Processing math: 100%
Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Предикаты и кванторы

Понятие предиката

Определение 1

Предикат - утверждение, которое содержит переменные, принимающие значение 1 или 0 (истинно или ложно) в зависимости от значений переменных.

Пример 1

Например, выражение x=x5 является предикатом, т.к. оно является истинным при x=0 или x=1 и ложным при всех остальных значениях x.

Определение 2

Множество, на котором предикат принимает только истинные значения, называется множеством истинности предиката Ip.

Замечание 1

Предикатом в программировании является функция, которая принимает один или более аргументов и возвращает значения булева типа.

Предикат называется тождественно-истинным, если на любом наборе аргументов он принимает истинное значение:

P(x1,,xn)=1

Предикат называется тождественно-ложным, если на любом наборе аргументов он принимает ложное значение:

P(x1,,x0)=0

Предикат называется выполнимым, если хотя бы на одном наборе аргументов он принимает истинное значение.

Т.к. предикаты могут принимать только два значения (истинно/ложно или 0/1), то к ним можно применять все операции алгебры логики: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция и т.д.

Примеры предикатов

Пусть предикат R(x,y): «x=y» обозначает отношение равенства, где x и y принадлежат множеству целых чисел. В этом случае предикат R будет принимать истинное значение для всех равных x и y.

Другой пример предиката -- РАБОТАЕТ(x,y,z) для отношения «x работает в городе y в компании z».

Еще один пример предиката -- НРАВИТСЯ(x,y) для «x нравится y» для x и y, которые принадлежат M -- множеству всех людей.

Таким образом, предикатом является все то, что утверждается или отрицается о субъекте суждения.

«Предикаты и кванторы» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Найти

Операции над предикатами

Рассмотрим применение операций алгебры логики к предикатам.

Логические операции:

Определение 3

Конъюнкция двух предикатов A(x) и B(x) -- предикат , который принимает истинное значение при тех и только тех значениях x из T, при которых каждый из предикатов принимает истинное значение, а ложное значение -- во всех остальных случаях. Множество истинности T предиката -- пересечение множеств истинности предикатов A(x) и B(x). Например: предикат A(x): «x -- чётное число», предикат B(x): «x делится на 5». Таким образом, предикатом будет выражение «x -- чётное число и делится на 5» или «x делится на 10».

Определение 4

Дизъюнкция двух предикатов A(x) и B(x) -- предикат , который принимает ложное значение при тех и только тех значениях x из T, при которых каждый из предикатов принимает ложное значение и принимает истинное значение во всех остальных случаях. Множество истинности предиката -- объединение областей истинности предикатов A(x) и B(x).

Определение 5

Отрицание предиката A(x) -- предикат, который принимает истинное значение при всех значениях x из T, при которых предикат A(x) принимает ложное значение и наоборот. Множество истинности предиката A(x) -- дополнение T к множеству T в множестве x.

Определение 6

Импликация предикатов A(x) и B(x) -- предикат , который является ложным при тех и только тех значениях x из T, при которых A(x) -- истинно, а B(x) -- ложно, и принимает истинное значение во всех остальных случаях. Читается: «Если A(x), то B(x)».

Пример 2

Пусть A(x): «Натуральное число x делится на 3»;

B(x): «Натуральное число x делится на 4».

Составим предикат: «Если натуральное число x делится на 3, то оно делится и на 4».

Множество истинности предиката -- объединение множества истинности предиката B(x) и дополнения к множеству истинности предиката A(x).

Над предикатами помимо логических операций можно выполнять квантовые операции: применение квантора всеобщности, квантора существования и т.д.

Кванторы

Определение 7

Кванторы -- логические операторы, применение которых к предикатам превращает их в ложные или истинные высказывания.

Определение 8

Квантор -- логические операции, которые ограничивают область истинности предиката и создают высказывание.

Чаще всего используют кванторы:

  • квантор всеобщности (обозначается символом x) -- выражение «для всех x» («для любого x»);

  • квантор существования (обозначается символом x) -- выражение «существует x такое, что... »;

  • квантор единственности и существования (обозначается !x) -- выражение «существует точно одно такое x, что... ».

В математической логике существует понятие связывание или квантификация, которые обозначают приписывание квантора к формуле.

Примеры применения кванторов

Пусть -- предикат «x кратно 7».

С помощью квантора всеобщности можно записать следующие ложные высказывания:

  1. любое натуральное число делится на 7;

  2. каждое натуральное число делится на 7;

  3. все натуральные числа делятся на 7;

который будет иметь вид:



Рисунок 1.

Для записи истинных высказываний используем квантор существования:

  1. существуют натуральные числа, которые делятся на 7;

  2. найдётся натуральное число, которое делится на 7;

  3. хотя бы одно натуральное число делится на 7.

Запись будет иметь вид:



Рисунок 2.

Пусть на множестве x простых чисел задан предикат : «Простое число является нечетным». Поставив перед предикатом слово «любое», получим ложное высказывание: «Любое простое число является нечетным» (например, 2 является простым четным числом).

Поставим перед предикатом слово «существует» и получим истинное высказывание: «Существует простое число , которое является нечетным» (например, x=3 ).

Таким образом, предикат можно превратить в высказывание, если поставить перед предикатом квантор.

Операции над кванторами

Для построения отрицания высказываний, которые содержат кванторы, применяется правило отрицания кванторов:



Рисунок 3.

Рассмотрим предложения и выделим среди них предикаты, указав область истинности каждого из них:



Рисунок 4.

Дата написания статьи: 07.04.2016
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Крупнейшая русскоязычная библиотека студенческих решенных задач
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Предикаты и кванторы"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant