Интегрирование методом Чебышева

Введение

Современные численные методы направлены на разрешение сложных задач математической физики, статистики, задач из банковской сферы, экологии и других предметных областей. Следует подчеркнуть, что численные методы были известны и до изобретения компьютерного оборудования, однако они требуют, как правило, выполнения большого объема вычислительных процедур. Рассмотрим в качестве примера задачу прогноза погоды.

Даже в простой версии данная задача предполагает решение системы уравнений динамики океана и уравнений динамики атмосферы. Уравнения динамики океана представляют собой шесть нелинейных уравнений в частных производных, а именно:

• три уравнения движения,
• уравнение неразрывности,
• уравнение для солености,
• уравнение температуры.

Это уравнения имеют три пространственных переменных, а также в качестве переменной выступает время.

Уравнения динамики океана, строго говоря, следует решать на всем земном шаре. Сравнительно недавно такую задачу решали таким образом. Была сформирована неравномерная сетка, которая могла покрыть всю поверхность океана, минимальный шаг имел отличие от максимального в тридцать два раза. В итоге вышло так, что вся поверхность мирового океана оказалась покрытой сеткой, имеющей пятьсот тысяч узлов. Помимо этого, нужно было принять во внимание от пятидесяти до семидесяти уровней по глубине, чтобы отсчитывать вертикальную координату. Это означает, что в каждом из тридцати пяти миллионов узлов нужно выполнить аппроксимацию шести уравнений. Итого, на каждом шаге по времени необходимо осуществить решение системы, состоящей из двухсот миллионов уравнений.

Интегрирование методом Чебышева

При решении определенных задач появляется необходимость передачи имени функции в качестве параметра. В таком случае формальным параметром может считаться указатель на передаваемую функцию. В общем виде образец указателя на функцию может быть представлен следующим образом:

type (*name_f ) ( type1, type2, type3,...)

Где:

• name_f является именем функции.
• type является типом, возвращаемый функцией.
• type1, type2, type3,... являются типами формальных параметров функции.

В качестве примера приведем решение широко известной математической задачи, которую необходимо решить методом Чебышева:

Рисунок 1. Функция. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

При применении квадратурной формулы Чебышева, определенный интеграл непрерывной функции в интервале от минус единицы до единицы может быть представлен следующей формулой:

Рисунок 2. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Формулу Чебышева для нахождения интеграла в интервале от «a» до «b» можно представить в следующем виде:

Рисунок 3. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Приведенные формулы являются справедливыми при следующих значениях:

n = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Значения коэффициентов ti в квадратурной формуле Чебышева приведены ниже:

n Массив t

2 -0.577340, 0.577360

3 -0.707207, 0, -0.707207

4 -0.794653, -0.187591, 0.187591, 0.794653

5 -0.832497, -0.374542, 0, 0.374542, 0.832497

6 -0.866246, -0.422518, -0.266634, 0.266634, 0.422518, 0.866248

7 -0.883861, -0.529656, -0.323913, 0, 0.323913, 0.529656, 0.883861

9 -0.911579, -0.601029, -0.528761, -0.167905, 0, 0.167905, 0.528761, 0.601018, 0.911579

Далее приведем текст функции нахождения определенного интеграла методом Чебышева, а также для возможности сравнения точности еще и методом Гаусса. Для тестовой проверки были использованы следующие интегралы:

Рисунок 4. Формулы. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Текст программы ниже:

Рисунок 5. Программа. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Функция нахождения определенного интеграла по методу Чебышева.

Рисунок 6. Программа. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Функция нахождения определенного интеграла по методу Гаусса.

Рисунок 7. Программа. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Функции f1 и f2 типа double f(double), указатели станут передаваться на них //в ínt_gauss и ínt_chebíshev.

Рисунок 8. Программа. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Реализация вызова функции ínt_gauss (a, b, f1), f1 является именем функции, интеграл от которой следует определить.

Рисунок 9. Программа. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Реализация вызова функции ínt_chebíshev (a, b, f1),

//f1 является именем функции, интеграл от которой следует определить.

Рисунок 10. Программа. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Реализация вызова функции ínt_gauss (a, b, f2), f2 является именем функции, интеграл от которой следует определить.

Рисунок 11. Программа. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Результаты работы программы приведены ниже

Интеграл sín(x)^4=

Задайте интервалы интегрирования

0 2

Метод Гаусса:0.970118

Метод Чебышева:0.970082

Интеграл sqrt(2*x-1)=

Введите интервалы интегрирования

5 13

Метод Гаусса:32.6657

Метод Чебышева:32.6657

В итоге следует отметить, что вычисление определенных интегралов при помощи квадратурных формул, то есть, в нашем случае по формуле Чебышева, не может дать точного значения, а лишь приближенное, но достаточно близкое.