Операторы физических величин

Операторы физических величин

Операторы можно складывать:

Произведение операторов ($\hat{A}\hat{B}$) - это оператор, действие которого равно:

Операторы коммутируют друг с другом, если выполняется равенство:

Оператор $\hat{A}$ называется линейным, если для любых функций и любых постоянных выполняется равенство:

Оператор координаты

Операторы, которые представляют динамические переменные, должны быть самосопряженными эрмитовыми операторами. Выбор их конкретного вида оператора, определен согласием результатов опытов, которые получают с его помощью. Известно, что среднее значение динамической переменной, которая представлена оператором $\hat{A}$ в состоянии, которое характеризуют волновой функцией $\Psi$, задают при помощи выражения:

Среднее значение координаты (одномерный случай) можно найти как:

Сравним выражения (1) и (2), можно сделать вывод о том, что оператором координаты $x$ надо выбрать оператор, умноженный на эту координату, что означает, что приложение оператора координаты ($\hat{x}$) к какой -- либо функции $f(x)$ -- это умножение данной функции на

$x:$

Что означает: $\hat{x}=x.$

Оператор импульса

В соответствии с гипотезой де Бройля свободная частица, обладающая импульсом $p_x$ -- плоская волна, имеющая волновое число $k_x=\frac{p_x}{\hbar }$ и частоту $\omega =\frac{E}{\hbar }$. Следовательно, должно выполняться соотношение:

и оно должно иметь решение в виде плоских волн:

где $A$ -- незначимая в данном случае постоянная. Сравнивая выражения (4) и (5), получаем, что оператор импульса имеет вид:

Аналогично выразятся остальные компоненты оператора импульса:

В векторном виде оператор импульса представляется как:

${\overrightarrow{i}}_x,{\overrightarrow{i}}_y,{\overrightarrow{i}}_z$ -- единичные орты.

Гамильтониан

В классической физике функцией Гамильтона ($H\left(\overrightarrow{r},\overrightarrow{p}\right)$) называют полную энергию, которая выражена через импульсы и координаты частицы. Для одной частицы полная энергия равна:

В квантовой механике функции Гамильтона соответствует оператор. Он получится, если в выражение (9) вместо вектора импульса подставить оператор $\hat{p}$.То есть имеем:

Оператор полной энергии и момента импульса

Оператор полной энергии ($\hat{E}$) выбирается так, что его собственные значения были равны энергии частицы $(\hat{E})$:

В квантовой механике проекции момента импульса имеют в соответствии операторы:

Зная выражения для операторов можно найти среднее значение $\left\langle p^2\right\rangle$, $\left\langle E\right\rangle$, $\left\langle E_k\right\rangle$, если известна волновая функция частицы.

Оператор произвольной функции динамических переменных

Во всех приведенных выше примерах операторов, из функции $F(x,p)$ динамических переменных $(x,p)$ соответствующий оператор ($\hat{F}$) получался заменой импульса не его операторное выражение (6). В общем случае так делать нельзя. Так как получающийся при этом оператор ($\hat{F}(x,\frac{\hbar }{i}\frac{\partial}{\partial x})$) не является самосопряженным, и может применяться в квантовой физике. Такая операция возможна только, если получающийся оператор самосопряжен. Например, его можно записать как:

Условие одновременной измеримости динамических переменных

При измерении динамической переменной получают определенное ее значение только в том случае, если волновая функция, которая описывает систему - собственная функция исследуемой динамической переменной. Однако, собственные функции операторов разных динамических переменных, в общем случае разные. Значит, разные динамические переменные не могут в измерении дать одновременно определенные числовые значения. Необходимым и достаточным условием одновременной измеримости разных динамических переменных является коммутативность операторов данных динамических переменных, то есть: