Система сходящихся сил - это система таких сил, линии действия которых полностью сходятся в одной точке. Действие каждой силы на абсолютно твердое тело не меняется при переносе силы вдоль линии ее действия на иную точку тела.
Система сходящихся сил
Сила - мера механического взаимодействия материальных объектов. По своей природе сила - векторная величина и в общем случае она характеризуется:
- направлением и линией действия;
- численной величиной (модулем);
- точкой приложения.
Пусть дана произвольная система сил, (F1,F2...Fn), приложенных к твердому телу. Перенесем эти силы, как скользящие векторы, в точку пересечения линий их действия. Затем, пользуясь аксиомой о параллелограмм сил, найдем равнодействующую этих сил.
Равнодействующую R такой системы сил можно определить графически и аналитически.
Графически равнодействующая сила определяется как замыкающая сторона многоугольника сил: →R=n∑i=i=→Fi
Аналитически равнодействующую силу можно определить по ее проекциями на оси прямоугольной системы координат. Здесь и далее применяем правую систему координат. По теореме о проекции векторной (Геометрической) суммы на оси координат получим:
Rx=n∑i=i=Fix
Ry=n∑i=i=Fiy
Rz=n∑i=i=Fiz
где Fix,Fiy,Fiy - проекции соответствующих сил на оси координат. Тогда модуль равнодействующей R запишем в виде:
R=√(n∑i=i=Fix)2+(n∑i=i=Fiy)2+(n∑i=i=Fiz)2
Или
√n∑i=i=Fix=0
√n∑i=i=Fiy=0
√n∑i=i=Fiz=0
Направление равнодействующей силы определяется такими направляющими косинусами:
cos(R,t)=RxR
cos(R,j)=RyR
cos(R,k)=RzR
Условия равновесия системы сходящихся сил
Для равновесия системы сходящихся сил (далее система сил) необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая сила была равна нулю: R=0
Необходимость условия равновесия следует из того, что заданная система сил, приложенных к твердому телу, эквивалентна одной силе - равнодействующей Р. Очевидно, что под действием одной силы тело будет находиться в равновесии только тогда, когда эта сила равна нулю, что следует из аксиомы о двух силы.
Докажем достаточность этого условия. Для этого покажем, что когда равнодействующая сила равна нулю, то система сил находится в равновесии. Заданная система сил эквивалентна равнодействующей, равной нулю. Из определения уравновешенной (эквивалентной нулю) системы сил, ее можно отбросить, не нарушая состояния системы. Тогда на тело не действуют никакие силы, и оно по первому закону Ньютона находится в равновесии. Поскольку
→R=n∑i=i=→Fi=0
то многоугольник сил должен быть замкнутым, то есть конец последней силы F совпадает с началом первой силы, F1, что выражает условие равновесия системы сил в графической форме.
Векторной части равенства соответствуют три скалярные части равенства:
Rx=0,
Ry=0,
Rz=0, которые с учетом формул, перепишем в виде
n∑i=i=Fix=0
n∑i=i=Fiy=0
n∑i=i=Fiz=0
Эти данные являются условиями равновесия системы сил в аналитической форме и формулируются так: для равновесия пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций сил были взаимно перпендикулярные оси и равны нулю.
В случае равновесия системы сил, лежащих в одной плоскости, например, 0xy, получим
n∑i=i=Fix=0
n∑i=i=Fiy=0
Условия равновесия называются также уравнениями равновесия. С их помощью определяются неизвестные величины при решении конкретных задач. Если неизвестными силами являются реакции связей, то их количество не должно превышать числа уравнений равновесия, иначе задача будет статически неопределенной и решить ее методами теоретической механики не получится.
Преобразование произвольной системы сил
Силу, которая приложена к твердому телу, можно перенести параллельно в иную точку тела, прибавляя силу с периодом, равным периоду переносимой силы касательно точки, куда она переносится.
Указанное преобразование – это сходящаяся сумма и система сил моментов пар сил. Взаимодействие системы сил, которые заменяют действие суммарной силы, и взаимодействие моментов — называется суммарным моментом.
Общий суммарный вектор R — это основной вектор системы сил.
Общий cуммарный момент Mo(Fk) — это основной момент системы сил.
Таким образом, произвольная система сил в тождественном преобразовании приводится к главному моменту системы сил и главному вектору.
Аналитически главный момент и главный вектор системы сил определяются через их проекции на общей оси координат:
R=√n∑i=iRkx2+n∑i=iRky2+n∑i=iRkz2
M=√n∑i=iMkx2+n∑i=iMky2+n∑i=iMkz2
Условия для равновесия систем сил
Равновесие системы сил. Все воздействие системы сил схоже с действием одной равнодействующей силы. Для процесса равновесия тела нужно, чтобы равнодействующая была равна нулю R=0.
Из формулы говориться о том, что R=√(n∑i=i=Fkx2)+(n∑i=i=Fky2)+(n∑i=i=Fkz2)
Для процесса равновесия пространственной системы для сил достаточно и необходимо, чтобы общая сумма проекций сил на оси X,Y,Z была равна нулю sumFkx=0, ∑Fky=0, ∑Fkz=0.
Для процесса равновесия плоской системы сил нужно, чтобы сумма проекций сил на оси X,Y была равна нулю
∑Fkx=0, ∑Fky=0.
Равновесие произвольной системы сил. Общее воздействие произвольной системы сил равно действию главного момента и главного вектора. Для процесса равновесия достаточно выполнения и необходимо условия: R=0, M0(Fk)=0
Для процесса равновесия произвольной системы сил достаточно и необходимо, чтобы общие суммы проекций для всех сил на оси X,Y,Z и общей суммы моментов сил касательно осей X,Y,Z равнялись нулю:
∑Fkx=0, ∑Fky=0, ∑Fkz=0.
∑Mkx(Fx)=0, ∑Mky(Fx)=0, ∑Mkz(Fx)=0.
Для процесса равновесия произвольной плоской системы сил достаточно и необходимо, чтобы общая сумма проекций основного вектора на оси X,Y, и сумма моментов (алгебраическая) сил относительно центра О равнялись нулю:
∑Fkx=0, ∑Fky=0, ∑Mo(Fx)=0.