Формулы теоретической механики

Механическое взаимодействие таких тел считается простейшей и наряду с тем – самой широко распространенной разновидностью взаимодействий физических объектов. Механическое движение, представляя наиболее простой вид перемещения, является фундаментальным свойством материи.

Теоретическая механика представляет в физике специальный раздел механики, рассматривающий взаимодействие материальных тел и главные законы механического движения. Эта наука занимается исследованием процессов перемещений тел в разных временных промежутках.

Разделы теоретической механики

Теоретическая механика включает 3 главных раздела:

• динамику,
• статику,
• кинематику.

Кинематика ориентирована на исследование зависимостей специальных величин, характеризующих состояние движения системы без отдельного рассмотрения причин, способствующих изменению состояния движения.

Статика изучает равновесие комплекса тел для отдельно взятой системы отсчета. В динамике рассматривается уровень воздействия сил на положение перемещающихся систем для материальных объектов.

Равновесие считается в теоретической механике таким состоянием, при котором тело при действующих силах сохраняет свою неподвижность или его движение будет прямолинейным. Момент силы характеризует вращательную способность силы.

Таким образом, разделы теоретической механики занимаются исследованием общих законов движения и равновесия материальных систем; а также изучением простых логических моделей технических и природных объектов с задействованием главных законов механического движения систем.

Момент силы в теоретической механике

Положительным момент силы считается, когда с положительного конца оси совершаемый силой поворот мы наблюдаем против часовой стрелки, и отрицательным – если по часовой.

$M_z(\vec{F})=M_0(\vec{F_xy})=hF_xy$

Для нахождения момента силы относительно оси требуется:

• проведение плоскости, перпендикулярной оси $z$;
• проецирование силы $\vec{F}$ на такую плоскость и определение проекции $F_xy$
• проведение плеча $h$ на линию действия проекции силы $F_{xy}$ из точки пересечения оси, определение его длины;
• нахождение произведения указанного плеча, а также проекции силы с соответствующим знаком.

Свойство момента силы относительно оси заключается в следующем: он получит нулевое значение, если: $F_{xy} = 0$ (сила $\vec{F}$ будет параллельной оси) и $h=0$ (ось пересекает линия действия силы).

Момент пары сил определяется формулой: $M(\vec{F},\vec{F})=Fh$. где $\vec{F},\vec{F}$ – силы, которые составляют пару, $h$ - плечо пары.

Момент пары окажется положительным при стремлении сил к вращению плеча против часовой стрелки. Свойства пары сил выражены в:

• нулевом значении суммы проекций сил на ось;
• неизменности момента пары при одновременном изменении значения сил и плеча пары;
• возможности переноса пары в плоскости ее действия при неизменности действия пары на тело.

Момент силы относительно точки будет выражать следующая формула: $M_0(\vec{F})=hF$ Момент окажется положительным при стремлении силы к вращению плеча против часовой стрелки и отрицательным – когда вращать будет по часовой.

Свойства момента силы в отношении точки выражаются в следующем:

• его неизменности в момент переноса точки приложения силы вдоль линии ее действия;
• нулевом значении момента силы при прохождении линии действия силы через точку ее приложения;
• момент равнодействующей силы в отношении точки представляет суммарное значение моментов слагаемых сил относительно нее: $M_0(\vec{R})=M_0(\vec{F_1})+M_0(\vec{F_2})$, где $\vec{R}=\vec{F_1}+\vec{F_2}$

Инерция в теоретической механике

Сила инерции для материальной точки представляет величину вектора и определяется по формуле: $\vec{F_u}=-m\vec{a}$

Силу инерции материального тела выражает формула: $\vec{F_u}=-m\vec{a_с}$, где $a_c$ будет ускорением центра масс тела.

Моментом инерции материального тела в отношении оси считается в теоретической механике количественная мера инертности при вращении. Что касается материальной точки, то момент ее инерции относительно оси определяет формула:

$J_z=mr^2$

Момент инерции системы (тела) в отношении оси выражает формула:

$J_z=\sum{rk^2m_k}$

Общие теоремы динамики в теоретической механике

Общие теоремы динамики помогают установить зависимость показателей механического движения и взаимодействия. Выводы теорем представляют результат тождественного преобразования главного закона динамики.

Теорема изменения количества движения записывается формулами:

• Для материальной точки: $m\vec{V}-m\vec{V_0}=\sum{\vec{S_k}}$
• Для механической системы: $\vec{Q}-\vec{Q_0}=\sum{\vec{S_k}}$

Теорема изменения кинетической энергии:

$\frac{mV_1^2}{2}-\frac{mV_0^2}{2}=\sum{A}{\vec{F_k}}$ (для материальной точки); $T-T_0=\sum{A}(\vec{F_k}$ (для механической системы).

Кинетическая энергия для механической системы определяется так:

$T=\sum{T_k}$ для твердых тел при этом выведены такие зависимости:

$T=\frac{mV^2}{2} для поступательного движения тела;T=\frac{mV^2}{2} для поступательного движения тела;

$T=\frac{J_zw^2}{2}$ - для вращательного движения тела;

$T=\frac{mV^2}{2}+\frac{J_zw^2}{2}$- для плоскопараллельного движения тела

Для момента инерции цилиндра относительно оси формула записывается так: $I_z=\frac{mR^2}{2}$:.

Для момента инерции стержня относительно оси $z$: $I_z=\frac{mL^2}{3}$.

Момент инерции для прямоугольной пластины относительно осей $х$ и $y$ : $I_z=\frac{ma^2}{3}$

Момент инерции шара определяет формула: $I_z=\frac{2mR^2}{5}$

Работа для силы тяжести: $A=Ph$, где:

• $P$ — сила тяжести;
• $h$ - измененное положение тела по вертикали.

Работа силы при вращении тела: $A=Pw$, где $M$ будет моментом силы, а $w$ угловой скоростью тела. Как скалярная величина, работа бывает отрицательной и положительной (при совпадении направления действующей силы и направления движения).