Потенциальная энергия механической системы

Допустим, что взаимодействие тел реализуется посредством потенциальных полей.

Работа в потенциальном поле

Далее мы будем использовать следующую теорему:

Мы знаем, что работу силы можно вычислить, в соответствии с формулой:

$\Delta E_k= \int_1^2 \vec F d\vec s =A(2),$

где $\Delta E_k$ - изменение кинетической энергии материальной точки; $\vec F$ - потенциальная сила, которая заставляет точку совершать перемещение $d\vec s$.

Получим работу силы с помощью функции $U$. Запишем бесконечно малую работу, принимая во внимание то, что составляющими перемещения по осям декартовой системы координат это величины: $dx, dy, dz$, тогда:

$dA=\vec F d\vec s=F_x dx+F_y dy+F_z dz (3).$

Учитывая теорему (1), формулу (3) представим как:

$dA =-\frac{\partial U}{\partial x}dx-\frac{\partial U}{\partial y}dy-\frac{\partial U}{\partial z}dz (4).$

Из теории функции мы знаем, что дифференциал функции равен:

$df=-\frac{\partial f}{\partial x}dx$,

по аналогии имеем:

$dU=\frac{\partial U}{\partial x}dx+\frac{\partial U}{\partial y}dy+\frac{\partial U}{\partial z}dz (5)$.

Выражение (5) означает, что при смещении на величину $ds$ полное приращение функции $U$ - это сумма приращений $\frac{\partial U}{\partial x}dx, \frac{\partial U}{\partial y}dy, \frac{\partial U}{\partial z}dz,$ которые вызваны смещениями по осям $X,Y,Z$ является полным дифференциалом $U$.

Тогда формула элементарной работы будет записана как:

$dA=-dU (6)$.

Если формулу (6) проинтегрировать, то получится работа, при перемещении материальной точки из положения 1 в положение 2:

$A_{12}=\int_1^2 dU=U_1-U_2 (7).$

Формула (7) указывает на то, что работа в нашем случае (случае консервативных сил) зависит только от начальной и конечной точек траектории и не зависит от вида траектории.

Сравнивая выражения (2) и (7), получаем:

$\Delta E_k=-\Delta U (8).$

Кинетическая энергия между точками 1 и 2 изменилась на такую же величину, как и $U$, но с противоположным знаком при перемещении между теми же точками.

Выражение (8) удобно записать в виде:

$E_k+U=const (9).$

Сумма кинетической и потенциальной энергии остается неизменной величиной при движении материальной точки в потенциальном поле.

Величина $U$ называется потенциальной энергией материальной точки. Выражение (9) – это закон сохранения и превращения энергии, так как он описывает взаимные превращения кинетической и потенциальной энергий.

Нормирование потенциальной энергии

Выше потенциальная энергия определена нами как функция, частные производные которой по координатам, берущиеся со знаками минус, равны соответствующим составляющим силы (формулы 1).

Если вместо потенциальной энергии $U$ взять величину, равную:

$U_1=U+B (10),$

где $B$ - некоторая постоянная величина, то составляющие силы (и сама сила) в формулах (1) не изменятся. Получается, что потенциальная энергия определена с точностью до аддитивной постоянной величины.

Если рассмотреть какую-либо пространственную точку, то можно предположить, что потенциальная энергия в этой точке есть заданная величина. Следовательно, физическим смыслом обладает не сама величина потенциальной энергии, а ее изменение при переходе от одной точки к другой.

Используя произвол в выборе потенциальной энергии, можно задать ей любое значение в некоторой пространственной точке. В этом случае для всех остальных точек величина потенциальной энергии станет фиксированным однозначно. Данную процедуру придания потенциальной энергии однозначности назвали нормировкой.

Потенциальная энергия тела, поднятого над земной поверхностью

Рассмотрим материальную точку массы $m$, которая находится на некоторой высоте над поверхностью Земли. На это тело действует сила тяжести. Направим ось $Z$ вертикально, ее начало будет находиться у земной поверхности (рис.1).

Рисунок 1. Потенциальная энергия тела, поднятого над земной поверхностью. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Запишем составляющие силы, которая действует на нашу материальную точку (рис.1):

$F_x=0; F_y=0; F_z=-mg (11),$

Тогда потенциальную энергию в соответствии с формулой (1) запишем как:

$U(z)=mgz+B$, где $B$ - постоянная величина. Условимся считать, что на земной поверхности (при $z=0$) потенциальная энергия равна нулю, то постоянная $B=0$, в этом случае получим:

$U=mgz (12).$

При этом говорят, что выражение (12) - это потенциальная энергия при нормировке ее значение на нуль на поверхности Земли. Можно принять другие условия нормировки.

Энергия взаимодействия

Наличие потенциальной энергии у тела вызвано его взаимодействием с другими телами. При отсутствии взаимодействия, потенциальная энергия равна нулю.

Силу тяготения можно считать неизменной только недалеко от поверхности Земли.

• Если тело удалять на значительные расстояния, то следует учитывать, что сила тяготения уменьшается обратно пропорционально квадрату расстояния от тела до центра Земли.
• Расположим начало координат $O$ в центре нашей планеты. При этом сила тяготения направлена по радиусу $r$ к точке $O$.
• Компоненты силы тяготения нормальные к радиусу равны нулю. Величина силы зависит только от расстояния до центра Земли. Сила гравитации является потенциальной силой.
• Потенциальная энергия материальной точки, которая находится на расстоянии $r$ от центра Земли равна:

$U=-G\frac {Mm}{r}+B (13),$

где $G$ - гравитационная постоянная; $M$ - масса Земли.

Для нормировки потенциальной энергии в рассматриваемом случае принимают во внимание то, что при удалении тела на бесконечно большое расстояние от Земли взаимодействия тела и Земли не будет, следовательно, на бесконечности потенциальная энергия (13) должна обращаться в ноль. Соответственно, постоянная $B$ равна нулю^

$B=0$.

Итак, потенциальная энергия материальной точки массы $m$ в поле тяготения Земли равна:

$U (r)=-G\frac {Mm}{r} (14).$