Закон Стефана-Больцмана

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Используя формулу Планка для спектральной плотности энергии ( $w_{\nu }$ ), которая имеет вид:

где $\beta =\frac{1}{kT}$ , k -- постоянная Больцмана, $\hbar =1,05{\cdot 10}^{-34}Дж\cdot с,$ с= $3{\cdot 10}^8\frac{м}{с}\cdot$ - скорость света в вакууме можно рассчитать полную плотность энергии излучения (w), если взять интеграл от плотности энергии ${(w}_{\nu })$ по всем частотам излучения ($0

$w=\int\limits^{\infty }_0{w_{\nu }}d\nu =\frac{\hbar }{{\pi }^2c^3}\int\limits^{\infty }_0{\frac{{\nu }^3d\nu }{{exp \left(\frac{\hbar \nu }{kT}\right)\ }-1}}=\frac{\hbar }{{\pi }^2c^3}{\left(\frac{kT}{\hbar }\right)}^4\int\limits^{\infty }_0{\frac{{\xi }^3d\xi }{{exp \left(\xi \right)\ }-1}\ \left(2\right),}$

где мы произвели замену переменных в подынтегральном выражении, а именно заменили:

Интеграл $\int\limits^{\infty }_0{\frac{{\xi }^3d\xi }{{exp \left(\xi \right)\ }-1}=\frac{{\pi }^4}{15},}$ подставим в выражение (2), получим:

где коэффициент, стоящий перед температурой в четвертой степени ( $T^4$ ) можно вычислить:

Интегральная энергетическая светимость

Гораздо чаще вместо полной плотности энергии равновесного излучения пользуются понятием интегральной энергетической светимости абсолютно черного тела (интегральной излучательной способности абсолютно черного тела) ( ${\varepsilon }_T$ ). Интегральная энергетическая светимость характеризует плотность потока излучения с поверхности по всем направлениям (пространственный угол $2\pi$ ). Объемная плотность энергии абсолютно черного тела или полная плотность энергии равновесного излучения одинакова во всех точках и зависит только от температуры. С плотностью интегральная излучательная способность абсолютно черного тела связана формулой:

Следовательно, из формул (4) и (5), получаем:

Уравнение Стефана-Больцмана

${\varepsilon }_T=\sigma T^4\left(6\right),$

где $\sigma =\frac{c\cdot a}{4}=7,6•{10}^{-16}\frac{3•{10}^8}{4}=5,7{\cdot 10}^{-8}(Вт\cdot м^{-2}\cdot К^{-4})$ - постоянная Стефана -- Больцмана. Более точное значение постоянной равно $\sigma =5,67{\cdot 10}^{-8}Вт\cdot м^{-2}\cdot К^{-4}$ . А уравнение (6) называется уравнением Стефана -- Больцмана.

«Закон Стефана-Больцмана» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

Закон Стефана - Больцмана для серого тела

Для серого тела закон Стефана -- Больцмана можно записать следующим образом:

${\varepsilon }_s=\alpha \sigma T^4\left(7\right),$

где ${\varepsilon }_s$ -- энергетическая светимость серого тела, $\alpha$ - коэффициент теплового излучения (степень черноты) серого тела.

Давление, которое производит черное излучение на стенки полости, выразится следующим образом:

$p=\frac{w}{3}=\frac{4}{3c}\sigma T^4\left(8\right).$

Спектральная плотность объемной плотности энергии поля черного тела излучения имеет вид:

$w_{\nu }=\frac{dw}{d\nu }=\frac{4}{c}{\varepsilon }_{\nu ,T\ }\left(9\right),$

где $dw$ - объемная плотность энергии поля излучения в интервале частот от $\nu \ до\ \nu +d\nu$ , ${\varepsilon }_{\nu ,T\ }$ -- излучательная способность абсолютно черного тела.

Пример 1

Задание: Поток энергии, который излучается из смотрового окошка плавильной печи, равен Ф. Найдите температуру в печи, если площадь отверстия S.

Решение:

Будем считать, что плавильная печь является эквивалентной модели абсолютно черного тела.

За основу решения задачи примем формулу, которая определяет поток энергии через отверстие печи:

$Ф={\varepsilon }_{T\ }S\left(1.1\right),$

где ${\varepsilon }_{T\ }$ - излучательная способность абсолютно черного тела, и она может быть найдена по закону Стефана -- Больцмана:

${\varepsilon }_{T\ }=\sigma T^4\ \left(1.2\right),$

где $\sigma$ - постоянная Стефана - Больцмана.

Подставим (1.2) в (1.1), получим:

$Ф=\sigma T^4S\to T^4=\frac{\sigma S}{Ф}\to T=\sqrt[4]{\frac{\sigma S}{Ф}}\left(1.3\right),$

Ответ: Температура в плавильной печи может быть рассчитана по формуле: $T=\sqrt[4]{\frac{\sigma S}{Ф}}.$

Пример 2

Задание: Во сколько раз необходимо увеличить термодинамическую температуру абсолютно черного тела, чтобы его энергетическая светимость возросла в n раз?

Решение:

За основу решение примем закон Стефана -- Больцмана:

${\varepsilon }_{T\ }=\sigma T^4\ \left(2.1\right).$

Запишем его дважды для состояния (1) с температурой $T_1$ и энергетической светимостью ${\varepsilon }_{T\ 1}$ , получим выражение:

${\varepsilon }_{T1\ }=\sigma {T_1}^4\ \left(2.2\right).$

Для состояния (2) с температурой $T_2$ и энергетической светимостью ${\varepsilon }_{T\ 2}$ , получим выражение:

${\varepsilon }_{T2\ }=\sigma {T_2}^4\ \left(2.3\right).$

Найдем отношение выражений (2.3) и (2.2), учитывая, что по условию задачи $\frac{{\varepsilon }_{T2\ }}{{\varepsilon }_{T1\ }}=n$ , получим:

$\frac{{\varepsilon }_{T2\ }}{{\varepsilon }_{T1\ }}=\frac{\sigma {T_2}^4}{\sigma {T_1}^4}=\frac{{T_2}^4}{{T_1}^4}=n\ \left(2.4\right).$

Из (2.4) следует, что

$\frac{T_2}{T_1}=\sqrt[4]{n}\ \left(2.5\right).$

Ответ: Полученное равенство (2.5) означает, что термодинамическую температуру абсолютно черного тела необходимо увеличить в $\sqrt[4]{n}$ раз, чтобы его энергетическая светимость возросла в n раз.

Пример 3

Задание: Энергетическая светимость серого тела при температуре T равна ${\varepsilon }_s$ . Определите коэффициент теплового излучения данного тела.

Решение:

В качестве основы для решения примем закон Стефана -- Больцмана для серого тела: