Характеристики бозонов и фермионов
В соответствии с принципом тождественности частиц все имеющиеся в мире частицы можно разделить на бозоны и фермионы. Так как принцип тождественности, сформулированный Паули говорит о том, что волновые функции совокупности тождественных частиц могут быть симметричными или антисимметричными относительно перестановки двух произвольных частиц, при этом бозонам ставят в соответствие симметричные Ψ- функции, а ферми-частицам -- антисимметричные. В математической записи вышесказанное означает:
где q1,…,qi,…,qj…,qN -- координаты N частиц, перестановка реализуется для частиц i и j. При этом α=+1 для бозонов, и α=−1 для ферми-частиц. В том и другом случаях выполняется равенство:
Выражение (2) означает, что частицы невозможно отметить (они не различимы).
Для классификации микрочастиц применяют простое правило: фермионы имеют полуцелый спин. (Спин -- собственный механический момент количества движения, это внутренне свойство частиц). Если быть более точными, то не сам спин, а проекцию спина на выделенное направление, например, (Z) (sz):
бозоны -- нулевой или целый спин.
Фермионы подчиняются принципу запрета Паули и статистике Ферми -- Дирака. Самым известным представителем фермионов является электрон.
Квантовые свойства и законы статистики для систем тождественных частиц начинают становиться существенными при температурах ниже температуры вырождения (T0). Эта температура, при которой длина волны де Бройля, которая соответствует энергии теплового движения микрочастиц, сравнима с расстоянием между частицами. Если температуры рассматриваемых систем больше, чем T0, то квантовые свойства не являются существенными.
Функция распределения Ферми -- Дирака
Допустим, что система фермионов представима в виде идеального газа, который находится в состоянии равновесия при температуре T.
Функция распределения Ферми -- Дирака (f(E)) определяет вероятность нахождения фермиона в состоянии с энергией E. Для температуры T ее можно записать как:
где μ -- химический потенциал, kB -- постоянная Больцмана. Вероятность того, что уровень энергии при E= μ при любой температуре, заполнен равна 12 (то есть f(E=μ)=12).
При T=0K функция f(E) представлена как ступенька. Величина химического потенциала при T=0K имеет специальное название -- энергия Ферми (EF). Все состояния c энергиями ${E
Из-за теплового движения микрочастиц при T>0K функция f(E) размыта в окрестности EF.
В области низких температур (kBT≪μ) функция распределения Ферми -- Дирака около E=μ можно охарактеризовать линейной зависимостью, разложив f(E) в ряд Тейлора, ограничиваясь нулевым и первым членами разложения:
Функция распределения Бозе - Эйнштейна
Зависимость среднего количества квантов ⟨N⟩ возбуждения от температуры и энергии, которую имеет квант, определяет функцию распределения Бозе -- Эйнштейна:
В общем случае для бозонов справедлива функция распределения вида:
где ⟨N⟩ -- среднее количество микрочастиц, находящихся в состоянии с энергией E, μ -- термохимический потенциал, который определен изменением полной энергии системы (W), если изменяется количество частиц в системе (Nsist), то есть:
Напомним, что количество бозонов не ограничивается для любого квантового состояния.
В случае бозонов при T≪ℏωkB (низкие температуры) среднее количество квантов в состоянии возбуждения и энергия квантового осциллятора малы, тогда можно использовать для расчетов формулу:
при этом энергия квантового осциллятора равна:
Покажите, что вероятность того, что состояние, имеющее энергию EF+δ, занято такая же, как вероятность того, что состояние с энергией EF−δ свободно. Рассмотреть систему фермионов. Газ считать вырожденным.
Решение:
Выражение которое следует доказать запишем следующим образом:
f(EF+δ)=1−f(EF−δ)(1.1).В качестве основы для решения задачи используем выражение для функции распределения Ферми -- Дирака:
f(E)=1exp(E−μkBT) +1(1.2).Подставим вместо величины E, рассматриваемые нами энергии, получим:
f(E1)=1exp(EF+δ−μkBT) +1 и (E2)=1exp(EF−δ−μkBT) +1 (1.3).Используем формулы (1.3), подставив их в (1.1), имеем:
1exp(EF+δ−μkBT) +1=1−1exp(EF−δ−μkBT) +1(1.4).Так как газ считают вырожденным, то μ=EF (EF -- энергия Ферми), следовательно EF+δ−μ=δ, EF−δ−μ=−δ. Учитывая данное условие, перепишем выражение (1.4), имеем:
1exp(δkBT) +1=1−1exp(−δkBT) +1=exp(−δkBT) +1−1exp(−δkBT) +1=exp(−δkBT) exp(−δkBT) +1=exp(−δkBT) exp(δkBT) (exp(−δkBT) +1)exp(δkBT) =11+exp(δkBT) (1.4).Так, в (1.4) мы получили тождество.
Особенность распределения бозе - частиц -- это то, что если один бозон из-за каких -- либо причин рассеется в некоторое состояние, то вероятность рассеяния второй подобной частицы (из-за других причин), в аналогичное состояние увеличивается в два раза, в сравнении с вероятностью рассеяния не тождественных частиц. Объясните данное явление.
Решение:
Пусть мы имеем N тождественных бозонов, которые находятся в некотором состоянии. Вероятность того, что еще одна частица придет в это же состояние увеличена в (N+1) раз в сравнении с вероятностью, которая имелась бы если бы частицы были не тождественны.
Данное явление можно уподобить интерференции N когерентных волн, которые имеют одинаковую амплитуду и интенсивность, равную I. При этом напряженность суммарного поля пропорциональна количеству волн, интенсивность (N2I), и она растет в сравнении с интенсивностью одной волны в N2 раз. Добавка в виде еще одной волны дает интенсивность (N+1)2I. Если волны некогерентны, то их интенсивность была бы (N+1)I. Получается, что добавок в виде одной волны (к имеющимся N когерентным волнам) ведет к росту интенсивности в (N+1) раз (если сравнить с некогерентными волнами). Такой эффект лежит в основе бозе -- конденсации.