, (I*) линейно независима. Тогда по предложению индукции p – 1 ≤ q – 1, откуда p ≤ q. Ранг системы векторов Любая максимальная линейно независимая упорядоченная подсистема B = (ā1, ā2, …, ār) системы векторов {ā1, ā2, …, ār, …, ās}(I) называется базисом системы (I). Максимальная линейно независимая в том смысле, что добавление любого вектора из (I) к подсистеме B превращает её в линейно зависимую. Свойства базиса системы векторов 1) Каждый вектор системы (I) имеет единственное разложение по базису; 2) Число векторов в любом базисе одно и то же. Доказательство. См. ниже доказательство теоремы 1.4, заменив всюду “пространство V” на 4 Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е. “система векторов {ā1, ā2,…, ās}(I)”, а базис e на базис B. Число векторов в любом базисе B системы векторов {ā1, ā2, …, ār, …, ās}(I) называется рангом этой системы. Обозначения: rang(I) = rank(I) = r(I) = r. Базис линейного пространства Определение 11. Любая максимальная линейно независимая упорядоченная система векторов линейного пространства называется его базисом. Максимальная линейно независимая в том смысле, что добавление любого вектора к этой системе превращает её в линейно зависимую. ТЕОРЕМА 1.4 (Свойства базиса). 1) Каждый вектор линейного пространства имеет единственное разложение по базису; 2) Число векторов в любом базисе одно и то же. Доказательство. Докажем 1). Пусть e = (ē1, ē2, …, ēn) — базис линейного пространства V. Для любого ā  V система векторов {ē1, ē2, …, ēn, ā} линейно зависимая по определению базиса. Следовательно, существует β1ē1 + β2ē2 + … + βnēn + βā = 0 (7), где | β1 | + | β2 | + … + | βn | + | β | > 0. Покажем, что β  0. Допустим β = 0, тогда β1ē1 + β2ē2 + … + βnēn = 0 , где | β1 | + | β2 | + … + | βn | > 0, что противоречит линейной независимости базиса e. Следовательно, β  0, и из (7) имеем ā = –(β1/β)ē1 – (β2/β)ē2 – … – (βn/β)ēn. Обозначим γi = – (βi/β), 1 ≤ i ≤ n, тогда ā = γ1ē1 + γ2ē2 + … + γnēn (8). Покажем, что (8) единственное разложение вектора ā по базису e. Допустим, имеется еще одно разложение ā = ξ1ē1 + ξ2ē2 + … + ξnēn (9). Отнимем (9) от (8), получим (γ1 – ξ1)ē1 + (γ2 – ξ2)ē2 + … + (γn – ξn)ēn = 0, откуда в силу линейной независимости базиса e имеем (γ1 – ξ1) = (γ2 – ξ2) = … = (γn – ξn) = 0, иначе γ1 = ξ1, γ2 = ξ2, …, γn = ξn, т.е. (9) — это то же самое (8). Докажем 2). Пусть u = (ū1, ū2, …, ūm) другой базис пространства V. Положим в основной теореме о линейной зависимости (I) = e, (II) = u, тогда n ≤ m. Положим (I) = u, (II) = e, тогда m ≤ n, следовательно, n = m. Определение 12. Координатами вектора ā в базисе e = (ē1, ē2, …, ēn) называются коэффициенты его разложения по e. Если ā = γ1ē1 + γ2ē2 + … + γnēn (10), то āe = (γ1, γ2,…, γn) — координатная строка,  1   e1      2   e  T T ae    — координатный столбец вектора ā. Положим e   2  , тогда выражение (10)       e   n   n   будет иметь следующие эквивалентные записи ā = e a eT = āeeT = γiēi. Определение 13. Размерностью линейного пространства V называется число векторов в любом его базисе, обозначается dimV = n. ТЕОРЕМА 1.5 (О базисе kn). dim kn = n, причем одним из базисов является следующая система его векторов ē1 = (1, 0, 0, …, 0) ē2 = (0, 1, 0, …, 0) ē3 = (0, 0, 1, …, 0) ……………... (11) ēn = (0, 0, 0, …, 1) которая называется стандартным базисом пространства kn. Доказательство. Для доказательства достаточно показать, что система (11) линейно независима, и любой элемент из kn линейно выражается через (11). Допустим γ1ē1 + γ2ē2 + … + γnēn = 0 , иначе γ1(1, 0, 0, …, 0) + γ2(0, 1, 0, …, 0) + … + γn(0, 0, 0, …, 1) = (0, 0, 0, …, 0), а именно (γ1, γ2, …, γn) = (0, 0, 0, …, 0), откуда γ1 = γ2 = … = γn = 0. Тогда по определению система (11) линейно независимая. Для любого ā = (1, 2, …, n)  kn имеем ā = (1, 2, …, n) = (1, 0, 0, …, 0) + (0, 2, 0, …, 0) + … + (0, 0, 0, …, n) = 1(1, 0, 0, …, 0) + 2(0, 1, 0, …, 0) + … 5 Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е. + n(0, 0, 0, …, 1) = 1ē1 + 2ē2 + … + nēn. ТЕОРЕМА 1.6 (О координатах линейной комбинации векторов). Пусть e = (ē1, ē2, …, ēn) — базис линейного пространства V. Если ā = γ1ā1 + γ2ā2 + … + γsās, где ā = βiēi, āj =  ij ēi, тогда βi = γ1 1i + γ2  2i + … + γs  si . Иначе, координаты линейной комбинации векторов являются линейными комбинациями соответствующих координат этих векторов с теми же коэффициентами. Доказательство. βiēi = ā = γ1ā1 + γ2ā2 + … + γsās = γ1 1i ēi + γ2  2i ēi + … + γs  si ēi = (γ1 1i + γ2  2i + … + γs  si )ēi, т.е. βiēi = (γ1 1i + γ2  2i + … + γs  si )ēi, откуда в силу единственности разложения по базису βi = γ1 1i + γ2  2i + … + γs  si . СЛЕДСТВИЕ (Координаты суммы, разности векторов и произведения вектора на число). Координаты суммы векторов равны суммам соответствующих координат слагаемых. Координаты произведения вектора на число равны произведениям соответствующих координат на это число. Определение 14. Пусть даны два базиса линейного пространства V: e = (ē1, ē2, …, ēn) и u = (ū1, ū2, …, ūn). Выразим векторы базиса u через базис e. ū1 =  11 ē1 + 12 ē2 + … +  1n ēn, — называется  11 12  1n    ū2 =  21 ē1 +  22 ē2 + … +  2n ēn матрицей пере  21  22   2n  хода от базиса …………………………. (12), где Q e =   u     u к базису e.   1 2 n 1 2 n   ūn =  n ē1 +  n ē2 + … +  n ēn  n  n   n  В матричном виде выражения (12) имеют вид u = e Q e или uT = Q eT eT. (12́) (обозначения u u транспонированной матрицы было введено в курсе линейной алгебры). СЛЕДСТВИЕ (Связь координат одного и того же вектора в разных бизиса). Учитывая определения 12 и 13: : ā = e a eT = u auT = e Q e auT . Откуда в силу единственности u разложения по базису e: a eT = Qe u auT . ТЕОРЕМА 1.7 (О матрице перехода). Матрица перехода является невырожденной, и на всякую невырожденную матрицу можно смотреть как на матрицу перехода от данного базиса к некоторому новому, причем справедливо соотношение: Q e1  Qu . (доказательство входит в курс линейной алгебры алгебры). u e Свободные векторы на плоскости и в пространстве ТЕОРЕМА 1.8 (Признак коллинеарности векторов). Векторы a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда они линейно зависимы. Доказательство. Из теории линейного пространства векторы a и b линейно зависимы тогда и только тогда когда они пропорциональны: a = λ b . Если a = λ b , то векторы a и b коллинеарны по определению. Если векторы коллинеарны, то B C a = (| a |/| b |) b , если a ↑↑ b , и a = (– | a |/| b |) b , если a ↑↓ b , т.е. в обоих случаях пропорциональны. ā СЛЕДСТВИЕ 1. На прямой линейно независимыми ē2 может быть только один ненулевой вектор. ē1 СЛЕДСТВИЕ 2. Любая пара неколлинеарных векторов A D линейно независима. ТЕОРЕМА 1.9 (О разложении вектора в плоскости). Рис. 5 Всякий вектор в плоскости может быть представлен в виде линейной комбинации двух неколлинеарных векторов, причем это представление опре6 Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е. делено однозначно с точностью порядка слагаемых. Доказательство. Пусть ā произвольный вектор и ē1, ē2 два неколлинеарных вектора. Отложим представители векторов ē1, ē2 и ā от одной точки (см. рис. 5). Дополним их до параллелограмма: ā = AC = AB + AD , По теореме 1.8, AD = λ1ē1, AB = λ2ē2, откуда ā = λ1ē1 + λ2ē2. (13) Допустим, есть еще одно разложение вектора ā по векторам ē1 и ē2: ā = β1ē1 + β2ē2. (14) Вычтем (14) из (13), получим (λ1 – β1)ē1 + (λ2 – β2)ē2 = 0 , что противоречит линейной независимости векторов ē1 и ē2. СЛЕДСТВИЕ. На плоскости любые три вектора являются линейно зависимыми. На плоскости линейно независимыми могут быть только пара неколлинеарных векторов. ТЕОРЕМА 1.10 (Признак компланарности векторов). Три вектора в пространстве компланарны тогда и B1 C1 только тогда, когда они линейно зависимы. Доказательство. Если три вектора компланарны, то по определению их представители, отлоā женные от одной точки, лежат в одной плоскости. A1 D1 По следствию к теореме 1.9, они линейно зависиB мые. C Обратно, пусть три вектора a , b , c линейē2 ē3 но зависимые. По критерию линейной зависимости один из них является линейной комбинацией ē1 A D других векторов. Пусть a = β b + γ c . Но тогда вектор a лежит в той же плоскости, что и вектоРис. 6 ры b и c , т.е. они компланарны. ТЕОРЕМА 1.11 (О разложении вектора в пространстве). Всякий вектор в пространстве может быть представлен в виде линейной комбинации трех некомпланарных векторов, причем это представление определено однозначно с точностью порядка слагаемых. Доказательство. Пусть ā произвольный вектор и ē1, ē2, ē3 три некомпланарных вектора. Отложим представители векторов ē1, ē2, ē3 и ā от одной точки (см. рис. 6). Дополним их до параллелепипеда: ā = AC1 = AB + AD + AA1 . По теореме 1.8, AD = λ1ē1, AB = λ2ē2, AA1 = λ3ē3, откуда ā = λ1ē1 + λ2ē2 + λ3ē3. (15) Допустим, есть еще одно разложение вектора ā по векторам ē1, ē2, ē3: ā = β1ē1 + β2ē2 + β3ē3. (16) Вычтем (16) из (15), получим (λ1 – β1)ē1 + (λ2 – β2)ē2 + (λ3 – β3)ē3 = 0 , что противоречит линейной независимости векторов ē1, ē2, ē3. Напомним, что базисом в произвольном линейном пространстве называется любая максимальная линейно независимая упорядоченная система векторов. Таким образом, по предыдущим результатам: 1) Базис на прямой состоит из одного произвольного ненулевого вектора. 2) Базис на плоскости состоит из любой упорядоченной пары неколлинеарных векторов. 3) Базис в пространстве состоит из любой упорядоченной тройки некомпланарных векторов. Напомним также, что координатами вектора относительно некоторого базиса называется упорядоченный набор коэффициентов разложения этого вектора по данному базису. ТЕОРЕМА 1.12 (Признак коллинеарности векторов в координатах). Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны. Доказательство. По соответствующему признаку два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда они пропорциональны. А это по теореме о координатах линейной комбинации векторов тогда и только тогда, когда пропорциональны их координаты. ТЕОРЕМА 1.13 (Признак компланарности векторов в координатах). 7 Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е. Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из их координатных столбцов, равен нулю. Доказательство. По соответствующему признаку три вектора компланарны тогда и только тогда, когда они линейно зависимы. А это по теореме о координатах линейной комбинации векторов тогда и только тогда, когда их кординатные столбцы линейно зависимы. По критерию из курса алгебры определитель равен нулю тогда и только тогда, когда его столбцы линейно зависимы. 3. Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов. Определение 15. Проекцией вектора ā на орт ē0 называется число, равное длине вектора ā, умноженной на косинус угла между векторами ā и ē0 т.е. pre 0 a = | ā |cos(āē0). Базис называется ортонормированным, если он состоит из взаимно перпендикулярных единичных векторов. Примем стандартное обозначение такого базиса ( i , j ) на плоскости и ( i , j , k ) в пространстве. ТЕОРЕМА 1.14. Координаты вектора ā(ax, ay, az) в ортонормированном базисе есть проекции этого вектора на базисные векторы ( i , j , k ), т.