Математическим маятником (осциллятором) называется раскачиваемая механическая система из нерастяжимой нити с пренебрежительно малой массой и подвешенного на ней тела с точечной массой. При описании свойств такого идеального маятника пренебрегают также силами трения и прочими потерями, возникающими при проведении аналогичных опытов в реальных условиях.
Колебания идеального маятника (зависимость угла отклонения от времени) описываются уравнением:
$\phi(t) = \phi_0 \cdot cos(\omega_0 \cdot t + \alpha)$,
где:
- $\phi(t)$ – угол отклонения от нижнего положения равновесия в момент $t$,
- $\omega_0$ - циклическая частота,
- $\alpha$ - исходный угол отклонения,
- $\phi_0$ - амплитуда.
Свойства математического маятника
Эксперименты, проведенные над маятниками со свойствами, близкими к идеальным, показали их следующие свойства:
- период колебаний зависит не от массы подвешенного груза, а только от длины нити;
- при небольших углах отклонения частота колебаний не зависит и от амплитуды (это явление называется изохронизмом).
Период колебаний идеального маятника можно определить по формуле:
$T = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}$,
где $l$ – длина нити математического маятника, $g$ – ускорение свободного падения.
Применение маятников на практике
Маятники применяют для создания хронометров. В таких часах период колебаний, отсчитывающих время, регулируют изменением расстояния между точкой крепления подвеса к неподвижной оси и центром тяжести подвешенного груза.
Колебания маятника математически впервые описал в XVII в. Христиан Гюйгенс, который применил свои теоретические разработки для создания точных механических часов.
В геодезии зависимость частоты колебаний маятников от изменения силы гравитации используется при определении географической широты.
Уточнить ускорение свободного падения для данной географической широты, если математический маятник длиной 1 м, совершает колебания с частотой 0,5 Гц (амплитуда колебаний достаточно мала).
Выразим ускорение из уравнения периода колебаний математического маятника:
$g = \frac{4 \cdot \pi^2 \cdot l}{T^2}$
Частота $\omega$ - величина обратная периоду колебаний, значит
$T = \frac{1}{\omega}$
Подставив значения, получим
$T = \frac{1}{0,5} = 2 с$
Таким образом,
$g = \frac{4 \cdot \pi^2 \cdot 1}{2^2} = \frac{4 \cdot \pi^2 \cdot 1}{2^2} = 3.14159265359^2 \approx 9,8696$
Ответ: ускорение приблизительно равно $9,8696 м/с^2$
