Общая форма записи волнового процесса
Допустим, что физическая величина s распространяется в направлении X со скоростью v. Данная величина (s) может быть смещением, скоростью кусочков резинового шнура, когда в шнуре проходит механическая волна. Если мы имеем дело с электромагнитной волной, то под s можно понимать напряженность электрического поля или индукцию магнитного поля и т.д. Общая форма записи волнового процесса представляется как:
s=f(t−xv)(1),где t -- время, x -- координата точки, которую рассматривают, f - символ функции.
Любая произвольная функция, имеющая исключительно аргумент (t−xv), отражает волновой процесс.
Положим, что наблюдатель перемещается по осиX со скоростью v. Его координата может быть определена как:
Подставим правую часть выражения (2) в формулу (1) вместо переменной x, получим:
Из выражения (3) следует, что функция f(−x0v) не зависит от времени, что означает s распространяется со скоростью v.
Аналогично можно получить, что если процесс записан как:
то s распространяется против избранной осиX. Если положить, что t=0, то из выражений (1) и (4) имеем:
Выражение (5) определяет распределение s в начальный момент времени. В том случае, если s напряженность магнитного поля в электромагнитной волне, то формула (5) - задает распределение магнитного поля в пространстве при t=0. Получается, что вид функции f зависит от начальных условий процесса.
Итак, выражения (1) и (4) являются общим выражением для волны, которая распространяется вдоль осиX.
Волновое уравнение
Функция s удовлетворяет простому дифференциальному уравнению. Для его нахождения продифференцируем выражения (1) и (4), объединив их, используя знак ∓, дважды по координате x:
∂2s∂x2=1v2f″(6).Вторая частная производная по времени будет иметь вид:
∂2s∂t2=f″(7).Используя выражения (6) и (7) запишем:
∂2s∂t2=v2∂2s∂x2(8).Уравнение (8) называют волновым. В том случае, если волна распространяется не в одном, во всех направлениях пространства, то волновое уравнение примет вид:
∂2s∂t2=v2(∂2s∂x2+∂2s∂y2+∂2s∂z2)(9).В том случае, если физическая величина распространяется в виде волны, то она должна удовлетворять волновому уравнению. Справедливо обратное утверждение: Если какая - либо величина подчиняется волновому уравнению, то она распространяется как волна. Скорость распространения волны будет равна квадратному корню из коэффициента, который стоит при сумме пространственных производных.
Электромагнитные волны
Рассмотрим электромагнитное поле в однородном диэлектрике (jx=jy=jz=0). Причем будем считать задачу одномерной, то есть предположим, что векторы →E и →H зависят только от одной координаты x и времени t. Такая ситуация означает, что все пространство мы можем разделить на тонике слои (толщина слоя стремится к нулю), плоские слои, внутри них →E и →H принимают одно и тоже значение во всех точках. Данная задача соответствует плоской электромагнитной волне. Для описания электромагнитного поля используем систему уравнений Максвелла:
Для одномерного случая система уравнений Максвелла существенно упрощается, так как все производные по y и z равны нулю. Записав уравнение (10) в скалярном представлении:
Становится очевидным, что в однородной среде для одномерного случая:
Аналогично из уравнения (11) получаем, что:
Выражения (15) и (16) означают, что данные составляющие электромагнитного поля не зависят от времени. А из уравнений (12) и (13) следует, что Dxи Bx - не зависят от координаты. В результате мы имеем, что Dx=const, Bx=const.
Остальные уравнения из группы (14) примут вид:
От группы уравнений в скалярной форме, которые представляют выражение (11), остаются:
Уравнения (17) и (18) сгруппируем как две независимые части. Первая - связывающая y-составляющую электрического поля и z-составляющую магнитного поля:
Вторая часть связывает z-компоненту электрического поля и y-компоненту магнитного поля:
Получается, что переменное (во времени) электрическое поле (Dy) порождает одну z-составляющую магнитного поля (Hz), переменное магнитное поле Bz вызывает появление электрического поля направленного по осиY (Ey) (уравнения 19). То есть в электромагнитном поле электрическое и магнитные поля перпендикулярны друг другу. Аналогичный вывод можно сделать из пары (20).
Для одномерного случая систему уравнений Максвелла можно записать в виде:
Электрическое и магнитные поля могут существовать как волны, так как из уравнения Максвелла следует существование этих волн. Так как для напряженности электрического поля выполняется уравнение вида:
Следовательно, решение этого уравнения можно представить как:
Так как для напряженности магнитного поля выполняется уравнение вида:
следовательно, решение этого уравнения можно представить как:
Задание: Покажите, на примере одномерного случая электромагнитного поля, что из уравнений Максвелла следует волновой характер электромагнитного поля.
Решение:
В качестве основы для решения задачи используем уравнения Максвелла для одномерного случая:
∂D∂t=−∂H∂x, ∂B∂t=−∂E∂x(1.1).Исключим из уравнений (1.1) магнитное поле H. С этой целью умножим первое уравнение на μμ0 и возьмем частную производную по времени от обеих частей равенства и, используя выражение: D=ε0εE, заменим электрическую индукцию на напряженность соответствующего поля, получим:
μμ0ε0ε ∂2E∂t2=−μμ0∂2H∂x∂t(1.2).Второе уравнение в группе (1.1) продифференцируем по x, заменим индукцию магнитного поля на его напряженность, используя выражение: B=μμ0H, при этом имеем:
∂2E∂x2=−μμ0∂2H∂x∂t(1.3).Как мы видим, правые части выражений (1.2) и (1.3) одинаковы, следовательно, можно считать, что:
∂2E∂x2=μμ0ε0ε ∂2E∂t2→∂2E∂t2=1μμ0ε0ε∂2E∂x2(1.4).Аналогичное уравнение легко получить для напряженности магнитного поля, если исключить напряженность электрического поля. Уравнение (1.4) -- есть волновое уравнение.
Ответ: Волновое уравнение для напряженности электрической составляющей электромагнитного поля получено непосредственно из уравнений Максвелла для одномерной задачи.
Задание: Чему равна скорость (v) распространения электромагнитной волны?
Решение:
За основу решения примем волновое уравнение для напряженности электрического поля в плоской электромагнитной волне:
∂2E∂t2=1μμ0ε0ε∂2E∂x2(2.1).Скоростью распространения волны является корень квадратный из коэффициента, который находится перед ∂2E∂x2 в волновом уравнении, следовательно:
v=√1μμ0ε0ε=√1μ0ε0√1με=c√με,где c -- скорость распространения света в вакууме.
Ответ: v=c√με.