Численные методы - это методы решения задач вычислительной математики, которые сводятся либо могут быть сведены к арифметическим действиям над числами.
Введение
Весь набор методов решения математических задач подразделяется на следующие классы:
- Точные методы.
- Приближенные методы.
В точных методах решение может быть получено в форме аналитического выражения, то есть формулы, но эти методы могут быть использованы лишь для разрешения ограниченной совокупности задач.
В реальной действительности часто трудно отыскать точное решение математической задачи. По этой причине большое значение при решении инженерных задач приобретают численные методы, тем более учитывая постоянно возрастающие возможности компьютерной техники. Современное вычислительное оборудование требует от инженера знаний основных положений вычислительной математики и способности использовать эти знания для решения научно-технических проблем.
Развитие вычислительной техники предоставило возможность исследования сложных проблем и явлений при помощи соответствующих математических моделей. Данный метод исследования называется вычислительный эксперимент.
Алгоритм вычислительного эксперимента состоит из следующих действий:
- Формулирование основных законов, управляющих данным объектом исследования.
- Построение математической модели. Моделью является запись законов управления объектом в виде системы уравнений (алгебраических, дифференциальных, интегральных и других).
- После формирования математической модели следует найти ее решение. Но в явном виде это можно осуществить только в исключительных случаях. Как раз на данном этапе вычислительного эксперимента необходимо привлекать компьютерную технику, и, следовательно, использовать численные методы.
Численным методом является такая интерпретация математической модели, именуемой часто дискретной моделью, которая доступна для реализации на компьютерном оборудовании. То есть, численный метод является алгоритмом решения задачи, который сводится к действиям, выполняемым на компьютере, а именно, к арифметическим и логическим операциям над числами. Таким образом, итогом исполнения численного метода будет определённое число или массив чисел.
Для реализации численного метода, необходимо сформировать программу для компьютера на каком-либо алгоритмическом языке. После окончания отладки программы реализуется собственно вычислительный процесс и анализ итоговых результатов. Полученные результаты исследуются с позиций их соответствия изучаемому явлению. Если это необходимо, то вносятся коррективы в математическую модель и уточнения численного метода, после чего приведённые выше этапы повторяются.
Численные методы и пакеты прикладных программ
Основой вычислительного эксперимента является следующие компоненты:
- Формирование математической модели.
- Выбор численного метода (алгоритма).
- Выбор пакета прикладных программ или создание нового необходимого программного приложения.
Вычислительная математика считается одной из стремительно прогрессирующих научных сфер, но при этом она непрерывно обогащается новыми примерами практического использования. С развитием вычислительной математики напрямую связан прогресс в области программирования, позволяющий сделать проще методы взаимосвязи человека и компьютера.
За прошедшие годы были сформированы обширные библиотеки научных подпрограмм на разных алгоритмических языках, которые предназначены для решения типовых задач вычислительной математики. Помимо этого, существует целый набор разнообразных математических пакетов, которые реализуют различные численные методы и производят аналитические математические преобразования. Самыми известными на данный момент считаются следующие пакеты прикладных программ и математические библиотеки:
- Пакет MatLab фирмы The MathWorks.
- Пакет Maple фирмы Waterloo Maple Inc.
- Пакет Mathematica фирмы Wolfram Research.
- Пакет MathCAD фирмы MathSoft Inc.
Пакет прикладных программ Maple обладает широкой известностью в научных кругах. Помимо аналитических преобразований, пакет способен осуществлять численные решения задач. Отличительной чертой пакета считается тот факт, что он предоставляет возможность конвертации документов в формат LaTeX, который является стандартным форматом подавляющего большинства научных издательств. Кроме того, некоторые другие программные продукты применяют интегрированный символический процессор Maple. К примеру, пакет, предназначенный для помощи в подготовке научных публикаций Scientific WorkPlace (фирмы TCI Software Research), даёт возможность обращаться к символическому процессору Maple, осуществлять аналитические преобразования и вставлять полученные результаты в документы.
Пакет MatLab практически является своеобразным языком программирования высокого уровня, который ориентирован на решение научных задач. Характерной чертой этого программного пакета считается тот факт, что он предоставляет возможность сохранения документов в формате языка программирования Си.
Программный пакет Mathematica может считаться сегодня самым популярным в научных сферах, особенно среди теоретиков. Пакет предлагает обширные возможности в осуществлении символических (аналитических) преобразований, но при этом требует наличие существенных ресурсов у компьютера. Система команд этого пакета во многом аналогична обычному языку программирования.
Программный пакет MathCAD обладает наибольшей популярностью, пожалуй, больше в инженерных, чем в научных, кругах. Отличительной особенностью этого пакета может считаться применение привычных стандартных математических обозначений, то есть, документ на экране дисплея имеет вид, который аналогичен обычному математическому расчету. Для применения пакета нет необходимость в изучении каких-либо систем команд, как это требуется, к примеру, в случае пакетов Mathematica или Maple.