е. ax = pri a , ay = pr j a , az = prk a . Доказательство. Вытекает непосредственно из теорем о разложении вектора на плоскости и в пространстве, с учетом того, что базисы в данном случае ортонормированные (подробное доказательство привести самостоятельно). ТЕОРЕМА 1.15. Проекция линейной комбинации векторов есть линейная комбинация проекций этих векторов с теми же коэффициентами, т.е. pre 0 (1 a1   2 a 2  ...   s a s )  1 pre 0 a1   2 pre 0 a 2  ...   s pre 0 a s . Доказательство. Рассмотрим орт ē0 как один из базисных векторов, тогда pre 0 a есть коор- дината вектора ā относительно ē0, и доказательство следует из теоремы о координатах линейной комбинации векторов. ЗАМЕЧАНИЕ. Это свойство называют также линейностью проекции. Определение 16. Скалярным произведением векторов ā и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними ā b :=| ā || b |cos(ā b ). СЛЕДСТВИЕ 1. Так как | ē | = 1, то āē0 = pre 0 a . Откуда имеем следующие равенства: b a , b 0= — орты. |a | |b | СЛЕДСТВИЕ 2. ax = ā i , ay = ā j , az = ā k , где ( i , j , k ) — ортонормированный базис. ā b = | ā | pra 0 b = | b | prb 0 a , где a 0 = Свойства скалярного произведения . Геометрические 1) (Обращение в нуль). ā b = 0  ā b . 2) (Знак скалярного произведения). ā b > 0   ā b <  ; āb < 0   āb >  . 2 2 3) (Квадрат вектора). āā = | ā |2 или другое обозначение ā2 = | ā |2. Доказательство. Доказательства этих свойств следуют непосредственно из определения скалярного произведения. . Алгебраические 1) ā b = b ā (коммутативность). 2) (ā b ) = (ā) b = ā( b ) (ассоциативность относительно числового множителя). 8 Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е. 3) ā( b + c ) = ā b + ā c (дистрибутивность относительно сложения). Доказательство. Свойство 1) следует из определения скалярного произведения. Докажем 2). (ā b ) = | b | prb 0 a Теорема 1.15  | b | prb 0 a = (ā) b . Аналогично, (ā b ) = |ā| pra 0 b = |ā| pra 0 b = ā( b ). Докажем 3). ā( b + c ) = |ā| pra 0 (b  с ) Теорема 1.15  |ā| pra 0 b + |ā| pra 0 с = ā b + ā c . ЗАМЕЧАНИЕ. Алгебраические свойства означают линейность скалярного произведения по обоим аргумента. Например, по левому: (1 a1   2 a 2  ...   s a s )b  1 a1b   2 a 2 b  ...   s a s b . Вычисление скалярного произведения в координатах Пусть e = ( ē1, ē2, ē3) — произвольный базис, тогда ā = e a eT = āeeT, b = e beT = be eT. Учитывая свойство линейности: ā b = āeeT e beT = āe(eT e) beT , где Ge = eT e называется матрицей Грамма для базиса e. Таким образом, ā b = āeGe beT — выражение скалярного произведения в произвольной системе координат, где  (e1 e1 ) (e1 e 2 ) (e1 e3 )    Ge = e e = (ēi, ēj) =  (e 2 e1 ) (e 2 e 2 ) (e 2 e3 )  .  (e e ) ( e e ) ( e e )  3 2 3 3   3 1 0 , если i  j , Если e – ортонормированный базис, то (ēi, ēj) =  Откуда Ge = E — единич 1 , если i  j. 1 0 0   ная матрица, E =  0 1 0  . В этом случае ā b = āeGe beT = āeE beT = āe beT . Если āe = (ax, ay, az), 0 0 1   bx    be = (bx, by, bz), тогда āe beT = (ax, ay, az)  b y  = axbx + ayby + azbz. Откуда ā b = axbx + ayby + azbz —  z  b  выражение скалярного произведения в декартовой системе координат (ā b = axbx + ayby , если на плоскости). Применение скалярного произведения T 1. Вычисление длин векторов: | ā | = a 2 . Или в координатах декартовой системы координат e: | ā | = (a x ) 2  (a y ) 2  (a z ) 2 , если āe = (ax, ay, az). 2. Вычисление углов: cos(ā b ) = cos(ā b ) = ab . Или в координатах декартовой системы координат | a || b | a xb x  a yb y  a zb z (a x ) 2  (a z ) 2  (a z ) 2 (b x ) 2  (b z ) 2  (b z ) 2 3. Работа силы F при перемещении A := | F || S |cos( F S ) = F S . . S: j Ориентация плоскости и пространства Два базиса называются одинаково (противоположно) ориентированными, если определитель матрицы перехода от одного базиса к другому положительный (отрицательный). Таким образом, базисы e и u одинаково (противоположны) ориен9 j i i ( i , j ) — правый базис ( j , i ) — левый базис Рис. 7 Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е. тированы, если u = e Q e и | Q e | > 0 (| Q e | < 0). u u u ТЕОРЕМА 1.16 (О классах ориентации). Отношение одинаковой ориентированности является абстрактным отношением эквивалентности, и существует только два класса одинаково ориентированных базисов: B+, B-. Доказательство. Действительно, e = eE, где |E| = 1 > 0, т.е. всякий базис одинаково ориентирован сам с собой (реффлексивность). Если u = e Q e и | Q e | > 0, тогда e = u Q e –1, где | Q e –1|= u –1 = | Qe | u > 0 (симметричность). Если u= e Q e u u u (| Q e | > 0) и v = u Qu u v u (| Qu | > 0), тогда v v = e Q e Qu , где | Q e Qu | = | Q e || Qu | > 0 (транзитивность). Допустим e, u, v разно ориентиu v u v рованные базисы, т.е. u = e Q e u u v и | Q e | < 0, v = u Qu u v и | Qu | < 0. Тогда v = e Q e Qu , где v u v | Q e Qu | = | Q e || Qu | > 0, т.е. e и v одинаково ориентированные. Следовательно, существует u v u v только два класса одинаково ориентированных базисов. Принято называть класс B+ классом правой или положительной ориентации, класс Bклассом левой или отрицательной ориентации. На плоскости за правую ориентацию принят тот случай, когда кратчайший путь от первого ко второму вектору базиса идет против часовой стрелки (см. Рис. 7). Аналогично и в пространстве положительной ориентацией называют тот случай, когда j j кратчайший путь от первого ко второму и от второго к третьему векторам базиса идет против чаk k совой стрелки (см. Рис. 8). i i Справедливо следующее свойство: циклическая перестановка векторов базиса простран( j , i , k ) — ле( i , j , k ) — праства не меняет ориентации, любая транспозивый базис вый базис ция приводит к противоположной ориентации, которое следует из свойства знакопеременности Рис. 8 определителя. Векторное произведение Определение 17. Векторным произведением векторов ā и b называется вектор [ā, b ], определяемый следующими тремя условиями: 1) |[ā, b ]| = |ā|| b |sin(ā b ); 2) (ā, b , [ā, b ])  B+ (образуют правую тройку); 3) ā[ā, b ] & b [ā, b ]. Свойства векторного произведения 1. [ā, b ] = 0  ā|| b (обращение в нуль); 2. [ā, b ] = – [ b , ā] (антикоммутативность); 3. |[ā, b ]| = S площадь параллелограмма, построенного на этих векторах (геометрический смысл длины [ā, b ]). Доказательство. Следуют из определения векторного произведения, правила ориентации и формулы площади параллелограмма через синус угла. Смешанное произведение Определение 18. Смешанное произведением векторов ā, b и c определяется следующим выражением: ā b c := [ā, b ] c . 10 Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е. Свойства смешанного произведения . Геометрические 1) (Обращение в нуль). ā b c = 0  Cp(ā b c ). 2) (Знак смешанного произведения). ā b c > 0  ā b c  B+; ā b c < 0  ā b c  B-. 3) (Модуль смешанного произведения). |ā b c | = V параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах. Доказательство. 1) ā b c = 0  c  [ā, b ]  (ā [ā, b ] & b  [ā, b ] & c  [ā, b ])  ā, b , c лежат в одной плоскости, т.е. Cp(ā b c ). 2) ā b c > 0  [ā, b ] c <   [ā, b ] и c находятся в одном полупространстве относительно 2 плоскости (ā, b ). И так как ā b [ā, b ]  B+, также и ā b c  B+. Аналогично, ā b c < 0  ā b c  B-. 3) |ā b c | = |[ā, b ] c | = |[ā, b ]|| c ||cos([ā, b ] c )| = Sосн.h = V, где Sосн. = |[ā, b ]| — площадь основания параллелепипеда (свойство 3 векторного произведения), h = | c ||cos([ā, b ] c )| — его высота, опущенная на это основание. . Алгебраические 1) ā b c = – b ā c = – ā c b = – c b ā (антикоммутативность). Следствие: ā b c = c ā = b c ā (цикличность); ā ā b = ā b b = ā b ā = 0 (признак равенства нулю). 2) (ā b c ) = (ā) b c = ā( b ) c = ā b ( c ) (ассоциативность относительно числового множителя). 3) (ā1 + ā2) b c = ā1 b c + ā2 b c ; ā( b 1+ b 2) c = ā b 1 c + ā b 2 c ; ā b ( c 1+ c 2) = ā b c 1 + + ā b c 2 (дистрибутивность относительно суммы по каждому сомножителю). Доказательство. Свойство 1) следует из геометрических свойств 2) и 3). Свойства 2) и 3) следуют из аналогичных свойств скалярного произведения с учетом свойства антикоммутативности. Например, ā( b 1 + b 2) c = – ā c ( b 1 + b 2) = – [ā, c ] ( b 1+ b 2) = – [ā, c ] b 1 – [ā, c ] b 2 = – āc b 1 – āc b 2 = āb 1c + āb 2c . Вычисление смешанного произведения в координатах Пусть e = (ē1, ē2, ē3) — произвольный базис, ā = a1ē1 + a2ē2 + a3ē3, b = b1ē1 + b2ē2 + b3ē3, c = c1ē1 + c2ē2 + c3ē3. Тогда ā b c = (a1ē1 + a2ē2 + a3ē3)(b1ē1 + b2ē2 + b3ē3)(c1ē1 + c2ē2 + c3ē3) = (учиты1 2 3 1 3 2 вая алгебраические свойства 1) и 2) смешанного произведения) = a b c (ē1ē2ē3) + a b c (ē1ē3ē2) + a2b1c3(ē2ē1ē3) + a2b3c1(ē2ē3ē1) + a3b2c1(ē3ē2ē1) + a3b1c2(ē3ē1ē2) = (a1b2c3 – a1b3c2 – a2b1c3 + a2b3c1 – a1 a 2 a 3 a1 a 2 a 3 a3b2c1 + a3b1c2)(ē1ē2ē3) = b1 c1 b2 c2 b 3 (ē3ē1ē2). Таким образом, ā b c = b1 c3 c1 b2 c2 b 3 (ē3ē1ē2). (17) c3 Формулы вычисления смешанного и скалярного произведения в ортонормированном базисе позволяют получить следующие замечательные формулы для произведения двух смешанных произведений: ax ay az ux u y uz a x a y a z u x v x wx (ā b c )( u v w ) = b x b y b z v x v y v z = b x b y b z u y v y w y = c x c y c z wx w y wz c x c y c z u z v z wz (a , u ) (a , v ) (a , w ) (e1 , e1 ) (e1 , e 2 ) (e1 , e3 ) = (b , u ) (b , v ) (b , w ) . Откуда (ē1ē2ē3)2 = (e 2 , e1 ) (e 2 , e 2 ) (e 2 , e3 ) = DetG, где G — матрица (c , u ) (c , v ) (c , w ) (e3 , e1 ) (e3 , e 2 ) (e3 , e3 ) Грама для базиса (ē1, ē2, ē3). Поэтому выражение (17) часто записывают в следующем виде: 11 Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е. a1 ā b c =  DetG b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 (18), где + или – выбирается в соответствии ориентации базиса (положительной или отрицательной). Вычисление векторного произведения в координатах и дополнительные его свойства Поскольку координаты ā в ортонормированном базисе ( i , j , k ) равны скалярным произведениям вектора ā соответственно на векторы i , j , k , то справедливы следующие равенства: [ā, b ]x = [ā, b ] i , [ā, b ]y = [ā, b ] j , [ā, b ]z = [ā, b ] k , т.е. [ā, b ]x = ā b i , [ā, b ]y = ā b j , [ā, b ]z = ā b k . Вычисляя смешанные произведения в координатах: ax ay az ax ay az ax ay az [ā, b ]x = b x b y b z , [ā, b ]y = b x b y b z , [ā, b ]z = b x b y b z или 1 1 1 [ā, b ]x = ay by az ax y , [ ā , b ] = – bz bx т.е. в ортонормированном базисе [ā, b ] = i x [ā, b ] = a bx j k y az bz a by ay az by bz i– x az z a , [ ā , b ] = bz bx ax az bx bz j+ ay , by ax ay bx by k (19), или (20), разложив по первой строке, получим (19). Дополнительные свойства векторного произведения 4) [ā b ] = [(ā) b ] = [ā( b )] (ассоциативность). Векторное произведение является однородным по каждому из сомножителей. 5) [(ā1+ ā2) b ] = [ā1 b ] + [ā2 b ]; [ā( b 1 + b 2)] = [ā b 1] + [ā b 2] (дистрибутивность). Векторное произведение векторов распределительно относительно суммы векторов по каждому из сомножителей. 