Что такое теплоемкость
Так как данный раздел посвящен уравнению Майера, а это уравнение, связывающее теплоемкости идеального газа в двух изопроцессах, то напомним само определение теплоемкости.
Количество теплоты, переданное телу с целью нагреть его на 1К -- теплоемкость тела (системы). Обычно обозначается "C":
С=δQdT(1).Теплоемкость единицы молярной массы тела:
cμ=Cν (2)−молярная теплоемкость.
Теплоемкость не является функцией состояния, она -- характеристика двух бесконечно близких состояний системы (начального и конечного) или скорее функция бесконечно малого процесса, который совершается в системе. Что это значит в количественном выражении? Из уравнения (1) и при использовании первого начала термодинамики в дифференциальной форме запишем:
С=δQdT=dU+pdVdT(3).Три параметра термодинамической системы
Термодинамическая система однозначно определяется тремя параметрами (p,V,T). Между ними существует соотношение -- уравнение состояния. Для идеального газа, например, уравнение Менделеева -- Клайперона. В общем виде функциональная связь:
p=p(T,V) или T=T(p,V), V=V(p,T)в зависимости от выбора. Если в качестве независимых переменных выбраны V и T, то внутренняя энергия системы будет функцией U=U(T,V), тогда полный дифференциал от внутренней энергии будет иметь вид:
dU=(∂U∂T)VdT+(∂U∂V)TdV(4).Подставим (4) в (3), получим:
С=(∂U∂T)VdT+(∂U∂V)TdV+pdVdT=(∂U∂T)V+[p+(∂U∂V)T]dVdT(5).Из формулы (5) очевидно, что теплоемкость зависит от процесса. Так, если процесс изохорный, то
dVdT=0.Тогда теплоемкость в изохорном процессе имеет вид:
CV=(∂U∂T)V(6).Если процесс изобарный, то теплоёмкость для изобарного процесса будет иметь вид:
Cp=(∂U∂T)V+[p+(∂U∂V)T](∂V∂T)p=CV+[p+(∂U∂V)T](∂V∂T)p(7).Рассмотрим в качестве исследуемой системы идеальный газ. Малое приращение внутренней энергии идеального газа можно записать в виде:
dU=i2νRdT (8).Следовательно,
(∂U∂V)T=0 (9).Состояние идеального газа описывается уравнением Менделеева -- Клайперона:
pV=νRT (10).Значит:
(∂V∂T)p=νRp (11).Подставим (10) и (11) в (7), получим:
Cp=CV+[p+0]νRp=CV+νR (12).Уравнение (12) называется соотношением Майера.
Или для молярных теплоемкостей:
сμp=сμV+R (13).Задание: Найти удельную теплоемкость смеси 16 грамм кислорода и 10 грамма гелия в процессе при постоянном давлении.
Решение:
Если Q -- количество тепла, которое получает смесь газов в процессе, то
Q=cpm△T (1.1),где m -- масса смеси, cp- удельная теплоемкость смеси при постоянном давлении.
QO2 -- количество тепла, которое получает кислород:
QO2=cpO2mO2△T (1.2).mO2 -- масса кислорода, cpO2- теплоемкость кислорода при постоянном давлении.
Для гелия аналогично:
QHe=cpHemHe△T (1.3).Кроме того, мы знаем, что:
Q=cpm△T=QO2+QHe=cpO2mO2△T+cpHemHe△T (1.4)Масса смеси находится по закону сохранения массы:
m=mO2+mHe (1.5).Выразим теплоемкость смеси cpиз (1.4), учитывая (1.5), получим:
cp=cpO2mO2+cpHemHe mO2+mHe(1.6).Зная, что молярная теплоемкость с удельной связана, как:
сμ=с⋅μ→с=сμμ (1.7).Если сμV=i2R, следовательно из соотношения Майера (сμp=сμV+R):
сμp=i+22R (1.8).Удельные теплоемкости в таком случае:
cpHe=52RμHe, cpO2=7R2μO2 (1.9).В результате, формула для удельной теплоёмкости смеси:
cp=7R2μO2mO2+52RμHemHe mO2+mHe (1.10)Проведем расчет
cp=3,5⋅8,31⋅1632+2,5⋅8,31⋅104 26=14,5+51,9426=2,56 (ДжгК)Ответ: Удельная теплоемкость смеси 2,56 ДжгК.
Задание: В своих опытах Джоуль получил, что сμp−сμV=1,986калК⋅ моль. Газовая постоянная измеренная в механических единицах R=8,314⋅107эргК моль. Определите, как соотносятся 1 кал, эрг и Дж.
Решение:
В качестве основы решения примем уравнение Майера:
сμp=сμV+R→сμp−сμV=R (2.1).Тогда получаем:
сμp−сμV=1,986калК⋅ моль=8,314⋅107эргК моль→1кал=4,18⋅107эрг=4,18 Дж.Ответ: 1кал=4,18⋅107эрг=4,18 Дж.