Взвешенный граф в информатике — это граф с вершинами или рёбрами, несущими добавочную информацию, другими словами вес.
Взвешенный граф
Под взвешенным графом понимается граф, у которого рёбрам соответствуют некоторые весовые параметры. То есть каждому ребру (дуге) поставлено в соответствие некое числовое значение, которое называется длина дуги (или вес, стоимость). Обычные графы (не взвешенные) тоже возможно представить в виде взвешенных, если считать, что все их рёбра обладают весом равным единице. Под длиной пути во взвешенном графе понимается суммарная длина (вес) рёбер, составляющих данный путь. Расстоянием между вершинами считается дистанция самого короткого по весу пути. На рисунке один приведён пример взвешенного графа и там можно видеть, что расстояние между вершинами a и d равняется шести. То есть это путь с наименьшим суммарным весом (от вершины a и далее b, c, d).
Рисунок 1. Образец взвешенного графа. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Эйлеровы и гамильтоновы графы
Если в составе графа есть цикл (возможно и не простой), который содержит каждое ребро графа один раз, то этот цикл носит название эйлеровый цикл, и, соответственно, такой граф именуется эйлеровым.
Если в составе графа существует цепь, которая содержит каждую вершину один раз, то эта цепь считается эйлеровой цепью, а граф называется полуэйлеровым.
Эти формулировки появились в 1735-ом году в работе Эйлера, где он искал решение задачи о Кёнигсбергских мостах и там первым привёл термин граф. На рисунке два изображена схема, где представлены семь мостов в городе Кёнигсберг (сегодня это Калининград). По условиям задачи требуется пересечь каждый из мостов только один раз и выполнить возврат в начальную точку С. Так как обход мостов завешается в начальной точке маршрута и есть условие однократного пересечения каждого моста, то такой маршрут можно считать простым циклом, который содержит все рёбра графа. Позже подобные циклы получили название эйлеровых, а графы, в составе которых есть такие циклы, назвали эйлеровыми графами.
Рисунок 2. Задача Эйлера о Кёнигсбергских мостах. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
На этом рисунке а — схема местоположения семи мостов в Кёнигсберге (сегодня Калининграде); б — граф, изображающий семь мостов в Кёнигсберге. Мосты представляют собой ребра графа, вершины отображают районы города, которые соединяют мосты.
Цикл Эйлера возможно представить как след от пера, которое рисует данный граф без отрыва пера от листа. То есть, иначе говоря, эйлеровы графы представляют собой графы, которые возможно нарисовать одним движением пера. При этом сам процесс рисования имеет начало и окончание в одной точке.
Выяснив, что в этом графе нет циклических обходов, которые проходят по каждому ребру один раз, Эйлер решил поставить задачу в более общей формулировке: какие должны выполняться условия, чтобы такой цикл в графе мог быть обнаружен? Ответ на поставленный вопрос Эйлер дал в своей теореме. Теорема Эйлера: для существования в связанном неориентированном графе G эйлерова цикла, необходимо и достаточно, чтобы количество вершин с нечётной степенью не превышало две.
Цепью Гамильтона в графе считается простая цепь, проходящая через каждую вершину графа строго по одному разу. Цикл графа, который проходит через все его вершины, считается гамильтоновым циклом. Гамильтоновым называют граф, у которого есть гамильтонов цикл. Гамильтоновы графы возможно использовать для построения моделей большого числа задач практики. К примеру, такие графы могут моделировать движение поездов, и это поможет составить оптимальное расписание их движения. Базой подобных задач является классическая проблема коммивояжера, которому необходимо выполнить вояж по городам и возвратиться в исходную точку, посетив каждый город только один раз. Затраты на поездку должны быть минимальными.
