Что такое теплоемкость
Так как данный раздел посвящен уравнению Майера, а это уравнение, связывающее теплоемкости идеального газа в двух изопроцессах, то напомним само определение теплоемкости.
Количество теплоты, переданное телу с целью нагреть его на $1К$ -- теплоемкость тела (системы). Обычно обозначается "C":
\[С=\frac{\delta Q}{dT}\left(1\right).\]Теплоемкость единицы молярной массы тела:
\[c_{\mu }=\frac{C}{\nu }\ \left(2\right)-\]молярная теплоемкость.
Теплоемкость не является функцией состояния, она -- характеристика двух бесконечно близких состояний системы (начального и конечного) или скорее функция бесконечно малого процесса, который совершается в системе. Что это значит в количественном выражении? Из уравнения (1) и при использовании первого начала термодинамики в дифференциальной форме запишем:
\[С=\frac{\delta Q}{dT}=\frac{dU+pdV}{dT}\left(3\right).\]Три параметра термодинамической системы
Термодинамическая система однозначно определяется тремя параметрами (p,V,T). Между ними существует соотношение -- уравнение состояния. Для идеального газа, например, уравнение Менделеева -- Клайперона. В общем виде функциональная связь:
\[p=p\left(T,V\right)\ или\ T=T\left(p,V\right),\ V=V(p,T)\]в зависимости от выбора. Если в качестве независимых переменных выбраны V и T, то внутренняя энергия системы будет функцией U=U(T,V), тогда полный дифференциал от внутренней энергии будет иметь вид:
\[dU={\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)}_VdT+{\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_TdV\left(4\right).\]Подставим (4) в (3), получим:
\[С=\frac{{\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)}_VdT+{\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_TdV+pdV}{dT}={\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)}_V+\left[p+{\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_T\right]\frac{dV}{dT}\left(5\right).\]Из формулы (5) очевидно, что теплоемкость зависит от процесса. Так, если процесс изохорный, то
\[\frac{dV}{dT}=0.\]Тогда теплоемкость в изохорном процессе имеет вид:
\[C_V={\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)}_V\left(6\right).\]Если процесс изобарный, то теплоёмкость для изобарного процесса будет иметь вид:
\[C_p={\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)}_V+\left[p+{\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_T\right]{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_p=C_V+\left[p+{\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_T\right]{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_p\left(7\right).\]Рассмотрим в качестве исследуемой системы идеальный газ. Малое приращение внутренней энергии идеального газа можно записать в виде:
\[dU=\frac{i}{2}\nu RdT\ \left(8\right).\]Следовательно,
\[{\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_T=0\ \left(9\right).\]Состояние идеального газа описывается уравнением Менделеева -- Клайперона:
\[pV=\nu RT\ \left(10\right).\]Значит:
\[{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_p=\frac{\nu R}{p}\ \left(11\right).\]Подставим (10) и (11) в (7), получим:
\[C_p=C_V+\left[p+0\right]\frac{\nu R}{p}=C_V+\nu R\ \left(12\right).\]Уравнение (12) называется соотношением Майера.
Или для молярных теплоемкостей:
\[с_{\mu p}=с_{\mu V}+R\ \left(13\right).\]Задание: Найти удельную теплоемкость смеси 16 грамм кислорода и 10 грамма гелия в процессе при постоянном давлении.
Решение:
Если $Q$ -- количество тепла, которое получает смесь газов в процессе, то
\[Q=c_pm\triangle T\ \left(1.1\right),\]где $m$ -- масса смеси, $c_p$- удельная теплоемкость смеси при постоянном давлении.
$Q_{O_2}$ -- количество тепла, которое получает кислород:
\[Q_{O_2}={c_p}_{O_2}m_{O_2}\triangle T\ \left(1.2\right).\]$m_{O_2}$ -- масса кислорода, ${c_p}_{O_2}$- теплоемкость кислорода при постоянном давлении.
Для гелия аналогично:
\[Q_{He}={c_p}_{He}m_{He}\triangle T\ \left(1.3\right).\]Кроме того, мы знаем, что:
\[Q=c_pm\triangle T=Q_{O_2}+Q_{He}={c_p}_{O_2}m_{O_2}\triangle T+{c_p}_{He}m_{He}\triangle T\ (1.4)\]Масса смеси находится по закону сохранения массы:
\[m=m_{O_2}+m_{He}\ \left(1.5\right).\]Выразим теплоемкость смеси $c_p$из (1.4), учитывая (1.5), получим:
\[c_p=\frac{{c_p}_{O_2}m_{O_2}+{c_p}_{He}m_{He}\ }{m_{O_2}+m_{He}}\left(1.6\right).\]Зная, что молярная теплоемкость с удельной связана, как:
\[с_{\mu }=с\cdot \mu \to с=\frac{с_{\mu }}{\mu }\ \left(1.7\right).\]Если $с_{\mu V}=\frac{i}{2}R$, следовательно из соотношения Майера ($с_{\mu p}=с_{\mu V}+R$):
\[с_{\mu p}=\frac{i+2}{2}R\ \left(1.8\right).\] \[i_{He}=3,\ i_{O_2}=5\]Удельные теплоемкости в таком случае:
\[{c_p}_{He}=\frac{\frac{5}{2}R}{{\mu }_{He}},\ {c_p}_{O_2}=\frac{\frac{7R}{2}}{{\mu }_{O_2}}\ \left(1.9\right).\]В результате, формула для удельной теплоёмкости смеси:
\[c_p=\frac{\frac{\frac{7R}{2}}{{\mu }_{O_2}}m_{O_2}+\frac{\frac{5}{2}R}{{\mu }_{He}}m_{He}\ }{m_{O_2}+m_{He}}\ \left(1.10\right)\]Проведем расчет
\[c_p=\frac{\frac{3,5\cdot 8,31\cdot 16}{32}+\frac{2,5\cdot 8,31\cdot 10}{4}\ }{26}=\frac{14,5+51,94}{26}=2,56\ (\frac{Дж}{гК})\]Ответ: Удельная теплоемкость смеси 2,56 $\frac{Дж}{гК}$.
Задание: В своих опытах Джоуль получил, что $с_{\mu p}-с_{\mu V}=1,986\frac{кал}{К\cdot \ моль}$. Газовая постоянная измеренная в механических единицах $R=8,314\cdot {10}^7\frac{эрг}{К\ моль}$. Определите, как соотносятся 1 кал, эрг и Дж.
Решение:
В качестве основы решения примем уравнение Майера:
\[с_{\mu p}=с_{\mu V}+R\to с_{\mu p}-с_{\mu V}=R\ \left(2.1\right).\]Тогда получаем:
\[с_{\mu p}-с_{\mu V}=1,986\frac{кал}{К\cdot \ моль}=8,314\cdot {10}^7\frac{эрг}{К\ моль}\to 1кал=4,18\cdot {10}^7эрг=4,18\ Дж.\]Ответ: $1кал=4,18\cdot {10}^7эрг=4,18\ Дж$.
