Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Системы Ферми- и Бозе- частиц

Характеристики бозонов и фермионов

В соответствии с принципом тождественности частиц все имеющиеся в мире частицы можно разделить на бозоны и фермионы. Так как принцип тождественности, сформулированный Паули говорит о том, что волновые функции совокупности тождественных частиц могут быть симметричными или антисимметричными относительно перестановки двух произвольных частиц, при этом бозонам ставят в соответствие симметричные Ψ- функции, а ферми-частицам -- антисимметричные. В математической записи вышесказанное означает:

где q1,,qi,,qj,qN -- координаты N частиц, перестановка реализуется для частиц i и j. При этом α=+1 для бозонов, и α=1 для ферми-частиц. В том и другом случаях выполняется равенство:

Выражение (2) означает, что частицы невозможно отметить (они не различимы).

Для классификации микрочастиц применяют простое правило: фермионы имеют полуцелый спин. (Спин -- собственный механический момент количества движения, это внутренне свойство частиц). Если быть более точными, то не сам спин, а проекцию спина на выделенное направление, например, (Z) (sz):

бозоны -- нулевой или целый спин.

Фермионы подчиняются принципу запрета Паули и статистике Ферми -- Дирака. Самым известным представителем фермионов является электрон.

Квантовые свойства и законы статистики для систем тождественных частиц начинают становиться существенными при температурах ниже температуры вырождения (T0). Эта температура, при которой длина волны де Бройля, которая соответствует энергии теплового движения микрочастиц, сравнима с расстоянием между частицами. Если температуры рассматриваемых систем больше, чем T0, то квантовые свойства не являются существенными.

Функция распределения Ферми -- Дирака

Допустим, что система фермионов представима в виде идеального газа, который находится в состоянии равновесия при температуре T.

«Системы Ферми- и Бозе- частиц» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Помощь с рефератом от нейросети
Написать ИИ

Функция распределения Ферми -- Дирака (f(E)) определяет вероятность нахождения фермиона в состоянии с энергией E. Для температуры T ее можно записать как:

где μ -- химический потенциал, kB -- постоянная Больцмана. Вероятность того, что уровень энергии при E= μ при любой температуре, заполнен равна 12 (то есть f(E=μ)=12).

При T=0K функция f(E) представлена как ступенька. Величина химического потенциала при T=0K имеет специальное название -- энергия Ферми (EF). Все состояния c энергиями ${E

Из-за теплового движения микрочастиц при T>0K функция f(E) размыта в окрестности EF.

В области низких температур (kBTμ) функция распределения Ферми -- Дирака около E=μ можно охарактеризовать линейной зависимостью, разложив f(E) в ряд Тейлора, ограничиваясь нулевым и первым членами разложения:

Функция распределения Бозе - Эйнштейна

Зависимость среднего количества квантов N возбуждения от температуры и энергии, которую имеет квант, определяет функцию распределения Бозе -- Эйнштейна:

В общем случае для бозонов справедлива функция распределения вида:

где N -- среднее количество микрочастиц, находящихся в состоянии с энергией E, μ -- термохимический потенциал, который определен изменением полной энергии системы (W), если изменяется количество частиц в системе (Nsist), то есть:

Напомним, что количество бозонов не ограничивается для любого квантового состояния.

В случае бозонов при TωkB (низкие температуры) среднее количество квантов в состоянии возбуждения и энергия квантового осциллятора малы, тогда можно использовать для расчетов формулу:

при этом энергия квантового осциллятора равна:

Пример 1

Покажите, что вероятность того, что состояние, имеющее энергию EF+δ, занято такая же, как вероятность того, что состояние с энергией EFδ свободно. Рассмотреть систему фермионов. Газ считать вырожденным.

Решение:

Выражение которое следует доказать запишем следующим образом:

f(EF+δ)=1f(EFδ)(1.1).

В качестве основы для решения задачи используем выражение для функции распределения Ферми -- Дирака:

f(E)=1exp(EμkBT) +1(1.2).

Подставим вместо величины E, рассматриваемые нами энергии, получим:

f(E1)=1exp(EF+δμkBT) +1  и (E2)=1exp(EFδμkBT) +1 (1.3).

Используем формулы (1.3), подставив их в (1.1), имеем:

1exp(EF+δμkBT) +1=11exp(EFδμkBT) +1(1.4).

Так как газ считают вырожденным, то μ=EF (EF -- энергия Ферми), следовательно EF+δμ=δ, EFδμ=δ. Учитывая данное условие, перепишем выражение (1.4), имеем:

1exp(δkBT) +1=11exp(δkBT) +1=exp(δkBT) +11exp(δkBT) +1=exp(δkBT) exp(δkBT) +1=exp(δkBT) exp(δkBT) (exp(δkBT) +1)exp(δkBT) =11+exp(δkBT) (1.4).

Так, в (1.4) мы получили тождество.

Пример 2

Особенность распределения бозе - частиц -- это то, что если один бозон из-за каких -- либо причин рассеется в некоторое состояние, то вероятность рассеяния второй подобной частицы (из-за других причин), в аналогичное состояние увеличивается в два раза, в сравнении с вероятностью рассеяния не тождественных частиц. Объясните данное явление.

Решение:

Пусть мы имеем N тождественных бозонов, которые находятся в некотором состоянии. Вероятность того, что еще одна частица придет в это же состояние увеличена в (N+1) раз в сравнении с вероятностью, которая имелась бы если бы частицы были не тождественны.

Данное явление можно уподобить интерференции N когерентных волн, которые имеют одинаковую амплитуду и интенсивность, равную I. При этом напряженность суммарного поля пропорциональна количеству волн, интенсивность (N2I), и она растет в сравнении с интенсивностью одной волны в N2 раз. Добавка в виде еще одной волны дает интенсивность (N+1)2I. Если волны некогерентны, то их интенсивность была бы (N+1)I. Получается, что добавок в виде одной волны (к имеющимся N когерентным волнам) ведет к росту интенсивности в (N+1) раз (если сравнить с некогерентными волнами). Такой эффект лежит в основе бозе -- конденсации.

Дата последнего обновления статьи: 17.05.2024
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Крупнейшая русскоязычная библиотека студенческих решенных задач
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Системы Ферми- и Бозе- частиц"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant