Логика в информатике – это те отрасли знания и направления исследований, в которых логика применяется в информатике и искусственном интеллекте. В информатике логика оказалась гораздо более эффективной, чем это было в математике.
Основные направления прикладного использования логики в информатике
- написание компьютерных программ и их верификация.
- при проектировании вычислительных устройств используется как теоретический инструмент.
- Использование логических операций в электронных микросхемах в качестве базовых.
- логический подход к представлению и решению различных практических задач с использованием вычислительной техники.
Стандартное математическое представление любого вычисления − это отображение переменных (их внутреннего состояния) вычислительного устройства на входе в новое состояние на выходе. В алгебре логики решается стандартная задача, а именно: определяется функциональная полнота логических связок, то есть проверяется, является ли фиксированный набор логических операций достаточным для того, чтобы представить новое результирующее значение путём комбинации любых других (базовых) функций. А это значит, что базовые логические устройства должны быть универсальными и позволять решать большое число задач.
Работу большинства вычислительных устройств, которые существуют в настоящее время, прекрасно описывает алгебра логики, разработанная Джорджем Булем. К таким устройствам относятся триггеры, сумматоры, группы переключателей, Кроме того булева алгебра и компьютеры связаны между собой при помощи используемой в ЭВМ двоичной системы счисления. Поэтому в устройствах компьютера можно хранить и преобразовывать и значения логических переменных, и числа.
Логические элементы — это электронные устройства, которые по определенному закону преобразуют проходящие через них двоичные электрические сигналы.
Логические элементы имеют один (инвертор) или несколько входов, на которые подаются электрические сигналы, обозначаемые условно $0$, если сигнал отсутствует, и $1$, если электрический сигнал имеется. Выход у логических элементов один, откуда снимается новый, преобразованный электрический сигнал.
Все электронные схемы компьютера могут быть реализованы с помощью трёх базовых логических элементов И, ИЛИ, НЕ.
Логический элемент НЕ (инвертор). Простейший логический элемент, реализующий функцию отрицания (инверсию). Унарный элемент – элемент, у которого один вход и один выход.
На функциональных схемах обозначается
Рисунок 1.
Если на вход инвертора подаётся $1$, то на выходе реализуется $0$ и наоборот.
Логический элемент И (конъюнктор) реализует умножение двух или более логических значений, т.е. имеет два или более входов и один выход. На функциональных схемах обозначается:
Рисунок 2.
Если на входе конъюнктора все входные сигналы имеют значение $1$, то на выходе тоже будет сигнал $1$, в противном случае на выходе будет сигнал $0$.
Логический элемент ИЛИ (дизъюнктор) реализует сложение двух или более логических значений, т.е. имеет два или более входов и один выход. На функциональных схемах обозначается:
Рисунок 3.
Если на вход дизъюнктора поступает хотя бы один сигнал равный $1$, то выходе тоже будет сигнал $1$.
Роль базовых логических элементов в создании схем играют ещё два логических элемента: И-НЕ и ИЛИ-НЕ.
Логический элемент И-НЕ (отрицание конъюнкции) выполняет логическую функцию штрих Шеффера. Операция бинарная, поэтому имеет, как минимум, два входа. На функциональных схемах обозначается следующим образом:
Рисунок 4.
Логический элемент ИЛИ-НЕ (отрицание дизъюнкции) выполняет логическую функцию стрелка Пирса. Тоже бинарная операция, поэтому имеет, как минимум, два входа. На функциональных схемах обозначается так:
Рисунок 5.
Функциональные схемы
Сигнал, который вырабатывает один логический элемент, можно подать на вход другого элемента. Это даст возможность образовать цепочку из отдельных логических элементов – функциональную схему.
Функциональная (логическая) схема – это схема, которая выполняет определённую функцию и состоит из базовых логических элементов. Проанализировав фунциональную схему, можно понять, как работает логическое устройство, то есть ответить на вопрос, какую же функцию она выполняет. А чтобы описать функциональную схему, нужна структурная формула.
Как по заданной функциональной схеме записать структурную формулу?
Рисунок 6.
Элемент И осуществляет конъюнкцию $\bar{X}$ и $Y$, над результатом в элементе НЕ выполняется операция отрицания, то есть вычисляется значение выражения
Рисунок 7.
Записали, что структурной формулой данной функциональной схемы является формула
Рисунок 8.
Для функциональной схемы нужно составить таблицу значений сигналов на входах и выходах схемы, по которой можно понять, какую функцию выполняет данная схема, – таблицу истинности.
Составим таблицу истинности для вышеприведённой схемы. Количество столбцов таблицы равно суммарному количеству входов и выходов нужной схемы. Итого $5$ столбцов. Количество строк таблицы равно $2^n$, где $n$ – количество входов (здесь два), строк $4$.
Рисунок 9.
Обработка любой информации на компьютере − выполнение процессором различных арифметических и логических операций. Для этого в составе процессора есть арифметико-логическое устройство (АЛУ), которое состоит из ряда устройств, построенных на логических элементах, рассмотренных выше. Главными устройствами являются триггеры, полусумматоры, сумматоры, шифраторы, дешифраторы, счетчики, регистры.
Конструируется логическое устройство по следующему алгоритму:
- по заданным условиям работы проектируемого узла (т.е. по соответствию его входных и выходных сигналов) строится таблица истинности;
- конструируется логическая функция данного узла по таблице истинности, выполняется при необходимости её преобразование (упрощение), если cоставляется функциональная схема проектируемого узла по формуле логической функции;
- реализуется полученная схема.