6) [[ā, b ], c ] = b (ā, c ) – ā( b , c ); [ā,[ b , c ]] = b (ā, c ) – c (ā, b ) (формулы двойного векторного произведения). Доказательство. Свойство 4) следует из (20) и однородности определителя. Свойство 5) следует из (20) и аддитивности определителя (заметим, что доказательства свойств 1) и 2) также можно связать соответствующими свойствами определителя). Свойство 6) доказать самостоятельно, полагая ( i , j , k ) — ортонормированный базис, ā|| i , Cp(ā, b , j ). При таком выборе ā(ax, 0, 0), b (bx, by, 0). Применение векторного и смешанного произведения | [a , b ] | и в координатах декартовой сис1. Вычисление углов между векторами: sin(ā b ) = | a || b | темы координат sin(ā b ) = ay by az bz 2 ax  x b az bz 2 ax  x b ay by 2 (a x ) 2  (a y ) 2  (a z ) 2 (b x ) 2  (b y ) 2  (b z ) 2 12 . Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е. 1 2. Вычисление площадей многоугольников: S= |[ā, b ]| и в координатах декартовой систе2 ay by 1 мы координат S = 2 az bz 2 ax  x b az bz 2 ax  x b 2 ay . by 3. Выражение условий коллинеарности и компланарности: [ā, b ] = 0  ā|| b ; ā b c = 0  Cp(ā b c ). 4. Определение ориентации: ā b c > 0  ā b c  B+ (положительная или правая тройка <базис>); ā b c < 0  ā b c  B- (отрицательная или левая тройка <базис>). 1 1 5. Вычисление объемов многогранников: Vтет.= Vпар.= |ā b c |, где Vтет. — объем тетраэдра, 6 6 Vпар. — объем параллелепипеда, построенных на этих векторах, как на ребрах, и в координатах декартовой системы координат ax ay az 1 Vтет.= mod b x b y b z . 6 cx cy cz 6. Вычисление момента силы. Моментом силы F относительно точки O называется вектор M , который проходит через точку O и: 1) M (OAB)плоскости (см. рис. 9); 2) | M | = | F ||ON|, где ON называется плечом силы F , откуда | M | = | F || r |sin ; 3) ( r , F , M )  B+ (правая тройка). Таким образом, M = [ r , F ]. 7. Нахождение линейной скорости вращения. Пусть  – угловая скорость вращения твердого тела вокруг оси (см. рис.10), O – некоторая неподвижная точка оси, v – линейная скорость точки M. Тогда v = [  , r ] — формула Эйлера. M v B F r  A O M  O r N Рис. 10 Рис. 9 13 Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е. Глава 2. Аналитический метод изучения фигур 1. Системы координат Аналитический метод решения задач геометрии иногда называют методом координат, суть его состоит в некотором взаимно однозначном переходе от точек изучаемого пространства к их координатам и обратно. На этом пути сначала вспомним, что является линейным пространством. Определение 1. Алгебраическая система на множестве V, с внутренней бинарной операцией (сложение) и внешней операцией (умножение на элементы некоторого поля k) называется линейным пространством V над k, если для этих операций выполняются свойства: 9. a + b = b + a (коммутативность сложения); 10. a +( b + c ) = ( a + b )+ c (ассоциативность сложения); 11. a + 0 = 0 + a = a (существование нуля); 12. a + (– a ) = (– a ) + a = 0 (существование противоположного элемента); 13. ( a ) = () a (ассоциативность умножения на скаляры); 14. ( + ) a =  a +  a (дистрибутивность сложения скаляров относительно умножения); 15. ( a + b ) =  a +  b (дистрибутивность сложения векторов относительно умножения); 16. 1 a = a . Где a , b , c , 0 ,(– a )  V; ,,1k. При этом элементы базисного множества V линейного пространства часто называют векторами, а элементы поля k — скалярами. ПРИМЕРЫ. 1. Пространство Vect(i), i=1, 2, 3, векторов на прямой, на плоскости, в пространстве. 2. kn = {(a1, a2, …, an) | ai  k, 1  i  n} — координатное линейное пространство над произвольным полем k. Операции: если   k, a, b  kn, т.е. a = (a1, a2, …, an), b = (b1, b2, …, bn), то a + b := (a1 + b1, a2 + b2 , …, an + bn), a := ( a1,  a2, …,  an). В частности само поле k = k1 является линейным пространством над самим собой. 3. Пространство M(R,R) всех вещественных функций на числовой прямой с естественными операциями сложения и умножения на число: Если f(x), g(x)  M(R,R),   R, то (f + g)(x) := f(x) + g(x), ( f)(x) :=  (f(x)), для всех x  R. 4. Пространство C(R,R) всех непрерывных вещественных функций на R. Это следует из того, что сумма непрерывных функций и произведение непрерывной функции на число являются непрерывными функциями. А также пространство C([0,1],R) всех непрерывных вещественных функций на [0,1]. Ясно, что C(R,R)  C([0,1],R). 5. По аналогичной причине линейным вещественным пространством является множество D(R,R) всех дифференцируемых вещественных функций на R. 6. Линейными вещественными пространствами являются множество P(R) всех многочленов от одной вещественной переменной x с вещественными коэффициентами и его подмножество Pn(R), состоящее из всех многочленной степени  n. Ясно, что имеют место включения: Pn(R)  P(R)  D(R,R)  C(R,R)  M(R,R). Определение 2. Пусть V — вещественное линейное пространство. Отображение вида : VVR, обозначаемое ( a , b ):= ( a , b ), называется скалярным произведением на пространстве V, если оно удовлетворяет следующим свойствам: 1) ( a , a )  0, причем ( a , a ) = 0 тогда и только тогда, когда a = 0 (положительная определенность); 2) ( a , b ) = ( b , a ) (симметричность); 3) ( a + b , c ) = ( a , c ) + ( b , c ) (аддитивность по первому аргументу); 14 Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е. 4) ( a , b ) =  ( a , b ) (однородность по первому аргументу). ЗАМЕЧАНИЕ. Свойства 3) и 4) называют линейностью по первому аргументу скалярного произведения. Оно означает, что скалярное произведение от линейной комбинации равно линейной комбинации скалярных произведений с теми же коэффициентами соответственно. Учитывая свойство 2) легко показать, что скалярное произведение линейно и по второму аргументу. Такие функции называют билинейными. Таким образом, скалярное произведение – это положительно определенный симметрический билинейный функционал : VVR. Например: 1. ( a , b ) := | a || b |cos a b — скалярное произведение, определяемое на основании метрики, имеющейся на прямой, на плоскости и в пространстве (Vect(i), i = 1, 2, 3). 2. (a, b) := a1b1 + a2b2 + … + anbn — пример скалярного произведения в n-мерном арифметическом пространстве kn = {(a1, a2, …, an) | ai  k, 1  i  n}. 1 3. (f, g) :=  f (t ) g (t )dt — скалярное произведение в пространстве C([0,1],R). 4. (a, b) := a1b1 + a2b2 + … + aibi + … — скалярное произведение в гильбертовом пространстве l2. Элементами этого пространства являются бесконечные последовательности вещественных  чисел a = (a1, a2, …, ai, …), удовлетворяющие условию  ai2   .Сложение и умножение на i 1 числа в этом пространстве определяются покоординатно, как в Rn. Определение 3. Вещественное линейное пространство V с заданным на нем скалярным произведением называется евклидовым пространством. Однако, для построения геометрии недостаточно только линейного пространства, т.е. пространства векторов, необходимо ввести еще одно множество однотипных объектов — это множество точек. В силу чего имеем следующее определение. Определение 4. Аффинным (или точечно-аффинным) пространством над векторным пространством V называется множество A, элементы которого называются точками, вместе с отображением AAV, сопоставляющим любым двум точкам A, B  A, некоторый вектор AB V (вектор с началом в A и концом B) и удовлетворяющим следующим аксиомам: 1) Для любой точки A  A и любого вектора a  V существует единственная точка B  A, такая, что AB = a (аксиома откладывания вектора); 2) Для любых точек A, B, C  A : AB + BC = AC (аксиома суммы). При этом линейное пространство V называется ассоциированным с аффинным пространством A или линеалом пространства A. Его размерность dimV называется размерностью аффинного пространства и обозначается dim A. Аффинное пространство над евклидовым пространством называется точечноевклидовым или просто евклидовым. Например: 1. Прямая, плоскость и пространство являются аффинными пространствами над векторными пространствами Vect(1), Vect(2), Vect(3) соответственно. 2. Всякое векторное пространство V превращается в аффинное пространство над самим собой, если мы определим отображение VVV, следующим образом: ab = a – b. Определение 5. Пусть в аффинном пространстве A над V зафиксирована точка O, которую будем называть началом или полюсом. 1. Векторная система координат с данным полюсом O — это взаимно однозначное отображение : AV, которое ставит в соответствие каждой точке M ее радиус-вектор, т.е. вектор OM , определяемый началом в точке O и концом в точке M . 2. Пусть дополнительно зафиксирован базис e= (ei ) пространства V. В этом случае говорят, что задан репер Oe. Аффинная система координат с данным полюсом O и базисом e ставит в соответствие каждой точке M координатную строку (столбец) радиус-вектора данной точки относительно выбранных полюса и базиса. Координаты радиус-вектора точки M в базисе e называются аффинными координатами точки M относительно репера Oe. Данную аффинную 15 Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е. систему координат будем обозначать также Oe. 3. Аффинная система координат в евклидовом пространстве с ортонормированным базисом называется декартовой или прямоугольной. В общем случае всякое взаимно однозначное отображение: AK в координатное множество K называется системой координат на аффинном пространстве A. Если pr1()  A (pr1()  A), то система называется частичной. Если pr1() = A, то система координат называется полной. Например, векторная система координат является полной. Полярная система координат с полярным полюсом O и полярной осью l (см. рис. 1) на плоскости ставит в соответствие каждой точке M : 1) расстояние r (полярный радиус) от точки M до начала O; 2) угол наклона  (полярный угол) радиус-вектора точки M к полярной оси l, относительно выбранного направления e . Таким образом, точка M имеет координаты (r,  ). Полярная система координат является частичной, так как координаты точки O M не определены.  ТЕОРЕМА 2.1 (Преобразование аффинной систеr e мы координат). Пусть в аффинном пространстве A даны l две системы координат Oe и O΄u. Пусть Q e — матрица u Рис. 1 перехода от базиса e к базису u, т.е. u= e Q e . Тогда коu ординаты точки PA в этих системах связаны формулой PeT = Q e PuT + OeT , u где PeT , OeT — координатные столбцы точек P и O΄ в системе Oe, PuT — координатный столбец точки P в системе O΄u. Доказательство. По рис. 2: OP  OO   O P . По условиям OP = e PeT , OO  = e OeT , O P = u PuT , т.е. e PeT = e OeT + P un O΄ e1 O e2 …. u1 en Рис. 2 u = e Qe , …. u2 e PeT = e OeT + e Q e PuT = получим u = e( OeT + Qe u u PuT . Подставим u PuT ). В силу единственности разло- жения вектора по базисным векторам последнее равенство можно сократить слева на e, получим PeT = OeT + Q e PuT . Наконец, учитывая коммутаu тивность сложения матриц PeT = Q e PuT + OeT . u Например: 1. Формулы преобразования аффинных координат точки в пространстве:  e11 e12 e13   x  e11 x   e12 y   e31 z   x0  x   x  x0           2 2 2 T T T 2 2 2  y  e1 x   e2 y   e3 z   y 0 , где Pe =  y  , Pu =  y   , Q e =  e1 e2 e3  , Oe =  y 0  . u  3   z  z z   z  e 3 x  e 3 y   e 3 z   z  e1 e23 e33       0 1 2 3    2. Формулы поворота и переноса полюса декартовой системы координат на плоскости (см. рис. 3) :  x  cos  x   sin  y   x0 .   