Тепловое излучение
Все тела излучают электромагнитные волны. Тела, температура которых велика, могут светиться, при обычной температуре они же могут испускать только инфракрасные волны.
Тепловым излучением называют электромагнитное излучение, возникающее за счет внутренней энергии излучающего тела.
Тепловое излучение зависит от температуры тела и его оптических свойств. Только тепловое излучение может находиться в термодинамическом равновесии с веществом. Равновесное тепловое излучение устанавливается в адиабатически изолированной системе, при таком излучении все тела системы имеют одинаковую температуру. В состоянии равновесия для осуществления излучения тело расходует энергию, но эта энергия компенсируется за счет энергии, которую излучают другие тела системы и она поглощается вышеназванным телом. Для равновесного теплового излучения справедливо правило Прево:
Если два тела при одной температуре поглощают за единицу времени разные количества энергии, то их тепловое излучение при этой температуре должно быть разным.
Одной из характеристик тела относительно способности к поглощению тепла является монохроматический коэффициент поглощения (поглощательная способность) ($A_{\nu ,T}$). Этот коэффициент показывает, какая доля энергии ($dW_{pad}$), которая доставляется электромагнитными волнами за единицу времени, приходящаяся на единицу площади поверхности тела, поглощается телом ($dW_{pogl}$) (частоты волн находятся в пределах от $\nu $ до $\nu $+d$\nu $). В математической форме $A_{\nu ,T}\ имеет\ вид$:
\[A_{\nu ,T}=\frac{dW_{pogl}}{dW_{pad}}\left(1\right).\]Этот коэффициент -- величина безразмерная. $A_{\nu ,T}$ зависит от частоты излучения, температуры тела, материала тела, состояния поверхности, формы поверхности.
Распределение теплового излучения по частотам
Характеристиками распределения энергии теплового излучения по частотам (по спектру) служат спектральная плотность энергетической светимости тела ($E_{\nu ,T}$) и излучательная способность тела ($E_{\lambda ,T}$). Выражения, определяющие эти величины имеют вид:
\[E_{\nu ,T}=\frac{dW}{d\nu }\ (2)\]и
\[E_{\lambda ,T}=\frac{с}{{\lambda }^2}E_{н,T}\ \left(3\right),\]где $dW$- энергия теплового излучения единицы площади поверхности тела, в единицу времени при частоте, которая находится в интервале от $\nu $ до $\nu $+d$\nu $ (длине волны от $\lambda $ до $\lambda $+d$\lambda $). Излучательная способность тела зависит от частоты ($\nu $), температуры тела (T), материала тела, состояния поверхности.
Если $A_{\nu ,T}=1$ тело называют абсолютно черным. В действительности абсолютно черных тел не существует, однако, есть тела близкие к абсолютно черному телу по оптическим свойствам (например, сажа, в области видимого света). Существуют модели абсолютно черного тела. Такой моделью, наиболее совершенной является маленькое отверстие в непрозрачной стенке замкнутой полости. Излучение абсолютно черного тела - это равновесное излучение, которое происходит в замкнутой полости, ее стенки имеют постоянную температуру. Излучение в полости такого тела -- сумма фотонов с энергией (${\varepsilon }_i$) равной:
\[{\varepsilon }_i=\hbar н_i\ \left(4\right).\]и импульсом:
\[p_i=\frac{\hbar {\nu }_i}{c}\ \left(5\right),\]где $\hbar =1,05{\cdot 10}^{-34}Дж\cdot с$, ${\nu }_i$- частота электромагнитной волны, с=$3{\cdot 10}^8\frac{м}{с}$- скорость света в вакууме Совокупность фотонов, которые находятся в полости абсолютно черного тела называют фотонным газом. Фотоны непрерывно рождаются и уничтожаются. Следовательно, при выводе распределения фотонов по энергиям нет ограничения о постоянстве фотонов. Таким образом, выражение для распределения фотонов по энергиям имеет вид:
\[\left\langle n({\varepsilon }_i)\right\rangle =\frac{1}{{exp \left(\beta {\varepsilon }_i\right)\ }-1}\ \left(6\right),\]где $\beta =\frac{1}{kT}$, k -- постоянная Больцмана.
