Следствия из постулатов теории относительности

Основа специальной теории относительности (далее СТО) – это два постулата:

• обобщенный принцип относительности;
• принцип неизменности скорости света.

Важно, что выявление факта конечности распространения взаимодействий наполняет понятие силового поля физическим смыслом и вводит его в эту науку в качестве формы существования материи. К основным следствиям из названных постулатов отнесем:

• Относительность расстояний в инерциальных системах отсчета (далее ИСО).
• Относительность времени в ИСО.
• Закон сложения скоростей в СТО.
• Связь массы и скорости.

Относительность времени в ИСО

В механике Ньютона время является параметром, который не зависит от системы отсчета. В этом случае, если в одной ИСО произойдут два события в один момент времени, то и во всех других ИСО они будут считаться произошедшими в один момент времени.

В СТО время течет по-разному в разных системах отсчета, следовательно, говорить о промежутке времени между двумя событиями можно только, если указывать систему отсчета.

Допустим, что система координат $X’Y’Z’$ перемещается с неизменной скоростью $\vec v$ по отношению к системе координат $X,Y,Z$, причем движение происходит по оси $X$. Сигнал света из точки $A$, находящейся на равных расстояниях от $B$ и $C$ в системе $X’Y’Z’$ придет к приемникам $B$ и $C$ одновременно.

В системе $XYZ$ ситуация будет иной. Сигнал попадет в приемник $B$ раньше, поскольку он движется навстречу сигналу, а в точку $C$ позднее, так как она «удаляется» от него. Мы помним, что скорость света равна по всем направлениям.

Обозначим собственное время $\tau_{0}$ , тогда промежуток времени в неподвижной системе отсчета $\Delta t$ связан со временем в подвижной системе ($ \tau_0$) как:

$\Delta t=\frac{\Delta \tau_{0}}{\sqrt {1-\left( \frac{v}{c} \right)^{2}}}\left( 1 \right)$,

Формула (1) показывает, что перемещающиеся часы идут медленнее неподвижных. Этот эффект не является кажущимся, это отражение неабсолютного характера времени.

Время, его ход, одновременность событий являются относительными.

Формула (1) показывает, что перемещающиеся часы идут медленнее неподвижных. Этот эффект не является кажущимся, это отражение неабсолютного характера времени.

Относительность расстояний в инерциальных системах отсчета (ИСО)

Пусть стержень расположен вдоль оси $X$. Его длину будем находить, как разность координат его концов, которые измерялись одновременно. В СТО понятие одновременности относительно, поскольку события, происходящие в одной системе, в другой системе одновременными не являются. Из сказанного следует, что длина стержня в разных системах отсчета различна.

О длине стержня можно говорить, только определив систему отсчета в которой данная длина измеряется.

При этом длина стержня в перемещающейся ИСО находится как:

$\Delta l=\Delta l_{0}\sqrt {1-\frac{v^{2}}{c^{2}}} \left( 2 \right)$.

Из формулы (2) видно, что в движущейся системе отсчета длина тела уменьшается в сравнении с его собственной. Данное явление называют лоренцевым уменьшением размеров тел в направлении движения.

Уменьшение геометрических размеров тел объективно и не является следствием воздействия на тело. Это отражение не абсолютности пространственных интервалов, связанность их с ИСО.

Данное сокращение проявляется при скоростях близких к скорости света.

Поперечные параметры тела при таком движении в ИСО остаются неизменными.