y  sin  x   cos  y   y 0 j  O j j i  i i Рис. 3 16 O΄ Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е. 2. Основные формулы аналитической геометрии. Пусть относительно некоторой декартовой системы координат в пространстве известны координаты точек A( x A , y A , z A ) , B ( x B , y B , z B ) , C ( xC , y C , z C ) , D ( x D , y D , z D ) . Тогда справедливы следующие формулы: 1. Координаты вектора AB( x B  x A , y B  y A , z B  z A ) . (1) Действительно, AB = rB  rA (см. рис. 4), откуда по теореме 1.6 (о координатах линейной комбинации векторов) следует формула 1. 2. Длина отрезка | AB | ( x B  x A ) 2  ( y B  y A ) 2  ( z B  z A ) 2 . (2) 2 Действительно, по определению | AB | AB , откуда учитывая вычисление скалярного произведения в декартовой системе координат (см. гл. 1) получим формулу 2. AC 3. Деление отрезка в данном отношении. Точка C делит отрезок AB в отношении   , CB тогда и только тогда, когда ее координаты вычисляются по форA мулам: C x  x B y  y B z  z B B , yС  A , zС  A . (3) xС  A rA rC 1  1  1  rB Действительно, AC = rC – rA , CB = rB – rC (см. рис. 4), AC = O r    rB =  CB , тогда rC – rA =( rB – rC ). Откуда rC = A , и фор1  Рис. 4 мулы 3 следуют из теоремы 1.6 (о координатах линейной комбинации векторов). 4. Мера угла в треугольнике ABC ( x B  x A )( xC  x A )  ( y B  y A )( yC  y A )  ( z B  z A )( z C  z A ) cos A  . 2 2 2 2 2 2 ( x B  x A )  ( y B  y A )  ( z B  z A ) ( xC  x A )  ( y C  y A )  ( z C  z A ) AB  AC Действительно, cosA = , что в декартовых координатах дает формулу 4. | AB |  | AC | 5. Площадь треугольника ABC 1 S  2 На плоскости yB  y A yC  y A zB  z A zC  z A S  2 x  xA  B xC  x A x  xA 1 mod B xC  x A 2 zB  z A zC  z A 2 x  xA  B xC  x A yB  y A yC  y A 2 . (5a) yB  y A . (5b) yC  y A 1 | [ AB, AC ] | , что в декарто2 вых координатах дает формулу (5a). Формула на плоскости следует из (5a), если положить все третьи координаты равные нулю, т.е. z A = z B = zC = 0. ЗАМЕЧАНИЕ. Последнюю формулу иногда записывают иначе: xA yA 1 1 S = mod x B y B 1 . 2 xC y C 1 Действительно, если в данном определителе вычтем первую строку от второй и третьей, а полученный определитель разложим по последнему столбцу, то получим (5b). Действительно, по применению векторного произведения S = 17 Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е. 6. Объем тетраэдра ABCD xB  x A yB  y A z B  z A 1 V  mod xC  x A yC  y A z C  z A . (6) 6 xD  x A yD  y A z D  z A Доказательство. По применению смешанного произведения векторов имеем Vтетраэдра = 1 = | AB AC AD | , что в декартовых координатах дает первую формулу 6. 6 ЗАМЕЧАНИЕ. Формулу 6 также можно записать в следующем виде: xA yA zA 1 x yB zB 1 1 . V = mod B xC y C z C 1 6 xD yD z D 1 Достаточно первую строку этого определителя вычесть от второй, третьей и четвертой, а полученный определитель разложим по последнему столбцу, чтобы получить (6). 3. Уравнения фигур. Определение 6. Понятие фигура подразумевает некоторое произвольное подмножество точек плоскости или пространства. Поэтому с каждым уравнением  ( x, y, z )  0 связана некоторая фигура , координаты точек которой являются решением этого уравнения: A     (x A , y A , z A )  0 . Сама фигура называется графиком уравнения  ( x, y, z )  0 или фигурой, определяемой данным уравнением. Уравнение  ( x, y, z )  0 называется уравнением фигуры  относительно заданной системы координат. В уравнении фигуры могут присутствовать параметры  ( x, y, z , t1 , t 2 ,..., t s )  0 , т.е. фигура может быть задана «по частям». При каждом наборе значений t1 , t 2 ,..., t s имеем уравнение  ( x, y, z, t1 , t 2 ,..., t s )  0 части этой фигуры. Свойства уравнений фигур, связанные с теоретико-множественными операциями Пусть 1 ( x, y, z )  0 и  2 ( x, y, z )  0 уравнения фигур 1 и 2 соответственно. 1. Фигура 1 является частью фигуры 2, тогда и только тогда, когда уравнение фигуры 2 является следствием уравнения фигуры 1: ( 1 ( x, y, z )  0   2 ( x, y, z )  0 )  (1 2). 2. Фигуры совпадают тогда и только тогда, когда их уравнения равносильны, то есть ( 1 ( x, y, z )  0   2 ( x, y, z )  0 )  (1= 2). 3. Система уравнений некоторых фигур определяет пересечение этих фигур: 1 ( x, y, z )  0  ( 1 ( x, y, z )  0   2 ( x, y, z )  0 )  ( = 12).   2 ( x, y, z )  0 4. Совокупность уравнений или произведение уравнений некоторых фигур определяет объединение этих фигур: 1 ( x, y, z )  0  ( x, y, z )  0  ( 1 ( x, y, z )  0   2 ( x, y, z )  0 )  ( 1 ( x, y, z )   2 ( x, y, z )  0 )  2  ( = 12). 18 Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е. 4. Фигуры в пространстве (фигуры вращения, конусы и цилиндры). 1. Фигуры вращения Определение 7. Фигура вращения — множество, получающееся в результате объединения непустого множества окружностей, центры которых лежат на некоторой прямой — оси вращения, а их плоскости перпендикулярны оси вращения. Окружности, составляющие фигуру вращения, называются параллелями. Сечения фигуры вращения плоскостью, содержащей ось вращения, называются меридианами. ТЕОРЕМА 2.2 (Об уравнении фигуры вращения). Пусть в плоской декартовой системе координат XOY меридиан  определяется уравнением f ( x, y )  0 . Тогда уравнение фигуры вра- щения  относительно оси OY будет иметь вид f ( x 2  z 2 , y )  0 . Доказательство. Пусть f ( x, y )  0 — уравнение Y  меридиана  (см. рис. 5) фигуры вращения . Так как yM = yN = yC, x M  x N2  z N2 , то получаем следующую последовательность эквивалентностей: (N)  (M)  ( f ( x M , y M )  0 )   C M΄ N M  ( f ( x N2  z N2 , y N )  0 ). Повторим эти же рассуждения для диаметрально противоположной точки N΄, получим: j O Z k i X (N)  ( f ( x N2  z N2 , y N )  0 ). Откуда получаем: (N)  ( f ( x N2  z N2 , y N )  0 ). Рис. 5 ТЕОРЕМА 2.3 (Достаточный признак фигуры вращения). Пусть уравнение некоторой фигуры в пространстве относительно декартовой системы координат имеет вид f ( s, y )  0 , где s  x 2  z 2 . Тогда эта фигура — фигура вращения относительно оси OY , а уравнение меридиана в плоскости XOY имеет вид f ( x 2 , y )  0 . Доказательство. Построим фигуру вращения вокруг оси OY с меридианом, заданным уравнением f ( x 2 , y )  0 . По теореме 2.2 эта фигура вращения определяется уравнением f (( x 2  z 2 ) 2 , y )  0 , т.е. уравнением f ( x 2  z 2 , y )  0 . Таким образом, эта фигура враще- ния имеет вид f ( s, y )  0 , где s  x 2  z 2 . OY следует ЗАМЕЧАНИЕ. Из симметричности меридиана относительно оси f ( x, y )  0  f ( x, y )  0 . Свойство ( f ( x, y )  0  f ( x, y )  0 ) называется чётностью уравнения f ( x, y )  0 по аргументу x. Обратное утверждение также верно, т.е. из четности уравнения фигуры следует симметричность этой фигуры, а именно справедливы следующие теоремы. ТЕОРЕМА 2.4 (Условия симметричности фигуры на плоскости). 1. Фигура на плоскости симметрична относительно некоторой оси какой-либо декартовой системы координат тогда и только тогда, когда уравнение этой фигуры является четным по соответствующему аргументу. 2. Фигура на плоскости симметрична относительно полюса какой-либо декартовой системы координат тогда и только тогда, когда уравнение этой фигуры является четным по всем аргументам: f ( x, y )  f ( x, y )  0 . ТЕОРЕМА 2.5 (Условия симметричности фигуры в пространстве). 1. Фигура в пространстве симметрична относительно некоторой координатной плоскости какой-либо декартовой системы координат тогда и только тогда, когда уравнение этой фигуры является четным по соответствующему аргументу. Например, f ( x, y, z )  f ( x, y, z )  0 тогда 19 Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е. и только тогда, когда фигура симметрична относительно плоскости XOZ . 2. Фигура в пространстве симметрична относительно некоторой оси какой-либо декартовой системы координат тогда и только тогда, когда уравнение этой фигуры является четным по соответствующей паре аргументов. Например, f ( x, y, z )  f ( x, y, z )  0 тогда и только тогда, когда фигура симметрична относительно оси OZ . 3. Фигура в пространстве симметрична относительно полюса какой-либо декартовой системы координат тогда и только тогда, когда уравнение этой фигуры является четным по всем аргументам: f ( x, y, z )  f ( x, y, z )  0 . ПРИМЕР 1 (Вывод уравнения сферы). Уравнение меридиана – это уравнение окружности (см. рис. 6): x 2 + y 2 = R 2. Тогда по теореме 2.2 уравнение фигуры вращеZ Y X Рис. 6 Y ния относительно оси OX будет иметь вид x 2  ( y 2  z 2 ) 2  R 2 , т.е. x 2 + y 2 + z 2 = R 2. Применяя формулу переноса начала координат, получим: (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R 2 уравнение сферы с центром в точке (a, b, c). Аналогичные рассуждения приводят к (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2  R 2 yравнению шара с центром в точке (a, b, c). ПРИМЕР 2 (Вывод уравнения тора). Уравнение меридиана (две окружности): (x  a)2 + y 2 = R 2. Откуда ((x – a)2 + y 2 – R 2)((x + a)2 + y 2– R 2) = 0 – уравнение их объединения. Тогда по теореме 2.2 уравнение фигуры вращения относительно оси OY будет иметь вид: X ((  x 2  z 2 – a)2 + y 2 – R 2)((  x 2  z 2 + + a)2 + y 2 – R 2) = 0, откуда (x 2 + y 2 + z 2 + a2 – – a -a R 2  2a x 2  z 2 )(x Z 2 + y 2 + z 2 + a2 – R 2  2a x 2  z 2 ) = 0. Учитывая формулу разности квадратов получаем: (x 2 + y 2 + z 2 + a2 – R 2)2 – 4a 2(x 2 + z 2) = 0 уравнение тора. Рис. 7 2. Конусы Определение 8. Конус — множество, получающееся в результате объединения непустого множества прямых – образующих конуса, проходящих через общую точку — вершину конуса. Фигура, имеющая точно одну общую точку с каждой из образующих конуса, называется направляющей конуса. ТЕОРЕМА 2.6 (Об уравнении конуса). Пусть вершина конуса  совпадает с полюсом O системы O( e1 e2 e3 ) и наN правляющая  (см. рис. 8), не содержащая полюс O, опреe2 rN деляется уравнением f ( x, y, z )  0 . Тогда уравнение конуса e3 (без вершины) в этой системе координат может быть задаrM O x y z но в параметрическом виде: f ( , , )  0 , при t  0. t t t M e1  Доказательство. Действительно, по определению конуса вместе с каждой точкой M ему принадлежат и все точки N прямой OM (см. рис. 8): Рис. 8 (N)  (M )  ( f ( x M , y M , z M )  0 ). Так как векторы rN и rM коллинеарные, то rN =t rM , что равносильно xN = txM, yN = tyM, zN 20 Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е. = tzM, или xM = xN /t, yM = yN /t, zM = zN /t. Таким образом, x y z ( f ( x M , y M , z M )  0 )  ( f ( N , N , N )  0 ). t t t Определение 9. Уравнение f ( x, y, z )  0 называется однородным, если выполняется f ( x, y, z )  f (x, y, z )  0 для любого числа  . Аналогично определяется однородное неравенство. ТЕОРЕМА 2.7 (Достаточный признак конуса). Пусть фигура в пространстве, имеющая, по крайней мере, две точки, задана в некоторой аффинной системе координат однородным уравнением f ( x, y, z )  0 . Тогда эта фигура является конусом с вершиной в полюсе аффинной системы координат. Доказательство. Если точка N, M(xN, yN, zN)  O, т.