Моменты в теоретической механике

Понятие момента силы в теоретической механике

Парой сил считается система двух параллельных, противоположно направленных и равнозначных по модулю сил: $\vec{F}$, $\vec{F^2}$. Тело, под воздействием пары сил, будет совершать вращательные движения.

Системой сил является комплекс сил, оказывающих непосредственное воздействие на механическую систему. Плоскую систему при этом представляют силы, чьи линии действия лежат в одной плоскости. Пространственную систему – силы, у которых линии действия не лежат в одинаковой плоскости.

Систему сходящихся сил представляют силы, чьи линии действия будут пересекаться в одной точке. В произвольной системе линии действия сил не будут пересекаться в одной точке.

Равновесное состояние характеризует такое положение, тело при котором в момент действия сил или сохраняет неподвижность, или движется равномерным и прямолинейным образом.

Уравновешенной системой сил считается такая система, которая, прилагаясь к свободному твердому телу, сохраняет неизменность его механического состояния (то есть не выводит из равновесия). Равнодействующей силой будет та сила, чье воздействие на тело эквивалентно действиям системы сил.

Проекцию силы на ось представляет заключенный между перпендикулярами отрезок. При этом они проведены из начала и конца вектора силы к данной оси. Проекция положительная при совпадении направленности отрезка и положительного направления оси. Проекцию силы на плоскость представляет вектор на плоскости между перпендикулярами, которые проведены из начала и конца вектора силы к такой плоскости.

Момент силы относительно оси

Момент окажется положительным при условии, что поворот, совершаемый силой, осуществляется против часовой стрелки, и отрицательным – если против, записывается это формулой:

$M_z (\vec{F} = M_0 (\vec{F_xy}) = hF_xy$

Для нахождения момента силы относительно оси нужно:

• провести перпендикулярно оси $z$ плоскость и спроецировать на нее силу $F$;
• спроецировать силу $F$ на вышеуказанную плоскость с последующим вычислением величины проекции $F_xy$;
• провести $h$ (плечо) из точки, где пересекается ось с плоскостью, на линию действия проекции $F_xy$ с последующим определением его длины;
• вычислить произведение этого плеча, а также - проекции силы с соответствующим знаком.

Нулевое значение момент силы относительно оси обретает в том случае, когда $F_xy=0$ (при параллельности силы $F$ оси). Второе условие заключается в том, что линия действия силы будет пересекать ось, т.е. $h=0$.

Равнодействующую $R$ двух сходящихся сил находят по аксиоме параллелограмма сил. Геометрическую сумму любого числа сходящихся сил вычисляют посредством последовательного суммирования двух сил (способом векторного многоугольника).

Таким образом, систему сходящихся сил $\vec{F_n}$ приводят к одной равнодействующей силе $\vec{R}$

Аналитически равнодействующую силу определяют ее проекцией на оси координат:

$R=\sqrt{R_x^2+R_y^2R_z^2}$

Исходя из теоремы, проекция равнодействующей на ось вычисляется формулой:

$R_x=F_1x+F_2x+F3x$

Или

$F_kx=\sum{F_kx}$

С учетом этого, равнодействующую определяет выражение:

$R=\sqrt{(\sum{F_kx})^2+(\sum{F_ky})^2+(\sum{F_kz})^2}$

Действие системы для сходящихся сил будет эквивалентным действию одной равнодействующей силы. Условием равновесия тела считается нулевое значение равнодействующей, т.е. $\vec{R}=0$

Из формулы $R=\sqrt{(\sum{F_kx})^2+(\sum{F_ky})^2+(\sum{F_kz})^2}$ следует, что главным и необходимым условием равновесного состояния пространственной системы сходящихся сил будет нулевое значение суммы проекций всех сил на оси $X$, $Y$, $Z$:

$\sum{F_kx}=0$

$\sum{F_ky}=0$

$\sum{F_kz}=0$

Необходимым условием равновесия для плоской будет нулевое значение суммы проекций всех сил на оси $X$, $Y$:

$\sum{F_kx}=0$

$\sum{F_ky}=0$

Момент силы относительно точки

Абсолютное значение момента в теоретической механике вычисляется формулой: $M_0(\vec{F})=hF$

При положительном моменте сила вращает плечо $h$ против часовой стрелки, а при отрицательном – по часовой.

Согласно свойствам момента силы относительно точки, он сохраняет свою неизменность, если точка приложения силы переносится вдоль линии ее действия. Еще одно свойство проявляется в том, что момент равнодействующей силы относительно точки определяет сумма моментов слагаемых сил в отношении этой точки:

$M_0(\vec{R})=M_0(\vec{F_1})+M_0(\vec{F_1})$,

где $\vec{R}=\vec{F_1}+\vec{F_2}$

Момент пары сил

Момент пары сил определяет формула: $M(\vec{F},\vec{F})=Fh$где $\vec{F},\vec{F}) – силы, которые составляют пару, $h$ - плечо пары. - плечо пары.

Момент пары окажется положительным при стремлении сил к вращению плеча против часовой стрелки. Свойства пары сил выражены в: нулевом значении суммы проекций сил на ось; неизменности момента пары при одновременном изменении значения сил и плеча пары, возможности переноса пары в плоскости ее действия при неизменности действия пары на тело.

Момент силы относительно точки будет выражать следующая формула: $M_0(\vec{F})=hF$. Момент окажется положительным при стремлении силы к вращению плеча против часовой стрелки и отрицательным – когда вращать будет по часовой.

Свойства момента силы в отношении точки выражаются в следующем: его неизменности в момент переноса точки приложения силы вдоль линии ее действия; момент равнодействующей силы в отношении точки представляет суммарное значение моментов слагаемых сил относительно нее: $M_0(\vec{R})=M_0(\vec{F_1})+M_0(\vec{F_2})$, где $\vec{R}=\vec{F_1}+\vec{F_2}$, нулевом значении момента силы при прохождении линии действия силы через точку ее приложения;

Приложенную к твердому телу силу возможно перенести. При этом будет неизменным оказываемое ею действие, а перенос осуществляется параллельно в другую точку тела. Также при этом добавляется пара сил с моментом, равнозначным переносимой силе относительно точки, куда она переносится. Вследствие вышеуказанного преобразования мы наблюдаем формирование сходящейся системы сил и суммы моментов пар сил. Действие такой системы заменяют действия суммарной силы, а действие моментов — суммарный момент.

Суммарный вектор $\vec{R}$ считается главным вектором системы сил. Суммарный момент $M_0(\vec{F_k})$ — основной момент системы сил.

Итогом становится тождественное преобразование произвольной системы сил в главный вектор и момент такой системы. Аналитически главный вектор и момент системы могут определяться их проекциями на оси координат:

$R=\sqrt{\sum{R_kx}^2+\sum{R_ky}^2+\sum{R_kz}^2}$

$M=\sqrt{\sum{M_kx}^2+\sum{M_ky}^2+\sum{M_kz}^2}$