Системы Ферми- и Бозе- частиц

Характеристики бозонов и фермионов

В соответствии с принципом тождественности частиц все имеющиеся в мире частицы можно разделить на бозоны и фермионы. Так как принцип тождественности, сформулированный Паули говорит о том, что волновые функции совокупности тождественных частиц могут быть симметричными или антисимметричными относительно перестановки двух произвольных частиц, при этом бозонам ставят в соответствие симметричные $\Psi$- функции, а ферми-частицам -- антисимметричные. В математической записи вышесказанное означает:

где $q_1,\dots ,q_i,{\dots ,q}_j\dots ,q_N$ -- координаты $N$ частиц, перестановка реализуется для частиц $i\ и\ j$. При этом $\alpha =+1$ для бозонов, и $\alpha =-1$ для ферми-частиц. В том и другом случаях выполняется равенство:

Выражение (2) означает, что частицы невозможно отметить (они не различимы).

Для классификации микрочастиц применяют простое правило: фермионы имеют полуцелый спин. (Спин -- собственный механический момент количества движения, это внутренне свойство частиц). Если быть более точными, то не сам спин, а проекцию спина на выделенное направление, например, ($Z$) ($s_z$):

бозоны -- нулевой или целый спин.

Фермионы подчиняются принципу запрета Паули и статистике Ферми -- Дирака. Самым известным представителем фермионов является электрон.

Квантовые свойства и законы статистики для систем тождественных частиц начинают становиться существенными при температурах ниже температуры вырождения ($T_0$). Эта температура, при которой длина волны де Бройля, которая соответствует энергии теплового движения микрочастиц, сравнима с расстоянием между частицами. Если температуры рассматриваемых систем больше, чем $T_0$, то квантовые свойства не являются существенными.

Функция распределения Ферми -- Дирака

Допустим, что система фермионов представима в виде идеального газа, который находится в состоянии равновесия при температуре $T$.

Функция распределения Ферми -- Дирака ($f(E)$) определяет вероятность нахождения фермиона в состоянии с энергией $E$. Для температуры $T$ ее можно записать как:

где $\mu $ -- химический потенциал, $k_B$ -- постоянная Больцмана. Вероятность того, что уровень энергии при $E=\ \mu $ при любой температуре, заполнен равна $\frac{1}{2}$ (то есть $f\left(E=\mu \right)=\frac{1}{2}$).

При $T=0K$ функция $f\left(E\right)$ представлена как ступенька. Величина химического потенциала при $T=0K$ имеет специальное название -- энергия Ферми ($E_F$). Все состояния c энергиями ${E

Из-за теплового движения микрочастиц при $T >0K$ функция $f\left(E\right)$ размыта в окрестности $E_F.$

В области низких температур ($k_BT\ll \mu $) функция распределения Ферми -- Дирака около $E=\mu $ можно охарактеризовать линейной зависимостью, разложив $f\left(E\right)$ в ряд Тейлора, ограничиваясь нулевым и первым членами разложения:

Функция распределения Бозе - Эйнштейна

Зависимость среднего количества квантов $\left\langle N\right\rangle $ возбуждения от температуры и энергии, которую имеет квант, определяет функцию распределения Бозе -- Эйнштейна:

В общем случае для бозонов справедлива функция распределения вида:

где $\left\langle N\right\rangle $ -- среднее количество микрочастиц, находящихся в состоянии с энергией $E$, $\mu $ -- термохимический потенциал, который определен изменением полной энергии системы (W), если изменяется количество частиц в системе ($N_{sist}$), то есть:

Напомним, что количество бозонов не ограничивается для любого квантового состояния.

В случае бозонов при $T\ll \frac{\hbar \omega }{k_B}$ (низкие температуры) среднее количество квантов в состоянии возбуждения и энергия квантового осциллятора малы, тогда можно использовать для расчетов формулу:

при этом энергия квантового осциллятора равна: