Используя формулу Планка для спектральной плотности энергии ($w_{\nu }$), которая имеет вид:
где $\beta =\frac{1}{kT}$, k -- постоянная Больцмана, $\hbar =1,05{\cdot 10}^{-34}Дж\cdot с,$ с=$3{\cdot 10}^8\frac{м}{с}\cdot $- скорость света в вакууме можно рассчитать полную плотность энергии излучения (w), если взять интеграл от плотности энергии ${(w}_{\nu })$ по всем частотам излучения ($0 \[w=\int\limits^{\infty }_0{w_{\nu }}d\nu =\frac{\hbar }{{\pi }^2c^3}\int\limits^{\infty }_0{\frac{{\nu }^3d\nu }{{exp \left(\frac{\hbar \nu }{kT}\right)\ }-1}}=\frac{\hbar }{{\pi }^2c^3}{\left(\frac{kT}{\hbar }\right)}^4\int\limits^{\infty }_0{\frac{{\xi }^3d\xi }{{exp \left(\xi \right)\ }-1}\ \left(2\right),}\]
где мы произвели замену переменных в подынтегральном выражении, а именно заменили:
Интеграл $\int\limits^{\infty }_0{\frac{{\xi }^3d\xi }{{exp \left(\xi \right)\ }-1}=\frac{{\pi }^4}{15},}$ подставим в выражение (2), получим:
где коэффициент, стоящий перед температурой в четвертой степени ($T^4$) можно вычислить:
Интегральная энергетическая светимость
Гораздо чаще вместо полной плотности энергии равновесного излучения пользуются понятием интегральной энергетической светимости абсолютно черного тела (интегральной излучательной способности абсолютно черного тела) (${\varepsilon }_T$). Интегральная энергетическая светимость характеризует плотность потока излучения с поверхности по всем направлениям (пространственный угол $2\pi $). Объемная плотность энергии абсолютно черного тела или полная плотность энергии равновесного излучения одинакова во всех точках и зависит только от температуры. С плотностью интегральная излучательная способность абсолютно черного тела связана формулой:
Следовательно, из формул (4) и (5), получаем:
где $ \sigma =\frac{c\cdot a}{4}=7,6•{10}^{-16}\frac{3•{10}^8}{4}=5,7{\cdot 10}^{-8}(Вт\cdot м^{-2}\cdot К^{-4})$- постоянная Стефана -- Больцмана. Более точное значение постоянной равно $\sigma =5,67{\cdot 10}^{-8}Вт\cdot м^{-2}\cdot К^{-4}$. А уравнение (6) называется уравнением Стефана -- Больцмана.
Закон Стефана - Больцмана для серого тела
Для серого тела закон Стефана -- Больцмана можно записать следующим образом:
\[{\varepsilon }_s=\alpha \sigma T^4\left(7\right),\]где ${\varepsilon }_s$ -- энергетическая светимость серого тела, $\alpha $- коэффициент теплового излучения (степень черноты) серого тела.
Давление, которое производит черное излучение на стенки полости, выразится следующим образом:
\[p=\frac{w}{3}=\frac{4}{3c}\sigma T^4\left(8\right).\]Спектральная плотность объемной плотности энергии поля черного тела излучения имеет вид:
\[w_{\nu }=\frac{dw}{d\nu }=\frac{4}{c}{\varepsilon }_{\nu ,T\ }\left(9\right),\]где $dw$- объемная плотность энергии поля излучения в интервале частот от $\nu \ до\ \nu +d\nu $, ${\varepsilon }_{\nu ,T\ }$-- излучательная способность абсолютно черного тела.
Задание: Поток энергии, который излучается из смотрового окошка плавильной печи, равен Ф. Найдите температуру в печи, если площадь отверстия S.
Решение:
Будем считать, что плавильная печь является эквивалентной модели абсолютно черного тела.
За основу решения задачи примем формулу, которая определяет поток энергии через отверстие печи:
\[Ф={\varepsilon }_{T\ }S\left(1.1\right),\]где ${\varepsilon }_{T\ }$- излучательная способность абсолютно черного тела, и она может быть найдена по закону Стефана -- Больцмана:
\[{\varepsilon }_{T\ }=\sigma T^4\ \left(1.2\right),\]где $\sigma$- постоянная Стефана - Больцмана.
Подставим (1.2) в (1.1), получим:
\[Ф=\sigma T^4S\to T^4=\frac{\sigma S}{Ф}\to T=\sqrt[4]{\frac{\sigma S}{Ф}}\left(1.3\right),\]Ответ: Температура в плавильной печи может быть рассчитана по формуле: $T=\sqrt[4]{\frac{\sigma S}{Ф}}.$
Задание: Во сколько раз необходимо увеличить термодинамическую температуру абсолютно черного тела, чтобы его энергетическая светимость возросла в n раз?
Решение:
За основу решение примем закон Стефана -- Больцмана:
\[{\varepsilon }_{T\ }=\sigma T^4\ \left(2.1\right).\]Запишем его дважды для состояния (1) с температурой $T_1$ и энергетической светимостью ${\varepsilon }_{T\ 1}$, получим выражение:
\[{\varepsilon }_{T1\ }=\sigma {T_1}^4\ \left(2.2\right).\]Для состояния (2) с температурой $T_2$ и энергетической светимостью ${\varepsilon }_{T\ 2}$, получим выражение:
\[{\varepsilon }_{T2\ }=\sigma {T_2}^4\ \left(2.3\right).\]Найдем отношение выражений (2.3) и (2.2), учитывая, что по условию задачи $\frac{{\varepsilon }_{T2\ }}{{\varepsilon }_{T1\ }}=n$, получим:
\[\frac{{\varepsilon }_{T2\ }}{{\varepsilon }_{T1\ }}=\frac{\sigma {T_2}^4}{\sigma {T_1}^4}=\frac{{T_2}^4}{{T_1}^4}=n\ \left(2.4\right).\]Из (2.4) следует, что
\[\frac{T_2}{T_1}=\sqrt[4]{n}\ \left(2.5\right).\]Ответ: Полученное равенство (2.5) означает, что термодинамическую температуру абсолютно черного тела необходимо увеличить в $\sqrt[4]{n}$ раз, чтобы его энергетическая светимость возросла в n раз.
Задание: Энергетическая светимость серого тела при температуре T равна ${\varepsilon }_s$. Определите коэффициент теплового излучения данного тела.
Решение:
В качестве основы для решения примем закон Стефана -- Больцмана для серого тела:
\[{\varepsilon }_s=\alpha \sigma T^4\left(3.1\right).\]Из этого закона выразим коэффициент $\alpha ,$ так как именно он является коэффициент теплового излучения тела в условиях задачи:
\[\alpha =\frac{е_s}{\sigma T^4}.\]Ответ: Коэффициент теплового излучения тела равен $\alpha =\frac{{\varepsilon }_s}{\sigma T^4}.$
