Напомню, что испускательной способность абсолютно черного тела определяется универсальной функцией Кирхгофа. При теоретических исследованиях для характеристики спектрального состава равновесного излучения удобнее использовать ее как функцию частоты: εν,T =εν,T (ν,T). В экспериментальных работах чаще ее представляют, как функцию длины волны: ελ,T =ελ,T (λ,T). Связь между этими функциями реализуется следующим образом. Так, если по известной функции εν,T (ν,T) необходимо найти ελ,T , надо провести следующую последовательность действий: в функции εν,T частота ν заменяется на 2πcλ и получившееся выражение умножается на 2πcλ2, то есть:
В 1893 г. Вин показал, что функция спектрального распределения должна иметь следующий вид:
где F(νT)- неизвестная функция отношения частоты к термодинамической температуре. Для ελ,T согласно формуле (1) получается уравнение:
где φ(λT) -- неизвестная функция от произведения длины волны на температуру. Найдем длину волны (λm), которой соответствует максимум функции ελ,T . Для этого продифференцируем уравнение (3) по длине волны, получим:
Выражение λTφ′(λT)−5φ(λT) есть некоторая функция σ(λT). Понятно, что при λ=λm dελ,T dλ=0. Следовательно, запишем, что:
Так как длинна волны не может быть бесконечно большой, следовательно, равна нуль при λ=λm функция σ(λmT)=0. Решение последнего уравнения относительно произведения λmT дает некоторое постоянное число, которое обозначим буквой b. Так, получаем равенство:
Уравнение (8) носит название закона смещения Вина.
Значение постоянной b, полученное в эксперименте равно: b=2.9⋅10−3м⋅K.
Закон смещения объясняет, причину преобладания в спектре тел длинных волн при понижении их температуры.
И так увеличением температуры абсолютно черного тела максимум плотности излучения в его спектре смещается на более короткие длины волн (или на большие частоты) (рис.1).
Рис. 1
Площадь, которая ограничена кривой функции εν,T (ν) и осью абсцисс, пропорциональна температуре в четвертой степени.
Задание: Максимум спектральной плотности энергетической светимости звезды приходится на длину волны λm=580 нм. Считая, что звезда излучает как абсолютно черное тело, определить температуру поверхности звезды.
Решение:
В качестве основы для решения задачи используем закон смещения Вина:
λmT=b (1.1).Выразим из него искомую температуру, получим:
T=bλm (1.2).Переведем длину волны в СИ, получим: λm=580 нм=580⋅10−9м. Помним, что постоянная Вина b=2.9⋅10−3м⋅K. Подставим численные значения величин, проведем расчет:
T=2.9⋅10−3580⋅10−9=5⋅103 (К).Ответ: Температура поверхности этой звезды равна 5 кК.
Задание: Энергетическая светимость абсолютно черного тела равнаεT=3⋅104Втм2. Какова длина волны максимума испускательной способности данного тела?
Решение:
В качестве основы для решения задачи используем закон Стефана -- Больцмана и закон смещения Вина.
Первый из них:
εT=σT4(2.1),где σ=5,67⋅10−8(Вт⋅м−2⋅К−4)- постоянная Стефана -- Больцмана.
Второй из используемых законов:
λmT=b (2.2).Выразим температуру тела из (2.1), получим:
T=4√εTσ (2.3).Из (2.2) выразим длину волны, получим:
λm=bT (2.4).Подставляя в (2.4), температуру, полученную в (2.3), получим выражение искомой длины волны:
λm=b4√σεTПостоянная Вина равна b=2.9⋅10−3м⋅K. Подставим численные значения величин, проведем расчет:
λm=2.9⋅10−34√5,67⋅10−83⋅104=3,4⋅10−6(м)Ответ: Длина волны 3,4 мкм.