Введение тока смещения позволило Дж. Максвеллу создать теорию, которая объяснила все известные на тот момент явления из области электромагнетизма и позволила выдвинуть ряд новых гипотез, которые позднее были подтверждены.
В основу данной теории легли уравнения Максвелла, которые в электромагнетизме играют такую же роль, как начала в термодинамике или законы Ньютона в классической механике.
Уравнения Максвелла в дифференциальной форме.
В настоящей интерпретации система уравнений Максвелла имеет четыре структурных векторных уравнения:
Первое уравнение устанавливает связь между полным током (суммой тока проводимости и током смещения) и магнитным полем, которое они вызывают.
Второе уравнение является выражением закона электромагнитной индукции в интерпретации Максвелла (переменное магнитное поле - один из источников возникновения электрического поля).
Третье уравнение - указывает на факт отсутствия магнитных зарядов.
Четвертое уравнение говорит о том, что источниками электрического поля являются электрические заряды.
Уравнения (1) - (4) являются уравнениями Максвелла в дифференциальной форме. Каждое из векторных уравнений эквивалентно трем скалярным уравнениям, которые связывают компоненты векторов в правых и левых частях выражений.
Для того, чтобы применять систему уравнений Максвелла для расчета конкретных полей, уравнения данной системы дополняются материальными уравнениями, которые связывают векторы $\overrightarrow{D}\ и\ \overrightarrow{j}$ c вектором $\overrightarrow{E}$, а вектор $\overrightarrow{H}$ c вектором $\overrightarrow{B}$. Эти равнения имеют вид:
где величины $\varepsilon $,$\ \mu $, $\sigma $ -- материальные постоянные, характеризующие свойства среды.
Если уравнения (1) - (4) являются фундаментальными, то относительно уравнений (5) надо отметить, что они выполняются совсем не всегда. Так, если речь идет о нелинейных явлениях, получение материальных уравнений составляет отдельную научную задачу.
Уравнения Максвелла в интегральной форме
Систему структурных уравнений Максвелла можно представить в интегральной форме. Так, если проинтегрировать уравнение (1) по произвольной поверхности $S$:
По теореме Стокса левая часть выражения (6) преобразуется к виду:
где интеграл в правой части берется по контуру $L$, который ограничивает поверхность $S$. Если считать, что контур и поверхность неподвижны, то операции дифференцирования по времени и интегрирования по поверхности можно поменять местами в выражении (6) левой части, получим:
здесь интеграл $\int\limits_S{\overrightarrow{D}d\overrightarrow{S}}$ является функцией только от времени, поэтому можно заменить частную производную обычной. Интегрируя уравнение (2) подобным образом, получим второе уравнение системы Максвелла:
Если проинтегрировать уравнение (3) по объему $V$, и использовать для преобразования левой части теорему Остроградского - Гаусса в интеграл по замкнутой поверхности $S$, которая ограничивает объем $V$, то получим:
Аналогичную процедуру проводят с уравнением (4). Получается:
Так получают систему уравнений Максвелла в интегральной форме:
Уравнения Максвелла применимы к поверхностям любого размера. Эти уравнения описывают электрические и магнитные поля в покоящихся средах.
Задание: Ток, текущий по обмотке прямого соленоида, который имеет радиус $R$, изменяется так, что модуль индуктивности магнитного поля внутри соленоида растет в соответствии с законом: $B=Ct^2,\ $где $C=const.$ Запишите функцию тока смещения $j_{sm}\left(r\right),$ где $r$ -- расстояние от оси соленоида.
Решение:
По определению, плотность тока смещения можно записать как:
\[j_{sm}=\frac{\partial D}{\partial t}\left(1.1\right).\]Используя одно из уравнений системы Максвелла:
\[\int\limits_S{\overrightarrow{E}d\overrightarrow{l}}=-\int\limits_S{\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}d\overrightarrow{S}}\ (1.2),\]найдем напряженность электрического поля, которое порождается переменным магнитным полем, а зная связь напряжённости электрического поля и электрического смещения:
\[\overrightarrow{D}=\varepsilon {\varepsilon }_0\overrightarrow{E}(1.3)\]получим функцию $D(r)$.
Итак, используя уравнение изменения индукции магнитного поля из условий задачи, найдем частную производную $\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}:$
\[\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}=2Ct\left(1.4\right).\]Для $r \[2\pi rE=-\pi r^22Ct\to E=-rCt\to D=-C\varepsilon {\varepsilon }_0rt\to j_{sm}=-C\varepsilon {\varepsilon }_0r.\]
Для $r>R$, из (1.2) - (1.4) получим:
\[2\pi rE=-\pi R^22Ct,\ E=-C\frac{R^2t}{r}\to j_{sm}=-C\varepsilon {\varepsilon }_0\frac{R^2}{r}.\]Для $r=R$, из (1.2) - (1.4) найдем ток смещения:
\[E=-RCt\to D=-C\varepsilon {\varepsilon }_0Rt\to j_{sm}=-C\varepsilon {\varepsilon }_0R.\]Ответ: $j_{sm}=-C\varepsilon {\varepsilon }_0r\ \left(rR\right),\ j_{sm}=-C\varepsilon {\varepsilon }_0R\ \left(r=R\right).$
Задание: Запишите систему уравнений Максвелла для стационарных полей ($\overrightarrow{E}=const,\overrightarrow{H}=const\ $) в интегральной форме.
Решение:
В том случае, если поля стационарны, система уравнений максвелла распадается на две группы независимых уравнений. Первую группу составляют уравнения электростатики:
\[\int\limits_S{\overrightarrow{E}d\overrightarrow{l}}=0\ \ и\] \[\oint\limits_S{\overrightarrow{D}d\overrightarrow{S}=\int\limits_V{\rho }dV.}\]Вторая группа - уравнения магнитостатики:
\[\int\limits_L{\overrightarrow{H}d\overrightarrow{l}}=\int\limits_S{\overrightarrow{j}d\overrightarrow{S}}\ и\] \[\oint\limits_S{\overrightarrow{B}d\overrightarrow{S}=0}.\]