Распределение фотонов по частотам имеет вид:
\[dn_{\nu }=\frac{{\nu }^2V}{{\pi }^2c^3}\frac{1}{{exp \left(\beta \hbar \nu \right)\ }-1}d\nu \ \left(7\right).\]Энергия фотона равна $\hbar \nu $, поэтому спектральная плотность энергии ($w_{\nu }$) имеет вид:
\[w_{\nu }=\frac{\hbar \nu }{V}\frac{dn_{\nu }}{d\nu }=\frac{{\hbar \nu }^3}{{\pi }^2c^3}\frac{1}{{exp \left(\beta \hbar \nu \right)\ }-1}\ (8)\]Формула (8) носит имя Планка.
Задание: Найти максимум спектральной плотности излучения.
Решение:
Максимум спектральной плотности излучения можно найти, если в качестве основы для решения использовать уравнение:
\[w_{\nu }=\frac{\hbar \nu }{V}\frac{dn_{\nu }}{d\nu }=\frac{{\hbar \nu }^3}{{\pi }^2c^3}\frac{1}{{exp \left(\beta \hbar \nu \right)\ }-1}\ \left(1.1\right).\]Вычислим максимум по шкале длин волн ($\lambda $). Для этого от частот в (1.1) перейдем к $\lambda $ используя соотношение:
\[\lambda =\frac{2\pi с}{\nu }\ \left(1.2\right).\]Тогда можно записать следующее выражение:
\[w_{\nu }dн=-н_{\lambda }2\pi c\frac{d\lambda }{{\lambda }^2}\ \left(1.3\right).\]С учетом (1.3) выражение для распределения плотности энергии излучения по длинам волн примет вид:
\[w_{\lambda }\sim \frac{1}{{\lambda }^5}\frac{1}{{exp \left(\frac{2\pi c\hbar }{kT\lambda }\right)\ }-1}\ \left(1.4\right).\]В формуле не указаны постоянные множители, для того, чтобы не загромождать вычисления, так как они не повлияют на результат при нахождении максимума. Максимум плотности излучения найдем из условия экстремума, а именно:
\[\frac{\partial w_{\lambda }}{\partial \lambda }=0\ \left(1.5\right).\]Найдем производную от (1.4) по длине волны, приравняем ее к нулю, получим:
\[T{\lambda }_{max}=\frac{2\pi \hbar c}{4,97\cdot k}=0,0029\ (К\cdot м)(1.6)\]Ответ: Максимум спектральной плотности излучения зависит от температуры тела и может быть рассчитан по формуле $T{\lambda }_{max}=0,0029\ К \cdot м$. Формула (1.6) является законом Вина, где $0,0029=b$ -- постоянная Вина.
Задание: Одно абсолютно черное тело имеет температуру $T_1$.Это тело является источником теплового излучения. Как определить температуру другого тела ($T_2$), если длина волны, отвечающая максимуму его спектральной плотности излучения, на $\Delta \lambda $ больше длины волны, соответствующей максимуму излучательной способности первого источника.
Решение:
Используем в качестве основы для решения закон Вина, полученный в предыдущей задаче, а именно:
\[T{\lambda }_{max}=b\ \left(2.1\right).\]Запишем уравнение (2.1) для первого и второго источников излучения, выразив при этом длину волны:
\[{\lambda }_1=\frac{b\ }{T_1},\ {\lambda }_2=\frac{b\ }{T_2}\left(2.2\right).\]Из условия задачи имеем:
\[{\lambda }_2-л_1=\triangle \lambda \ \left(2.3\right).\]В таком случае подставим в (2.3) уравнения (2.2), получим:
\[\triangle \lambda =\frac{b\ }{T_2}-\frac{b\ }{T_1}\to \triangle \lambda +\frac{b\ }{T_1}=\frac{b\ }{T_2}\to \frac{\triangle \lambda T_1+b}{T_1}=\frac{b\ }{T_2}\to T_2=\frac{bT_1}{\triangle \lambda T_1+b}\]Ответ: Температур второго тела $T_2$=$\frac{bT_1}{\triangle \lambda T_1+b}$.
