Почему система уравнений Максвелла требует дополнения законом сохранения энергии?
Система уравнений Максвелла получает определенное физическое содержание только тогда, когда имеется указание в каких явлениях можно наблюдать и эмпирически исследовать электромагнитное поле. Дело в том, что человек не может непосредственно воспринимать это поле (исключение составляют световые волны). Мы можем определить, течет ли ток в проводнике лишь по тепловым эффектам (нагрев проводника) или механическим проявлениям (отклонение стрелки амперметра). То есть мы можем заключить о наличии электромагнитного поля только по появлению, при определенных условиях, доступных форм энергии, доступных нашему восприятию. Ориентируясь на принцип сохранения энергии, можно сделать вывод о том, что возникновение или исчезновение известных нам форм энергии может происходить за счет преобразования некоторой иной формы энергии, которую называют энергией электромагнитного поля (W).
Итак, получается, что введение энергии электромагнитного поля в виде:
в теорию Максвелла система соответствующих уравнений станет доступной к проверке экспериментально. Это происходит потому, что уравнения максвелловской системы определяют, каким образом изменяется электромагнитное поле со временем, а уравнение (1) дает возможность выяснить, в каких преобразованиях эти изменения выявляются.
Энергия электромагнитного поля
Найдем энергию (△W), которую переносит электромагнитная волна через произвольную площадку S (рис.1), которая находится в поле волны за небольшой промежуток времени △t. Выстроим параллелепипед на основании площадки S, причем ребра параллелепипеда сделаем параллельными скорости распространения волны (→v) и равными v△t. В таком случае объем данного параллелепипеда равен:
где α - угол между нормалью →n к площадке S и направлением вектора скорости (рис.1).
Рисунок 1.
В том случае, если обозначить через u энергию единицы объема поля (объемную плотность энергии), то получим:
При этом объемна плотность энергии электромагнитной волны - есть сумма энергии электрического поля и энергии магнитного поля:
Так как напряженности в электромагнитной волне связаны выражением:
следовательно, можно записать, что:
Учтем, что:
тогда выражение (3) можно переписать в виде:
Получаем, что энергия, проходящая через площадку S в единицу времени может быть представлена как:
где Pn- проекция вектора Умова - Пойнтинга на направление нормали.
Закон сохранения энергии
Пусть вещество, в котором существует электромагнитное поле неподвижно. При изменении электромагнитного поля и течении тока в единице объема совершается элементарная работа (δAvnesh), равная:
Выражение (10) рассматривается как постулат макроскопической теории электричества.
Работа δAvnesh расходуется на изменение внутренней энергии, минус теплота, которая уходит из единицы объема в результате теплопроводности (в принципе, можно допустить, что она равна нулю). Если в данном случае, под u понимать плотность всей внутренней энергии, а не только ее электромагнитной части, то:
выражение (11) - закон сохранения энергии в электродинамики (теорема Умова - Пойнтинга). В интегральном виде закон сохранения энергии в электродинамике имеет вид:
где V - произвольный объем, который ограничен замкнутой поверхностью S.
Задание: Вдоль цилиндрического провода радиусом r течет постоянный ток силы I. Покажите, что электромагнитная энергия, которая будет связана с проводником с током, будет выделяться на данном проводнике как тепло Джоуля.
Решение:
Магнитное поля провода с током (H) обвивается вокруг провода на поверхности проводника оно равно:
H=I2πr=jπr22πr=12jr(1.1).Электрическое поле (→E) параллельно оси провода. Вектор Умова - Пойнтинга (→P) направлен внутрь провода перпендикулярно его боковой поверхности. Получается, что электромагнитная энергия втекает внутрь провода извне. Если длина провода равна l, то количество электромагнитной энергии (△W), которая за 1с поступает в провод равна:
△W=P⋅2πrl=EH⋅2πrl=E12jr⋅2πrl=πr2lEj=VEj(1.2),где V=πr2l -- объем провода. В формуле (1.2) мы получили количество теплоты, которая выделяется при прохождении по проводнику электрического тока.
Ответ: Электромагнитная энергия поступает из окружающего пространства внутрь провода, затем выделяется как джоулево тепло.
Задание: Если u - внутренняя энергия единицы объема среды, то δAvnesh=du, или:
∂u∂t=→E˙→D+→H˙→B+→j→E(2.1),покажите, что из уравнения (2.1) следует закон сохранения энергии для электромагнитного поля в дифференциальном виде.
Решение:
Для того чтобы преобразовать уравнение (2.1), используем уравнения Максвелла:
rot→H=→j+∂→D∂t (2.2),Правую часть уравнения (2.1) преобразуем к выражению:
→E˙→D+→H˙→B+→j→E=→E(˙→D+→j)+→H˙→B=→Erot→H−→Hrot→E (2.4).Используем тождество:
div[→E→H]=−→Erot→H+→Hrot→E (2.5).Тогда выражение (2.4) предстанет в виде:
→E˙→D+→H˙→B+→j→E=−div[→E→H](2.6).Значит, выражение (2.1) получит вид:
∂u∂t+div[→E→H]=0 (2.7),где [→E→H]=→P− вектор Умова -- Пойнтинга.
Уравнение (2.7), есть закон сохранения энергии электромагнитного поля в дифференциальном виде.
