Кодирование числовой информации

Десятичное и двоичное представление чисел

Кроме цифр, в десятичной системе большое значение имеют разряды. Подсчитывая количество чего-нибудь и дойдя до самой большой из доступных нам цифр (до $9$), мы вводим второй разряд и дальше каждое последующее число формируем из двух цифр. Дойдя до $99$, мы вынуждены вводить третий разряд. В пределах трех разрядов мы можем досчитать уже до $999$ и т.д.

Таким образом, используя всего десять цифр и вводя дополнительные разряды, мы можем записывать и проводить математические операции с любыми, даже самыми большими числами.

Компьютер ведет подсчет аналогичным образом, но имеет в своем распоряжении всего две цифры - логический ноль (отсутствие у бита какого-то свойства) и логическую единицу (наличие у бита этого свойства).

Вот таблица первых десяти чисел в каждой из этих систем счисления:

Рисунок 1.

Как видите, в десятичной системе счисления для отображения любой из первых десяти цифр достаточно $1$ разряда. В двоичной системе для тех же целей потребуется уже $4$ разряда.

Соответственно, для кодирования этой же информации в виде двоичного кода нужен носитель емкостью как минимум $4$ бита ($0,5$ байта). Человеческий мозг, привыкший к десятичной системе счисления, плохо воспринимает систему двоичную. Хотя обе они построены на одинаковых принципах и отличаются лишь количеством используемых цифр. В двоичной системе точно так же можно осуществлять любые арифметические операции с любыми числами. Главный ее минус - необходимость иметь дело с большим количеством разрядов.

Так, самое большое десятичное число, которое можно отобразить в 8 разрядах двоичной системы - $255$, в $16$ разрядах – $65535$, в $24$ разрядах – $16777215$.

Алгоритмы кодирования чисел в двоичной системе счисления

Компьютер, кодируя числа в двоичный код, основывается на двоичной системе счисления. Но, в зависимости от особенностей чисел, может использовать разные алгоритмы:

1. Небольшие целые числа без знака.

   Для сохранения каждого такого числа на запоминающем устройстве, как правило, выделяется $1$ байт ($8$ битов). Запись осуществляется в полной аналогии с двоичной системой счисления.

   Целые десятичные числа без знака, сохраненные на носителе в двоичном коде, будут выглядеть примерно так:

   
   
   Рисунок 2.

2. Большие целые числа и числа со знаком.

   Для записи каждого такого числа на запоминающем устройстве, как правило, отводится $2$-байтний блок ($16$ битов).

   Старший бит блока (тот, что крайний слева) отводится под запись знака числа и в кодировании самого числа не участвует. Если число со знаком "плюс", этот бит остается пустым, если со знаком "минус" – в него записывается логическая единица. Число же кодируется в оставшихся 15 битах. Например, алгоритм кодирования числа $+2676$ будет следующим:

   • Перевести число $2676$ из десятичной системы счисления в двоичную. В итоге получится $101001110100$;
   • Записать полученное двоичное число в первые $15$ бит $16$-битного блока (начиная с правого края). Последний, $16$-й бит, должен остаться пустым, поскольку кодируемое число имеет знак $+$.

   В итоге $+2676$ в двоичном коде на запоминающем устройстве будет выглядеть так:

   
   
   Рисунок 3.

   Примечательно, что в двоичном коде присвоение числу отрицательного значения предусматривает не только изменение старшего бита. Осуществляется также инвертирование всех остальных его битов.

   Чтобы было понятно, рассмотрим алгоритм кодирования числа $-2676$:

   1. Перевести число $2676$ из десятичной системы счисления в двоичную. Получим все тоже двоичное число $101001110100$;
   2. Записать полученное двоичное число в первые $15$ бит $16$-битного блока. Затем инвертировать, то есть, изменить на противоположное, значение каждого из $15$ битов;
   3. Записать в $16$-й бит логическую единицу, поскольку кодируемое число имеет отрицательное значение.

   В итоге $-2676$ на запоминающем устройстве в двоичном коде будет иметь следующий вид:

   
   
   Рисунок 4.

   Запись отрицательных чисел в инвертированной форме позволяет заменить все операции вычитания, в которых они участвуют, операциями сложения. Это необходимо для нормальной работы компьютерного процессора.

   Максимальным десятичным числом, которое можно закодировать в $15$ битах запоминающего устройства, является $32767$. Иногда для записи чисел по этому алгоритму выделяются $4$-байтные блоки. В таком случае для кодирования каждого числа будет использоваться $31$ бит плюс $1$ бит для кодирования знака числа. Тогда максимальным десятичным числом, сохраняемым в каждую ячейку, будет $2147483647$ (со знаком плюс или минус).

3. Дробные числа со знаком.

   Дробные числа на запоминающем устройстве в двоичном коде кодируются в виде так называемых чисел с плавающей запятой (точкой). Алгоритм их кодирования сложнее, чем рассмотренные выше. Тем не менее, попытаемся разобраться.

   Для записи каждого числа с плавающей запятой компьютер чаще всего выделяет $4$-байтную ячейку ($32$ бита):

   • в старшем бите этой ячейки (тот, что крайний слева) записывается знак числа. Если число отрицательное, в этот бит записывается логическая единица, если оно со знаком "плюс" – бит остается пустым.
   • во втором слева бите аналогичным образом записывается знак порядка (что такое порядок поймете позже);
   • в следующих за ним $7$ битах записывается значение порядка.
   • в оставшихся $23$ битах записывается так называемая мантисса числа.

   
   
   Рисунок 5.

   Чтобы стало понятно, что такое порядок, мантисса и зачем они нужны, переведем в двоичный код десятичное число $6,25$.

   Порядок кодирования будет примерно следующим:

   1. Перевести десятичное число в двоичное (десятичное $6,25$ равно двоичному $110,01$);
   2. Определить мантиссу числа. Для этого в числе необходимо передвинуть запятую в нужном направлении, чтобы слева от нее не осталось ни одной единицы. В нашем случае запятую придется передвинуть на три знака влево. В итоге, получим мантиссу, $11001$;
   3. Определить значение и знак порядка. Значение порядка – это количество символов, на которое была сдвинута запятая для получения мантиссы. В нашем случае оно равно $3$ (или $11$ в двоичной форме);

   Знак порядка – это направление, в котором пришлось двигать запятую: влево – "плюс", вправо – "минус". В нашем примере запятая двигалась влево, поэтому знак порядка – "плюс".

   Таким образом, порядок двоичного числа $110,01$ будет равен $+11$, а его мантисса, $11001$. В результате в двоичном коде на запоминающем устройстве это число будет записано следующим образом

   
   
   Рисунок 6.