Политропический процесс

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Что такое политропический процесс

Определение

Политропическим или политропным процессом называют процесс, который происходит при неизменной теплоемкости. Все уравнения изо процессов и адиабатный процесс можно легко получить изменяя показатель политропы. Так, при изохорном процессе молярная теплоемкость равна ${(c}_{\mu V})$ :

$c_{\mu V}=\frac{i}{2}R\ \left(1\right).$

При изобарном ( $c_{\mu p}$ ):

$c_{\mu p}=\frac{i+2}{2}R\ \left(2\right).$

При изотермическом процессе теплоемкость равна $\pm \infty$ . При адиабатическом процессе теплоемкость равна нулю.

Уравнение политропы для идеального газа

Получим уравнение политропы для идеального газа, следуя тому, что теплоемкость должна быть постоянна.

Запишем первое начало термодинамики в виде:

$СdT=C_VdT+pdV\ (3)$

Из уравнения Менделеева -- Клайперона для идеального газа:

$pV=\nu RT\to T=\frac{pV}{\nu R}\left(4\right).$

Из соотношения Майера:

$C_p-C_V=\nu R\ \left(5\right).$

Подставим (5) в (4), получим:

$T=\frac{pV}{C_p-C_V}\to p=\frac{T(C_p-C_V)}{V}\ \left(6\right).$

Разделим уравнение (3) $T\$ , получим:

$\frac{С-C_V}{T}dT=\frac{(C_p-C_V)}{V}dV\to \frac{dT}{T}=\frac{(C_p-C_V)}{(С-C_V)}\frac{dV}{V}\ (7)$

Очевидно, что если теплоемкость процесса постоянная, то

$\frac{(C_p-C_V)}{(С-C_V)}-постоянная\ величина.$

Уравнение интегрируем, потенцируем, получаем:

$TV^{n-1}=const (8),$

где $\frac{\left(C_p-C_V\right)}{\left(C_V-С\right)}=n-1$ .

Уравнение (8) -- уравнение политропы в переменных T, V. Используя уравнение Менделеева - Клайперона легко получить политропу в параметрах $p,V$ или $p,T$ .

При $С=0$ , $n=𝛾$ . При $C=\infty ,\ n=1$ получаем уравнение Бойля -- Мариотта ( $T=const$ ). При С= $C_p$ , n=0 -- уравнение для $p=const$ , при С= $C_V,\ n=\pm \infty$ - уравнение для $V=const$ .

Пример 1

Задание: Идеальный газ совершает политропный процесс. Найти молярную теплоемкость в этом процессе $с_{\mu n}$ , если $i$ -- число степеней свободы для этого газа.

Решение:

Запишем первое начало термодинамики:

$CdT=\frac{i}{2}\nu RdT+pdV\ \left(1.1\right).$

Разделим уравнение на $dT$ , получим:

$C=\frac{i}{2}\nu R+p\frac{dV}{dT}\ \left(1.2\right).$

Запишем уравнение процесса:

$TV^{n-1}=const=B\to V=BT^{\frac{1}{1-n}}\left(1.3\right).$

Продифференцируем (1.3):

$\frac{dV}{dT}=B\frac{1}{1-n}T^{\frac{n}{1-n}}\left(1.4\right).$

Используем уравнение Менделеева - Клайперона:

$pV=\nu RT\to p\cdot BT^{\frac{1}{1-n}}=\nu RT\to p=\frac{\nu R}{B}T^{\frac{n}{n-1}}\left(1.5\right).$

Подставим в (1.2) результаты преобразований (1.4) и (1.5), получим:

$C=\frac{i}{2}\nu R+\frac{\nu R}{B}T^{\frac{n}{n-1}}B\frac{1}{1-n}T^{\frac{n}{1-n}}=\frac{i}{2}\nu R+\frac{\nu R}{1-n}\left(1.6\right).$

$с_{\mu n}=\frac{С}{\nu }=\frac{i}{2}+\frac{1}{1-n}\ \left(1.7\right).$

Ответ: Выражение для молярной теплоемкости в политропном процессе: $с_{\mu n}$ = $\frac{i}{2}+\frac{1}{1-n}$ .

