Общая форма записи волнового процесса
Допустим, что физическая величина $s$ распространяется в направлении $X$ со скоростью $v$. Данная величина ($s$) может быть смещением, скоростью кусочков резинового шнура, когда в шнуре проходит механическая волна. Если мы имеем дело с электромагнитной волной, то под $s$ можно понимать напряженность электрического поля или индукцию магнитного поля и т.д. Общая форма записи волнового процесса представляется как:
\[s=f\left(t-\frac{x}{v}\right)\left(1\right),\]где $t$ -- время, $x$ -- координата точки, которую рассматривают, $f$ - символ функции.
Любая произвольная функция, имеющая исключительно аргумент $\left(t-\frac{x}{v}\right)$, отражает волновой процесс.
Положим, что наблюдатель перемещается по $оси X$ со скоростью $v$. Его координата может быть определена как:
Подставим правую часть выражения (2) в формулу (1) вместо переменной $x$, получим:
Из выражения (3) следует, что функция $f\left(-\frac{x_0}{v}\right)$ не зависит от времени, что означает $s$ распространяется со скоростью $v$.
Аналогично можно получить, что если процесс записан как:
то $s$ распространяется против избранной $оси X$. Если положить, что $t=0$, то из выражений (1) и (4) имеем:
Выражение (5) определяет распределение $s$ в начальный момент времени. В том случае, если $s$ напряженность магнитного поля в электромагнитной волне, то формула (5) - задает распределение магнитного поля в пространстве при $t=0$. Получается, что вид функции $f$ зависит от начальных условий процесса.
Итак, выражения (1) и (4) являются общим выражением для волны, которая распространяется вдоль $оси X$.
Волновое уравнение
Функция $s$ удовлетворяет простому дифференциальному уравнению. Для его нахождения продифференцируем выражения (1) и (4), объединив их, используя знак $\mp $, дважды по координате $x$:
\[\frac{{\partial }^2s}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}f^{''}\left(6\right).\]Вторая частная производная по времени будет иметь вид:
\[\frac{{\partial }^2s}{\partial t^2}=f^{''}\left(7\right).\]Используя выражения (6) и (7) запишем:
\[\frac{{\partial }^2s}{\partial t^2}=v^2\frac{\partial^2s}{\partial x^2}\left(8\right).\]Уравнение (8) называют волновым. В том случае, если волна распространяется не в одном, во всех направлениях пространства, то волновое уравнение примет вид:
\[\frac{{\partial }^2s}{\partial t^2}=v^2\left(\frac{{\partial }^2s}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2s}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2s}{\partial z^2}\right)\left(9\right).\]В том случае, если физическая величина распространяется в виде волны, то она должна удовлетворять волновому уравнению. Справедливо обратное утверждение: Если какая - либо величина подчиняется волновому уравнению, то она распространяется как волна. Скорость распространения волны будет равна квадратному корню из коэффициента, который стоит при сумме пространственных производных.
Электромагнитные волны
Рассмотрим электромагнитное поле в однородном диэлектрике ($j_x=j_y=j_z=0$). Причем будем считать задачу одномерной, то есть предположим, что векторы $\overrightarrow{E}\ и\ \overrightarrow{H}$ зависят только от одной координаты $x$ и времени $t$. Такая ситуация означает, что все пространство мы можем разделить на тонике слои (толщина слоя стремится к нулю), плоские слои, внутри них $\overrightarrow{E}\ и\ \overrightarrow{H}$ принимают одно и тоже значение во всех точках. Данная задача соответствует плоской электромагнитной волне. Для описания электромагнитного поля используем систему уравнений Максвелла:
Для одномерного случая система уравнений Максвелла существенно упрощается, так как все производные по $y$ и $z$ равны нулю. Записав уравнение (10) в скалярном представлении:
Становится очевидным, что в однородной среде для одномерного случая:
Аналогично из уравнения (11) получаем, что:
Выражения (15) и (16) означают, что данные составляющие электромагнитного поля не зависят от времени. А из уравнений (12) и (13) следует, что $D_x$и $B_x$ - не зависят от координаты. В результате мы имеем, что $D_x=const,\ B_x=const$.
