Закон смещения Вина

Напомню, что испускательной способность абсолютно черного тела определяется универсальной функцией Кирхгофа. При теоретических исследованиях для характеристики спектрального состава равновесного излучения удобнее использовать ее как функцию частоты: ${\varepsilon }_{\nu ,T\ }={\varepsilon }_{\nu ,T\ }(\nu ,T)$. В экспериментальных работах чаще ее представляют, как функцию длины волны: ${\varepsilon }_{\lambda ,T\ }={\varepsilon }_{\lambda ,T\ }(\lambda ,T)$. Связь между этими функциями реализуется следующим образом. Так, если по известной функции ${\varepsilon }_{\nu ,T\ }(\nu ,T)$ необходимо найти ${\varepsilon }_{\lambda ,T\ }$, надо провести следующую последовательность действий: в функции ${\varepsilon }_{\nu ,T\ }$частота $\nu$ заменяется на $\frac{2\pi c}{\lambda }$ и получившееся выражение умножается на $\frac{2\pi c}{{\lambda }^2}$, то есть:

В 1893 г. Вин показал, что функция спектрального распределения должна иметь следующий вид:

где $F\left(\frac{\nu }{T}\right)$- неизвестная функция отношения частоты к термодинамической температуре. Для ${\varepsilon }_{\lambda ,T\ }$ согласно формуле (1) получается уравнение:

где $\varphi \left(\lambda T\right)$ -- неизвестная функция от произведения длины волны на температуру. Найдем длину волны (${\lambda }_m$), которой соответствует максимум функции ${\varepsilon }_{\lambda ,T\ }$. Для этого продифференцируем уравнение (3) по длине волны, получим:

Выражение $\lambda T{\varphi }'\left(\lambda T\right)-5\varphi \left(\lambda T\right)$ есть некоторая функция $\sigma (\lambda T)$. Понятно, что при $\lambda ={\lambda }_m$ $\frac{d{\varepsilon }_{\lambda ,T\ }}{d\lambda }=0$. Следовательно, запишем, что:

Так как длинна волны не может быть бесконечно большой, следовательно, равна нуль при $\lambda ={\lambda }_m$ функция $\sigma \left({\lambda }_mT\right)=0.$ Решение последнего уравнения относительно произведения ${\lambda }_mT\ $ дает некоторое постоянное число, которое обозначим буквой b. Так, получаем равенство: