Треугольник Паскаля - это бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, обладающая треугольной формой.
Введение
Великий французский ученый Блез Паскаль, который был как выдающимся математиком, так и физиком, а также писателем, и даже прославился как религиозный философ. Он стал автором большого количества трудов, которые относились к таким научным направлениям как теория чисел, алгебра, теория вероятностей. Этот великий ученый может считаться одним из основоположников таких наук как математический анализ, проективная геометрия, он создал отдельные образцы счетной техники, вывел основные законы гидростатики.
Отец Блеза работал председателем суда и считался одним из наиболее известных юристов города. Все семейство Паскалей обладало незаурядными способностями, а у Блеза проблески одаренности начали проявляться с раннего детства.
В 1631 году семейство Паскалей перебралось с детьми в столицу, и отец направил все свои усилия на развитие умственных способностей Блеза. Главное внимание и сын, и отец отводили математическому направлению. В их доме каждую неделю проводились заседания своеобразного математического математиков. В данных заседаниях шестнадцати летний Блез Паскаль принимал самое активное участие и настолько преуспел, что стал в числе первых даже среди взрослых. В это же время он написал труд «Опыт о конических сечениях»; в котором содержалась теорема, именуемая и сегодня теоремой Паскаля. Этот трактат дошел до наших времен в виде небольшого отрывка.
Треугольник Паскаля, его свойства и приложения
Треугольником Паскаля называют бесконечную числовую таблицу треугольного формата, в вершине которой и по бокам расположены единицы, а каждое из оставшихся чисел равняется суммарному значению пары чисел, стоящих над ним слева и справа в предыдущей строке. Таблица является симметричной по отношению к оси, которая проходит через вершину треугольника, как показано ниже.
Рисунок 1. Треугольник Паскаля. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Треугольная последовательность биномиальных коэффициентов под названием meru-prastaara впервые была упомянута в комментарии индийского математика десятого века Халаюдхи к работам другого математика, а именно, Пингалы. Треугольник исследовался также Омаром Хайямом примерно в 1100-ом году, по этой причине в Иране такая схема называется треугольником Хайяма. В 1303-ем году вышла книга «Яшмовое зеркало четырех элементов», написанная китайским математиком Чжу Шицзе, в которой изображался треугольник Паскаля на одной из иллюстраций. Многие специалисты полагают, что изобрел его другой китайский математик, Ян Хуэй (поэтому китайцы именуют его треугольником Яна Хуэя).
На титульном листе учебника арифметики, который был написан в 1529-ом году Петром Апианом, астрономом из Ингольтштадского университета, тоже показан треугольник Паскаля. А уже в 1653-ем году была издана книга Блеза Паскаля «Трактат об арифметическом треугольнике».
К числу основных свойств треугольника Паскаля необходимо отнести следующие особенности:
- Числа треугольника являются симметричными (равными) относительно вертикальной оси.
- В строке, имеющей номер n, первое и последнее числа равны единице.
- В этой же строке второе и предпоследнее числа равняются n.
- Третье число равняется треугольному числу, которое равняется сумме номеров предшествующих строк.
- Четвертое число является тетраэдрическим.
- m-е число, если отсчет нумерации ведется с нуля, равняется биномиальному коэффициенту.
- Суммарное значение чисел восходящей диагонали, которая начинается с первого элемента (n-1)-й строки, есть n-е число Фибоначчи.
- Если осуществить вычитание из центрального числа в строке с четным номером соседнее число из той же строки, то результат будет числом Каталана.
- Весь набор чисел в n-й строке, кроме единиц, делится на число n, если только n является простым числом (следствие теоремы Люка).
- Если в строке, имеющей нечетный номер, просуммировать все числа с порядковыми номерами типа 3n, 3n+1, 3n+2, то первая пара сумм окажется равной, а третья будет на единицу меньше.
- Все числа в треугольнике равны количеству методов, позволяющих добраться до него из вершины, перемещаясь либо вправо-вниз, либо влево-вниз.
В качестве практического приложения можно рассмотреть связь треугольника Паскаля с биномом Ньютона. Биномом Ньютона именуется формула, предназначенная для разложения на слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, которая может быть отображена следующим образом:
Рисунок 2. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Имеющиеся в этом выражении коэффициенты равняются:
Cnm = n! / (m! (n - m)!),
где m является порядковым номером числа в строке n треугольника Паскаля. Это означает, что, обладая данной таблицей, можно просто осуществлять возведение в степень любых чисел, если предварительно разложить их на пару слагаемых. То есть, треугольник Паскаля и бином Ньютона имеют самую тесную взаимосвязь между собой.
Рассмотрим другие возможные варианты применения треугольник Паскаля. Примеры задач, которые можно решить при его помощи, достаточно многообразны и затрагивают самые разные области науки. Приведем некоторые, самые интересные из них.
Предположим, что у какого-либо большого города, который обнесен крепостной стеной, имеются лишь одни входные ворота. На первом перекрестке главная дорога делится на два направления, и то же самое происходит и на всех других перекрестках. В город пришли двести десять человек. На всех из попадающихся на пути перекрестков эта группа людей делится пополам. Необходимо определить, сколько человек будет находиться на каждом из перекрестков, когда дальнейшее деление станет уже невозможным.
Ответом данной задачи может служить десятая строка треугольника Паскаля (формула коэффициентов приведена выше), в которой по обе стороны от вертикальной оси должны располагаться числа двести десять.
То есть, знаменитый треугольник Блеза Паскаля при правильном его применении может превратиться в настоящую палочку-выручалочку при решении множества задач, особенно из области комбинаторики.
