Гамильтониан
В классической физике функцией Гамильтона ($H\left(\overrightarrow{r},\overrightarrow{p}\right)$) называют полную энергию, которая выражена через импульсы и координаты частицы. Для одной частицы полная энергия равна:
где $p$ -- импульс частицы, $m$ -- масса частицы, $U$ -- потенциальная энергия частицы.
В квантовой механике функции Гамильтона соответствует оператор. Он получится, если в выражение (1) вместо вектора импульса подставить оператор $\hat{p}$, равный:
То есть имеем:
где $-\frac{{\hbar }^2}{2m}\triangle =-\frac{{\hbar }^2}{2m}(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2})$- оператор кинетической энергии.
Введенный гамильтониан дает возможность представиться уравнение Шредингера в компактном виде:
Определение энергетического спектра системы как задача на собственные значения оператора Гамильтона
Для стационарных процессов уравнение Шредингера можно записать в виде:
где $E_n$ -- собственные значения энергии, $\Psi_n$ -- собственные функции, являющиеся решениями уравнения (5). Каждому собственному значению энергии соответствует одно или несколько состояний системы, которые описываются одной или несколькими собственными волновыми функциями. В том случае, если одному уровню энергии соответствует несколько собственных функций или состояний, то такие уровни именуются вырожденными. Количество состояний, соответствующих одной энергии называют кратностью вырождения (статистическим весом $g(E)).$
Задача поиска собственных значений и собственных функций оператора Гамильтона самая важная среди задач на собственные значения и собственные функции операторов физических величин. Данная задача имеет название: стационарное уравнение Шредингера.
Существенный вклад в разнообразие в эту задачу вносит вид потенциальной энергии, которая входит в гамильтониан. Энергетический спектр может быть дискретным, непрерывным, а может представлять собой часть дискретных уровней, а часть иметь непрерывного спектра.
Известный набор собственных состояний Гамильтона полезен для решения уравнения (4). Допустим, что в начальный момент времени система пребывает в состоянии $\varphi \left(\overrightarrow{r}\right):$
Представим решение уравнения (5) в виде разложения в ряд по собственным функциям ($\Psi_n(\overrightarrow{r})$) оператора Гамильтона (данное разложение является всегда возможным и единственным):
где $C_n$ -- постоянные коэффициенты разложения. Подставим выражение (7) в уравнение (5) получаем:
Примем во внимание то, что $\Psi_n$ -- собственное состояние оператора Гамильтона с собственным значением $E_n$ преобразуем выражение (8) к виду:
Равенство (9) выполняется, если:
Решением дифференциального уравнения (10) служит:
Коэффициенты $C_n$ определяют по волновой функции при $t=0\ (6)$:
Из выражения (12) найдем:
Учтем, что при $T_n\left(t=0\right)=1.\ $Следовательно, решением нестационарного уравнения Шредингера с начальным условием (6) является выражение:
Формула (14) описывает эволюцию собственного состояния оператора Гамильтона с течением времени. В нашем случае плотность вероятности не зависит от времени и ${\left|\Psi(\overrightarrow{r},t)\right|}^2={\left|\Psi_n(\overrightarrow{r})\right|}^2$. В связи с этим собственные состояния оператора Гамильтона именуют стационарными. Постоянными во времени являются средние значения физических величин.
И так, если Гамильтониан не зависит в явном виде от времени, то полную волновую функцию ($\Psi\left(\overrightarrow{r,}\ t\right)$), которая характеризует состояние системы можно представить как произведение координатной части $\Psi\left(\overrightarrow{r}\ \right)$ и экспоненты $e^{-\frac{i}{\hbar }E_nt}.$
Задание: Найдите уровни энергии дискретного спектра частицы в поле $U\left(x\right)=-\alpha \delta \left(x\right),\ \alpha >0.$
Решение:
В качестве основы для решения задачи используем стационарное уравнение Шредингера:
\[\hat{H}\Psi=E\Psi\left(1.1\right),\]Запишем оператор Гамильтона ($\hat{H}$) в явном виде в уравнении (1.1), получим:
\[-\frac{{\hbar }^2}{2m}\frac{{\partial }^2\Psi\left(x\right)}{\partial x^2}-\alpha \delta \left(x\right)\Psi\left(x\right)=E\Psi\left(x\right)\left(1.2\right).\]Связанные состояния частицы в поле, указанном в условиях задачи могут быть только при условии $E \[\Psi^{''}\left(x\right)+\frac{2m}{{\hbar }^2}\alpha \delta \left(x\right)\Psi\left(x\right)-\frac{2m}{{\hbar }^2}E\Psi\left(x\right)=0\to \Psi^{''}\left(x\right)+\frac{2m}{{\hbar }^2}\alpha \delta \left(x\right)\Psi\left(x\right)-{\rho }^2\Psi\left(x\right)=0\left(1.3\right),\]
где ведено следующее обозначение: ${\rho }^2=-\frac{2m}{{\hbar }^2}E.$ Общее решение уравнения (1.3) имеет вид:
\[\Psi_1\left(x\right)=Ae^{\rho x}+Be^{-\rho x}\left(1.4\right).\]Волновая функция должна стремится к нулю при $x\to -\infty .$ Следовательно, $B=0$. В области $-\infty \[\Psi_1\left(x\right)=Ae^{\rho x}\left(1.5\right).\]
Для области $0 \[\Psi_2\left(x\right)=De^{-\rho x}\left(1.6\right).\]
В соответствии с условием непрерывности волновой функции:
\[\Psi_1\left(0\right)=\Psi_2\left(0\right)\left(1.7\right).\]Можно сделать вывод о том, что $A=D.$
Найдем интеграл от уравнения Шредингера в области $0-\varepsilon \[\Psi'\left(0+\varepsilon \right)-\Psi'\left(0-\varepsilon \right)+\frac{2m}{{\hbar }^2}\alpha \Psi\left(0\right)=0\left(1.8\right).\]
Производная от $\Psi$ претерпевает разрыв при $x=0$. Значит, величина $\rho =\frac{2m\alpha }{{\hbar }^2}$ -- единственное значение. Из выражения ${\rho }^2=-\frac{2m}{{\hbar }^2}E$ следует, что имеется только одно состояние дискретного спектра с энергией:
\[E=-\frac{m{\alpha }^2}{2\hbar }.\]Ответ: $E=-\frac{m{\alpha }^2}{2\hbar }-\ $единственное значение.
Задание: Задан оператор Гамильтона $\hat{H}=-\frac{{\hbar }^2}{2m}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}-\alpha \delta \left(x\right).\ $Какой вид имеет волновая функция для частицы?
Решение:
Для установления вида волновой функции следует выражение $\Psi\left(x\right)=Ae^{-\rho \left|x\right|}\left(1.5\right)$, полученное в примере $1$ нормировать на единицу:
\[\int\limits^0_{-\infty }{A^2}e^{2\rho x}+\int\limits^{\infty }_0{A^2}e^{-\rho 2x}=A^2\left(\int\limits^0_{-\infty }{e^{2\rho x}}+\int\limits^{\infty }_0{e^{-2\rho x}}\right)=A^2\left(\frac{2}{2\rho }\right)=\frac{A^2}{\rho }=1\left(2.1\right).\]Из выражения (2.1) получаем:
\[A=\sqrt{\rho }.\]Ответ: $\Psi\left(x\right)=\sqrt{\rho }e^{-\rho \left|x\right|}$
