Processing math: 100%
Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Логические переменные и логические функции

Логические переменные изучают в разделе математики, называемым алгеброй логики или алгеброй высказываний, или булевой алгеброй. В алгебре логики любое составное высказывание рассматривается как логическая функция F(A,B,C,), аргументы которой - логические переменные A, B, C (где A, B, C -- являются простыми высказываниями). Логические функции F(A,B,C,) и логические переменные (A, B, C - аргументы) могут принимать только два значения: «истина» (1) или «ложь» (0). Логическую функцию часто называют предикатом.

Логической (булевой) функцией называют функцию F(X1,X2,...,Xn), аргументы которой X1,X2,...,Xn (независимые переменные) и сама функция (зависимая переменная) принимают значения 0 или 1.

Таблицу, показывающую, какие значения принимает логическая функция при всех сочетаниях значений ее аргументов, называют таблицей истинности логической функции.

Таблица истинности логической функции от n аргументов содержит 2n строк, n столбцов значений аргументов и 1 столбец значений функции.

Логическая функция может быть задана аналитическим (при помощи формул) или табличным способом.

Логическая функция, представленная с помощью инверсии, дизъюнкции и конъюнкции называется нормальной.

Всего существует 16 различных логических функций от двух переменных. Переменные образуют четыре пары значений: (1,1),(1,0),(0,0),(0,1), а количество функций, которые возможно описать равно 24=16.

Логические функции двух переменных

Рисунок 1. Логические функции двух переменных

Общепринятые названия функций F1F16

Функция F1=0 - функция генератора 0.

Функция F2=A&B - функция конъюнкции.

«Логические переменные и логические функции» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Найти

Функция F3=A&ˉB- функция запрета по логической переменной A.

Функция F4=A - функция повторения по логической переменной A.

Функция F5=ˉA&B - функция запрета по логической переменной B.

Функция F6=B - функция повторения по логической переменной B.

Функция F7=ˉA&BA&ˉB - функция исключающее «ИЛИ».

Функция F8=AB - функция дизъюнкции.

Функция F9=¯AB - функция Пирса.

Функция F10=A&BˉA&ˉB - функция эквивалентности.

Функция F11=ˉB - функция инверсии (отрицания) логической переменной B.

Функция F12=BA - функция импликации BA.

Функция F13=ˉA - функция инверсии (отрицания) логической переменной A.

Функция F14=AB - функция импликации AB.

Функция F15=A&B - функция Шеффера.

Функция F16=1 - функция генератора 1.

Среди перечисленных выше шестнадцати логических функций от двух переменных можно выделить такие логические функции, с помощью которых выражаются другие логические функции. Операция замены одной логической функции на другую в алгебре логики (булевой алгебре) называется операцией суперпозиции или метод суперпозиции.

Функцию Шеффера методом суперпозиции можно выразить при помощи функций отрицания и дизъюнкции, используя закон Де Моргана:

F15=¯A&B=ˉAˉB

Наиболее широко в качестве базовых функций используют три логических функции: конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание. В приведенном примере логическая функция Шеффера выражена через базовые функции и представлена в нормальной форме.

Каждой базовой функции соответствует техническое устройство, реализующее эту логическую функцию.

Соответствие базовой функции и технического устройства

Рисунок 2. Соответствие базовой функции и технического устройства

Наборы И-НЕ и ИЛИ-НЕ являются функционально полными или базисными наборами.

При помощи набора базовых функций и соответствующих им технических устройств, которые реализуют эти логические функции, создаются любые логические устройства или системы.

Логическое устройство имеет сколь угодное количество входов и только один выход (См. рис.3).

Схематичное представление логического устройства

Рисунок 3. Схематичное представление логического устройства

Отдельные логические устройства от x1xn переменных схематично представлены на рисунке 4.

Условное обозначение <a href=логических элементов на электрических схемах: И (а), ИЛИ (б), НЕ (в)">

Рисунок 4. Условное обозначение логических элементов на электрических схемах: И (а), ИЛИ (б), НЕ (в)

Приведем пример реализации функции при помощи инверсии и отрицания (в базисе И-НЕ).

Пример реализации функции $F = AB \vee  BC \vee AC$ в базисе И-НЕ

Рисунок 5. Пример реализации функции F=ABBCAC в базисе И-НЕ

Построим схему охранной сигнализации на простых логических элементах. Генератор Г вырабатывает сигнал сирены, подавая его на усилительный каскад через логический элемент «И» на микросхеме DD2. Если замкнуты ключи S1S4, то на входы элемента DD1 подается «0» - на нижний вход элемента «И» DD2 тоже «0», на затворе транзистора VT будет тоже «0». Если хотя бы один из ключей разомкнут, то на вход элемента DD1 через резистор Ri поступит напряжение или «1», что даст возможность сигналу с генератора Г попасть на затвор транзистора, к которому подключен динамик.

Пример схемы охранной сигнализации

Рисунок 6. Пример схемы охранной сигнализации

Дата написания статьи: 28.03.2016
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Крупнейшая русскоязычная библиотека студенческих решенных задач
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Логические переменные и логические функции"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant