Системы сил теоретичесой механики

Система сходящихся сил - это система таких сил, линии действия которых полностью сходятся в одной точке. Действие каждой силы на абсолютно твердое тело не меняется при переносе силы вдоль линии ее действия на иную точку тела.

Система сходящихся сил

Пусть дана произвольная система сил, $(F_1,F_2... F_n)$, приложенных к твердому телу. Перенесем эти силы, как скользящие векторы, в точку пересечения линий их действия. Затем, пользуясь аксиомой о параллелограмм сил, найдем равнодействующую этих сил.

Равнодействующую $R$ такой системы сил можно определить графически и аналитически.

Графически равнодействующая сила определяется как замыкающая сторона многоугольника сил: $ \vec {R} = \sum \limits_{i=i}^{n} = \vec {F_i}$

Аналитически равнодействующую силу можно определить по ее проекциями на оси прямоугольной системы координат. Здесь и далее применяем правую систему координат. По теореме о проекции векторной (Геометрической) суммы на оси координат получим:

$ R_x = \sum \limits_{i=i}^{n} = F_ix$

$ R_y = \sum \limits_{i=i}^{n} = F_iy$

$ R_z = \sum \limits_{i=i}^{n} = F_iz$

где $F_ix, F_iy, F_iy$ - проекции соответствующих сил на оси координат. Тогда модуль равнодействующей $R$ запишем в виде:

$R = \sqrt { (\sum \limits_{i=i}^{n} = F_ix)^2 + (\sum \limits_{i=i}^{n} = F_iy)^2 + (\sum \limits_{i=i}^{n} = F_iz)^2 }$

Или

$\sqrt {\sum \limits_{i=i}^{n} = F_ix = 0}$

$\sqrt {\sum \limits_{i=i}^{n} = F_iy = 0}$

$\sqrt {\sum \limits_{i=i}^{n} = F_iz = 0}$

Направление равнодействующей силы определяется такими направляющими косинусами:

$cos {(R, t)} = \frac {Rx}{R}$

$cos {(R, j) } = \frac {Ry}{R}$

$cos {(R, k)} = \frac {Rz}{R}$

Условия равновесия системы сходящихся сил

Необходимость условия равновесия следует из того, что заданная система сил, приложенных к твердому телу, эквивалентна одной силе - равнодействующей $Р$. Очевидно, что под действием одной силы тело будет находиться в равновесии только тогда, когда эта сила равна нулю, что следует из аксиомы о двух силы.

Докажем достаточность этого условия. Для этого покажем, что когда равнодействующая сила равна нулю, то система сил находится в равновесии. Заданная система сил эквивалентна равнодействующей, равной нулю. Из определения уравновешенной (эквивалентной нулю) системы сил, ее можно отбросить, не нарушая состояния системы. Тогда на тело не действуют никакие силы, и оно по первому закону Ньютона находится в равновесии. Поскольку

$ \vec{R} = \sum \limits_{i=i}^{n} = \vec{F_i} = 0$

то многоугольник сил должен быть замкнутым, то есть конец последней силы $F$ совпадает с началом первой силы, $F_1$, что выражает условие равновесия системы сил в графической форме.

Векторной части равенства соответствуют три скалярные части равенства:

$R_x=0$,

$R_y=0$,

$R_z=0$, которые с учетом формул, перепишем в виде

$ \sum \limits_{i=i}^{n} = F_ix = 0$

$ \sum \limits_{i=i}^{n} = F_iy = 0$

$ \sum \limits_{i=i}^{n} = F_iz = 0$

Эти данные являются условиями равновесия системы сил в аналитической форме и формулируются так: для равновесия пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций сил были взаимно перпендикулярные оси и равны нулю.

В случае равновесия системы сил, лежащих в одной плоскости, например, $0xy$, получим

$ \sum \limits_{i=i}^{n} = F_ix = 0$

$ \sum \limits_{i=i}^{n} = F_iy = 0$

Условия равновесия называются также уравнениями равновесия. С их помощью определяются неизвестные величины при решении конкретных задач. Если неизвестными силами являются реакции связей, то их количество не должно превышать числа уравнений равновесия, иначе задача будет статически неопределенной и решить ее методами теоретической механики не получится.

Преобразование произвольной системы сил

Указанное преобразование – это сходящаяся сумма и система сил моментов пар сил. Взаимодействие системы сил, которые заменяют действие суммарной силы, и взаимодействие моментов — называется суммарным моментом.

Общий суммарный вектор $R$ — это основной вектор системы сил.

Общий cуммарный момент $M_o (F_k)$ — это основной момент системы сил.

Таким образом, произвольная система сил в тождественном преобразовании приводится к главному моменту системы сил и главному вектору.

Аналитически главный момент и главный вектор системы сил определяются через их проекции на общей оси координат:

$R = \sqrt { \sum \limits_{i=i}^{n} R_kx_2 +\sum \limits_{i=i}^{n} R_ky_2 + \sum \limits_{i=i}^{n} R_kz_2 }$

$M = \sqrt { \sum \limits_{i=i}^{n} M_kx_2 + \sum \limits_{i=i}^{n} M_ky_2 + \sum \limits_{i=i}^{n} M_kz_2 }$

Условия для равновесия систем сил

Равновесие системы сил. Все воздействие системы сил схоже с действием одной равнодействующей силы. Для процесса равновесия тела нужно, чтобы равнодействующая была равна нулю $R=0$.

Из формулы говориться о том, что $R = \sqrt { (\sum \limits_{i=i}^{n} = F_kx_2) + (\sum \limits_{i=i}^{n} = F_ky_2) + (\sum \limits_{i=i}^{n} = F_kz_2) }$

Для процесса равновесия пространственной системы для сил достаточно и необходимо, чтобы общая сумма проекций сил на оси $X, Y, Z$ была равна нулю $sum {F_kx} = 0$, $\sum {F_ky} = 0$, $\sum {F_kz} = 0$.

Для процесса равновесия плоской системы сил нужно, чтобы сумма проекций сил на оси $X, Y$ была равна нулю

$\sum {F_kx} = 0$, $\sum {F_ky} = 0$.

Равновесие произвольной системы сил. Общее воздействие произвольной системы сил равно действию главного момента и главного вектора. Для процесса равновесия достаточно выполнения и необходимо условия: $R = 0$, $M_0 (F_k)=0$

Для процесса равновесия произвольной системы сил достаточно и необходимо, чтобы общие суммы проекций для всех сил на оси $X, Y, Z$ и общей суммы моментов сил касательно осей $X, Y,Z$ равнялись нулю:

$\sum {F_kx} = 0$, $\sum {F_ky} = 0$, $\sum {F_kz} = 0$.

$\sum {M_kx (F_x)} = 0$, $\sum {M_ky (F_x)} = 0$, $\sum {M_kz (F_x)} = 0$.

Для процесса равновесия произвольной плоской системы сил достаточно и необходимо, чтобы общая сумма проекций основного вектора на оси $X, Y$, и сумма моментов (алгебраическая) сил относительно центра $О$ равнялись нулю:

$\sum {F_kx} = 0$, $\sum {F_ky} = 0$, $\sum {M_o (F_x)} = 0$.