Закон сложения скоростей в СТО

Рассмотрим проекции скорости тела $\ vec v$ на оси координат неподвижной ИСО ($X,Y.Z$). Обозначим их как $v_x; v_y; v_z$. Проекции в движущейся ИСО ($X’,Y’,Z’$) вектора скорости этого же тела $\ vec v’$, обозначим $v_x’; v_y’; v_z’$. Учитывая, что система ($X’,Y’,Z’$) движется относительно системы $X,Y,Z$ со скоростью $u$, имеем:

$v_{x}=\frac{v_{x}^{'}+u}{1+\frac{v_{x}^{'}u}{c^{2}}}\, (3);$

$v_{y}=\frac{v_{y}^{'}\sqrt {1-\frac{u^{2}}{c^{2}}}}{1+\frac{v_{x}^{'}u}{c^{2}}}(4);$

$v_{z}=\frac{v_{z}^{'}\sqrt {1-\frac{u^{2}}{c^{2}}}}{1+\frac{v_{x}^{'}u}{c^{2}}}(5)$.

Выражения (3) – (5) это закон сложения скоростей в СТО. Если предположить, что скорость тела много меньше скорости света (v_x/c≪1), скорость движения системы отсчета много меньше скорости света ($V/c≪1$), то получим:

$v_{x}=v_{x}^{'}+u\left( 6 \right)$,

$v_{y}=v_{y}^{'}\left( 7 \right)$,

$v_{z}=v_{z}^{'}\left( 8 \right)$.

Выражения (6) – (8) это классический закон сложения скоростей.

Если тело перемещается по оси $X$, то имеем:

$v_x=v; v_y=v_z=0, v_x’=v’; v_y’=v_z’=0$:

$v=\frac{v^{'}+u}{1+\frac{v^{'}u}{c^{2}}}\left( 9 \right)$.

Формулы для «обратного перехода» от $\vec v$ к $\vec v’$ будут отличаться от показанных выше знаком при скорости $u$. Допустим, что $\vec v’$$=c$, подставим в (9), получим $\vec v=c$.

Релятивистская динамика

Пусть $m_0$ - масса покоя, тогда выражение для массы в СТО:

$m=\frac{m_{0}}{\sqrt {1-\left( \frac{v}{c} \right)^{2}} }\left( 10 \right)$.

Для фотона, движущегося со скоростью $v=c$, получаем массу покоя равную:

$m_{0}=m\sqrt {1-\left( \frac{c}{c} \right)^{2}} =0\left( 11 \right)$.

Если предположить, что скорость тела больше скорости света, тогда мы получим мнимую массу, что лишено смысла.

Импульс в СТО запишем как:

$\vec{p}=\frac{m_{0}\vec{v}}{\sqrt {1-\left( \frac{v}{c} \right)^{2}} }\left(12 \right)$.

При $v>c$ мы получили бы мнимый импульс, что не имеет физического смысла. При скорости тела много меньше скорости света выражение (12) перейдёт в классическое:

$\vec{p}=m\vec{v}\left( 13 \right)$.

В специальной теории суммарная энергия тела равна:

$W=\frac{m_{0}c^{2}}{\sqrt {1-\left( \frac{v}{c} \right)^{2}} }=mc^{2}\left(14 \right)$.

Если тело покоится, то есть $v=0$, то энергия покоя равна:

$W_{0}=m_{0}c^{2}\left( 15 \right)$.

В СТО не выполняется закон сохранения массы покоя. Так как энергия неподвижного тела помимо суммы энергий покоя частиц, из которых тело состоит, обладает кинетической энергией этих частиц и энергией их взаимодействия, следовательно:

$m_{0}c^{2}\ne \sum\limits_{i=1}^N {m_{0i}c^{2}\left( 16 \right).}$

Поэтому:

$m_{0}\ne \sum\limits_{i=1}^N {m_{0i}\left( 17 \right).}$

Кинетическую энергию тела в СТО найдем как:

$E_{k}=\frac{m_{0}c^{2}}{\sqrt {1-\frac{v^{2}}{c^{2}}} }-m_{0}c^{2}\left( 18\right)$.

Если $\frac{v}{c}\ll 1,$, то формула (18) перейдет в известное нам выражение:

$E_{k}=\frac{mv^{2}}{2}\left( 19 \right)$.

В этом случае разница между массами покоя и движения не является существенной.