Характеристики бозонов и фермионов
В соответствии с принципом тождественности частиц все имеющиеся в мире частицы можно разделить на бозоны и фермионы. Так как принцип тождественности, сформулированный Паули говорит о том, что волновые функции совокупности тождественных частиц могут быть симметричными или антисимметричными относительно перестановки двух произвольных частиц, при этом бозонам ставят в соответствие симметричные $\Psi$- функции, а ферми-частицам -- антисимметричные. В математической записи вышесказанное означает:
где $q_1,\dots ,q_i,{\dots ,q}_j\dots ,q_N$ -- координаты $N$ частиц, перестановка реализуется для частиц $i\ и\ j$. При этом $\alpha =+1$ для бозонов, и $\alpha =-1$ для ферми-частиц. В том и другом случаях выполняется равенство:
Выражение (2) означает, что частицы невозможно отметить (они не различимы).
Для классификации микрочастиц применяют простое правило: фермионы имеют полуцелый спин. (Спин -- собственный механический момент количества движения, это внутренне свойство частиц). Если быть более точными, то не сам спин, а проекцию спина на выделенное направление, например, ($Z$) ($s_z$):
бозоны -- нулевой или целый спин.
Фермионы подчиняются принципу запрета Паули и статистике Ферми -- Дирака. Самым известным представителем фермионов является электрон.
Квантовые свойства и законы статистики для систем тождественных частиц начинают становиться существенными при температурах ниже температуры вырождения ($T_0$). Эта температура, при которой длина волны де Бройля, которая соответствует энергии теплового движения микрочастиц, сравнима с расстоянием между частицами. Если температуры рассматриваемых систем больше, чем $T_0$, то квантовые свойства не являются существенными.
Функция распределения Ферми -- Дирака
Допустим, что система фермионов представима в виде идеального газа, который находится в состоянии равновесия при температуре $T$.
Функция распределения Ферми -- Дирака ($f(E)$) определяет вероятность нахождения фермиона в состоянии с энергией $E$. Для температуры $T$ ее можно записать как:
где $\mu $ -- химический потенциал, $k_B$ -- постоянная Больцмана. Вероятность того, что уровень энергии при $E=\ \mu $ при любой температуре, заполнен равна $\frac{1}{2}$ (то есть $f\left(E=\mu \right)=\frac{1}{2}$).
При $T=0K$ функция $f\left(E\right)$ представлена как ступенька. Величина химического потенциала при $T=0K$ имеет специальное название -- энергия Ферми ($E_F$). Все состояния c энергиями ${E
Из-за теплового движения микрочастиц при $T >0K$ функция $f\left(E\right)$ размыта в окрестности $E_F.$
В области низких температур ($k_BT\ll \mu $) функция распределения Ферми -- Дирака около $E=\mu $ можно охарактеризовать линейной зависимостью, разложив $f\left(E\right)$ в ряд Тейлора, ограничиваясь нулевым и первым членами разложения:
Функция распределения Бозе - Эйнштейна
Зависимость среднего количества квантов $\left\langle N\right\rangle $ возбуждения от температуры и энергии, которую имеет квант, определяет функцию распределения Бозе -- Эйнштейна:
В общем случае для бозонов справедлива функция распределения вида:
где $\left\langle N\right\rangle $ -- среднее количество микрочастиц, находящихся в состоянии с энергией $E$, $\mu $ -- термохимический потенциал, который определен изменением полной энергии системы (W), если изменяется количество частиц в системе ($N_{sist}$), то есть:
Напомним, что количество бозонов не ограничивается для любого квантового состояния.
В случае бозонов при $T\ll \frac{\hbar \omega }{k_B}$ (низкие температуры) среднее количество квантов в состоянии возбуждения и энергия квантового осциллятора малы, тогда можно использовать для расчетов формулу:
при этом энергия квантового осциллятора равна:
Покажите, что вероятность того, что состояние, имеющее энергию $E_F+\delta ,$ занято такая же, как вероятность того, что состояние с энергией $E_F-\delta $ свободно. Рассмотреть систему фермионов. Газ считать вырожденным.
Решение:
Выражение которое следует доказать запишем следующим образом:
\[f\left(E_F+\delta \right)=1-f\left(E_F-\delta \right)\left(1.1\right).\]В качестве основы для решения задачи используем выражение для функции распределения Ферми -- Дирака:
\[f\left(E\right)=\frac{1}{{\exp \left(\frac{E-\mu }{k_BT}\right)\ }+1}\left(1.2\right).\]Подставим вместо величины $E,$ рассматриваемые нами энергии, получим:
\[f\left(E_1\right)=\frac{1}{{\exp \left(\frac{E_F+\delta -\mu }{k_BT}\right)\ }+1}\ \ и\ \left(E_2\right)=\frac{1}{{\exp \left(\frac{E_F-\delta -\mu }{k_BT}\right)\ }+1}\ (1.3).\]Используем формулы (1.3), подставив их в (1.1), имеем:
\[\frac{1}{{\exp \left(\frac{E_F+\delta -\mu }{k_BT}\right)\ }+1}=1-\frac{1}{{exp \left(\frac{E_F-\delta -\mu }{k_BT}\right)\ }+1}\left(1.4\right).\]Так как газ считают вырожденным, то $\mu =E_F$ ($E_F$ -- энергия Ферми), следовательно $E_F+\delta -\mu =\delta $, $E_F-\delta -\mu =-\delta $. Учитывая данное условие, перепишем выражение (1.4), имеем:
\[\frac{1}{{\exp \left(\frac{\delta }{k_BT}\right)\ }+1}=1-\frac{1}{{exp \left(\frac{-\delta }{k_BT}\right)\ }+1}=\frac{{exp \left(\frac{-\delta }{k_BT}\right)\ }+1-1}{{exp \left(\frac{-\delta }{k_BT}\right)\ }+1}=\frac{{exp \left(\frac{-\delta }{k_BT}\right)\ }}{{exp \left(\frac{-\delta }{k_BT}\right)\ }+1}=\frac{{exp \left(\frac{-\delta }{k_BT}\right)\ }{exp \left(\frac{\delta }{k_BT}\right)\ }}{\left({exp \left(\frac{-\delta }{k_BT}\right)\ }+1\right){exp \left(\frac{\delta }{k_BT}\right)\ }}=\frac{1}{1+{exp \left(\frac{\delta }{k_BT}\right)\ }}\left(1.4\right).\]Так, в (1.4) мы получили тождество.
Особенность распределения бозе - частиц -- это то, что если один бозон из-за каких -- либо причин рассеется в некоторое состояние, то вероятность рассеяния второй подобной частицы (из-за других причин), в аналогичное состояние увеличивается в два раза, в сравнении с вероятностью рассеяния не тождественных частиц. Объясните данное явление.
Решение:
Пусть мы имеем $N$ тождественных бозонов, которые находятся в некотором состоянии. Вероятность того, что еще одна частица придет в это же состояние увеличена в $(N+1)$ раз в сравнении с вероятностью, которая имелась бы если бы частицы были не тождественны.
Данное явление можно уподобить интерференции $N$ когерентных волн, которые имеют одинаковую амплитуду и интенсивность, равную $I$. При этом напряженность суммарного поля пропорциональна количеству волн, интенсивность $(N^2I$), и она растет в сравнении с интенсивностью одной волны в${\ N}^2$ раз. Добавка в виде еще одной волны дает интенсивность ${(N+1)}^2I$. Если волны некогерентны, то их интенсивность была бы $(N+1)I$. Получается, что добавок в виде одной волны (к имеющимся $N$ когерентным волнам) ведет к росту интенсивности в $(N+1)$ раз (если сравнить с некогерентными волнами). Такой эффект лежит в основе бозе -- конденсации.
