Собственные значения, собственные функции
Физический смысл имеют те решения уравнения Шредингера:
которые удовлетворяют естественным (стандартным) условиям. Согласно им волновая функция должна быть конечной, однозначной, непрерывной и гладкой во всем пространстве, даже в точках разрыва потенциальной энергии. Решения, которые удовлетворяют данным требованиям, возможны не при любых значениях $E$, а только при некоторых, которые обозначим: $E_1,E_2,\dots ,\ E_n.$
Значения энергии ($E_1,E_2,\dots ,\ E_n.$), при которых уравнение (1) имеет необходимые решения, называют собственными значениями. При этом функции $\Psi_1,\ \Psi_2,\ \dots ,\ \Psi_n$, которые являются решениями уравнения (1) при $E=E_1,E=E_2,\dots ,E=\ E_n$ называют собственными функциями, принадлежащими собственным значениям. В этом состоит сущность общего принципа квантования.
Собственные значения энергии $E$ принимают за возможные значения энергии в соответствующих стационарных состояниях. Данные значения могут быть дискретными или непрерывными, при этом возникает дискретный или непрерывный энергетический спектр.
Собственные значения и собственные функции операторов
Рассмотрим уравнение вида:
где $\hat{A}$ -- линейный оператор, $a$ -- число, $\Psi$ -- функция. В данном случае действие оператора есть умножение функций на число. Такие функции называют собственными функциями рассматриваемого оператора $\hat{A}.$ Решения уравнения (2) существуют только для специальных значений $a$, которые называют собственными значениями оператора $\hat{A}$. Уравнение (2) при этом записывают как:
где $a_n$ -- собственные значения, $\Psi_n$ -- собственные функции, соответствующие собственным значениям. Каждая из этих функций предполагается нормированной так, что:
Итак, значения, которые может принимать данная физическая величина в квантовой механике, называют собственными значениями. Совокупность собственных значений -- спектр собственных значений рассматриваемой величины.
Если система находится в каком-то состоянии, которое характеризует волновая функция $\Psi$, то проведение измерения некоторой величины $a$, относящейся к исследуемой системе, даст одно из собственных значений $a_n.$
Собственные значения всех операторов физических величин принимают исключительно действительные значения.
Совокупность собственных функций составляет полную систему, это значит, что любое состояние системы $\Psi$ представимо в виде единственного и однозначного разложения в ряд по собственным функциям:
где ${\left|C_n\right|}^2$ -- вероятность того, что при измерении физической величины, которая соответствует оператору $\hat{A}$ будет соответствовать измерение $A_n$ для волновой функции $\Psi_n.$
Среднее значение физической величины
Среднее значение любой физической величины ($\left\langle A\right\rangle $) в квантовой механике определяется из вероятностного смысла волновой функции:
Аналогов такого усреднения в классической физике нет. В ней часто проводят усреднение по времени для некоторой величины. Для большого количества частиц проводят усреднения по ансамблю, как например, вычисляют среднюю скорость движения молекул в веществе. В рассматриваемом нами случае усреднение производится по квантовому состоянию микрообъекта в фиксированный момент времени. Провести подобное усреднение эмпирически весьма затруднительно.
Среднее значение по квантовому состоянию величины координаты частицы можно определить как:
Дисперсия физической величины
Подобно теории вероятности в квантовой физике вводят дисперсию среднего значения координаты. Она определяет разброс полученных при измерении величин относительно среднего значения исследуемой координаты. Дисперсию при этом определяют как:
где $\left\langle x^2\right\rangle =\int\limits_V{\Psi^*\left(\overrightarrow{r},t\right)x^2 \Psi\left(\overrightarrow{r},t\right)dV}$ среднее значение квадрата координаты частицы.
Аналогичное выражение можно использовать для дисперсии величины импульса:
где квадрат вредней величины импульса равен:
Сделав обобщение, можно записать, что дисперсия некоторой величины $A$, которая определяет разброс результатов измерений по отношению к среднему, можно найти как:
Отметим, что дисперсия величины $A$ в собственном состоянии равна нулю, что означает физическая величина, имеет определенное значение, которое точно определено и равно собственному значению оператора $\hat{A}.$
Задание: Используя уравнение $\hat{A}\Psi=A \Psi,$ найдите $\Psi$-функцию состояния, в котором проекция импульса на ось $X$ имеет определенную величину $p_x$.
Решение:
Используем выражение для оператора импульса:
\[{\hat{p}}_x=-i\hbar \frac{\partial }{\partial x}(1.1)\]подставим его в уравнение:
\[\hat{A}\Psi=A\Psi (1.2)\]вместо оператора $\hat{A}$, имеем:
\[-i\hbar \frac{\partial }{\partial x}\Psi=p_x \Psi\left(1.3\right)\to \frac{\partial \Psi}{\Psi}=i\frac{p_x}{\hbar }\partial x\to {\ln \left(\Psi\right)\ }=i\frac{p_x}{\hbar }x.\]Уравнению (1.3) удовлетворяет функция:
\[\Psi=e^{i\frac{p_xx}{\hbar }}.\]Данная функция удовлетворяет естественным условиям, то есть искомая функция найдена.
Ответ: $\Psi=e^{i\frac{p_xx}{\hbar }}.$
Задание: Какова средняя кинетическая энергия частицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме с непроницаемыми стенками ($0
Решение:
Проведем нормирование функции $\Psi\left(x\right).$Найдем коэффициент $A$. Для этого запишем:
\[\int\limits^l_0{\Psi^2dx}=A^2\int\limits^l_0{x^2{\left(l-x\right)}^2dx}=\frac{A^2l^5}{30}\to A^2=\frac{30}{l^5}\left(2.1\right).\]Величина средней кинетической энергии определяется как:
\[\left\langle E_k\right\rangle =\int\limits^l_0{\Psi^*}\left({\hat{E}}_k \Psi\right)dx\left(2.2\right),\]где
\[\left({\hat{E}}_k \Psi\right)=-\frac{{\hbar }^2}{2m}\frac{{\partial }^2 \Psi}{\partial x^2}=-\frac{{\hbar }^2}{2m}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\left(Ax\left(l-x\right)\right)=\frac{{\hbar }^2}{2m}2A=\frac{{\hbar }^2}{m}A\left(2.3\right).\]Подставим результат выражения (2.3), стоящий в правой части в формулу (2.2), имеем:
\[\left\langle E_k\right\rangle =\int\limits^l_0{Ax\left(l-x\right)}\frac{{\hbar }^2}{m}Adx=A^2\frac{{\hbar }^2}{m}\left[\int\limits^l_0{xldx-\int\limits^l_0{x^2}}dx\right]=\frac{30}{l^5}\frac{{\hbar }^2}{m}\left(\frac{l^3}{2}-\frac{l^3}{3}\right)=\frac{5}{l^2}\frac{{\hbar }^2}{m}.\]Ответ: $\left\langle E_k\right\rangle =\frac{5}{l^2}\frac{{\hbar }^2}{m}.$