е. f ( x N , y N , z N )  0 , то в силу однородности и любая точка (xN, yN, zN)  , для любого R. Следовательно, фигура  содержит всю прямую проходящую через N и O. ПРИМЕР 3 (Вывод уравнения прямого кругового конуса). Уравнение направляющей: x 2  y 2  R 2 , тогда по теореме 2.6 : Z  z  c c Y  x2 y2 2  2  2 R t t , где t  0, — параметрическое уравнение ко z  c  t z z2 2 в первое равенстнуса. Выражая t  и подставляя t  c c2 во, получаем: X Рис. 9 2 2 x +y =z 2 R2 c2 — уравнение кругового конуса. ЗАМЕЧАНИЕ. Эту же фигуру можно получить как вращение прямых y =  z (теорема 2.2), т.к. y 2 = z 2 R2 c2 R вокруг оси OZ c — уравнение меридиана (объединения этих прямых). 3. Цилиндры Определение 10. Цилиндр — объединение непустого множества параллельных между собой прямых в пространстве, называемых образующими цилиндра. Фигура, имеющая точно одну общую точку с каждой из образующих цилиндра, называется направляющей цилиндра. ТЕОРЕМА 2.8 (Об уравнении цилиндра). Пусть ось OZ параллельна N образующим цилиндра  и направляющая задана уравнением Z f ( x, y, z )  0 . Тогда уравнение цилиндра в этой системе координат Y может быть задано в параметрическом виде: f ( x, y, z  t )  0 . rN Доказательство. Действительно, по определению цилиндра вместе e3 e2 с каждой точкой M ему принадлежат и все точки N прямой NM || rM M O OZ (см. рис. 10): e1  (N)  (M )  ( f ( x M , y M , z M )  0 ). Так как векторы e3 и NM коллинеарные, то rM – rN = t e3 , tR. Откуда xM = xN, yM = yN, zM – zN = t или zM = zN + t. Таким образом, Рис. 10 ( f ( x M , y M , z M )  0 )  ( f ( x N , y N , z N  t )  0 ). ПРИМЕР 4. Пусть направляющая цилиндра лежит в плоскости XOY, т.е. уравнение направ- X 21 Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е. ляющей имеет вид:  f ( x, y )  0 , тогда по теореме 2.8 уравнение цилиндра с образующими, параллельными оси  z  0  f ( x, y )  0 OZ, имеет вид:  , t  R. Таким образом: z  t  0 f ( x, y )  0 — уравнение этого цилиндра. ПРИМЕР 5 (Вывод уравнения кругового цилиндра). Уравнение направляющей в плоскости XOY (см. рис. 11): (x – a)2 + (y – b)2 = R 2. Тогда по предыдущему приZ меру: (x – a)2 + (y – b)2 = R 2 — уравнение прямого кругового цилиндра. ТЕОРЕМА 2.9 (Достаточный признак цилиндра). Пусть уравнение некоторой непустой фигуры в пространстве относительно аффинной O системы координат содержит только две переменные, например Y f ( x, y )  0 . Тогда данная фигура — цилиндр, образующие которого параллельны оси OZ , а уравнение направляющей в плоской аффинX ной системе координат XOY имеет вид f ( x, y )  0 . Доказательство. Пример 4 является доказательством этой теоремы. Рис. 11 4. Метод сечений При определении формы фигуры в пространстве применяют метод сечений, что помогает получить “скелетное” изображение фигуры на рисунке. Суть Z этого метода заключается в выборе подходящих плоскостей и изображении сечений данной фигуры этими плоскостями. Например, для изображения конуса 2 Y X Рис. 12 2 x +y =z 2 R2 c2 удобно рассмотреть сечения плоскостями z  2 R2 x  y 2  p 2 = p, тогда уравнения сечений:  c 2 (см. рис. 12) z  p  — окружности разного диаметра, в зависимости от значения p. 22 Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е. Глава 3. Алгебраические фигуры первого порядка m k Определение 1. Уравнение вида  p x n y  z   0 называется алгебраическим, а  число s  max(n  m   k ) называется степенью алгебраического уравнения. Таким образом, уравнение f ( x, y, z )  0 называется алгебраическим уравнением степени s, если его левая часть является многочленом от переменных x, y, z, степень которого deg( f ) = s. Для степени многочленов справедливы следующие свойства: 1) deg( f + g )  max{deg( f ), deg (g)}; 2) deg( fg) = deg( f ) + deg(g); 3) deg( f n) = ndeg( f ), где f и g — два многочлена с коэффициентами поля R. Доказательство проверить самостоятельно (упражнение). Определение 2. Фигура в пространстве (плоскости) называется алгебраической порядка n, если в аффинной системе координат она может быть определена алгебраическим уравнением степени n и не может быть определена уравнением степени меньше чем n. Всякая не алгебраическая фигура называется трансцендентной. Например: (x – a)2 + (y – b)2 = R 2 — окружность на плоскости или прямой круговой цилиндр в пространстве являются фигурами второго порядка. Тор является фигурой четвертого порядка. Фигурами нулевого порядка являются все пространство (плоскость) [его можно задать равенством 0 = 0] и пустое множество  [его можно задать равенством 2 = 0], на чем можно закончить исследование фигур нулевого порядка. Определение 3. Свойства алгебраического уравнения алгебраической фигуры называются аффинными инвариантами, если они сохраняются при переходе к любой аффинной системе координат. Свойства алгебраического уравнения алгебраической фигуры, заданной в декартовой системе координат, называются ортогональными инвариантами, если они сохраняются при переходе к любой декартовой системе координат. ТЕОРЕМА 3.1 (об инвариантности степени алгебраического уравнения). При переходе к другой аффинной системе координат степень уравнения, определяющего алгебраическую фигуру, сохраняется. Доказательство. Пусть f ( x, y, z ) =  p x n y  m z k  0 (1). Учитывая формулы перехо- да к новой аффинной системе координат (теорема 2.1, а именно Формулы преобразования аффинных координат точки в пространстве) произведем замену переменных x, y, z на x΄, y΄, z΄ в  уравнении (1). Получим алгебраическое уравнение g (x , y , z ) =  p x  n y   m  z k   0 (2), степень которого deg( g )  deg( f ) (3), так как формулы преобразования имеют линейный вид (многочлены первой степени) и справедливы соответствующие свойства степени многочленов (см. выше). Поскольку существует обратный переход (теорема 1.7, о матрице перехода), то при замене в уравнении (2) x΄, y΄, z΄ на x, y, z получим уравнение (1), где по тем же рассуждениям deg( f )  deg( g ) (4). Из неравенств (3) и (4) следует равенство deg( g ) = deg( f ). 1. Прямые на плоскости. По определению фигура  на плоскости является фигурой -го порядка, если её можно задать уравнением Ax + By + C = 0. учитывая инвариантность L n (A, B) степени уравнения относительно перехода к новой системе координат можно ограничиться декартовой системой координат. N(x, y) ТЕОРЕМА 3.2 (основная теорема о прямой на плоскости). Фигурами I-го порядка на плоскости являются прямые и только M(x0, y0 ) они. Рис. 1 Доказательство.  (достаточность) Пусть дана прямая L, проходящая через точку M(x0, y0), перпендикулярно данному вектору n (A, B). Тогда 23 Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е. NL  n  MN  ( n , MN ) = 0  A(x – x0) + B( y – y0) = 0  Ax + By + (–Ax0 – By0) = 0, т.е. Ax + By + C = 0 — уравнение прямой L, где C = –Ax0 – By0. Следовательно, L — фигура первого порядка.  (необходимость) Пусть фигура  задана уравнением Ax + By + C = 0 (1), где либо A  0, либо B  0 (иначе (1) не было бы уравнением первого порядка). Пусть A  0, тогда (1) можно записать в следующем виде: A(x – (– C/A)) + B( y – 0) = 0 (2). Где (2) является прямой, проходящей через точку (– C/A, 0) перпендикулярно вектору n (A, B). Специальные виды уравнений прямой на плоскости 1. Общее уравнение прямой (аффинная система координат): Ax  By  C  0 . 2. Уравнение прямой, проходящей через данную точку M 0 ( x0 , y0 ) перпендикулярно данно- му вектору N ( A, B) (декартова система координат): A( x  x0 )  B( y  y0 )  0 . 3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом: y  kx  b . Доказательство. Непосредственно выводится из общего уравнения прямой. 4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку M 0 ( x0 , y0 ) параллельно данному вектору a (a x ; a y ) (направляющий вектор прямой): N(x, y) L x  x0 y  y 0 x y .  a (a , a ) ax ay M0(x0, y0 ) Доказательство. Действительно, (см. рис.2) x  x0 y  y 0  NL  a || M 0 N  . Рис. 2 ax ay 5. Параметрические уравнения той же прямой: x  x0  a x t , y  y0  a y t . x  x0 y  y 0 Доказательство. Поскольку  = t, где tR, то параметрические уравнения уже ax ay очевидны. 6. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки M 1 ( x1 , y1 ) , M 2 ( x 2 , y 2 ) : x  x1 y  y1 .  x 2  x1 y 2  y1 Доказательство. Достаточно в уравнении 4 взять M0 = M1, a = M 1M 2 . 7. Уравнение прямой в отрезках (a, b — отрезки, отсекаемые на осях координат соответстx y   1. венно, с учетом их знаков): a b Доказательство. В уравнении 6 возьмем точки M1( a , 0) и M2(0, b ), получим: xa y xa y x y   0    1.  a b a b a b A 1. (l1 || l 2 )   1  A2 Взаимное расположение прямых и точек на плоскости l : A x  B1 y  C1  0, Пусть даны прямые 1 1 l 2 : A2 x  B2 y  C 2  0 B C   1  1 . B2 C 2  24 Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е.  A x  B1 y  C1  0 Доказательство. (l1||l2)  (  1 (8) не имеет решений)  (по т. Кронеке A2 x  B2 y  C 2  0 A B C   A B1 C1   A B1  ра–Капели: r1 = rang  1  < r2 = rang  1  )   1  1  1 .  A2 B2 C 2   A2 B2   A2 B2 C 2  A B C  2. (l1  l 2 )   1  1  1 . Доказательство. (Самостоятельно).  A2 B2 C 2  A B  3. (l1  l 2 )   1  1 . Доказательство. (l1  l2)  (система (8) имеет единственное ре A2 B2  A B  шение)  ( r1 = r2 = 2)   1  1 . Здесь и дальше в аналогичных местах знак   A2 B2  используется в значении глагола «пересекаться». Ax1  By1  C — коэффициент деления отрезка [M1(x1, y1), M2(x2, y2)] прямой l: Ax + 4.  =  Ax 2  By 2  C By + C = 0. Если  < 0, то точки находятся в одной полуплоскости относительно l. x  x 2 y  y 2 , yk = 1 , Axk + Byk + C Доказательство. Пусть K(xk, yk) точка деления, т.е. xk = 1 1  1  Ax1  By1  C x  x 2 y  y 2 = 0. Тогда A 1 +B 1 + C = 0, откуда  =  . 1  1  Ax 2  By 2  C Основные метрические задачи на прямую на плоскости l : A x  B1 y  C1  0, 1. Нахождение косинуса угла  между двумя прямыми 1 1 : l 2 : A2 x  B2 y  C 2  0 A1 A2  B1 B2 n1 n2 cos    . l2 2 2 2 2 A1  B1 A2  B2  l1 Доказательство. cos =  cos ( n1 n2 )(см. рис. 3, угол между пряРис. 3 мыми l1 и l2 полагают не больше 90, поэтому знак выбирается для положительного значения cos), где n1 (A1, B1), n2 (A2, B2). Далее см. гл. 1, применение скалярного произведения. 2. Условие взаимной перпендикулярности двух прямых A1 A2  B1 B2  0 . Доказательство. (l1  l2)  ( n1  n2 )  ( n1  n2 = 0)  (в декартовой системе координат A1 A2  B1 B2  0 ). 3. Расстояние от точки M 0 ( x0 , y0 ) до прямой Ax  By  C  0 :  M0(x0, y0) l n Рис. 4 A2  B 2 . Доказательство. |M, l| = | prn NM | = | NM  системе координат) N(x, y) Ax0  By 0  C A( x0  x)  B( y 0  y ) 2 A B Ax0  By 0  ( Ax  By ) 2 A B 2 да C = – Ax – By, и, следовательно, |M, l| = A B 25 = . Так как N(x, y)  l, то Ax + By + C = 0, отку- Ax0  By 0  С 2 2 n | = (в декартовой |n| 2 . Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е. 2. Плоскости в пространстве. ТЕОРЕМА 3.3 (основная теорема о плоскости). Фигурами I-го порядка в пространстве являются плоскости и только они. Доказательство. Аналогично доказательству теоремы 3.2 (о прямой на плоскости). Специальные виды уравнений плоскости 1. Общее уравнение плоскости: Ax  By  Cz  D  0 . 2. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку M 0 ( x0 , y 0 , z 0 ) перпендикулярно данному вектору N ( A, B, C ) : A( x  x0 )  B ( y  y0 )  C ( z  z 0 )  0 . 3. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку M 0 ( x0 , y 0 , z 0 ) параллельно двум неколлинеарным векторам a (a x , a y , a z ) , b (b x , b y , b z ) (направляющие векторы плоскости ): x  x0 y  y 0 z  z 0 N(x, y, z)   : ax ay az  0 . a bx by bz b M0 Доказательст во . N    Cp(ā b M 0 N )  (по теореме 1.13, признак Рис. 5 x  x0 компланарности векторов в координатах) a x b x y  y0 z  z0 a y az b y z b 0. x  x 0  a x t1  b x t 2 4. Параметрические уравнения той же плоскости: y  y 0  a y t1  b y t 2 . z  z 0  a z t1  b z t 2 Доказательство. N    Cp(ā b M 0 N )  (по теореме 1.10, признак компланарности векторов) {ā, b , M 0 N } — линейно зависимы. Но так как {ā, b } — линейно независимы (неколлинеарны), т.е. образуют максимальную линейно независимую подсистему векторов системы {ā, b , M 0 N }, т.е. ее базис, то вектор M 0 N линейно выражается через {ā, b }. Следовательно, существуют t1, t2  R: M 0 N = t1ā + t2 b . Или в координатах: x  x0  a x t1  b x t 2 x  x 0  a x t1  b x t 2 y  y 0  a y t1  b y t 2 , откуда y  y 0  a y t1  b y t 2 . z  z 0  a z t1  b z t 2 z  z 0  a z t1  b z t 2 5. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки M 1 ( x1 , y1 , z1 ) , M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) , M 3 ( x3 , y3 , z 3 ) , не лежащие на одной прямой: x  x1 y  y1 z  z1 x 2  x1 x3  x1 y 2  y1 y 3  y1 z 2  z1  0 . z 3  z1 Доказательство. Достаточно в уравнении 3 взять M0 = M1, a = M 1M 2 , b = M 1M 3 . 6. Уравнение плоскости в отрезках (a, b, c — отрезки, отсекаемые на осях координат соответx y z ственно, с учетом их знаков):    1 . a b c Доказательство. В уравнении 5 возьмем точки M1(a,0,0), M2(0,b ,0), M3(0,0,c), получим: 26 Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е. xa y z  a b 0  0  (x – a)bc + abz + acy = 0  bcx + abz + acy = abc. a 0 c x y z Поделим обе части последнего равенства на abc, получим:    1. a b c Взаимное расположение плоскостей и точек в пространстве  : A x  B1 y  C1 z  D1  0 Пусть даны две плоскости 1 1 . (9)  2 : A2 x  B2 y  C 2 z  D2  0 A B C D  1. ( 1 ||  2 )   1  1  1  1 . Доказательство подобно аналогичному свойству  A2 B2 C 2 D2  прямых на плоскости. A B C D  2. ( 1   2 )   1  1  1  1 . Доказать самостоятельно.  A2 B2 C 2 D2   A C  B C  B  A 3. ( 1   2 )    1  1    1  1    1  1  . Доказательство. (1  2)  (сис  A2 B2   A2 C 2   B2 C 2   тема (9) имеет общее решение с одним свободным параметром — параметрическое уравнение  A B  A C  B C  прямой)  ( r1 = r2 = 2)    1  1    1  1    1  1  .   A2 B2   A2 C 2   B2 C 2   Ax1  By1  Cz1  D 4.  =  — коэффициент деления отрезка [M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2)] Ax 2  By 2  Cz 2  D плоскостью  : Ax + By + Cz +D = 0. Если  < 0, то точки находятся в одном полупространстве относительно . Доказа тельство подобно аналогичной задаче для прямой на плоскости. Основные метрические задачи на плоскость 1. Нахождение косинуса двугранного угла  между двумя плоскостями  1 : A1 x  B1 y  C1 z  D1  0, :  2 : A2 x  B2 y  C 2 z  D2  0 A1 A2  B1 B2  C1C 2 cos    . 2 2 2 2 2 2 A1  B1  C1 A2  B2  C 2 Доказательство подобно аналогичной задаче для прямой на плоскости. 2. Условие взаимной перпендикулярности двух плоскостей: A1 A2  B1 B2  С1С 2  0 . Доказательство подобно аналогичной задаче для прямой на плоскости. 3. Расстояние от точки M 0 ( x0 , y 0 , z 0 ) до плоскости Ax  By  Cz  D  0 :  Ax0  By 0  Cz 0  D . A2  B 2  C 2 Доказательство подобно аналогичной задаче для прямой на плоскости. 27 Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е. 3. Прямые в пространстве. Различные способы задания прямой в пространстве Есть два способа определения прямой в пространстве: 1. Общее задание прямой в пространстве (как пересечение двух плоскостей):  A B  A C  B C   A1 x  B1 y  C1 z  D1  0 при условии   1  1    1  1    1  1   или   A2 x  B2 y  C 2 z  D2  0   A2 B2   A2 C 2   B2 C 2    A B1 C1  rang  1  = 2 (условия пересечения двух плоскостей).  A2 B2 C 2  2. Канонические уравнения прямой в пространстве, проходящей через точку M 0 ( x0 , y 0 , z 0 ) с направляющим вектором a (a x , a y , a z ) : L x  x0 y  y 0 z  z 0   . a (a x , a y , a z ) ax ay az M(x0, y0, z0) Доказательство. Действительно, (см. рис.6) x  x0 y  y 0 z  z 0 Рис. 6 NL  a || MN    . ax ay az 3. Параметрические уравнения той же прямой в пространстве: x  x0  a x t N(x, y, z) y  y0  a y t . z  z0  a z t x  x0 y  y 0 z  z 0   = t, где t  R, то параметрические Доказательство. Поскольку ax ay az уравнения уже очевидны. 4. Уравнения прямой в пространстве, проходящей через две данные точки: x  x1 y  y1 z  z1   . x 2  x1 y 2  y1 z 2  z1 Доказательство. Достаточно в уравнении 2 взять M0 = M1, a = M 1M 2 . Взаимное расположение двух прямых в пространстве. x  x1 y  y1 z  z1   l1 : x y a a az Пусть даны две прямые: x  x2 y  y 2 z  z 2   l2 : bx by bz 1. Две прямые лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда x 2  x1 y 2  y1 z 2  z1 l1 ax ay az  0. bx by bz x y z a ( a , a , a ) M1(x1, y1, z1) l2 Доказательство. Прямые l1 и l2 (см. рис. 7) лежат одной плоскости тогда и только тогда, когда векторы x y z M2(x2, y2, z2) b (b , b , b ) a , b , M 1M 2 компланарны. По критерию компланарности векторов в координатах (теорема 1.13): Рис. 7 28 Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е. x 2  x1 Cp( a , b , M 1M 2 )  ax bx y 2  y1 ay by z 2  z1 az  0. bz 2. Две прямые скрещиваются тогда и только тогда, когда x 2  x1 y 2  y1 z 2  z1 ax ay az  0. bx by bz Доказательство. Это утверждение является просто отрицанием предыдущего, поскольку две прямые являются скрещивающими тогда и только тогда, когда они не лежат в одной плоскости. y z   ax a y az   x . Доказательство. ( l1 || l2)  ( a || b )   a  a  a .   3. (l1 || l 2 )    bx by bz   bx by bz        x2  x1 y 2  y1 z 2  z1  а x a y  а x a z  а y a z    x y z a a 4. ( l1  l2)   a  0    x  y    x  z    y  z   . b b   b b   b b     bx  by bz   Доказательство. Две прямые пересекаются тогда и только, когда они лежат в одной плоскости (см. утверждение 1) и () не параллельны (векторы a , b неколлинеарные, т.е. их координаты не пропорциональны). Основные метрические задачи на прямую в пространстве x  x1 y  y1 z  z1   l1 : ax ay az x  x2 y  y 2 z  z 2   l2 : bx by bz 1. Нахождение косинуса угла между двумя прямыми l1, l2 в пространстве: cos    а xb x  a yb y  a zb z (a x ) 2  (a y ) 2  (a z ) 2 (b x ) 2  (b y ) 2  (b z ) 2 . Доказательство. cos  = . cos ( a , b ) (угол между прямыми l1 и l2 полагают не больше 90, поэтому знак выбирается для положительного значения cos), где a (ax, ay, az), b (bx, by, bz). Далее см. гл. 1, применение скалярного произведения. 2. Условие перпендикулярности двух прямых l1, l2 в пространстве: а xb x  a yb y  a zb z  0 . Доказательство. Cos(l1l2)  ( a  b )  ( a  b =0)  l1 M1(x1, y1, z1) a (ax, ay, az) M2(x2, y2, z2) Рис. 8 l2 b (bx, by, bz) ( а x b x  a y b y  a z b z  0 — в декартовой системе координат). 3. Расстояние между скрещивающимися прямыми l1, l2: x 2  x1 y 2  y1 z 2  z1 ay az mod a x bx by bz h . ay by az bz 2 az  z b ax bx 2 ax  x b ay by 2 Доказательство. |l1, l2| = h (высота параллелепипеда (см. рис. 8), опущенная на основание, построенное на векторах a и b ). С одной стороны Vпар. = hSосн. = h|[ a , b ]|. С другой стороны 29 Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е. Vпар. = | M 1M 2 , a , b |. Откуда h = | M 1M 2 , a , b |/|[ a , b ]|. Или в координатах декартовой системы координат: x2  x1 y 2  y1 z 2  z1 mod a x ay az bx by bz h= . ay by az bz 2 az  z b ax bx 4. Расстояние от точки M 1 ( x1 , y1 , z1 ) до прямой y1  y 0 ay  z1  z 0 D a (ax, ay, az) M0(x0, y0, z0) az  az h M1(x1, y1, z1) ax  x b ay by 2 x  x0 y  y 0 z  z 0   в пространстве: ax ay az z1  z 0 x 2 l C 2 2 2 x1  x0 ax y 2 x1  x0 y1  y 0 ax 2 ay . z 2 (a )  (a )  (a ) Доказательство. |M1,l| = h (высота треугольника M0M1D, опущенная на сторону M0D. С одной стороны, 1 1 Sтр. = h|M0D| = h| a |. С другой стороны, Sтр. = 2 2 1 = |[ M 0 M 1 a ]|. Откуда, h = |[ M 0 M 1 a ]|/| a |. 2 Или в координартах декартовой системы координат: Рис. 9 y1  y 0 z1  z 0 h= ay az 2  z1  z 0 x1  x0 az x 2 2  ax y 2 x1  x0 y1  y 0 ax ay z 2 ( a ) ( a ) ( a ) 2 . Плоскость и прямая в пространстве 1. Взаимное расположение плоскости  : Ax  By  Cz  D  0 и прямой x  x0 y  y 0 z  z 0   в пространстве: l: ax ay az 1. (l ||  )  ( Aa x  Ba y  Ca z  0). Доказательство.(l ||)  N (A,B,C) a (ax,ay,az).  Aa x  Ba y  Ca z  0 . Доказательство.(l )  ((l ||) & (M0)). 2. (l   )    Ax0  By 0  Cz 0  D  0 3. (l   )  ( Aa x  Ba y  Ca z  0). Доказательство. (l  )  (l ||).  A C  B . Доказательство.(l )  N || a . 4. (l   )     x y z  a a a   2. Нахождение синуса угла  между прямой и плоскостью в пространстве: sin    Aa x  Ba y  Ca z (a x ) 2  (a y ) 2  ( a z ) 2 A 2  B 2  C 2 . Доказательство. sin  = cos( N a ) (знак выбирается по острому углу), т.е. sin  = = |cos( N a )| (модуль косинуса). 30 Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е. Глава 4. Алгебраические фигуры второго порядка 1. Фигуры второго порядка на плоскости (конические сечения); эллипс, гипербола и парабола. Приведение уравнений второй степени к каноническому виду ТЕОРЕМА 4.1 (О каноническом уравнении фигуры второго порядка). Существует такая декартова система координат, относительно которой всякую фигуру второго порядка на плоскости можно задать одним из следующих уравнений: (группа 1) x2 a2 x2 a2 x2 a2 x2 a2 x2 a2      y2 b2 y2 b2 y2 b2 y2 b2 y2 b2 1 (1) Эллипс  1 (2) , Мнимый эллипс 0 (3) точка (0,0) Полюс 1 (4) Гипербола 0 (5) Пара пересекающихся прямых (группа 2) y 2  2 px, ( p  0) (6) Парабола (группа 3) y 2  a 2 , (a  0) (7) Пара параллельных прямых y 2  a 2 , (a  0) (8) , Пара мнимых параллельных прямых y2  0 (9) Две совпадающие прямых Доказательство. Уравнение фигуры  второго порядка в произвольной аффинной системе координат имеет вид: Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0. Следовательно, и в декартовой системе координат уравнение фигуры  можно задать в виде: a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a1x + 2a2y + a = 0. (10) Покажем, что (10) можно привести, при переходе к новой системе координат, к одному из уравнений следующих трех групп: a11x2 + a22y2 + a = 0, a11  0, a22  0 (11) (группа 1) 2 a22y + 2a1x = 0, a22  0, a1  0 (12) (группа 2) a22y2 + a = 0, a22  0 (13) (группа 3) Если a120 в (10), то, поворачивая декартову систему координат на подходящий угол , можно избавиться от одночлена с произведением x′y′ в новых координатах: x = cos x′– sin y′, y = sin  x′+ cos  y′,  (подставляя в (10)): a11 (cos x′– sin y′)2 + 2 a12(cos x′ – sin y′)(sin x′ + cos y′) + a22(sin  x′ + cos  y′)2 + + 2a1(cos x′– sin y′) + 2a2(sin  x′ + cos  y′′) + a = 0, т.е. к виду: a′11 x′ 2 + 2 a′12 x′y′ + a′22 y′ 2 + 2a′1 x′ + 2a′2 y′ + a′ = 0, где 2 a′12 = –2 a11 cos sin + 2 a12(cos2 – sin2) + 2a22sin cos, т.е. 2 a′12 = 2 a12(cos2 – sin2) + 2(a22 – a11)sin cos. Выбираем  так, чтобы a′12 = 0, т.е. 2 a12(cos2 – sin2) = –2(a22 – a11)sin cos. Откуда: (a  a11 ) (a  a11 ) cos 2   sin 2  =  22 , т.