Стационарное уравнение Шредингера

Уравнение (1) является справедливым для любой частицы, которая движется со скоростью много меньшей скорости света ($v\ll c,\ где\ c\ $-- скорость света в вакууме). Уравнение Шредингера дополняют условиями, которые накладываются на волновую функцию $\Psi\ (x,y,z,t)$:

1. Данная функция должна быть конечной, непрерывной и однозначной.

2. Производные от этой функции ($\frac{\partial \Psi}{\partial x},\ \frac{\partial \Psi}{\partial y},\frac{\partial \Psi}{\partial z},\frac{\partial \Psi}{\partial t}$) должны быть непрерывны.

3. Функция ${\left|\Psi\right|}^2$ должна быть интегрируемой, что означает, интеграл $\iiint\limits^{\infty }_{-\infty }{{\left|\Psi\right|}^2dxdydz}$ должен быть конечным. В самом простом случае данное условие сводится к условию нормировки вероятностей. Это условие связано с тем, что физическим смыслом обладает не сама волновая функция, а ${\left|\Psi\right|}^2$.

Значение вышеперечисленных условий в том, что с их помощью не решая уравнения Шредингера, только изучая возможные решения, можно делать ряд важных выводов об энергии и других параметрах рассматриваемой частицы.

Уравнение (1) называют временн$\acute{ы}$м уравнением Шредингера, так как оно содержит производную от волновой функции по времени.

Стационарное уравнение Шредингера

Для большого числа явлений, которые происходят в микромире можно использовать стационарную волновую функцию (независящую от времени) и соответственно стационарное уравнение Шредингера. Такое уравнение имеет смысл для задач, в которых потенциальная энергия не зависит от времени ($U=U\left(x,y,z\right)$).

Решение уравнения (1) найдем в виде:

Подставим выражение (2) в уравнение Шредингера (1), получим:

Разделим обе части выражения (3) на произведение функций $\varphi \Psi$, имеем:

В уравнении (4) левая часть -- функция только координат, правая -- только времени. Равенство возможно только в случае, если обе части уравнения равны некоторой постоянной. Обозначим ее $-E$ и запишем:

Уравнение (6) называют стационарным уравнением Шредингера. Оно является важным уравнением в квантовой механике и играет основную роль в атомной физике. Функции $\Psi$, которые удовлетворяют уравнению Шредингера при известной U, называют собственными функциями. Величины $E$ при которых существуют решения уравнения Шредингера (6) называют собственными значениями.

Уравнение (5) можно проинтегрировать. Получим:

где ${\varphi }_0=\varphi_0\left(0\right)$- значение $\varphi (t)$ в начальный момент времени (t=0).

Для определения смысла величины $E$ в стационарном уравнении Шредингера уравнение (6) сравнивают с волновым уравнением:

где $v^2_{faz}$ -- фазовая скорость волн в квадрате. Для синусоидальных волн ($S=A\left(r\right)e^{-i2\pi \nu (t-\frac{r}{v_{faz}})},\ \ где\ \nu \ --\ частота\ волны$):

уравнение (8) записывается как:

К волнам де Бройля, которые связаны с движущимися частицами, можно применять уравнение (9). Для длины волны де Бройля известно соотношение:

где $v_{faz}$- фазовая скорость волн де Бройля, $\nu$ -- частота волн де Бройля. Подставим вместо $\frac{\nu }{v_{faz}}$ в уравнение (10) в соответствии с (11) величину $\frac{mv}{h}$, вместо $S$ волновую функцию, получим:

$\frac{mv^2}{2}=E-U$ -- кинетическая энергия частицы, где $E$ -- ее полная энергия. Выражение $\frac{4{\pi }^2m^2v^2}{h^2}$ перепишем как:

Значит в уравнении (12) имеем:

Мы получили уравнение (14) тождественное со стационарным уравнением Шредингера. Рассуждения, приведенные выше, подчеркивают волновой характер уравнения Шредингера. Надо отметить, что представление полной энергии ($E$) как суммы потенциальной и кинетической энергии в квантовой механике имеет ограниченный характер.

Уравнение Шредингера находится в согласии с предположением о связи полной энергии ($E$) частицы с частотой волн де Бройля. Решение уравнения Шредингера можно записать в виде:

Так, состояние частицы в рассматриваемый момент времени можно описать периодической функцией времени, имеющей циклическую частоту ($\omega =\frac{E}{\hbar }$), которая определена полной энергией частицы.