Разделы теоретической механики

Теоретическую механику составляют 3 раздела: статика, динамика и кинематика. Задачами теоретической механики являются:

• исследование общих законов перемещений и равновесия в отношении материальных систем;
• изучение наиболее простых логических моделей для технических, а также природных объектов с задействованием научных методов познания базовых законов механического движения систем, которые изучаются.

Статика в теоретической механике

Абсолютно твердым в статике считается такое тело, в котором остается неизменным расстояние между любыми точками. Существуют такие понятия в статике, как свободное (на его перемещение не накладываются какие-либо ограничения) и несвободное (связанное, здесь существуют ограничения) тела.

Связями считаются тела, создающие препятствия для перемещения объекта, который рассматривается (тела или системы). Материальная точка представляет тело, чьими размерами можно пренебречь (согласно условиям задачи).

Сила представляет векторную величину, характеризующую степень механического воздействия одного материального тела на иное. Как вектор, силу характеризуют: точка приложения, направление действия и абсолютное значение. Единицей измерения для модуля силы выступает Ньютон. Линией действия силы считается прямая, вдоль которой направляется вектор силы.

Равнодействующая $\vec{R}$ двух сходящихся сил будет определена на основании аксиомы параллелограмма сил. Геометрическую сумму любого числа для сходящихся сил возможно определить последовательным сложением двух сил (способом векторного многоугольника).

Система сходящихся сил $\vec{F_n}$ приводится, таким образом, к одной силе равнодействия - $\vec{R}$. Аналитически равнодействующую силу определяют посредством ее проекций на оси координат, т.е.:

$R = \sqrt {R_x^2+R_y^2R_z^2}$

Проекция равнодействующей на ось равнозначна сумме проекций суммируемых сил на указанную ось, т.е.:

$R_x=F_1x + F_2x + F3x$

Или

$F_kx = \sum{F_kx}$

Тогда равнодействующую определяет выражение:

$R = \sqrt {(\sum{F_kx})^2 + (\sum{F_ky})^2 + (\sum{F_kz})^2}$

Кинематика в теоретической механике

Задается движение точки за счет изменения ее положения в отношении избранной системы отсчета. Их существует три: координатная, векторная, естественная.

Векторная система задает положение точки радиус-вектором (относительно начала отсчета), что характеризует закон движения:

$\bar{r} = \bar{r(t)}$

Система координат $OXYZ$ положение точки задается тремя следующими координатами: $X$, $Y$, $Z$. Закон движения записывается в виде формулы:

$x = x(t)$, $y$ = y(t)$; $z = z(t)$..

Естественная система отсчета положение точки задается расстоянием $S$ вдоль траектории от начала отсчета до этой самой точки. Закон движения тогда записывается так:

$\bar{s} = \bar{s(t)}$

При таком способе заданного движения для точки оно будет определяться при условии, если известны:

• уравнение и траектория движения;
• начало и направление отсчета для дуговой координаты.

Этот способ использует подвижные координатные оси, перемещающиеся по траектории совместно с точкой. Такими осями будут:

• касательная $\tau$ – направляется по касательной к траектории в сторону роста дуговой координаты;
• главная нормаль $n$ – направляется в сторону вогнутости кривой;
• бинормаль $b$ – направление будет перпендикулярным осям $\tau$ и $n$.

Ускорение для изменения координат точки равнозначно производной по времени от изменяющихся скоростей этих координат:

$a_x = \frac{dV_x}{dt}$

$a_y = \frac{dV_y}{dt}$

$a_z = \frac{dV_z}{dt}$

Для полного ускорения в прямоугольной системе координат существует выражение:

$a = sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$

Согласно свойству производной:

$\bar{a} = \frac{dV}{dt}$

Вектор скорости может быть изменен по направлению и модулю. Вектор ускорения направляется в сторону искривлений траектории.

Ускорение точки при естественной системе отсчета будет выражено следующими формулами:

Приращение вектора скорости $dV$ можно будет разложить на составляющие, которые параллельны осям естественной системы координат:

$d\bar{V} = d\bar{V_\tau}+d\bar{V_n}$

После разделения правой и левой части равенства на $dt$ получаем:

$\bar{a} = \bar{a_\tau}+\bar{a_n}$

Где $\bar{a_\tau} = \frac{dV}{dt}$ будет тангенциальным ускорением, а $\bar{a_n} = \frac{V^2}{R}$ – нормальным ускорением, $R$ — радиусом кривизны траектории в окрестности точки.

Динамика в теоретической механике

Инерционностью считается способность материальных тел к сохранению состояния покоя (или прямолинейного равномерного движения) до момента изменения внешними силами этого состояния.

Материальной точкой будет считаться тело, имеющее массу, при этом его размеры зачастую не учитываются при решении задач. Масса характеризуется количественной мерой инерционности тела и выражена в килограммах. Центром масс механической системы является геометрическая точка, чьи координаты определяют формулы:

$X_c = \frac{\sum{m_k}x_k}{m}$

$Y_c = \frac{\sum{m_k}y_k}{m}$

$Z_c = \frac{\sum{m_k}z_k}{m}$

Где $m_k$, $x_k$, $y_k$, $z_k$ - представляют массу и координаты точки $k$ для механической системы, Sm$ - масса системы. - масса системы.

Момент инерции для материального тела относительно оси будет считаться количественной мерой инертности при вращении. Момент инерции для материальной точки относительно оси определяется так:

$J_z = mr^2$

Сила инерции для материальной точки является векторной величиной и определяется таким образом:

$\vec{F^u} = -m\vec{a}$

Сила инерции для материального тела определяется формулой: $\vec{F^u} = -m\vec{a_с}$

Где $a_c$ будет ускорением центра масс тела. Элементарный импульс силы $dS$ определяется формулой: $d\vec{S} = \vec{F}dt$

Кинетическую энергию для материальной точки (скалярную величину $T$) вычисляем по формуле:

$T = \frac{mv^2}{2}$

Кинетическая энергия для механической системы определяется формулой: $T = \sum{T_k}$