Численные методы исследования непрерывных функций — это методы, используемые для определения численного решения и позволяющие найти не точное, а приближённое решение для непрерывных функций.
Введение
Часто в математике, а также в её приложениях в различных областях, возникает необходимость в определении решения математических задач в численной форме. Чтобы отобразить решение в графической форме тоже следует вначале определить его численное значение. При этом для большинства задач может быть известен лишь тот факт, что решение задачи в принципе существует, но нет конкретных формулы, способной представить её решение. Но даже при наличии такой формулы, её использование для получения фактических значений решения может оказаться малоэффективным. Как правило, всегда может присутствовать необходимость в разрешении и таких математических задач, для которых строгие доказательства присутствия решения на данный момент отсутствуют.
Для каждого подобного случая используются методы приближенного, и, в первую очередь, численного решения. Методики численного решения математических задач всегда являлись составной частью математики и всегда находились в составе естественно-математического и инженерного образования. Как самостоятельная математическая дисциплина вычислительная математика была сформирована ещё в начале двадцатого века. К тому времени в основном были разработаны разные, обладающие достаточной эффективностью и надежностью, алгоритмы приближенного решения широкого круга математических задач, в который входил стандартный набор задач из алгебры, математического анализа и дифференциальных уравнений.
Быстрое развитие численных методов содействовало непрерывному расширению сферы применения математики в различных научных дисциплинах и прикладных исследованиях, откуда в свою очередь поступали запросы на решение новых задач, что стимулировало дальнейший прогресс вычислительной математики. Методы математического моделирования, которые основываются на создании и исследовании математических моделей различных объектов, процессов и явлений, а, кроме того, на получении информации о них из решений, связанных с этими моделями математических задач, стали одним из основных методов исследований в науках, именуемых точными.
Современной формой методики математического моделирования, основанной на мощнейшей вычислительной базе, представленной электронными вычислительными машинами (ЭВМ) и программным обеспечением, способным исполнить алгоритмы численного решения, может считаться вычислительный эксперимент, который выступает как новый теоретический метод исследования различных явлений и процессов, в том числе и исследование непрерывных функций. Эта теоретическая методика обладает основными чертами методов экспериментальных исследований, только эксперименты выполняются не с реальными объектами, а над их математическими моделями, а в качестве экспериментальной установки выступает компьютер.
Исследование непрерывных функций численными методами
Технологическая цепь вычислительных экспериментов может иметь в своём составе следующие этапы:
- Создание математической модели исследуемого объекта или функции. Здесь же выполняется и анализ модели, определение правильности сформулированной математической проблемы.
- Создание вычислительного алгоритма, то есть, формирование метода приближенного разрешения поставленной задачи с его обоснованием.
- Формирование программного варианта алгоритма на компьютере и его тестирование.
- Осуществление необходимого набора вычислений при варьировании основных параметров исходной задачи и алгоритма.
- Осуществление анализа достигнутых результатов.
Все перечисленные этапы предполагают возможность возврата к любому из предшествующих этапов с целью его уточнения и корректировки. Иногда вычислительные алгоритмы решения поставленных задач могут быть сформированы из набора главных компонентов, представляющих собой алгоритмы решения некоторых стандартных математических задач.
При этом идеология модели лежит в основе того, что называется методиками вычислительной математики. Как правило, алгоритмы приближенных решений базируются на том факте, что начальную математическую задачу необходимо заменить, то есть аппроксимировать, некоторой более простой задачей или может быть совокупностью более простых задач. Решение этих более простых задач можно трактовать как приближенное решение исходной задачи. То есть, фактически используется некая модель исходной задачи.
В очень многих научных и инженерных задачах может возникнуть необходимость в исследовании (решении) непрерывных функций, имеющих следующий вид:
$F(x, p_1, p_2, ..., p_n) = 0$.
Здесь:
- $F$ выступает как заданная непрерывная функция,
- $х$ считается неизвестной величиной,
- $ p_1, p_2, ..., p_n$ определяются как параметры задачи.
Решениями или корнями приведённого уравнения могут считаться такие значения х, которые, если их подставить в уравнение, могут обратить его в тождество.
Но лишь для самых простых непрерывных функций можно найти решение в аналитическом виде, то есть определить формулу, которая отображает искомую величину х в явном формате. В остальных же случаях необходимо выполнять решение приведённого выше выражения с помощью численных методов. Следует отметить, что иногда, даже если имеется аналитическое решение, обладающее сложным форматом, то оказывается более просто осуществить численное решение по некоторому алгоритму, чем программировать громоздкую аналитическую формулу.
Реализовывать численное решение приведённой выше функции, обычно, можно в два этапа:
- На первом этапе необходимо найти интервал изменения переменной х, на котором находится один корень или, что по сути то же самое, определить достаточно точное приближение окрестности данной точки.
- На втором этапе с помощью выбранных численных методов необходимо вычислить значение х, которое будет соответствовать корню уравнения с допустимой погрешностью.
