Операторы физических величин
Оператором называют обозначение математической операции, которую следует совершить над избранной функцией. Примеры операторов: умножение на функцию, дифференцирование и т.д.
Операторы можно складывать:
Произведение операторов (ˆAˆB) - это оператор, действие которого равно:
Операторы коммутируют друг с другом, если выполняется равенство:
Оператор ˆA называется линейным, если для любых функций и любых постоянных выполняется равенство:
Оператор координаты
Операторы, которые представляют динамические переменные, должны быть самосопряженными эрмитовыми операторами. Выбор их конкретного вида оператора, определен согласием результатов опытов, которые получают с его помощью. Известно, что среднее значение динамической переменной, которая представлена оператором ˆA в состоянии, которое характеризуют волновой функцией Ψ, задают при помощи выражения:
Среднее значение координаты (одномерный случай) можно найти как:
Сравним выражения (1) и (2), можно сделать вывод о том, что оператором координаты x надо выбрать оператор, умноженный на эту координату, что означает, что приложение оператора координаты (ˆx) к какой -- либо функции f(x) -- это умножение данной функции на
x:
Что означает: ˆx=x.
Оператор импульса
В соответствии с гипотезой де Бройля свободная частица, обладающая импульсом px -- плоская волна, имеющая волновое число kx=pxℏ и частоту ω=Eℏ. Следовательно, должно выполняться соотношение:
и оно должно иметь решение в виде плоских волн:
где A -- незначимая в данном случае постоянная. Сравнивая выражения (4) и (5), получаем, что оператор импульса имеет вид:
Аналогично выразятся остальные компоненты оператора импульса:
В векторном виде оператор импульса представляется как:
→ix,→iy,→iz -- единичные орты.
Гамильтониан
В классической физике функцией Гамильтона (H(→r,→p)) называют полную энергию, которая выражена через импульсы и координаты частицы. Для одной частицы полная энергия равна:
В квантовой механике функции Гамильтона соответствует оператор. Он получится, если в выражение (9) вместо вектора импульса подставить оператор ˆp.То есть имеем:
Оператор полной энергии и момента импульса
Оператор полной энергии (ˆE) выбирается так, что его собственные значения были равны энергии частицы (ˆE):
В квантовой механике проекции момента импульса имеют в соответствии операторы:
Зная выражения для операторов можно найти среднее значение ⟨p2⟩, ⟨E⟩, ⟨Ek⟩, если известна волновая функция частицы.
Оператор произвольной функции динамических переменных
Во всех приведенных выше примерах операторов, из функции F(x,p) динамических переменных (x,p) соответствующий оператор (ˆF) получался заменой импульса не его операторное выражение (6). В общем случае так делать нельзя. Так как получающийся при этом оператор (ˆF(x,ℏi∂∂x)) не является самосопряженным, и может применяться в квантовой физике. Такая операция возможна только, если получающийся оператор самосопряжен. Например, его можно записать как:
Условие одновременной измеримости динамических переменных
При измерении динамической переменной получают определенное ее значение только в том случае, если волновая функция, которая описывает систему - собственная функция исследуемой динамической переменной. Однако, собственные функции операторов разных динамических переменных, в общем случае разные. Значит, разные динамические переменные не могут в измерении дать одновременно определенные числовые значения. Необходимым и достаточным условием одновременной измеримости разных динамических переменных является коммутативность операторов данных динамических переменных, то есть:
Задание: Вычислите, чему равна производная по времени от среднего значения (⟨A⟩)динамической переменной, которая представлена соответствующим оператором (ˆA)? Запишите правило дифференцирования операторов.
Решение:
Продифференцирует по времени выражение:
⟨A⟩=∫VΨ∗ˆAΨdV(1.1).Получаем:
ddt⟨A⟩=∫VΨ∗∂ˆA∂tΨdV+∫V∂Ψ∂t∗ˆAΨdV+∫VΨ∗ˆA∂Ψ∂tdV(1.2).Применим выражения:
∂Ψ∗∂t=iℏˆH∗Ψ∗=iℏˆHΨ∗,∂Ψ∂t=−iℏˆHΨ(1.3).Так как оператор ˆH является эрмитовым, можно записать:
∫V(ˆHΨ∗)ˆAΨdV=∫V(ˆAΨ)ˆHΨ∗dV=∫VΨ∗ˆHˆAΨdV(1.5).Используя равенство (1.5) перепишем выражение (1.4) как:
ddt⟨A⟩=∫VΨ∗[∂ˆA∂t+iℏ(ˆHˆA−ˆAˆH)]ΨdV(1.6).Обозначим производную от оператора ˆA символом dˆAdt на основании (1.6) запишем:
dˆAdt=∂ˆA∂t+iℏ(ˆHˆA−ˆAˆH).Ответ: dˆAdt=∂ˆA∂t+iℏ(ˆHˆA−ˆAˆH)− правило дифференцирования операторов.
Задание: Выполняется ли операторное равенство вида:
(1+∂∂x)2=1+2∂∂x+∂2∂x2?Решение:
В условии мы имеем:
ˆA=(1+∂∂x), то есть ˆA2=(1+∂∂x)2(2.1).Оператор действует на какую--то функцию f, то есть запишем:
ˆA2f=ˆA(ˆAf)(2.2).Выражение (2.2), учитывая (2.1), запишем:
ˆA2f=(1+∂∂x)(f+∂f∂x)=f+∂f∂x+∂f∂x+∂f2∂x2=(1+2∂∂x+∂2∂x2)f.Ответ: Равенство выполняется.