Processing math: 100%
Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Волновое уравнение. Электромагнитные волны

Общая форма записи волнового процесса

Определение 1

Допустим, что физическая величина s распространяется в направлении X со скоростью v. Данная величина (s) может быть смещением, скоростью кусочков резинового шнура, когда в шнуре проходит механическая волна. Если мы имеем дело с электромагнитной волной, то под s можно понимать напряженность электрического поля или индукцию магнитного поля и т.д. Общая форма записи волнового процесса представляется как:

s=f(txv)(1),

где t -- время, x -- координата точки, которую рассматривают, f - символ функции.

Любая произвольная функция, имеющая исключительно аргумент (txv), отражает волновой процесс.

Положим, что наблюдатель перемещается по осиX со скоростью v. Его координата может быть определена как:

Подставим правую часть выражения (2) в формулу (1) вместо переменной x, получим:

Из выражения (3) следует, что функция f(x0v) не зависит от времени, что означает s распространяется со скоростью v.

Аналогично можно получить, что если процесс записан как:

то s распространяется против избранной осиX. Если положить, что t=0, то из выражений (1) и (4) имеем:

Выражение (5) определяет распределение s в начальный момент времени. В том случае, если s напряженность магнитного поля в электромагнитной волне, то формула (5) - задает распределение магнитного поля в пространстве при t=0. Получается, что вид функции f зависит от начальных условий процесса.

Итак, выражения (1) и (4) являются общим выражением для волны, которая распространяется вдоль осиX.

Волновое уравнение

Определение 2

Функция s удовлетворяет простому дифференциальному уравнению. Для его нахождения продифференцируем выражения (1) и (4), объединив их, используя знак , дважды по координате x:

2sx2=1v2f(6).

Вторая частная производная по времени будет иметь вид:

2st2=f(7).

Используя выражения (6) и (7) запишем:

2st2=v22sx2(8).

Уравнение (8) называют волновым. В том случае, если волна распространяется не в одном, во всех направлениях пространства, то волновое уравнение примет вид:

2st2=v2(2sx2+2sy2+2sz2)(9).
«Волновое уравнение. Электромагнитные волны» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Помощь с рефератом от нейросети
Написать ИИ
Замечание

В том случае, если физическая величина распространяется в виде волны, то она должна удовлетворять волновому уравнению. Справедливо обратное утверждение: Если какая - либо величина подчиняется волновому уравнению, то она распространяется как волна. Скорость распространения волны будет равна квадратному корню из коэффициента, который стоит при сумме пространственных производных.

Электромагнитные волны

Рассмотрим электромагнитное поле в однородном диэлектрике (jx=jy=jz=0). Причем будем считать задачу одномерной, то есть предположим, что векторы E и H зависят только от одной координаты x и времени t. Такая ситуация означает, что все пространство мы можем разделить на тонике слои (толщина слоя стремится к нулю), плоские слои, внутри них E и H принимают одно и тоже значение во всех точках. Данная задача соответствует плоской электромагнитной волне. Для описания электромагнитного поля используем систему уравнений Максвелла:

Для одномерного случая система уравнений Максвелла существенно упрощается, так как все производные по y и z равны нулю. Записав уравнение (10) в скалярном представлении:

Становится очевидным, что в однородной среде для одномерного случая:

Аналогично из уравнения (11) получаем, что:

Выражения (15) и (16) означают, что данные составляющие электромагнитного поля не зависят от времени. А из уравнений (12) и (13) следует, что Dxи Bx - не зависят от координаты. В результате мы имеем, что Dx=const, Bx=const.

Остальные уравнения из группы (14) примут вид:

От группы уравнений в скалярной форме, которые представляют выражение (11), остаются:

Уравнения (17) и (18) сгруппируем как две независимые части. Первая - связывающая y-составляющую электрического поля и z-составляющую магнитного поля:

Вторая часть связывает z-компоненту электрического поля и y-компоненту магнитного поля:

Получается, что переменное (во времени) электрическое поле (Dy) порождает одну z-составляющую магнитного поля (Hz), переменное магнитное поле Bz вызывает появление электрического поля направленного по осиY (Ey) (уравнения 19). То есть в электромагнитном поле электрическое и магнитные поля перпендикулярны друг другу. Аналогичный вывод можно сделать из пары (20).

Для одномерного случая систему уравнений Максвелла можно записать в виде:

Электрическое и магнитные поля могут существовать как волны, так как из уравнения Максвелла следует существование этих волн. Так как для напряженности электрического поля выполняется уравнение вида:

Следовательно, решение этого уравнения можно представить как:

Так как для напряженности магнитного поля выполняется уравнение вида:

следовательно, решение этого уравнения можно представить как:

Пример 1

Задание: Покажите, на примере одномерного случая электромагнитного поля, что из уравнений Максвелла следует волновой характер электромагнитного поля.

Решение:

В качестве основы для решения задачи используем уравнения Максвелла для одномерного случая:

Dt=Hx, Bt=Ex(1.1).

Исключим из уравнений (1.1) магнитное поле H. С этой целью умножим первое уравнение на μμ0 и возьмем частную производную по времени от обеих частей равенства и, используя выражение: D=ε0εE, заменим электрическую индукцию на напряженность соответствующего поля, получим:

μμ0ε0ε 2Et2=μμ02Hxt(1.2).

Второе уравнение в группе (1.1) продифференцируем по x, заменим индукцию магнитного поля на его напряженность, используя выражение: B=μμ0H, при этом имеем:

2Ex2=μμ02Hxt(1.3).

Как мы видим, правые части выражений (1.2) и (1.3) одинаковы, следовательно, можно считать, что:

2Ex2=μμ0ε0ε 2Et22Et2=1μμ0ε0ε2Ex2(1.4).

Аналогичное уравнение легко получить для напряженности магнитного поля, если исключить напряженность электрического поля. Уравнение (1.4) -- есть волновое уравнение.

Ответ: Волновое уравнение для напряженности электрической составляющей электромагнитного поля получено непосредственно из уравнений Максвелла для одномерной задачи.

Пример 2

Задание: Чему равна скорость (v) распространения электромагнитной волны?

Решение:

За основу решения примем волновое уравнение для напряженности электрического поля в плоской электромагнитной волне:

2Et2=1μμ0ε0ε2Ex2(2.1).

Скоростью распространения волны является корень квадратный из коэффициента, который находится перед 2Ex2 в волновом уравнении, следовательно:

v=1μμ0ε0ε=1μ0ε01με=cμε,

где c -- скорость распространения света в вакууме.

Ответ: v=cμε.

Дата последнего обновления статьи: 02.03.2024
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Крупнейшая русскоязычная библиотека студенческих решенных задач
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Волновое уравнение. Электромагнитные волны"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant