Что такое политропический процесс
Политропическим или политропным процессом называют процесс, который происходит при неизменной теплоемкости. Все уравнения изо процессов и адиабатный процесс можно легко получить изменяя показатель политропы. Так, при изохорном процессе молярная теплоемкость равна (cμV):
cμV=i2R (1).При изобарном (cμp):
cμp=i+22R (2).При изотермическом процессе теплоемкость равна ±∞. При адиабатическом процессе теплоемкость равна нулю.
Уравнение политропы для идеального газа
Получим уравнение политропы для идеального газа, следуя тому, что теплоемкость должна быть постоянна.
Запишем первое начало термодинамики в виде:
СdT=CVdT+pdV (3)Из уравнения Менделеева -- Клайперона для идеального газа:
pV=νRT→T=pVνR(4).Из соотношения Майера:
Cp−CV=νR (5).Подставим (5) в (4), получим:
T=pVCp−CV→p=T(Cp−CV)V (6).Разделим уравнение (3) T , получим:
С−CVTdT=(Cp−CV)VdV→dTT=(Cp−CV)(С−CV)dVV (7)Очевидно, что если теплоемкость процесса постоянная, то
(Cp−CV)(С−CV)−постоянная величина.Уравнение интегрируем, потенцируем, получаем:
TVn−1=const(8),где (Cp−CV)(CV−С)=n−1.
Уравнение (8) -- уравнение политропы в переменных T, V. Используя уравнение Менделеева - Клайперона легко получить политропу в параметрах p,V или p,T.
При С=0, n=𝛾. При C=∞, n=1 получаем уравнение Бойля -- Мариотта (T=const). При С=Cp, n=0 -- уравнение для p=const, при С=CV, n=±∞- уравнение для V=const.
Задание: Идеальный газ совершает политропный процесс. Найти молярную теплоемкость в этом процессе сμn, если i -- число степеней свободы для этого газа.
Решение:
Запишем первое начало термодинамики:
CdT=i2νRdT+pdV (1.1).Разделим уравнение на dT, получим:
C=i2νR+pdVdT (1.2).Запишем уравнение процесса:
TVn−1=const=B→V=BT11−n(1.3).Продифференцируем (1.3):
dVdT=B11−nTn1−n(1.4).Используем уравнение Менделеева - Клайперона:
pV=νRT→p⋅BT11−n=νRT→p=νRBTnn−1(1.5).Подставим в (1.2) результаты преобразований (1.4) и (1.5), получим:
C=i2νR+νRBTnn−1B11−nTn1−n=i2νR+νR1−n(1.6).Ответ: Выражение для молярной теплоемкости в политропном процессе: сμn=i2+11−n.
Задание: Можно ли вычислить работу газа по формуле:
A=p1V1n−1[1−(V1V2)n−1] (2.1)для адиабатного, изотермического и изобарного процессов?
Решение:
Основанием для решения задачи является уравнение политропы в параметрах p,V (можно и в других):
pVn=const (2.2).Все перечисленные в условиях задачи процессы являются частными случаями политропического процесса. Рассмотрим адиабатный процесс. Для него n=γ. Подставим показатель адиабаты в (2.1) вместо n, получим:
A1=p1V1γ−1[1−(V1V2)γ−1] (2.3)Сравним с уравнением работы для адиабатного процесса, которое было рассмотрено в разделе, посвященном этому процессу, имеем:
A=νRT1γ−1[1−(V1V2)γ−1] (2.4).Если учесть, что из уравнения Менделеева-Клайперона:
p1V1=нRT1 (2.5),то получаем, что выражения (2.3) и (2.4) эквивалентны.
Рассмотрим изотермический процесс. Для него n=1, соответственно, уравнение политропы имеет вид:
pV=const (2.6).Уравнение (2.6) известный закон Бойля -- Мариотта. Подставим n=1 в (2.1), получим:
A=p1V11−1[1−(V1V2)1−1] (2.7).Мы получили, что работа стремится к ∞. Следовательно, приведенная формула (2.1) для вычисления работы в изотермическом процессе не подходит.
Рассмотри изобарный процесс. Для него n=0. Уравнение политропы примет вид:
pV0=const →p=const (2.8).Подставим n=0 в выражение для работы (2.1), получим:
A=p1V10−1[1−(V1V2)0−1]=p1(V2V1−1)=p(V2−V1)(2.9).Выражение (2.9) соответствует формуле вычисления работы для изобарного процесса.
Ответ: Данная формула подходит для вычисления работы в процессах: адиабатном и изобарном, не подходит для вычисления работы в изотермическом процессе.
Задание: Газ участвует в политропическом процессе. Пусть уравнение процесса задано в параметрах p,V при каких значениях n
- Температура растет при расширении газа?
- Температура падает при увеличении объема?
- T=const при увеличении объема?
Решение:
Уравнение политропы имеет вид:
pVn=const (3.1).Рассматривая уравнение (3.1), сразу можно дать ответ на третий вопрос: температура постоянна при n=0, так как в таком случае мы получаем закон Бойля - Мариотта:
pV=const (3.2).Если перейти от (3.1) в уравнение политропы в параметрах T, V, то ответим и на два первых вопроса. Для перехода используем уравнение Менделеева -- Клайперона (возьмем его для одного моля, что не нарушит общности рассуждений):
pV=→p=RTV(3.3).Подставим (3.3) вместо p (3.2), получим:
TVn−1=const′→T=B′V1−n(3.4).Для того, чтобы определить, что происходит с температурой согласно уравнению (3.4), необходимо сравнить 1−n с нулем. Если 1−n>0, то с ростом V растет и T. И наоборот.
- $1-n>0,\ \to n
- 1−n1 при таком n, если V↑, то T↓.
Ответ: Температура растет при расширении газа если n1. T=const при увеличении объема, если n=0.