Гамильтониан

Гамильтониан

В классической физике функцией Гамильтона ($H\left(\overrightarrow{r},\overrightarrow{p}\right)$) называют полную энергию, которая выражена через импульсы и координаты частицы. Для одной частицы полная энергия равна:

где $p$ -- импульс частицы, $m$ -- масса частицы, $U$ -- потенциальная энергия частицы.

В квантовой механике функции Гамильтона соответствует оператор. Он получится, если в выражение (1) вместо вектора импульса подставить оператор $\hat{p}$, равный:

То есть имеем:

где $-\frac{{\hbar }^2}{2m}\triangle =-\frac{{\hbar }^2}{2m}(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2})$- оператор кинетической энергии.

Введенный гамильтониан дает возможность представиться уравнение Шредингера в компактном виде:

Определение энергетического спектра системы как задача на собственные значения оператора Гамильтона

Для стационарных процессов уравнение Шредингера можно записать в виде:

где $E_n$ -- собственные значения энергии, $\Psi_n$ -- собственные функции, являющиеся решениями уравнения (5). Каждому собственному значению энергии соответствует одно или несколько состояний системы, которые описываются одной или несколькими собственными волновыми функциями. В том случае, если одному уровню энергии соответствует несколько собственных функций или состояний, то такие уровни именуются вырожденными. Количество состояний, соответствующих одной энергии называют кратностью вырождения (статистическим весом $g(E)).$

Задача поиска собственных значений и собственных функций оператора Гамильтона самая важная среди задач на собственные значения и собственные функции операторов физических величин. Данная задача имеет название: стационарное уравнение Шредингера.

Существенный вклад в разнообразие в эту задачу вносит вид потенциальной энергии, которая входит в гамильтониан. Энергетический спектр может быть дискретным, непрерывным, а может представлять собой часть дискретных уровней, а часть иметь непрерывного спектра.

Известный набор собственных состояний Гамильтона полезен для решения уравнения (4). Допустим, что в начальный момент времени система пребывает в состоянии $\varphi \left(\overrightarrow{r}\right):$

Представим решение уравнения (5) в виде разложения в ряд по собственным функциям ($\Psi_n(\overrightarrow{r})$) оператора Гамильтона (данное разложение является всегда возможным и единственным):

где $C_n$ -- постоянные коэффициенты разложения. Подставим выражение (7) в уравнение (5) получаем:

Примем во внимание то, что $\Psi_n$ -- собственное состояние оператора Гамильтона с собственным значением $E_n$ преобразуем выражение (8) к виду:

Равенство (9) выполняется, если:

Решением дифференциального уравнения (10) служит:

Коэффициенты $C_n$ определяют по волновой функции при $t=0\ (6)$:

Из выражения (12) найдем:

Учтем, что при $T_n\left(t=0\right)=1.\ $Следовательно, решением нестационарного уравнения Шредингера с начальным условием (6) является выражение:

Формула (14) описывает эволюцию собственного состояния оператора Гамильтона с течением времени. В нашем случае плотность вероятности не зависит от времени и ${\left|\Psi(\overrightarrow{r},t)\right|}^2={\left|\Psi_n(\overrightarrow{r})\right|}^2$. В связи с этим собственные состояния оператора Гамильтона именуют стационарными. Постоянными во времени являются средние значения физических величин.

И так, если Гамильтониан не зависит в явном виде от времени, то полную волновую функцию ($\Psi\left(\overrightarrow{r,}\ t\right)$), которая характеризует состояние системы можно представить как произведение координатной части $\Psi\left(\overrightarrow{r}\ \right)$ и экспоненты $e^{-\frac{i}{\hbar }E_nt}.$