Что такое политропический процесс
Политропическим или политропным процессом называют процесс, который происходит при неизменной теплоемкости. Все уравнения изо процессов и адиабатный процесс можно легко получить изменяя показатель политропы. Так, при изохорном процессе молярная теплоемкость равна ${(c}_{\mu V})$:
\[c_{\mu V}=\frac{i}{2}R\ \left(1\right).\]При изобарном ($c_{\mu p}$):
\[c_{\mu p}=\frac{i+2}{2}R\ \left(2\right).\]При изотермическом процессе теплоемкость равна $\pm \infty $. При адиабатическом процессе теплоемкость равна нулю.
Уравнение политропы для идеального газа
Получим уравнение политропы для идеального газа, следуя тому, что теплоемкость должна быть постоянна.
Запишем первое начало термодинамики в виде:
\[СdT=C_VdT+pdV\ (3)\]Из уравнения Менделеева -- Клайперона для идеального газа:
\[pV=\nu RT\to T=\frac{pV}{\nu R}\left(4\right).\]Из соотношения Майера:
\[C_p-C_V=\nu R\ \left(5\right).\]Подставим (5) в (4), получим:
\[T=\frac{pV}{C_p-C_V}\to p=\frac{T(C_p-C_V)}{V}\ \left(6\right).\]Разделим уравнение (3) $T\ $, получим:
\[\frac{С-C_V}{T}dT=\frac{(C_p-C_V)}{V}dV\to \frac{dT}{T}=\frac{(C_p-C_V)}{(С-C_V)}\frac{dV}{V}\ (7)\]Очевидно, что если теплоемкость процесса постоянная, то
\[\frac{(C_p-C_V)}{(С-C_V)}-постоянная\ величина.\]Уравнение интегрируем, потенцируем, получаем:
\[TV^{n-1}=const (8),\]где $\frac{\left(C_p-C_V\right)}{\left(C_V-С\right)}=n-1$.
Уравнение (8) -- уравнение политропы в переменных T, V. Используя уравнение Менделеева - Клайперона легко получить политропу в параметрах $p,V$ или $p,T$.
При $С=0$, $n=𝛾$. При $C=\infty ,\ n=1$ получаем уравнение Бойля -- Мариотта ($T=const$). При С=$C_p$, n=0 -- уравнение для $p=const$, при С=$C_V,\ n=\pm \infty $- уравнение для $V=const$.
Задание: Идеальный газ совершает политропный процесс. Найти молярную теплоемкость в этом процессе $с_{\mu n}$, если $i$ -- число степеней свободы для этого газа.
Решение:
Запишем первое начало термодинамики:
\[CdT=\frac{i}{2}\nu RdT+pdV\ \left(1.1\right).\]Разделим уравнение на $dT$, получим:
\[C=\frac{i}{2}\nu R+p\frac{dV}{dT}\ \left(1.2\right).\]Запишем уравнение процесса:
\[TV^{n-1}=const=B\to V=BT^{\frac{1}{1-n}}\left(1.3\right).\]Продифференцируем (1.3):
\[\frac{dV}{dT}=B\frac{1}{1-n}T^{\frac{n}{1-n}}\left(1.4\right).\]Используем уравнение Менделеева - Клайперона:
\[pV=\nu RT\to p\cdot BT^{\frac{1}{1-n}}=\nu RT\to p=\frac{\nu R}{B}T^{\frac{n}{n-1}}\left(1.5\right).\]Подставим в (1.2) результаты преобразований (1.4) и (1.5), получим:
\[C=\frac{i}{2}\nu R+\frac{\nu R}{B}T^{\frac{n}{n-1}}B\frac{1}{1-n}T^{\frac{n}{1-n}}=\frac{i}{2}\nu R+\frac{\nu R}{1-n}\left(1.6\right).\] \[с_{\mu n}=\frac{С}{\nu }=\frac{i}{2}+\frac{1}{1-n}\ \left(1.7\right).\]Ответ: Выражение для молярной теплоемкости в политропном процессе: $с_{\mu n}$=$\frac{i}{2}+\frac{1}{1-n}$.
Задание: Можно ли вычислить работу газа по формуле:
\[A=\frac{p_1V_1}{n-1}\left[1-{\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}^{n-1}\right]\ (2.1)\]для адиабатного, изотермического и изобарного процессов?
Решение:
Основанием для решения задачи является уравнение политропы в параметрах $p,V$ (можно и в других):
\[pV^n=const\ \left(2.2\right).\]Все перечисленные в условиях задачи процессы являются частными случаями политропического процесса. Рассмотрим адиабатный процесс. Для него $n=\gamma$. Подставим показатель адиабаты в (2.1) вместо n, получим:
\[A_1=\frac{p_1V_1}{\gamma -1}\left[1-{\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}^{\gamma -1}\right]\ (2.3)\]Сравним с уравнением работы для адиабатного процесса, которое было рассмотрено в разделе, посвященном этому процессу, имеем:
\[A=\frac{\nu RT_1}{\gamma -1}\left[1-{\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}^{\gamma -1}\right]\ \left(2.4\right).\]Если учесть, что из уравнения Менделеева-Клайперона:
\[p_1V_1=нRT_1\ \left(2.5\right),\]то получаем, что выражения (2.3) и (2.4) эквивалентны.
Рассмотрим изотермический процесс. Для него $n=1$, соответственно, уравнение политропы имеет вид:
\[pV=const\ \left(2.6\right).\]Уравнение (2.6) известный закон Бойля -- Мариотта. Подставим $n=1$ в (2.1), получим:
\[A=\frac{p_1V_1}{1-1}\left[1-{\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}^{1-1}\right]\ \left(2.7\right).\]Мы получили, что работа стремится к $\infty $. Следовательно, приведенная формула (2.1) для вычисления работы в изотермическом процессе не подходит.
Рассмотри изобарный процесс. Для него $n=0$. Уравнение политропы примет вид:
\[pV^0=const\ \to p=const\ \left(2.8\right).\]Подставим $n=0$ в выражение для работы (2.1), получим:
\[A=\frac{p_1V_1}{0-1}\left[1-{\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}^{0-1}\right]=p_1\left(\frac{V_2}{V_1}-1\right)=p\left(V_2-V_1\right)\left(2.9\right).\]Выражение (2.9) соответствует формуле вычисления работы для изобарного процесса.
Ответ: Данная формула подходит для вычисления работы в процессах: адиабатном и изобарном, не подходит для вычисления работы в изотермическом процессе.
Задание: Газ участвует в политропическом процессе. Пусть уравнение процесса задано в параметрах $p,V$ при каких значениях $n$
- Температура растет при расширении газа?
- Температура падает при увеличении объема?
- T=const при увеличении объема?
Решение:
Уравнение политропы имеет вид:
\[{pV}^n=const\ \left(3.1\right).\]Рассматривая уравнение (3.1), сразу можно дать ответ на третий вопрос: температура постоянна при n=0, так как в таком случае мы получаем закон Бойля - Мариотта:
\[pV=const\ \left(3.2\right).\]Если перейти от (3.1) в уравнение политропы в параметрах T, V, то ответим и на два первых вопроса. Для перехода используем уравнение Менделеева -- Клайперона (возьмем его для одного моля, что не нарушит общности рассуждений):
\[pV=\to p=\frac{RT}{V}\left(3.3\right).\]Подставим (3.3) вместо p (3.2), получим:
\[TV^{n-1}=const'\to T=B'V^{1-n}\left(3.4\right).\]Для того, чтобы определить, что происходит с температурой согласно уравнению (3.4), необходимо сравнить $1-n$ с нулем. Если $1-n>0$, то с ростом $V$ растет и $T$. И наоборот.
- $1-n>0,\ \to n
- $1-n1$ при таком n, если $V\uparrow ,\ то\ T\downarrow$.
Ответ: Температура растет при расширении газа если $n1$. $T=const$ при увеличении объема, если $n=0$.
