Логические переменные изучают в разделе математики, называемым алгеброй логики или алгеброй высказываний, или булевой алгеброй. В алгебре логики любое составное высказывание рассматривается как логическая функция F(A,B,C,…), аргументы которой - логические переменные A, B, C… (где A, B, C -- являются простыми высказываниями). Логические функции F(A,B,C,…) и логические переменные (A, B, C - аргументы) могут принимать только два значения: «истина» (1) или «ложь» (0). Логическую функцию часто называют предикатом.
Логической (булевой) функцией называют функцию F(X1,X2,...,Xn), аргументы которой X1,X2,...,Xn (независимые переменные) и сама функция (зависимая переменная) принимают значения 0 или 1.
Таблицу, показывающую, какие значения принимает логическая функция при всех сочетаниях значений ее аргументов, называют таблицей истинности логической функции.
Таблица истинности логической функции от n аргументов содержит 2n строк, n столбцов значений аргументов и 1 столбец значений функции.
Логическая функция может быть задана аналитическим (при помощи формул) или табличным способом.
Логическая функция, представленная с помощью инверсии, дизъюнкции и конъюнкции называется нормальной.
Всего существует 16 различных логических функций от двух переменных. Переменные образуют четыре пары значений: (1,1),(1,0),(0,0),(0,1), а количество функций, которые возможно описать равно 24=16.
Рисунок 1. Логические функции двух переменных
Общепринятые названия функций F1…F16
Функция F1=0 - функция генератора 0.
Функция F2=A&B - функция конъюнкции.
Функция F3=A&ˉB- функция запрета по логической переменной A.
Функция F4=A - функция повторения по логической переменной A.
Функция F5=ˉA&B - функция запрета по логической переменной B.
Функция F6=B - функция повторения по логической переменной B.
Функция F7=ˉA&B∨A&ˉB - функция исключающее «ИЛИ».
Функция F8=A∨B - функция дизъюнкции.
Функция F9=¯A∨B - функция Пирса.
Функция F10=A&BˉA&ˉB - функция эквивалентности.
Функция F11=ˉB - функция инверсии (отрицания) логической переменной B.
Функция F12=B→A - функция импликации B→A.
Функция F13=ˉA - функция инверсии (отрицания) логической переменной A.
Функция F14=A→B - функция импликации A→B.
Функция F15=A&B - функция Шеффера.
Функция F16=1 - функция генератора 1.
Среди перечисленных выше шестнадцати логических функций от двух переменных можно выделить такие логические функции, с помощью которых выражаются другие логические функции. Операция замены одной логической функции на другую в алгебре логики (булевой алгебре) называется операцией суперпозиции или метод суперпозиции.
Функцию Шеффера методом суперпозиции можно выразить при помощи функций отрицания и дизъюнкции, используя закон Де Моргана:
F15=¯A&B=ˉA∨ˉB
Наиболее широко в качестве базовых функций используют три логических функции: конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание. В приведенном примере логическая функция Шеффера выражена через базовые функции и представлена в нормальной форме.
Каждой базовой функции соответствует техническое устройство, реализующее эту логическую функцию.
Рисунок 2. Соответствие базовой функции и технического устройства
Наборы И-НЕ и ИЛИ-НЕ являются функционально полными или базисными наборами.
При помощи набора базовых функций и соответствующих им технических устройств, которые реализуют эти логические функции, создаются любые логические устройства или системы.
Логическое устройство имеет сколь угодное количество входов и только один выход (См. рис.3).
Рисунок 3. Схематичное представление логического устройства
Отдельные логические устройства от x1…xn переменных схематично представлены на рисунке 4.
логических элементов на электрических схемах: И (а), ИЛИ (б), НЕ (в)">
Рисунок 4. Условное обозначение логических элементов на электрических схемах: И (а), ИЛИ (б), НЕ (в)
Приведем пример реализации функции при помощи инверсии и отрицания (в базисе И-НЕ).
Рисунок 5. Пример реализации функции F=AB∨BC∨AC в базисе И-НЕ
Построим схему охранной сигнализации на простых логических элементах. Генератор Г вырабатывает сигнал сирены, подавая его на усилительный каскад через логический элемент «И» на микросхеме DD2. Если замкнуты ключи S1−S4, то на входы элемента DD1 подается «0» - на нижний вход элемента «И» DD2 тоже «0», на затворе транзистора VT будет тоже «0». Если хотя бы один из ключей разомкнут, то на вход элемента DD1 через резистор Ri поступит напряжение или «1», что даст возможность сигналу с генератора Г попасть на затвор транзистора, к которому подключен динамик.
Рисунок 6. Пример схемы охранной сигнализации