Определения вихревого поля Отсутствие магнитных зарядов
Линии индукции любого магнитного поля непрерывны, у них нет начала и конца, они либо замкнуты, либо уходят в бесконечность и совершенно не важно, какими контурами с током порождаются эти поля. Векторные поля, которые обладают непрерывными силовыми линиями, называются вихревыми полями. И так, магнитное поле является вихревым.
Электростатические поля имеют силовые линии, которые начинаются и заканчиваются на электрических зарядах, они всегда разомкнуты. Линии магнитного поля, напротив, всегда замкнуты, что означает, что магнитных зарядов в природе не существует.
Движение электрических зарядов образует электрический ток. Так как магнитных зарядов не существует, то не существует и магнитного тока. Отсутствие магнитных зарядов выражает следующее уравнение:
Можно вихревое поле определить иначе.
Векторные поля, вектор которых не равен нулю, называют вихревыми полями.
Исходя из теоремы о циркуляции в локальном виде:
rot→B=μ0→j (2),(где →j -- объемная плотность тока) и второй формы определения вихревого поля можно сделать вывод о том, что магнитное поле является вихревым там, где текут токи и безвихревым, где токов нет.
В том случае, если токов нет, вектор индукции (→B) можно представить в виде градиента скалярного магнитного потенциала (φm):
→B=−gradφm(3).Надо заметить, что при наличии токов такое представление невозможно.
Различие между потенциальными и вихревыми полями
Основными уравнениями магнитного поля постоянных токов являются выражения:
{rot→B=μ0→j ,div→B=0.(4)Сравним их с основными уравнениями электростатики:
{rot→E=0 ,div→E=1ε0ρ.(5).Из системы уравнений (5) очевидно, что электростатическое поле всегда потенциально, его источниками служат электростатические (неподвижные) заряды. Магнитное поле является вихревым (при наличии токов). Магнитное напряжение зависит от формы контура и не определяется только положением начала и конца этого контура. Однозначной разности потенциалов в магнитном поле не существует. Магнитное напряжение по замкнутому контуру, в общем случае, не равно нулю. Источниками поля служат электрические токи. Магнитное поле называют полем чисто вихревым, в том смысле, что его дивергенция везде равно нулю. Такие поля называют соленоидальным. Потенциальное электростатическое поле полностью определяется, если задана дивергенция напряженности (div→E(x,y,z,)) как функции координат. Вихревое магнитное поле полностью определяется, когда задана мощность его вихрей, то есть rot→B(x,y,z) как функция координат.
Задание: Покажите, почему для вихревого магнитного поля не возможно представить вектор индукции (→B) в виде градиента магнитного потенциала (φm).
Решение:
Допустим, что мы можем записать:
→B=−gradφm(1.1).Применим операцию rot для уравнения (1.1), получим:
rot→B=−rot(gradφm)(1.2).Известно, что:
rot(gradφm)=0(1.3).Если подставить (1.3) в (1.2) мы видим, что:
rot→B=0.По теореме о циркуляции получается, что токи отсутствуют. Следовательно, представление вектора индукции магнитного поля не возможно в виде магнитного потенциала в области, где текут токи.
Задание: Использовать понятие скалярного магнитного потенциала (φm) можно только в области пространства, где →j=0. Однако и в этой части пространства φm функция не однозначная. Покажите это.
Решение:
Рассмотрим магнитное поле возле контура с током (рис.1). В соответствии с теоремой о циркуляции для любого контура выполняется равенство:
∮L→B→dl=0 (2.1).
Рис. 1
Так как при отсутствии токов магнитное поле становистя потенциальным, интеграл, который берется между точками A и B не зависит от пути интегрирования, то можно записать:
∫AaB→B→dl=∫AbB→B→dl (2.2).Следовательно:
∫AbB→B→dl=B∫A→B→dl=φmA−φmB(2.3).Выражение (2.3) можно рассматривать как разность скалярных магнитных потенциалов в точках A и B. Если поступить, как делалось для потенциала в электростатике, то есть принять, что в какой то точке, например токе B потенциал равне нулю, то запишем:
B∫A→B→dl=φmA(2.4).Однако, если выбрать контур, который будет охватывать какой-либо ток, например контур AcbB (рис.1) в таком случае линейный интеграл по замкнутому контуру от циркуляции вектора индукции по нему будет отличен от нуля:
∮AcbB→B→dl≠0 (2.5).или
∮AcBbА→B→dl=∫AсB→B→dl−∫AbB→B→dl=I≠0(2.6).В таком случае:
∫AсB→B→dl=∫AbB→B→dl+I=цmA−цmB+I (2.7).Так, если мы выберем какой - то путь AnB, который охватывает ток n- раз, то получим:
∫AnB→B→dl=φmA−φmB+nI(2.8)Зададим нулевой потенциал в точке B, тогда имеем, что:
∫AnB→B→dl=φmA+nI(2.9).Уравнение (2.9) показывает, что скалярный магнитный потенциал -- не однозначная величина.
