Основные определения и теоремы
Расстояние — это мера, характеризующая удалённость нескольких объектов друг относительно друга. Термин “расстояние” применим как в пространстве, так и на плоскости.
Рассмотрим небольшую иллюстрацию.
Рисунок 1.
Мы видим на рисунке 2 точки. Необходимо найти расстояние между ними.
Для выполнения данной задачи необходимо использовать любой измерительный инструмент, например, линейку.
Рисунок 2.
Необходимо приложить его начало к одной из точек, а конец к другой, и списать полученное с линейки число.
Также для измерения можно использовать, например, циркуль. С помощью него можно даже измерять толщину складок жира, прикладывая циркуль после снятия замера к линейке.
Очень часто для обозначения расстояния используют греческую букву $ρ$.
Перейдём к рассмотрению частного случая: поиску расстояния между точкой и прямой.
Расстояние между точкой и прямой
Рассматривая прямую и точку, не возлежащую на ней, следует помнить, что они всегда образуют плоскость по одной из основных аксиом объёмной геометрии, поэтому рассматривать эту задачу можно как одну из планиметрических.
Рисунок 3. Точка и не проходящая через неё прямая — служат характеристиками плоскости
Теорему, об образовании одной-единственной плоскости точкой и прямой можно вывести из аксиомы, в которой говорится, что три точки описывают плоскость.
Дело в том, что на любой прямой всегда можно отметить 2 произвольные несовпадающие точки, а некая третья точка у нас уже дана. Вот и всё доказательство теоремы.
Расстояние между точкой и прямой — это перпендикуляр, который опускают с этой прямой в рассматриваемую точку.
Рассмотрим, что же такое расстояние от точки до прямой на примере задачи ниже.
Расстояние от точки до прямой на плоскости
Рисунок 4. Найти расстояние от точки до прямой
Найдите расстояние от $l$ до $X$.
Опустим из точки $X$ перпендикуляр на прямую $l$. Также на прямой отметим любую точку, не совпадающую с точкой пересечения перпендикуляра из точки $X$ с прямой $l$, назовём её $Z$.
У нас получился прямоугольный треугольник $XYZ$.
Гипотенуза в этом треугольнике, как мы знаем, лежит напротив прямого угла, причём гипотенуза является самой длинной стороной, значит, кратчайшим путём между точкой и прямой будет $YX$, являющийся перпендикуляром.
Причём длина $XY$ всегда будет меньше длины $XZ$ вне зависимости от того, где именно на прямой поставить точку $Z$.
Одной из наиболее частых задач по данной теме на плоскости и в пространстве является определение расстояния от прямой до точки по координатам точки и уравнению прямой.
На практике обычно не очень удобно заниматься таким построением в масштабе 1:1, поэтому обычно поиск кратчайшей длины между точкой и прямой осуществляется аналитически.
Рассмотрим решение такой задачи на плоскости.
Дано уравнение некой прямой $m$: $y= 3x + 2$ и точка $M$, не возлежащая на ней, её икс и игрек $(2;0)$.
Определить расстояние между точкой и прямой.
Опускаем перпендикуляр из точки $M$ на прямую $m$.
Теперь, для того чтобы высчитать его длину, нужно найти координаты пересечения перпендикуляра, опущенного из точки $M$ с прямой $m$. Назовём точку их пересечения $D$.
Для того чтобы найти точку пересечения перпендикуляра, опущенного из нашей точки на прямую $m$, необходимо сначала получить уравнение этого перпендикуляра.
Для этого перепишем уравнение прямой $m$ в общем виде: $3x-y+2=0$.
При записи в такой форме не трудно увидеть, что нормальный вектор этой прямой имеет координаты $(3;-1)$.
Нормальный вектор для этой прямой является направляющим для перпендикуляра.
Также нам известно, что этот перпендикуляр проходит через точку $M$ с координатами $(2;0)$.
Следовательно, мы можем записать его уравнение:
$\frac{x-2}{3} = \frac{-y}{1}$
Для того чтобы найти координаты точки пересечения перпендикуляра $MD$ с прямой $m$, необходимо решить систему уравнений:
$\begin{cases} \frac{x-2}{3} = \frac{-y}{1} \\ 3x-y+2=0 \\ \end{cases}$
Для этого выражаем $y$ из второго уравнения:
$\begin{cases} \frac{x-2}{3} = \frac{-y}{1} \\ y= 3x+2 \\ \end{cases}$
И затем подставляем его в первое:
$\frac{x-2}{3} = -3x-2$
Избавляемся от знаменателя, умножив всё на $3$:
$x – 2 + 9x + 6 = 0$
$10x + 4 = 0$
$10x = -4$
$x = -0,4$
Подставляем полученный икс во второе уравнение:
$y= (-0,4 \cdot 3) + 2$
$y = 0,8$
То есть точка пересечения перпендикуляра с прямой $m$ имеет координаты $(-0,4;0,8)$.
Теперь найдём длину $MD$:
$MD = \sqrt{(-0,4)^2 + 0,8^2} = \sqrt{0,8} ≈ 0.89$
Ответ: расстояние между точкой и прямой равно $0,89$.
Расстояние от точки до прямой в пространстве
При определении расстояния от точки до прямой в пространстве можно воспользоваться следующей формулой:
$ρ = \frac{\sqrt{\begin{array}{|cc|} y_1 – y_0 & z_1 - z_0\\ m_1 & n_1 \\ \end{array}^2 + \begin{array}{|cc|} x_1 – x_0 & z_1 - z_0\\ l_1 & n_1 \\ \end{array}^2 + \begin{array}{|cc|} x_1 – x_0 & y_1 – y_0\\ l_1 & m_1 \\ \end{array}^2}}{\sqrt{l_1^2 + m_1^2 + n_1^2}}$
В этой формуле $x_0, y_0, z_0$ - координаты точки, $x_1, y_1, z_1$ - координаты нормального вектора заданной прямой, а $l_1, m_1, n_1$ — координаты направляющего вектора прямой.
Эта формула также выведена из построений, аналогичных построением при решении подобной задачи на плоскости, но выглядит она более тяжеловесно.
Однако, этого не стоит пугаться, так как довольно удобно пользоваться.
Но, возможно, что новичкам перед её использованием придётся ознакомиться с тем, как высчитывать определитель матрицы.
Рассмотрим задачу с использованием этой формулы.
Дана прямая $w$ $\frac{x-5}{1}=\frac{y+1}{2} =\frac{z-4}{4}$ и точка $K$ c координатами $(1;2;3)$.
Найдите расстояние от $w$ до $K$ в пространстве.
Направляющий вектор для заданной прямой имеет координаты ${1;2;4}$, а нормальный вектор — ${5;-1;4}$.
Подставим все эти числа в формулу для нахождения расстояния:
$ρ = \frac{\sqrt{\begin{array}{|cc|} -1 - 2 & 4 - 3\\ 2 & 4 \\ \end{array}^2 + \begin{array}{|cc|} 5 – 1 & 4-3\\ 1 & 4 \\ \end{array}^2 + \begin{array}{|cc|} 5 – 1 & -1 – 2\\ 1 & 2 \\ \end{array}^2}}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 4^2}} = \frac{\sqrt{\begin{array}{|cc|} -3 & 1\\ 2 & 4 \\ \end{array}^2 + \begin{array}{|cc|} 4 & 1\\ 1 & 4 \\ \end{array}^2 + \begin{array}{|cc|} 4 & -3\\ 1 & 2 \\ \end{array}^2}}{\sqrt{21}} = \frac{\sqrt{(-12-2)^2 + (16-1)^2 + (8+3)^2}}{\sqrt{21}} = \frac{\sqrt{542}}{\sqrt{21}} ≈ 5,080$
Расстояние между прямой и точкой в данном случае составит $5,080$.
