Обработка данных и моделирование в математических пакетах — это формирование описания реальных объектов в математическом формате и изучение данного описания.
Введение
Математические пакеты считаются одним из компонентов CAE-систем (Computer Aided Engeneering). Это общее обозначение программных пакетов, которые предназначены для решения разных инженерных проблем. Сегодня математические пакеты используют методики формирования моделей, а не стандартные способы программирования. Это означает, что пользователи сами формулируют задачу, а методики и алгоритмы, позволяющие эту задачу решить, система определяет самостоятельно. Передовые математические пакеты могут быть использованы и вместо обычного калькулятора, и в качестве средства, позволяющего упростить выражения при решении практических проблем, а также для генерации графики и звуковых эффектов.
Сегодня почти все математические пакеты обладают встроенными функциями для символьных вычислений. Математическим моделированием является формирование математического описания реальных объектов и его исследование. Изначально все расчётные операции по моделям выполнялись в ручном режиме. Но с развитием вычислительной техники для оптимизации расчётных операций стали применяться компьютеры. Компьютеры могут применяться в качестве средства автоматизации научной работы, а для выполнения сложных расчётов могут помочь специальные программные средства.
Однако в научной сфере имеется обширный набор простых математических проблем, для решения которых может быть использован набор универсальных профессиональных средств. К этим простым задачам можно, к примеру, отнести следующие:
- Формирование научно-технической документации, содержащей текстовую часть и формулы, которые записаны в понятном для специалистов формате.
- Определение итоговых результатов математических операций, в которых задействованы числовые константы, набор переменных и разные физические величины.
- Действия с векторами и матрицами.
- Определение решений для системы уравнений.
- Расчётные операции в сфере статистики и анализа информационных данных.
- Формирование графиков разной размерности.
- Осуществление дифференцирования и интегрирования, как аналитического, так и численного.
- Другие аналогичные задачи.
Принципы формирования математических моделей
Математическое моделирование является формированием математического описания реальных объектов и его исследование. Сам процесс моделирования состоит из следующих этапов:
- Формулирование задачи моделирования.
- Формирование структурной схемы модели, деление на основные части и процессы.
- Назначение оптимизационного критерия или значения, которое следует определить расчётным путём.
- Определение главных изменяемых параметров.
- Осуществление описания главных модулей и процессов в математическом формате.
- Определение процесса решения, которое связывает изменяемые параметры и оптимизационный критерий или рассчитываемое значение.
- Изучение решения на экстремальные значения или расчёт искомого параметра.
Постановка задачи, как правило, выполняется как описание в словесной форме. На этапе формулирования задачи следует описать объект моделирования, главные целевые установки модели и оптимизационные критерии.
Далее строится схема модели и выделяются её главные части и процессы. На данном этапе, на основе постановки задачи, осуществляется деление объекта моделирования на главные части и назначается список процессов, определяющих взаимодействие данных частей. На данном этапе пакеты общего предназначения уже не способны оказать помощь. Здесь следует применять специальные пакеты, в которые, как правило, уже включены компоненты разделения модели на части для указанной предметной сферы.
Необходимо также сформулировать оптимизационный критерий, который может быть оценён количественно, или искомый количественный параметр. Ещё следует определить список всех изменяемых параметров с их характерным количественным выражением.
Взаимодействие частей модели следует отобразить в формате математических формул. Нужный раздел математики, применяемый для описания, следует выбрать исходя из соображений удобства. То есть данный раздел должен обладать возможностью количественно описать необходимый тип взаимодействия. Итогом выполнения данного этапа будет система уравнений или других математических выражений, формализовано описывающих взаимодействие частей модели и имеющих решение. То есть должна быть получена зависимость критерия оптимизации от изменяемых параметров. Необходимо отметить, что система уравнений должна быть замкнута и должно присутствовать формальное доказательство существования решения. Для выполнения этих операций, пакеты общего предназначения могут предоставить лишь аппарат. Специализированные пакеты, как правило, обладают предопределённым математическим аппаратом и базируются на готовых математических описаниях задач.
Далее следует выстроить решение, которое связывает изменяемые параметры и оптимизационные критерии. Необходимо в явном виде определить функциональную связь критерия оптимизации или расчётного параметра и изменяемых параметров. Данный этап является основным полем использования прикладных пакетов математического моделирования. Это обстоятельство сопряжено с тем, что подбор аналитических решений для математического описания сложного объекта, как правило, является невозможным. То есть формирование решения заключается в построении «численных решателей», которые по задаваемым величинам изменяемых параметров способны определить значение критерия оптимизации.
В заключение выполняется поиск экстремума в решении. Высокий уровень сложности при исследовании решения на экстремум обычно связан с большими временными затратами на определение критерия оптимизации на основе заданных значений изменяемых параметров или большим числом вероятных комбинаций изменяемых параметров, ведущих к значительному числу вычислительных операций.