е. ctg2 =  22 . Таким образом, уравнение фигуры  2 sin  cos  2a12 2a12 31 Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е. всегда можно записать в некоторой декартовой системе координат в виде: a11x2 + a22y2 + 2a1x + 2a2y + a = 0. (14) Рассмотрим возможные случаи уравнения (14): 1) Если a11  0 и a22  0, то запишем (14) в следующем виде a a a2 a2 a11 ( x  1 ) 2 + a22 ( y  2 ) 2 – 1 – 2 + a = 0. a11 a 22 a11 a 22 a a Перенесем полюс декартовой системы в точку (– 1 ,– 2 ), получим вид (11). a11 a 22 2) Если a11 = 0, a22  0, a1  0, тогда (14) имеет вид a a2 a22 ( y  2 ) 2 + 2a1x – 2 + a = 0 или a 22 a 22 a 22 a a 22 a2 2 a22 ( y  ) + 2a1(x + ) = 0. a 22 2a1 a 22 a a 22 a Перенесем полюс в точку (– , – 2 ), получим вид (12). 2a1 a 22 3) Если a11 = 0, a22  0, a1 = 0, тогда (14) имеет вид a a2 a22 ( y  2 ) 2 – 2 + a = 0. a 22 a 22 a Перенесем полюс в точку (0, – 2 ), получим вид (13). a 22 В заключение доказательства остается только заметить, что в зависимости от значений коэффициентов: 1) уравнение (11) приводится к уравнениям группы 1; 2) уравнение (12) приводится к уравнению группы 2; 3) уравнение (13) приводится к уравнениям группы 3. Напомним, что инвариантами при ортогональном преобразовании (ортогональными инвариантами) называются функции от коэффициентов (10), которые сохраняют свое значение при переходе к новой декартовой системе координат. ТЕОРЕМА 4.2 (Об ортогональных инвариантах). Ортогональными инвариантами (10) являются: S = a11 + a22 — след матрицы малой квадратичной формы (10), a a  = 11 12 — определитель малой квадратичной формы (10), a12 a 22 a11 a12 a1  = a12 a 22 a 2 — определитель большой квадратичной формы (10). a1 a 2 a Доказательство. По плану аналогично доказательству теоремы 4.1. При замене декартовой системы на новую декартову систему координат осуществляются два действия: поворот осей на один и тот же угол и перенос полюса. Например, при повороте (см. доказательство теоремы 4.1): a′11+ a′22 = [a11cos2 + 2a12cos sin + a22sin 2] + [a11sin2 – 2a12cos sin + a22cos2] = = a11 + a22, т.е. S = a11 + a22 не меняет значения при повороте системы координат. Аналогично и при переносе полюса, следовательно, S — ортогональный инвариант. Остальное доказать в качестве упражнения. ЗАМЕЧАНИЕ. Уравнение  2 – S + = 0 называется характеристическим уравнением малой квадратичной формы (10). Корни этого уравнения 1, 2 очевидно также являются ортогональ32 Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е. ными инвариантами. Можно показать (самостоятельно), что 1, 2 всегда являются действительными числами. Учитывая теоремы 4.2 и 4.1 получаем следующее правило классификации фигур -го порядка на плоскости: >0 =0 <0 0 Линия не распадается =0 Линия распадается на пару прямых Линия эллиптического типа Линия параболического типа Линия гиперболического типа ЭЛЛИПС ПАРАБОЛА ГИПЕРБОЛА ПАРА параллельных прямых ПАРА пересекающихся прямых 1) Если знаки 1 и 2 совпадают со знаком  — мнимый эллипс; 2) Если знаки 1 и 2 противоположны знаку  — действительный эллипс. ТОЧКА (пара мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке) 2 1) a 2 – a22a > 0 — прямые действительные и различные; 2) a 22 – a22a = 0 — прямые совпадают; 3) a 22 – a22a < 0 — прямые мнимые. Эллипс, гипербола и парабола Будем решать следующую задачу: Пусть зафиксирована точка F и прямая l. Найти геометрическое место точек M, для кото (M , F ) рых отношение расстояний от M до точки F и до l прямой является постоянным: =  (M , l ) const := e > 0. Случай 1, если e = 1. Обозначим  (F, l) = p, и выберем систему координат, в которой p p F( , 0), l: x = – (см. рис.1). Y l 2 2 M(x, y) p p  (M, F) = | MF | = |(x – , y)| = ( x  ) 2  y 2 . 2 2 F X p p p O  (M, l) = |x + |.  2 2 2 p  (M , F ) p = ( (x  )2  y 2 |x + | ) = 1. Откуда  (M , l ) 2 2 Рис. 1 p p p2 p2 + y 2 =x2 + px+ , сле( x– )2+y 2 = ( x+ )2, тогда x2 – px + 2 2 4 4 довательно, y 2 = 2px получаем уравнение параболы. o F называется фокусом параболы; o l называется ее директрисой; o p называется фокальным параметром или просто параметром параболы. Число p на2 зывается фокальным расстоянием. 1 Случай 2, если e < 1. Обозначим  (F, l) = d. В этом случае ( – e) > 0, поэтому существуe 33 Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е. 1 a ет a > 0, такое что d = a( – e) . Выберем систему координат, в которой F(ae, 0), l : x = . e e  (M, F) = | MF | = |(x – ae, y)| = ( x  ae) 2  y 2 . Y l : x= M(x,y) (0, b) a e X F (a,0)  (M, l) = |x – a |. e  (M , F ) = ( ( x  ae) 2  y 2  (M , l ) (x – ae)2 + y2 = e 2(x – |x – a 2 ), e a |) = e. Откуда e тогда x2 –2aex + a2e2 + y2 = e2x2 – a a2 2 e2 x + e2 , следовательно, e e2 Рис. 2 x2 (1– e2) + y2 = a2(1– e2). Делим обе части на a2(1– e2): то полагая b2 = a2(1– e2) имеем x2 a 2 + y2 2 2 a (1  e ) =1. Так как a2(1– e2) > 0, y2 =1 уравнение эллипса. a2 b2 o F( ae, 0) называются правым и левым фокусами эллипса; a o l : x =  называются правой и левой директрисами эллипса; e o e = 1 o c= b2 a2 + x2 называется (числовым) эксцентриситетом; a 2  b 2 называется линейным эксцентриситетом, c = ae. b2 — фокусным параметром a или просто параметром. Числа a и b называются соответственно большой и малой полуосью. Точка (0,0) называется центром, точки (  a,0) и (0,  b) называются вершинами эллипса. Расстояние  (M, F) называется фокальным расстоянием точки M. 1 Случай 3, если e > 1. Обозначим  (F, l) = d. В этом случае (e – ) > 0, поэтому существуe 1 a ет a > 0, такое что d = a(e – ) . Выберем систему коl : x= e e Y a (0, b) ординат, в которой F(ae, 0), l : x = . Полностью M(x, y) e повторив дальнейшие рассуждения случая 2, получим: X y2 x2 + = 1. Так как a2(1 – e2) < 0, то a2(e2 – 1) (a, 0) F(ae,0) 2 2 2 a a (1  e ) 2 = – a (1 – e2) > 0. Полагая b2 = a2(e2 – 1) , o Число 2c называется фокусным расстоянием, число p = x2 34 – y2 =1 уравнение гиперболы. a2 b2 o F( ae, 0) называются правым и левым фокусами гиперболы; a o l : x =  называются правой и левой директрисами гиперболы; e Рис. 3 имеем Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е. o e = 1 b2 a2 называется (числовым) эксцентриситетом; a 2  b 2 называется линейным эксцентриситетом, c = ae. o c= b2 — фокусным параметром a или просто параметром. Число a называется действительной полуосью, b называется мнимой полуосью. Точка (0,0) называется центром, точки (  a,0) называются вершинами гиперболы. Расстояние  (M, F) называется фокальным расстоянием точки M. Пряx y мые  = 0 называются аси́мптотами. a b Итак, справедлива следующая теорема. ТЕОРЕМА 4.3 (Директориальное свойство эллипса, гиперболы и параболы – общее свойство конических сечений). Для любой точки эллипса, гиперболы и параболы отношение ее фокального расстояния до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету. (Доказательство самостоятельно) ТЕОРЕМА 4.4 (Фокальное свойство эллипса). Для любой точки эллипса сумма ее фокальных расстояний постоянна, а именно  (M, F1) +  (M, F2) = 2a, где F1(– ae, 0), F2(ae, 0). o Число 2c называется фокусным расстоянием, число p = Доказательство.  (M,F1,2) = |M,F1,2| = |(x ae, y)| = ( x  ae) 2  y 2 = x 2  2ae  a 2 e 2  y 2 . Так как M(x, y) точка эллипса, то x2 2 + y2 2 = 1, откуда y2 = b2 – x 2b 2 2 . Подставим b2 = a2(1– e2), a b a получим y = a (1 – e ) – x (1 – e ). Подставляя в предыдущее выражение, получим: 2 2 2 2 2  (M, F1,2) = x 2  2ae  a 2 e 2  a 2  a 2 e 2  x 2  x 2 e 2 = a 2  2aex  x 2 e 2 = (a  xe) 2 . (a  xe) 2 + (a  xe) 2 = |a + xe| + |a – xe|. Так как e < 1 и | x |  a, то модуль можно опустить, получим  (M, F1) +  (M, F1) = a + xe + a – xe = 2a. ТЕОРЕМА 4.5 (Фокальное свойство гиперболы). Для любой точки гиперболы модуль разности ее фокальных расстояний постоянен, а именно где F1(–ae, 0), F2(ae, 0). | (M, F1) –  (M, F2)| = 2a, Доказательство. Повторив рассуждения доказательства предыдущей теоремы, получим:  (M, F1) +  (M, F1) =  (M, F1,2) = (a  xe) 2 . Откуда | (M, F1) –  (M, F2)| = | a  xe |  | a  xe | . В случае гиперболы e > 1 и |x|  a. Если x  a, то (a + xe) > 0 и (a – xe) < 0, поэтому | a  xe |  | a  xe | = |a+xe– xe + a| = |2a| = 2a. Если x  – a, то (a + xe) < 0 и (a–xe) > 0, поэтому | a  xe |  | a  xe | = |–a–xe–a+xe| = |–2a| = 2a. 1. Эллипс Определение 1. Эллипс — геометрическое место точек, сумма расстояний от которых, до двух фиксированных точек, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная (бόльшая, чем расстояние между фокусами) . Обозначения: 2с — расстояние между фокусами, 2а — сумма расстояний от точек эллипса до фокусов ( c  a ). x2 y2 1. Каноническое уравнение эллипса: 2  2  1 , где b 2  a 2  c 2 . a b 2. Координаты фокусов: (c;0), (c;0) . 3. Координаты вершин эллипса: (a;0), (a;0); (0;b), (0; b) ; a — большая полуось эллипса, 35 Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е. b — малая полуось эллипса. c 4. Эксцентриситет: e   1 . a a 5. Уравнения директрис: x   . e 2. Гипербола Определение 2. Гипербола – геометрическое место точек, абсолютная величина разности расстояний от которых, до двух фиксированных точек, называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная (меньшая, чем расстояние между фокусами) . Обозначения: 2с - расстояние между фокусами, 2а - разность расстояний от точек гиперболы до фокусов ( c  a ). x2 y2 1. Каноническое уравнение гиперболы: 2  2  1 , где b 2  c 2  a 2 . a b 2. Координаты фокусов: (c;0), (c;0) . 3. Координаты вершин гиперболы: (a;0), (a;0) . a — действительная полуось гиперболы, b — мнимая полуось гиперболы. b 4. Уравнения асимптот: y   x . a c 5. Эксцентриситет: e   1 . a a 6. Уравнения директрис: x   . e x2 y2 7. Уравнение сопряженной гиперболы: 2  2  1 . a b 8. Уравнение равносторонней гиперболы: x 2  y 2  a 2 . ЭЛЛИПС ГИПЕРБОЛА ПАРАБОЛА Секущая плоскость пересекает все образующие конуса Секущая плоскость параллельна двум образующим конуса Секущая плоскость параллельна одной образующей конуса Рис. 4 3. Парабола Определение 3. Парабола — геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом гиперболы, и данной прямой, называемой директрисой. Обозначение: p — расстояние от фокуса до директрисы. 1. Каноническое уравнение параболы: y 2  2 px . p 2. Координаты фокуса: ( ;0) . 2 3. Координаты вершины параболы: (0;0) . 36 Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е. 4. Уравнение директрисы: x   5. Эксцентриситет: e  1 . p . 2 ТЕОРЕМА 4.6 (Общее определение эллипса, гиперболы и параболы). Пусть на плоскости выбраны некоторая фиксированная точка F (фокус), некоторая прямая D (директриса), не содержащая эту точку F, и положительное число e. Тогда множество всех точек плоскости, отношение расстояний которых до точки F к расстоянию до прямой D равно e, есть эллипс, если e < 1, или парабола, если e = 1, или гипербола, если e > 1. Существуют и другие свойства, общие для эллипса, гиперболы и параболы. Используя метод сечений, все их можно получить как сечения кругового конуса (см. рис.4). Поэтому для эллипса, гиперболы и параболы принято общее название: конические сечения. 