Остальные уравнения из группы (14) примут вид:
От группы уравнений в скалярной форме, которые представляют выражение (11), остаются:
Уравнения (17) и (18) сгруппируем как две независимые части. Первая - связывающая $y$-составляющую электрического поля и $z$-составляющую магнитного поля:
Вторая часть связывает $z$-компоненту электрического поля и $y$-компоненту магнитного поля:
Получается, что переменное (во времени) электрическое поле ($D_y$) порождает одну $z$-составляющую магнитного поля ($H_z$), переменное магнитное поле $B_z$ вызывает появление электрического поля направленного по $оси Y$ ($E_y$) (уравнения 19). То есть в электромагнитном поле электрическое и магнитные поля перпендикулярны друг другу. Аналогичный вывод можно сделать из пары (20).
Для одномерного случая систему уравнений Максвелла можно записать в виде:
Электрическое и магнитные поля могут существовать как волны, так как из уравнения Максвелла следует существование этих волн. Так как для напряженности электрического поля выполняется уравнение вида:
Следовательно, решение этого уравнения можно представить как:
Так как для напряженности магнитного поля выполняется уравнение вида:
следовательно, решение этого уравнения можно представить как:
Задание: Покажите, на примере одномерного случая электромагнитного поля, что из уравнений Максвелла следует волновой характер электромагнитного поля.
Решение:
В качестве основы для решения задачи используем уравнения Максвелла для одномерного случая:
\[\frac{\partial D}{\partial t}=-\frac{\partial H}{\partial x},\ \frac{\partial B}{\partial t}=-\frac{\partial E}{\partial x}\left(1.1\right).\]Исключим из уравнений (1.1) магнитное поле $H$. С этой целью умножим первое уравнение на $\mu {\mu }_0$ и возьмем частную производную по времени от обеих частей равенства и, используя выражение: $D=\varepsilon_0\varepsilon E$, заменим электрическую индукцию на напряженность соответствующего поля, получим:
\[{\mu {\mu }_0\varepsilon }_0\varepsilon \ \frac{{\partial }^2E}{\partial t^2}=-\mu {\mu }_0\frac{{\partial }^2H}{\partial x\partial t}\left(1.2\right).\]Второе уравнение в группе (1.1) продифференцируем по $x$, заменим индукцию магнитного поля на его напряженность, используя выражение: $B=\mu {\mu }_0H$, при этом имеем:
\[\frac{{\partial }^2E}{\partial x^2}=-\mu {\mu }_0\frac{{\partial }^2H}{\partial x\partial t}\left(1.3\right).\]Как мы видим, правые части выражений (1.2) и (1.3) одинаковы, следовательно, можно считать, что:
\[\frac{{\partial }^2E}{\partial x^2}={\mu {\mu }_0\varepsilon }_0\varepsilon \ \frac{{\partial }^2E}{\partial t^2}\to \frac{{\partial }^2E}{\partial t^2}=\frac{1}{{\mu {\mu }_0\varepsilon }_0\varepsilon }\frac{{\partial }^2E}{\partial x^2}\left(1.4\right).\]Аналогичное уравнение легко получить для напряженности магнитного поля, если исключить напряженность электрического поля. Уравнение (1.4) -- есть волновое уравнение.
Ответ: Волновое уравнение для напряженности электрической составляющей электромагнитного поля получено непосредственно из уравнений Максвелла для одномерной задачи.
Задание: Чему равна скорость ($v$) распространения электромагнитной волны?
Решение:
За основу решения примем волновое уравнение для напряженности электрического поля в плоской электромагнитной волне:
\[\frac{{\partial }^2E}{\partial t^2}=\frac{1}{{\mu {\mu }_0\varepsilon }_0\varepsilon }\frac{{\partial }^2E}{\partial x^2}\left(2.1\right).\]Скоростью распространения волны является корень квадратный из коэффициента, который находится перед $\frac{{\partial }^2E}{\partial x^2}$ в волновом уравнении, следовательно:
\[v=\sqrt{\frac{1}{{\mu \mu_0 \varepsilon}_0 \varepsilon}}=\sqrt{\frac{1}{{\mu_0 \varepsilon}_0}}\sqrt{\frac{1}{\mu \varepsilon}}=\frac{c}{\sqrt{\mu \varepsilon}},\]где $c$ -- скорость распространения света в вакууме.
Ответ: $v=\frac{c}{\sqrt{\mu \varepsilon}}.$
