Аддитивная и мультипликативная модели временного ряда

Аддитивная и мультипликативная модели временного ряда Каждый уровень временного ряда формируется из трендовой (Т), циклической (S) и случайной (Е) компонент. Модели, в которых временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент – аддитивные модели, как произведение – мультипликативные модели. Основная задача эконометрического исследования отдельного временного ряда – выявление и придание количественного выражения каждой из перечисленных выше компонент с тем, чтобы использовать полученную информацию для прогнозирования будущих значений ряда или при построении моделей взаимосвязи двух и более временных рядов. Аддитивная модель имеет следующий вид: . (1) Мультипликативная модель: . (2) Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значения Т, S, Е для каждого уровня ряда. Построение модели включает следующие шаги: 1. выравнивание исходного ряда методом скользящей средней; 2. расчет значений сезонной компоненты S; 3. устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных в аддитивной или в мультипликативной модели. 4. аналитическое выравнивание уровней или и расчет значений с использованием полученного уравнения тренда; 5. расчет полученных по модели значений или ; 6. расчет абсолютных или относительных ошибок. Аддитивная модель Рассмотрим построение аддитивной модели на следующем примере: Дан временной ряд, содержащий сезонные колебания периодичностью . Необходимо рассчитать компоненты аддитивной модели временного ряда. t Квартал 1 I 375 2 II 371 3 III 869 4 IV 1015 5 I 357 6 II 471 7 III 992 8 IV 1020 9 I 390 10 II 355 11 III 992 12 IV 955 13 I 461 14 II 454 15 III 920 16 IV 927 Шаг 1. Проводится выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого: 1. Суммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени. 2. Разделив полученные суммы на , находим скользящие средние. Полученные таким образом выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты. 3. Необходимо привести эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего находим средние значения из двух последовательных скользящих средних – центрированные скользящие средние. Если скользящая средняя вычисляется для нечетного числа сезонов, то результат не центрируется. t Итого за четыре квартала Скользящая средняя за четыре квартала Центрированная скользящая средняя Оценка сезонной компоненты 1 375 - - - - 2 371 2630 657,50 - - 3 869 2612 653,00 655,25 213,75 4 1015 2712 678,00 665,50 349,50 5 357 2835 708,75 693,38 -336,38 6 471 2840 710,00 709,38 -238,38 7 992 2873 718,25 714,13 277,88 8 1020 2757 689,25 703,75 316,25 9 390 2757 689,25 689,25 -299,25 10 355 2642 660,50 674,88 -319,88 11 992 2713 678,25 669,38 322,63 12 905 2812 703,00 690,63 214,38 13 461 2740 685,00 694,00 -233,00 14 454 2762 690,50 687,75 -233,75 15 920 - - - - 16 927 - - - - Шаг 2. Находятся оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними. Эти оценки используются для расчета значений сезонной компоненты S. Для этого находятся средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты . В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю. Корректированные значений сезонной компоненты , (3) где корректирующий коэффициент: . (4) Год номер квартала 1 2 3 4 1 - - 213,75 349,50 2 -336,38 -238,38 277,88 316,25 3 -299,25 -319,88 322,63 214,38 4 -233,00 -233,75 - - Всего за -й квартал -868,63 -792,00 814,25 880,13 Средняя оценка сезонной компоненты для -го квартал -289,54 -264,00 271,42 293,38 Сумма 11,25 Корректирующий коэффициент 2,8125 Скорректированная средняя оценка сезонной компоненты для -го квартал -292,35 -266,81 268,60 290,56 Шаг 3. Исключается влияние сезонной компоненты, путем вычитания ее значения из каждого уровня исходного временного ряда. Получаются величины . Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту. t 1 375 -292,35 667,35 2 371 -266,81 637,81 3 869 268,60 600,40 4 1015 290,56 724,44 5 357 -292,35 649,35 6 471 -266,81 737,81 7 992 268,60 723,40 8 1020 290,56 729,44 9 390 -292,35 682,35 10 355 -266,81 621,81 11 992 268,60 723,40 12 905 290,56 614,44 13 461 -292,35 753,35 14 454 -266,81 720,81 15 920 268,60 651,40 16 927 290,56 636,44 Шаг 4. Определение компоненты данной модели. Для этого проводится аналитическое выравнивание ряда . В нашем случае аналитическое выравнивание необходимо проводить с помощью линейного тренда: . Подставляя в данное уравнение значения t = 1,2,…,16, находятся уровни для каждого момента времени. t 1 375 672,68 380,33 2 371 673,61 406,80 3 869 674,53 943,14 4 1015 675,46 966,02 5 357 676,39 384,03 6 471 677,31 410,50 7 992 678,24 946,84 8 1020 679,16 969,72 9 390 680,09 387,73 10 355 681,01 414,20 11 992 681,94 950,54 12 905 682,86 973,43 13 461 683,79 391,44 14 454 684,72 417,90 15 920 685,64 954,24 16 927 686,57 977,13 Шаг 5. Находятся значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели . t 1 375 -5,33 2 371 -35,80 3 869 -74,14 4 1015 48,98 5 357 -27,03 6 471 60,50 7 992 45,16 8 1020 50,28 9 390 2,27 10 355 -59,20 11 992 41,46 12 905 -68,43 13 461 69,56 14 454 36,10 15 920 -34,24 16 927 -50,13 Мультипликативная модель В некоторых временных рядах значение сезонной вариации – это определенная доля трендового значения, т.е. сезонная вариация увеличивается с возрастанием значений тренда. В таких случаях используется мультипликативная модель. Методика построения мультипликативной модели состоит из следующих шагов (на примере модели с периодом сезонности ): 1) Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней: ◦ просуммируем уровни ряда последовательно за каждые 4 месяца со сдвигом на один месяц; ◦ делим полученные суммы на 4 (скользящие средние); ◦ находим центрированные скользящие средние. t Скользящие средние Центрированные скользящие средние 1 375 2 371 657,50 3 869 653,00 655,25 4 1015 678,00 665,50 5 357 708,75 693,38 6 471 710,00 709,38 7 992 718,25 714,13 8 1020 689,25 703,75 9 390 689,25 689,25 10 355 660,50 674,88 11 992 678,25 669,38 12 905 703,00 690,63 13 461 685,00 694,00 14 454 690,50 687,75 15 920 16 927 2) Найдем оценки сезонной компоненты как частное от деления фактических уровней ряда на уровни скользящей средней. t Оценки сезонной компоненты 1 375 2 371 3 869 1,33 4 1015 1,53 5 357 0,51 6 471 0,66 7 992 1,39 8 1020 1,45 9 390 0,57 10 355 0,53 11 992 1,48 12 905 1,31 13 461 0,66 14 454 0,66 15 920 16 927 3) Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты S. Для этого найдем средние за каждый месяц (по всем кварталам) оценки сезонной компоненты . Для мультипликативной модели сумма сезонной компоненты по всем месяцам должна быть равна числу периодов в цикле (в нашем случае четырем). Корректирующий коэффициент рассчитывается по формуле . (5) Скорректированные значения сезонной компоненты определяются как произведение средней оценки на корректирующий коэффициент : . (6) Год номер квартала 1 2 3 4 1 - - 1,33 1,53 2 0,51 0,66 1,39 1,45 3 0,57 0,53 1,48 1,31 4 0,66 0,66 - - Всего за -й квартал 1,74 1,85 4,20 4,28 Средняя оценка сезонной компоненты для -го квартал 0,58 0,62 1,40 1,43 Сумма 4,02 Корректирующий коэффициент 0,993 Скорректированная средняя оценка сезонной компоненты для -го квартал 0,58 0,61 1,39 1,42 4) Делится каждый уровень исходного ряда на соответствующие значения сезонной компоненты. При этом в таблицу заносится величина . t 1 375 0,58 650,19 2 371 0,61 605,25 3 869 1,39 624,90 4 1015 1,42 714,96 5 357 0,58 618,98 6 471 0,61 768,40 7 992 1,39 713,35 8 1020 1,42 718,48 9 390 0,58 676,19 10 355 0,61 579,15 11 992 1,39 713,35 12 905 1,42 637,48 13 461 0,58 799,30 14 454 0,61 740,66 15 920 1,39 661,58 16 927 1,42 652,97 5) Определим трендовую компоненту мультипликативной модели. Проведем аналитическое выравнивание ряда (Т Е) с помощью линейного тренда. Для удобства переобозначим ряд (Т Е) как W: Линейная модель тенденции временного ряда W имеет вид: Подставив в данное уравнение значения =1,2,3,…16 , получим выровненные уровни для каждого момента времени или, в старых обозначениях, уровни (Т Е). 6) Найдем значения уровней ряда, полученные по мультипликативной модели. Для этого умножим уровни Т на значения сезонной компоненты для соответствующих месяцев. 7) Расчет ошибки в мультипликативной модели проводится по формуле E=Y/(T S). t T 1 375 650,19 655,26 0,99 2 371 605,25 658,52 0,92 3 869 624,90 661,78 0,94 4 1015 714,96 665,04 1,08 5 357 618,98 668,29 0,93 6 471 768,40 671,55 1,14 7 992 713,35 674,81 1,06 8 1020 718,48 678,07 1,06 9 390 676,19 681,33 0,99 10 355 579,15 684,59 0,85 11 992 713,35 687,85 1,04 12 905 637,48 691,10 0,92 13 461 799,30 694,36 1,15 14 454 740,66 697,62 1,06 15 920 661,58 700,88 0,94 16 927 652,97 704,14 0,93 8) Для сравнения мультипликативной модели с другими моделями временного ряда можно использовать сумму квадратов абсолютных ошибок.