«Политропический процесс» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

Пример 2

Задание: Можно ли вычислить работу газа по формуле:

$A=\frac{p_1V_1}{n-1}\left[1-{\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}^{n-1}\right]\ (2.1)$

для адиабатного, изотермического и изобарного процессов?

Решение:

Основанием для решения задачи является уравнение политропы в параметрах $p,V$ (можно и в других):

$pV^n=const\ \left(2.2\right).$

Все перечисленные в условиях задачи процессы являются частными случаями политропического процесса. Рассмотрим адиабатный процесс. Для него $n=\gamma$ . Подставим показатель адиабаты в (2.1) вместо n, получим:

$A_1=\frac{p_1V_1}{\gamma -1}\left[1-{\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}^{\gamma -1}\right]\ (2.3)$

Сравним с уравнением работы для адиабатного процесса, которое было рассмотрено в разделе, посвященном этому процессу, имеем:

$A=\frac{\nu RT_1}{\gamma -1}\left[1-{\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}^{\gamma -1}\right]\ \left(2.4\right).$

Если учесть, что из уравнения Менделеева-Клайперона:

$p_1V_1=нRT_1\ \left(2.5\right),$

то получаем, что выражения (2.3) и (2.4) эквивалентны.

Рассмотрим изотермический процесс. Для него $n=1$ , соответственно, уравнение политропы имеет вид:

$pV=const\ \left(2.6\right).$

Уравнение (2.6) известный закон Бойля -- Мариотта. Подставим $n=1$ в (2.1), получим:

$A=\frac{p_1V_1}{1-1}\left[1-{\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}^{1-1}\right]\ \left(2.7\right).$

Мы получили, что работа стремится к $\infty$ . Следовательно, приведенная формула (2.1) для вычисления работы в изотермическом процессе не подходит.

Рассмотри изобарный процесс. Для него $n=0$ . Уравнение политропы примет вид:

$pV^0=const\ \to p=const\ \left(2.8\right).$

Подставим $n=0$ в выражение для работы (2.1), получим:

$A=\frac{p_1V_1}{0-1}\left[1-{\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}^{0-1}\right]=p_1\left(\frac{V_2}{V_1}-1\right)=p\left(V_2-V_1\right)\left(2.9\right).$

Выражение (2.9) соответствует формуле вычисления работы для изобарного процесса.

Ответ: Данная формула подходит для вычисления работы в процессах: адиабатном и изобарном, не подходит для вычисления работы в изотермическом процессе.

Пример 3

Задание: Газ участвует в политропическом процессе. Пусть уравнение процесса задано в параметрах $p,V$ при каких значениях $n$

Температура растет при расширении газа?
Температура падает при увеличении объема?
T=const при увеличении объема?

Решение:

Уравнение политропы имеет вид:

${pV}^n=const\ \left(3.1\right).$

Рассматривая уравнение (3.1), сразу можно дать ответ на третий вопрос: температура постоянна при n=0, так как в таком случае мы получаем закон Бойля - Мариотта:

$pV=const\ \left(3.2\right).$

Если перейти от (3.1) в уравнение политропы в параметрах T, V, то ответим и на два первых вопроса. Для перехода используем уравнение Менделеева -- Клайперона (возьмем его для одного моля, что не нарушит общности рассуждений):

$pV=\to p=\frac{RT}{V}\left(3.3\right).$

Подставим (3.3) вместо p (3.2), получим:

$TV^{n-1}=const'\to T=B'V^{1-n}\left(3.4\right).$

Для того, чтобы определить, что происходит с температурой согласно уравнению (3.4), необходимо сравнить $1-n$ с нулем. Если $1-n>0$ , то с ростом $V$ растет и $T$ . И наоборот.