Рассмотрим водородоподобную систему, в которой $Z\gg 1$. В таких атомах электрон превращается в релятивистскую частицу. Для описания состояния такой системы модели Бора в классическом ее представлении становится недостаточно. Приведем релятивистское обобщение данной модели. При этом рассмотрим круговые орбиты. Уравнение движения электрона в релятивистском виде запишем как:
Так как электрон движется по окружности, то модуль вектора можно считать постоянным, следовательно, уравнение (2) преобразуем к виду:
где $\beta =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$. Получается, что уравнение движения электрона в релятивистском случае отличается от классического варианта движения возникновением коэффициента $\beta .$ Будем полагать, что условие квантования для момента импульса Бора выполняется при релятивистских скоростях. В таком случае имеем:
Мы получили два уравнения (2) и (3) при использовании которых можно получить выражения, с помощью которых определяют радиусы орбит и скорости движения электрона. Из уравнения (3) выразим скорость:
Подставим выражение (4) в уравнение (2), получаем:
Из формулы (5) выразим радиус:
Подставим правую часть выражения (6) в формулу (4) вместо $r_n$, получим:
где $\alpha =\frac{q^2_e}{4\pi {\varepsilon }_0с\hbar }$ - постоянная тонкой структуры. Заметим, что выражения для скорости в релятивистском и нерелятивистском случаях аналогичны.
Вернемся к выражению для $\beta $, рассмотрим его:
Подставим в (8) вместо скорости полученное соотношение для $v_n$(7):
Подставим правую часть (9) вместо $\frac{1}{\beta }$ в формулу для радиусов (6):
Определим, какова энергия электрона, находящегося на стационарных орбитах. При движении в поле сил Кулона можно записать:
где потенциальная энергия электрона равна релятивисткой энергии покоя электрона ($\frac{Zq^2_e}{4\pi {\varepsilon }_0r}=mc^2$).
Выражение (11) с использованием (7) запишем как:
Для основного состояния атома ($n=1$) выражения (10) и (12) теряют смысл для сверх тяжелых ядер, если заряд его больше некоторого $Z'$:
В том случае, если $Z=Z'=\frac{1}{\alpha }=137$ полная энергия электрона, включающая энергию покоя, становится равной нулю, при этом орбита электрона имеет нулевой радиус. Надо сказать, что для ядер, имеющих большой заряд при $n=1$ в рамках теории Бора нет устойчивой орбиты. Это означает, что модель Бора предсказывает окончание таблицы Менделеева. Такой же прогноз дает релятивистская квантовая механика. Эмпирически проверить данное предсказание пока не удалось, ввиду невозможности синтезировать ядра с очень большим числом $Z$.
Рассмотрим ситуацию, когда $Z$ невелики. Выражение (12) включает энергию покоя электрона. Она в рамках нерелятивистской теории не учитывается. Для того, чтобы провести сравнение результатов и вычисления релятивистских поправок исключим энергию покоя в выражении (12), имеем:
Разложим (14) в ряд Тейлора получим:
Выражение (15) совпадает с формулой, которая определяет разрешенные уровни энергии электрона в атоме для нерелятивистского случая. Релятивистская поправка к выражению для энергии ($\delta E_{pp}$) получится, если учесть второй член разложения квадратного корня в (14):
Задание: Вычислите релятивистскую поправку к энергии для основного состояния атома водорода.
Решение:
Основой для решения служит формула:
\[{{\breve{E}}_n=E}_n-mc^2=-mc^2\sqrt{1-{\left(\frac{\alpha Z}{n}\right)}^2}\left(1.1\right).\]При небольших значениях $Z$ выражение (1.1) раскладывается в ряд Тейлора, при этом учитывается второй член разложения. Получаем, что искомая поправка определена выражением:
\[\delta E_{pp}\approx -\frac{1}{8}mc^2{\left(\frac{\alpha Z}{n}\right)}^4\left(1.2\right).\]Для основного состояния водорода ($Z=1, n=1$) имеем:
\[\delta E_{pp}\approx -\frac{1}{8}mc^2{\left(\alpha \right)}^4\left(1.2\right),\]где $\alpha =\frac{1}{137},\ m=9,1\cdot {10}^{-31}кг,$ $c=3\cdot {10}^8\frac{м}{с}.$
Проведем вычисления искомой величины:
\[\partial E_{pp}=\frac{9,1\cdot {10}^{-31}\cdot 9\cdot {10}^{16}}{8\ {(137)}^4}=\frac{81\cdot {10}^{-15}}{2,8\cdot {10}^9}=28,93\cdot {10}^{-24\ }\left(Дж\right)=1,8\cdot {10}^{-4}\ \left(эВ\right).\]Ответ: $\partial E_{pp}=28,93\cdot {10}^{-24\ }Дж=1,8\cdot {10}^{-4}эВ\ .$
Задание: Почему часто считают, что атом является нерелятивистской системой? В каком случае атом необходимо переходить к релятивистским обобщениям?
Решение:
Определим, какова скорость электрона при $Z=1$ не первой боровской орбите. Для этого применим формулу:
\[v_n=\frac{\alpha cZ}{n}\left(2.1\right).\]При заданных условиях, получаем, что (при $n=1$):
\[v_0=\alpha c=\frac{c}{137}.\]Мы получили, что скорость электрона на первой орбите равна $\frac{c}{137}$ можно применять к расчета нерелятивистские формулы.
Однако, из выражения, определяющего скорость движения электрона по стационарным орбитам (2.1) следует, что он прямо пропорциональна $Z$, что значит в тяжелых водородоподобных системах ситуация изменяется. Так, к примеру, при $Z=92$ (для водородоподобного иона урана) имеем:
\[{v'}_0=\frac{c\cdot 92}{137}\approx 0,7c.\]Что означает, что при расчетах следует использовать релятивистские поправки. Это означает, что релятивистское обобщение модели Бора имеет смысл.