2. Фигуры второго порядка в пространстве; эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды, конусы и цилиндры второго порядка. Приведение уравнений второй степени к каноническому виду ТЕОРЕМА 4.7 (О каноническом уравнении фигуры второго порядка в пространстве). Существует такая декартова система координат, относительно которой всякую фигуру второго порядка в пространстве можно задать одним из следующих уравнений: (группа 1) x2 a2 x2 a2 x2 a2 x2 a2 x2 a2 x2 a2       y2 b2 y2 b2 y2 b2 y2 b2 y2 b2 y2 b2       z2 c2 z2 c2 z2 c2 z2 c2 z2 c2 z2 c2 1 (1) Эллипсоид  1 (2) , Мнимый эллипсоид 1 (3) Однополостный гиперболоид  1 (4) Двуполостный гиперболоид (  x2 a2  y2 b2  z2 c2  1)  0 (5) Точка (0,0,0), Мнимый конус с действительной вершиной  0 (6) Конус второго порядка (группа 2) x2 a2 x2 a2   y2 b2 y2 b2  2z (7) Эллиптический параболоид  2z (8) Гиперболический параболоид (группа 3) далее все уравнения повторяются из случая на плоскости x 2 a2 x2 a2   y 2 b2 y2 b2 1 (9) Эллиптический цилиндр  1 (10) , Мнимый эллиптический цилиндр 37 Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е. x2 a2 x2 a2 x2 a2    y2 b2 y2 b2 y2 b2  0 (11) Ось OZ, Пара мнимых плоскостей, с общей действительной прямой 1 (12) Гиперболический цилиндр 0 (13) Пара плоскостей, пересекающихся по прямой OZ (группа 4) y 2  2 px, ( p  0) (14) Параболический цилиндр (группа 5) y 2  a 2 , (a  0) , (15) Пара параллельных плоскостей y 2  a 2 , (a  0) , (16) , Пара мнимых параллельных плоскостей y2  0 . (17) Две совпадающие плоскости Доказательство этой теоремы проходит по той же схеме, что и доказательство теоремы 4.1 (О каноническом уравнении фигуры второго порядка на плоскости). Прежде всего, можно показать, что алгебраическое уравнение фигуры  второго порядка: a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2 a12xy + 2 a13xz + 2 a23yz + 2a1x + 2a2y + 2a3z + a = 0 (18) можно преобразовать к одному из уравнений следующих пяти групп: a11x2 + a22y2 + a33z2 + a = 0, a11  0, a22  0, a33  0 (19) (группа 1) a11x2 + a22y2 + 2a3z = 0, a11  0, a22  0, a3  0 (20) (группа 1) 2 2 a11x + a22y + a = 0, a11  0, a22  0 (21) (группа 1) 2 a22y + 2a1x = 0, a22  0, a1  0 (22) (группа 2) a22y2 + a = 0, a22  0 (23) (группа 3) Сначала при помощи лишь поворотов осей декартовой системы координат можно избавиться от одночленов с произведениями xy, yz, xz. Затем с помощью выделения полного квадрата осуществить параллельный перенос осей декартовой системы к новому полюсу, который преобразует уравнение к одному из пяти уравнений (19) – (23). ТЕОРЕМА 4.8 (Об ортогональных инвариантах). Ортогональными инвариантами (18) являются: S = a11 + a22+ a33 — след матрицы малой квадратичной формы (18), a11 a12 a13  = a12 a 22 a 23 — определитель малой квадратичной формы (18), a13 a 23 a33 a11 a  = 12 a13 a1 a12 a 22 a 23 a2 a13 a 23 a33 a3 a1 a2 — определитель большой квадратичной формы (18). a3 a  a11 a12 a13    ЗАМЕЧАНИЕ. Уравнение |E – A| = 0, где A =  a12 a 22 a 23  , называется характеристичеa   13 a 23 a33  ским уравнением малой квадратичной формы (18), т.е. уравнение вида:   a11  a12  a13  a12   a 22  a 23 = 0.  a13  a 23   a33 38 Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е. Корни этого уравнения 1, 2, 3, также ортогональные инварианты, являются действительными числами (показать самостоятельно). Если  > 0, то поверхность эллиптического типа; Если  = 0, то поверхность параболического типа; Если  < 0, то поверхность гиперболического типа; Если   0, то поверхность не является ни цилиндром, ни конусом и не распадается на пару плоскостей. Эллипсоиды, гиперболоиды и параболоиды Определение 4. Фигуры, которые могут быть заданы в некоторой декартовой системе координат уравнениями: x2 y2 z2    1 называются эллипсоидами (см. рис. 5); 1) a2 b2 c2 2) x2 a2 x2 a2 3) x2 a2 x2 a2     y2 b2 y2 b2 y2 b2 y2 b2   z2  1 называются однополостными гиперболоидами (см. рис. 6); c2 z2 c2  1 называются двуполостными гиперболоидами (см. рис. 7);  2 z называются эллиптическими параболоидами (см. рис. 8);  2 z называются гиперболическими параболоидами (см. рис. 9). Z c Z Z Y a X O b X a O c Y X Y O Рис. 5 Рис. 7 Рис. 6 Z Z X Y X b O Y O Рис. 8 Рис. 9 Линейчатые фигуры второго порядка в пространстве Определение 5. Линейчатой фигурой называется фигура, которая является объединением прямых. Эти прямые называются прямолинейными образующими линейчатой фигуры. К линейчатым фигурам очевидно относятся: 39 Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е. o Прямая; o Пара плоскостей; o Конусы (второго порядка); o Цилиндры (эллиптические, гиперболические, параболические); Не очевидно линейчатыми фигурами являются: o Однополостный гиперболоид; o Гиперболические параболоид. Покажем это. Рассмотрим для этого следующие системы: y y  x z  x z t ( a  c )  s (1  b ) t ( a  c )  s (1  b ) и  s ( x  z )  t (1  y ) s ( x  z )  t (1  y )  a c  a c b b которые определяют пересечение двух плоскостей, т.е. два параметризованных семейства прямых. Перемножая эти уравнения, получим уравнение этих семейств: x2  z2  1 y2 x2 x2 a2  y2 b2  2z  y2  z2  1 (Однополостный гиперболоид, см. рис. 10). a2 c2 b2 a2 b2 c2 Аналогичные рассуждения повторим для систем:  x y  x y t ( a  c )  2 s t ( a  c )  2s и .  s ( x  y )  tz s ( x  y )  tz  a c  a c Получим: , т.е. (Гиперболический параболоид, см. рис. 11). Рис. 11 Рис. 10 3. Решение некоторых задач для фигур второго порядка. Рассмотрим в общем случае, когда алгебраическая фигура задана уравнением f(x, y) = 0 (на плоскости) или f(x, y, z) = 0 (в пространстве), где функция f является непрерывно дифференцируемой по каждой переменной (такие функции также называют гладкими). В этом случае вектор N ( f x , f y ) (на плоскости) или N ( f x , f y , f z ) является нормальным вектором к соответствующей линии (на плоскости) или поверхности (в пространстве). 40 Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е. N ( f x , f y , f z ) N ( f x , f y ) Рис. 12 Рис. 13 Таким образом, эти векторы (см. рис. 12, рис. 13) являются нормальными векторами для соответствующей касательной прямой (на плоскости) или касательной плоскости (в пространстве). Если кривые f(x, y) = 0 и g(x, y) = 0 пересекаются, то косинус угла пересечения равен модулю косинуса угла между нормальными векторами N1 ( f x , f y ) и N 2 ( g x , g y ) к этим кривым в точке пересечения. Модуль берётся по той причине, что угол пересечения кривых по определению выбирается не тупой. Если пересекаются поверхности f(x, y, z) = 0 и g(x, y, z) = 0, то аналогично косинус угла пересечения в точке M0, лежащей на кривой пересечения, равен модулю косинуса угла между нормальными векторами N1 ( f x , f y , f z ) и N 2 ( g x , g y , g z ) . При этом векторное произведение [ N1 ( f x , f y , f z ) , N 2 ( g x , g y , g z ) ] будет направляющим вектором касательной в точке M0 для кривой, являющейся пересечением этих поверхностей. Рассмотрим частные случаи. Линии на плоскости. Эллипс F : f ( x, y) = x2  y2 x2 a2  y2 b2  1 , может быть задан уравнением x2 a2  1 . Найдём частные производные: f x ( x, y ) =  2x y2 b2  1  0 , т.е. f(x, y) = 0, где , f y ( x, y ) = 2y . Допустим a b2 a b точка M0(x0, y0)  F, т.е. её координаты удовлетворяют уравнению эллипса. В этой точке 2x 2 y N ( 20 , 20 ) вектор нормали к эллипсу, он же является нормалью касательной прямой к элa b липса в точке M0. Следовательно, уравнение касательной в этой точке имеет вид: x y l: 02 x  20 y  C  0 (вектор нормали сократили на 2). a b Осталось найти свободный коэффициент C. Ищем его из условия того, что точка M0(x0, y0)  l, x y x2 y2 а значит, удовлетворяет её уравнению: 02 x0  20 y0  C  0 , т.е. 02  02  C  0 . Но также a b a b 2 2 x y точка M0(x0, y0)  F, т.е. 02  02  1 , подставляем, получаем, что C = –1. Итак, уравнение каa b сательной к эллипсу в точке M0(x0, y0) имеет вид: x y x y l: 02 x  20 y  1  0 или 02 x  20 y  1 . a b a b 2 2 Гипербола F : N0 ( x2 a2  y2 b2 2  1 . Повторяя рассуждения, получаем N( 2 x0  2 y 0 , 2 ) || a2 b x0  y 0 , ) нормальный вектор в точке M0(x0, y0). Уравнение касательной имеет вид: a2 b2 x y l: 02 x  20 y  1 . a b 41 Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е. Парабола F : y 2  2 px, ( p  0) . Получаем N (2 p,2 y0 ) || N 0 ( p, y0 ) нормальный вектор в точке M0(x0, y0). Повторяя рассуждения, получаем уравнение касательной прямой в точке M0(x0, y0): l:  px  y0 y  px0  0 или l: y0 y  px  px0 . Поверхности в пространстве. x2  y2  z2  1 , может быть задан уравнением x2 a2 b2 x2  y2  z2  1  0 , т.е. a 2 b2 c2 c2 y2 z2 2x f(x, y, z) = 0, где f(x, y, z) = 2  2  2  1 . Найдём частные производные: f x ( x, y, z ) = 2 , a a b c 2y 2z f y ( x, y, z ) = 2 , f z ( x, y, z ) = 2 . Получаем нормальный вектор в точке M0(x0, y0, z0)  F: b c x0 y 0 z 0 N ( 2 , 2 , 2 ) . Следовательно, касательная плоскость в этой точке имеет уравнение вида: a b c x y z  : 02 x  20 y  02 z  D  0 . a b c Эллипсоид F : Осталось найти свободный коэффициент D. Ищем его из условия M0(x0, y0, z0)  : x02 y02 z 02 x0 y0 z0 x02 y02 z 02 x0  2 y0  2 z 0  D  0 т.е. 2  2  2  D  0 . Поскольку 2  2  2  1 , то следоa b c a2 b c a b c вательно, D = – 1. Итак, уравнение касательной плоскости в точке M0(x0, y0, z0): x y z x y z  : 02 x  20 y  02 z  1  0 или 02 x  20 y  02 z  1 . a b c a b c Однополостный гиперболоид F : x2 a2  y2 b2  z2 c2  1 . Повторяя рассуждения, получаем: x0 y 0 z 0 , , ) — нормальный вектор в точке M0(x0, y0, z0)  F; a2 b2 c2 x y z  : 02 x  20 y  02 z  1 — уравнение касательной плоскости в точке M0(x0, y0, z0). a b c x2 y2 z 2 Двуполостный гиперболоид F : 2  2  2  1 : a b c x y z N ( 02 , 20 , 02 ) — нормальный вектор в точке M0(x0, y0, z0)  F; a b c x y z  : 02 x  20 y  02 z  1 — уравнение касательной плоскости в точке M0(x0, y0, z0). a b c N( Эллиптический параболоид F : x2 a2  y2 b2  2z : x0 y 0 , ,1) — нормальный вектор в точке M0(x0, y0, z0)  F; a 2 b2 x y x y  : 02 x  20 y  z  z0  0 или 02 x  20 y  z  z0 — уравнение касательной плоскости в a b a b точке M0(x0, y0, z0). x2 y2 Гиперболический параболоид F : 2  2  2 z : a b N( 42 Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е. x0 2 a x0 , y0 ,1) — нормальный вектор в точке M0(x0, y0, z0)  F; b2 y x y  : 2 x  20 y  z  z 0  0 или 02 x  20 y  z  z 0 — уравнение касательной плоскости в a b a b точке M0(x0, y0, z0). N( Конус второго порядка F : x2 a2  y2 b2  z2 c2  0: x0 y 0 z 0 , , ) — нормальный вектор в точке M0(x0, y0, z0)  F; a2 b2 c2 x y z  : 02 x  20 y  02 z  0 — уравнение касательной плоскости в точке M0(x0, y0, z0). a b c N( Эллиптический цилиндр F : x2 a2  y2 b2  1: x0 y 0 , ,0) — нормальный вектор в точке M0(x0, y0, z0)  F; a 2 b2 x y  : 02 x  20 y  1 — уравнение касательной плоскости в точке M0(x0, y0, z0). a b N( Гиперболический цилиндр F : x0 a2  y2 b2 1: y0 ,0) — нормальный вектор в точке M0(x0, y0, z0)  F; b2 y  : 2 x  20 y  1 — уравнение касательной плоскости в точке M0(x0, y0, z0). a b N( 2 a x0 , x2 Параболический цилиндр F : y 2  2 px, ( p  0) : N 0 (  p, y 0 ,0) — нормальный вектор в точке M0(x0, y0, z0)  F;  : y0 y  px  px0 — уравнение касательной плоскости в точке M0(x0, y0, z0). 43