Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Энтропия Больцмана

Энтропия идеального газа

Запишем первое начало термодинамики в дифференциальном виде:

δQ=dU+pdV(1),

где δQ – элементарное количество теплоты, подведенной к термодинамической системе; dU - изменение внутренней энергии рассматриваемой системы; pdV=δA – работа, которую система совершает.

Рассмотрим в качестве термодинамической системы один моль (ν=1 моль) идеального газа. Разделим правую и левую части выражения (1) на абсолютную температуру (T), получим:

δQT=CVdTT+pTdV(2),

где CV – теплоемкость при неизменном объеме. Используя уравнение Менделеева – Клапейрона для 1 моль идеального газа:

pV=RT(3),

выразим:

pT=RV(4).

Примем во внимание, что

dTT=d(lnT),dVV=d(lnV)(5)

уравнение (2) преобразуем к виду:

δQT=d(CVlnT+RlnV)(6).

Поскольку в правой части выражения (6) мы видим полный дифференциал, то правомерно сделать вывод о том, что левая часть тождества также является полным дифференциалом.

Определение 1

Функцию состояния, полным дифференциалом которой является выражение δQT, называют энтропией:

dS=δQT(7).

Определение (1) справедливо только для обратимых процессов.

Замечание 1

В идеальном газе возможна реализация обратимых процессов.

Формула (7) позволяет узнать каково изменение энтропии в обратимом процессе, но невозможно вычислить энтропию каждого из состояний этого процесса.

Физический смысл энтропии

Рассмотрим изотермический процесс в идеальном газе (T=const). В таком процессе энергетическое состояние газа не изменяется, все изменения вызваны изменением объема. Для рассматриваемого процесса формулу (6) запишем как:

«Энтропия Больцмана» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Помощь с рефератом от нейросети
Написать ИИ

dS=RlnV(8).

Найдем изменение энтропии:

ΔS=21dS=R21d(lnV)(9).

Проведем интегрирование (9), получим:

ΔS=S2S1=Rln(V2V1)(10).

Далее нам следует учесть связь между объемом, занимаемым газом в состоянии равновесия и количеством пространственных микросостояний частиц газа, которую описывает выражение:

W0=N!(Nn)!(11),

где W0 – общее число состояний, которые может достигнуть система; N – количество ячеек в системе статистического ансамбля; n - число частиц в системе.

Количество частиц в одном моле газа равно числу Авогадро (NA), в этой связи формулу (11) для объемов газа V1 и V2 запишем в виде:

W01=N1!(N1NA)!;W02=N2!(N2NA)!(12),

где N1=V1/l3 ; N2=V2/l3 , l примем приблизительно равной 1010м. Применим формулу Стирлинга, получаем:

W02W01=N2!(N1NA)!N1!(N2NA)!(N2e)N2[N1NAe]N1NA(N1e)N1[N2NAe]N2NA(13)

Если наша система находится под небольшим давлением, то N1NA;N2NA тогда в основаниях степеней пренебрежем числом Авогадро в сравнении с N2 и N1, равенство (13) упростим до:

W02W01(N2N1)NA=(V2V1)NA(14).

Возьмем натуральные логарифмы от обеих частей равенства (14), имеем:

ln(V2V1)=1NAln(W02W01)(15).

Сравним выражение (15) и (10), запишем:

ΔS=S2S1=RNAln(W02W01)(16),

где RNA=k – постоянная Больцмана.

Структура выражение (16) приводит к мысли, что энтропия определена натуральным логарифмом числа микросостояний, которые реализуют исследуемое макросостояние, то есть:

S=klnW(17).

где (W) – термодинамическая вероятность (статистический вес состояния), то есть количество способов, реализации данного состояния термодинамической системы. W ≥1.

На языке квантовой механики статистический вес – это количество разных квантовых микросостояний, которые реализуют имеющееся макросостояние с данной энергией.

Замечание 2

Термодинамическая вероятность отличается от математической вероятности. Математическая вероятность всегда меньше или равна единице.

На практике находят разность энтропий:

ΔS=kln(W2W1)(18),

где W2W1 – относительная вероятность.

Выражение (17) – формула Больцмана (или энтропия Больцмана). Больцман первым предложил связь между энтропией и вероятностью состояния. Сама формула в виде (17) была записана М. Планком, который предложил называть постоянную k, постоянной Больцмана. Формулу (17) еще называют принципом Больцмана, это словосочетание ввел А. Эйнштейн.

Рассуждения выше не являются строгим доказательством формулы Больцмана, так как они приведены для:

  • идеального газа;
  • обратимых процессов.

Однако заметим, что формула (17) справедлива в обще случае. Очевидно, что количество микросостояний, которые реализуют макросостояние – это одна из самых важных функций состояния. Понятие числа микросостояний применяется не только к идеальному газу и обратимым процессам, отсюда следует, что формула Больцмана имеет общее значение.

Формула (17) дает энтропии физическое толкование:

Чем сильнее упорядочена система, тем меньшее количество микросостояний, которое способно реализовать это макросостояние.

Пример 1

Все атомы жестко фиксированы на своих местах. В таком случае имеется единственное микросостояние. Соответствующая ему энтропия равна нулю.

С увеличением количества микросостояний растет беспорядок в системе. Отсюда можно сделать вывод о том, что энтропия – мера порядка системы.

В равновесном состоянии энтропия максимальна, так как равновесие является самым вероятным состоянием, которое совместимо с определенными условиями, значит, равновесие – это макросостояние, реализуемое через наибольшее число микросостояний.

Второе начало термодинамики

Из формулы Больцмана следует, что:

  1. Если термодинамическая система предоставлена самой себе, то она движется в направлении состояния равновесия, следовательно, ее энтропия должна увеличиваться.
  2. Это один из вариантов формулировки второго начала термодинамики, которое указывает направление процессов в природе.

Значение формулы Больцмана

Установление взаимосвязи энтропии и вероятности – это важное достижение в науке. Поскольку:

  1. Энтропия и вероятность имеют разную природу. Энтропия – это физическая величина, термодинамическая вероятность - математическое понятие;
  2. Численное значение энтропии связано с выбором системы единиц, математический параметр вероятность – это число, количество способов. Согласованность частей равенства в формуле Больцмана обеспечивает константа Больцмана.

Формула Больцмана раскрыла физический смысл важного термодинамического параметра – энтропии. Связала статистическую физику и термодинамику.

Принцип Больцмана дает понимание причины роста энтропии в необратимых процессах. Допустим, что перегородка между двумя объемами газа мгновенно убрана. Перед каждой частицей возникает возможность занять новые состояния в новом объеме. Вероятность того, что частицы вновь соберутся в старом объеме, ничтожно мала. Она отлична от нуля, но для ее достижения необходимо время существенно большее, чем время существования Вселенной. Так, при необратимых процессах эволюция идет в сторону освоения новых незанятых состояний, то есть в сторону увеличения энтропии.

Дата последнего обновления статьи: 29.03.2024
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Крупнейшая русскоязычная библиотека студенческих решенных задач
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Энтропия Больцмана"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant