Допустим, что неподвижный проволочный контур с индукционным током находится в переменном магнитном поле. Наличие индукционного тока будет свидетельствовать о том, что изменения магнитного поля вызывают возникновение сторонних сил, которые действуют на носители тока. Эти сторонние силы не являются магнитными (магнитные силы не совершают работы над зарядами), не имеют отношения к химическим и тепловым процессам. Следовательно, индукционный ток вызван в появившимся проводнике электрическим полем. Пусть напряженность этого нового поля равна $\overrightarrow{E_B}.$ ЭДС индукции (${{\mathcal E}}_i$) при этом равна циркуляции вектора $\overrightarrow{E_B}$ по нашему контуру ($L$):
С другой стороны, мы можем записать ${{\mathcal E}}_i$ как:
Приравняем правые части выражений (1) и (2), получим:
где магнитный поток определим как:
Подставим вместо Ф правую часть выражения (4) в уравнение (3), следовательно:
где интеграл в правой части равенства берется по произвольной поверхности, которая опирается на контур. Так как мы условились, что контур и поверхность неподвижны, то операции дифференцирования по времени и интегрирования по поверхности можно поменять местами:
где в общем случае вектор индукции магнитного поля может зависеть и от времени, и от координат, под знаком интеграла мы используем частную производную по времени (интеграл $\int\limits_S{\overrightarrow{B}d\overrightarrow{S}}$ -- функция только от времени). Левую часть равенства (6) можно преобразовать по теореме Стокса, и результат будет:
Так как поверхность интегрирования выбиралась произвольно, то выполняется равенство:
Максвелл заключил, что переменное (во времени) магнитное поле вызывает возникновение в пространстве электрического поля, причем независимо от наличия в этом пространстве проводящего контура. Наличие контура всего лишь позволяет обнаружить электрическое поле по наличию в контуре индукционного тока.
Электрическое поле ($\overrightarrow{E_B}$), порождаемое переменным магнитным полем принципиально отличается от электростатического поля ($\overrightarrow{E_q}$), которое образуют неподвижные заряды. Электростатическое поле является потенциальным, линии напряженности этого поля начинаются и заканчиваются на зарядах. При этом в любой точке электростатического поля выполняется равенство:
что означает, что данное поле безвихревое. Для электрического поля, которое породило переменное магнитное поле, мы получили, что $rot\overrightarrow{E_B}\ne 0$ (8). Это значит, что данное поле является вихревым. Линии напряженности поля $\overrightarrow{E_B}$ замкнуты.
В общем случае эклектическое поле ($\overrightarrow{E}$) создается зарядами и переменным магнитным полем:
В результате, если найти ротор от правой и левой части уравнения (10), получим одно из основных уравнений теории Максвелла:
Задание: Поясните, какова физическая природа сторонних сил, которые действуют на заряды в переменном магнитном поле и порождают ЭДС индукции в неподвижном проводнике?
Решение:
Эмпирическим путем доказано, что ЭДС индукции никак не зависит от рода вещества проводника. Проводник может быть однородным и неоднородным, проводником первого рода или электролитом. ЭДС не зависит от состояния проводника, его температуры, распределения температуры. Все это доказывает, что сторонние силы не связаны с изменением свойств проводника в магнитном поле, а объясняются самим магнитным полем.
Причина возникновения ЭДС индукции заключается в появлении электрического поля, при этом проводники играют роль детекторов поля. Под воздействием поля электроны проводимости в проводнике начинают двигаться, если проводник замкнут, то по ней идет индукционный ток.
Надо отметить, что сторонние силы не связаны с химическими и тепловыми процессами в проводнике, эти силы - немагнитного происхождения. Индукционный ток вызывается электрическим полем, которое порождает переменное магнитное поле.
Задание: Объясните принцип работы бетатрона.
Решение:
Бетатрон -- ускоритель электронов. Направление силовых линий вихревого электрического поля совпадает с направлением индукционного тока. Сила, с которой вихревое электрическое поле действует на заряженную частицу (в нашем случае на электрон) как и в электростатическом поле, может быть вычислена, если использовать принцип суперпозиции и выражение для элемента силы:
\[d\overrightarrow{F}=q_ed\overrightarrow{E}\left(2.1\right).\]Но в вихревом электрическом поле работа поля при перемещении электрона по замкнутой траектории не равна нулю. Так как при движении по замкнутой линии напряженности электрического поля (рис.1) работа на всех участках пути имеет один знак, так как сила и перемещение сонаправлены. (Работа вихревого электрического поля по перемещению единичного положительного заряда по замкнутой траектории есть ЭДС индукции в неподвижном проводнике).
Рисунок 1.
В бетатроне магнитное поле мощного электромагнита изменяется с высокой частотой, таким образом, создаются сильные вихревые электрические поля, которые совершают работу над электронами. Электроны ускоряются до скорости, близкой к скорости света в кольцевой вакуумной камере.
