Processing math: 100%
Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Собственные значения и собственные функции операторов

Собственные значения, собственные функции

Физический смысл имеют те решения уравнения Шредингера:

которые удовлетворяют естественным (стандартным) условиям. Согласно им волновая функция должна быть конечной, однозначной, непрерывной и гладкой во всем пространстве, даже в точках разрыва потенциальной энергии. Решения, которые удовлетворяют данным требованиям, возможны не при любых значениях E, а только при некоторых, которые обозначим: E1,E2,, En.

Значения энергии (E1,E2,, En.), при которых уравнение (1) имеет необходимые решения, называют собственными значениями. При этом функции Ψ1, Ψ2, , Ψn, которые являются решениями уравнения (1) при E=E1,E=E2,,E= En называют собственными функциями, принадлежащими собственным значениям. В этом состоит сущность общего принципа квантования.

Собственные значения энергии E принимают за возможные значения энергии в соответствующих стационарных состояниях. Данные значения могут быть дискретными или непрерывными, при этом возникает дискретный или непрерывный энергетический спектр.

Собственные значения и собственные функции операторов

Рассмотрим уравнение вида:

где ˆA -- линейный оператор, a -- число, Ψ -- функция. В данном случае действие оператора есть умножение функций на число. Такие функции называют собственными функциями рассматриваемого оператора ˆA. Решения уравнения (2) существуют только для специальных значений a, которые называют собственными значениями оператора ˆA. Уравнение (2) при этом записывают как:

где an -- собственные значения, Ψn -- собственные функции, соответствующие собственным значениям. Каждая из этих функций предполагается нормированной так, что:

Итак, значения, которые может принимать данная физическая величина в квантовой механике, называют собственными значениями. Совокупность собственных значений -- спектр собственных значений рассматриваемой величины.

«Собственные значения и собственные функции операторов» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Найти

Если система находится в каком-то состоянии, которое характеризует волновая функция Ψ, то проведение измерения некоторой величины a, относящейся к исследуемой системе, даст одно из собственных значений an.

Собственные значения всех операторов физических величин принимают исключительно действительные значения.

Совокупность собственных функций составляет полную систему, это значит, что любое состояние системы Ψ представимо в виде единственного и однозначного разложения в ряд по собственным функциям:

где |Cn|2 -- вероятность того, что при измерении физической величины, которая соответствует оператору ˆA будет соответствовать измерение An для волновой функции Ψn.

Среднее значение физической величины

Среднее значение любой физической величины (A) в квантовой механике определяется из вероятностного смысла волновой функции:

Аналогов такого усреднения в классической физике нет. В ней часто проводят усреднение по времени для некоторой величины. Для большого количества частиц проводят усреднения по ансамблю, как например, вычисляют среднюю скорость движения молекул в веществе. В рассматриваемом нами случае усреднение производится по квантовому состоянию микрообъекта в фиксированный момент времени. Провести подобное усреднение эмпирически весьма затруднительно.

Среднее значение по квантовому состоянию величины координаты частицы можно определить как:

Дисперсия физической величины

Подобно теории вероятности в квантовой физике вводят дисперсию среднего значения координаты. Она определяет разброс полученных при измерении величин относительно среднего значения исследуемой координаты. Дисперсию при этом определяют как:

где x2=VΨ(r,t)x2Ψ(r,t)dV среднее значение квадрата координаты частицы.

Аналогичное выражение можно использовать для дисперсии величины импульса:

где квадрат вредней величины импульса равен:

Сделав обобщение, можно записать, что дисперсия некоторой величины A, которая определяет разброс результатов измерений по отношению к среднему, можно найти как:

Отметим, что дисперсия величины A в собственном состоянии равна нулю, что означает физическая величина, имеет определенное значение, которое точно определено и равно собственному значению оператора ˆA.

Пример 1

Задание: Используя уравнение ˆAΨ=AΨ, найдите Ψ-функцию состояния, в котором проекция импульса на ось X имеет определенную величину px.

Решение:

Используем выражение для оператора импульса:

ˆpx=ix(1.1)

подставим его в уравнение:

ˆAΨ=AΨ(1.2)

вместо оператора ˆA, имеем:

ixΨ=pxΨ(1.3)ΨΨ=ipxxln(Ψ) =ipxx.

Уравнению (1.3) удовлетворяет функция:

Ψ=eipxx.

Данная функция удовлетворяет естественным условиям, то есть искомая функция найдена.

Ответ: Ψ=eipxx.

Пример 2

Задание: Какова средняя кинетическая энергия частицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме с непроницаемыми стенками ($0

Решение:

Проведем нормирование функции Ψ(x).Найдем коэффициент A. Для этого запишем:

l0Ψ2dx=A2l0x2(lx)2dx=A2l530A2=30l5(2.1).

Величина средней кинетической энергии определяется как:

Ek=l0Ψ(ˆEkΨ)dx(2.2),

где

(ˆEkΨ)=22m2Ψx2=22m2x2(Ax(lx))=22m2A=2mA(2.3).

Подставим результат выражения (2.3), стоящий в правой части в формулу (2.2), имеем:

Ek=l0Ax(lx)2mAdx=A22m[l0xldxl0x2dx]=30l52m(l32l33)=5l22m.

Ответ: Ek=5l22m.

Дата последнего обновления статьи: 12.05.2024
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Собственные значения и собственные функции операторов"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant