Построение таблиц истинности

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Определение 1

Логическая функция – функция, переменные которой принимают одно из двух значений: $1$ или $0$ .

Любую логическую функцию можно задать с помощью таблицы истинности: набор всех возможных аргументов записывается в левой части таблицы, а соответствующие значения логической функции – в правой части.

Определение 2

Таблица истинности – таблица, которая показывает, какие значения примет составное выражение при всех возможных наборах значений простых выражений, входящих в него.

Определение 3

Равносильными называются логические выражения, последние столбцы таблиц истинности которых совпадают. Равносильность обозначается с помощью знака $«=»$ .

При составлении таблицы истинности важно учитывать следующий порядок выполнения логических операций:

Рисунок 1.

Приоритетом в выполнении порядка выполнения операций пользуются скобки.

Алгоритм построения таблицы истинности логической функции

Определяют количество строк: кол-во строк = $2^n + 1$ (для строки заголовка), $n$ – количество простых выражений. Например, для функций двух переменных существует $2^2 = 4$ комбинации наборов значений переменных, для функций трех переменных – $2^3 = 8$ и т.д.
Определяют количество столбцов: кол-во столбцов = кол-во переменных + кол-во логических операций. При определении количества логических операций учитывают также порядок их выполнения.
Заполняют столбцы результатами выполнения логических операций в определенной последовательности, учитывая таблицы истинности основных логических операций.

«Построение таблиц истинности» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Помощь с рефератом от нейросети

Написать ИИ

Рисунок 2.

Пример 1

Составить таблицу истинности логического выражения $D=\bar{A} \vee (B \vee C)$ .

Решение:

Определим количество строк:

Количество простых выражений – $n=3$ , значит

кол-во строк = $2^3 + 1=9$ .
Определим количество столбцов:

Количество переменных – $3$ .

Количество логических операций и их последовательность:
1. инверсия ( $\bar{A}$ );
2. дизъюнкция, т.к. она находится в скобках ( $B \vee C$ );
3. дизъюнкция ( $\overline{A}\vee \left(B\vee C\right)$ ) – искомое логическое выражение.
  
  Кол-во столбцов = $3 + 3=6$ .
Заполним таблицу, учитывая таблицы истинности логических операций.

Рисунок 3.

Пример 2

По данному логическому выражению построить таблицу истинности:

$F=\overline{(A\vee B)\bigwedge \overline{C}}\vee \overline{(A\vee C)\bigwedge B}$

Решение:

Определим количество строк:

Количество простых выражений – $n=3$ , значит

кол-во строк = $2^3 + 1=9$ .
Определим количество столбцов:

Количество переменных – $3$ .

Количество логических операций и их последовательность:
1. отрицание ( $\bar{C}$ );
2. дизъюнкция, т.к. она находится в скобках ( $A \vee B$ );
3. конъюнкция ( $(A\vee B)\bigwedge \overline{C}$ );
4. отрицание, которое обозначим $F_1$ ( $\overline{(A\vee B)\bigwedge \overline{C}}$ );
5. дизъюнкция ( $A \vee C$ );
6. конъюнкция ( $(A\vee C)\bigwedge B$ );
7. отрицание, которое обозначим $F_2$ ( $\overline{(A\vee C)\bigwedge B}$ );
8. дизъюнкция – искомая логическая функция ( $\overline{(A\vee B)\bigwedge \overline{C}}\vee \overline{(A\vee C)\bigwedge B}$ ).
  
  Кол-во столбцов = $3 + 8 = 11$ .
Заполним таблицу, учитывая таблицу истинности логических операций.

Рисунок 4.

Алгоритм построения логической функции по ее таблице истинности

Выделяют в таблице истинности строки со значением функции, равным $1$ .
Выписывают искомую формулу как дизъюнкцию нескольких логических выражений. Количество этих выражений равно количеству выделенных строк.
Каждое логическое выражение в этой дизъюнкции записать как конъюнкцию аргументов функции.
В случае, когда значение какого-то из аргументов функции в соответствующей строке таблицы принимает значение $0$ , то этот аргумент записать в виде его отрицания.

Пример 3

По данной таблице истинности некоторой логической функции $Y(A,B)$ cоставить соответствующую логическую функцию.

Рисунок 5.

Решение:

Значение функции равно $1$ в $1$ -й и $3$ -й строках таблицы.
Поскольку имеем $2$ строки, получим дизъюнкцию двух элементов:

Рисунок 6.
Каждое логическое выражение в этой дизъюнкции запишем как конъюнкцию аргументов функции $A$ и $B$ : $\left(A\wedge B\right)\vee \left(A\wedge B\right)$
В случае, когда значение в соответствующей строке таблицы равно $0$ , запишем этот аргумент с отрицанием, получим искомую функцию:
$Y\left(A,B\right)=\left(\overline{A}\wedge \overline{B}\right)\vee \left(A\wedge \overline{B}\right).$