Сила Лоренца

Задание: Протон ($p$) и электрон ($e$), ускоренный одинаковой разностью потенциалов влетают в однородное магнитное поле. Во сколько раз радиус кривизны траектории движения протона $R_p$отличается от радиуса кривизны траектории электрона $R_e$. Углы, под которыми влетают частицы в поле, одинаковы.

Решение:

Если действием силы тяжести в сравнении с действием магнитной силы пренебречь, то второй закон Ньютона запишем как:

$$ma_n=qvBsin\alpha \ \left(1.1\right).$$

В формуле (1.1) мы учли, что вектор магнитной составляющей силы Лоренца перпендикулярен скорости и, следовательно, сообщает заряженной частице нормальное ускорение ($a_n$). Его мы можем выразить как:

$$a_n=\frac{v^2}{R}\left(1.2\right).$$

По условию задачи заряженные частицы до попадания в магнитное поле ускоряются электрическим полем, для того, чтобы узнать скорость, с которой частицы влетают и движутся в магнитном поле, запишем из закона сохранения энергии:

$$\frac{mv^2}{2}=qU\left(1.3\right).$$

Из формулы (1.3) выразим скорость движения частицы:

$$v=\sqrt{\frac{2qU}{m}}\left(1.4\right).$$

Подставим (1.2), (1.4) в (1.1), выразим радиус кривизны траектории:

$$m\frac{v}{R}=qBsin\alpha \to R=\frac{mv}{qBsin\alpha }\to R=\frac{\sqrt{2Um}}{B\sqrt{q}sin\alpha }\left(1.5\right).$$

Подставим данные для разных частиц, найдем отношение $\frac{R_p}{R_e}$:

$$\frac{R_p}{R_e}=\frac{\sqrt{2Um_p}}{B\sqrt{q_p}sin\alpha }\cdot \frac{B\sqrt{q_e}sin\alpha }{\sqrt{2Um_e}}=\frac{\sqrt{m_p}}{\sqrt{m_e}}.$$

Заряды протона и электрона по модулю равны. Масса электрона $m_e=9,1\cdot {10}^{-31}кг,m_p=1,67\cdot {10}^{-27}кг$.

Проведем вычисления:

$$\frac{R_p}{R_e}=\sqrt{\frac{1,67\cdot {10}^{-27}}{9,1\cdot {10}^{-31}}}\approx 42.$$

Ответ: Радиус кривизны протона в 42 раза больше, чем радиус кривизны электрона.

Задание: Найдите напряженность электрического поля (E), если протон в скрещенном магнитном и электрическом полях движется прямолинейно. В эти поля он влетел, пройдя ускоряющую разность потенциалов равную U. Поля скрещены под прямым углом. Индукция магнитного поля равна B.

Решение:

На частицу, по условиям задачи действует сила Лоренца, имеющая две составные части: магнитную и электрическую. Первая составляющая магнитная она равна:

$$\overrightarrow{F_m}=q\left[\overrightarrow{v}\overrightarrow{B}\right]\ \left(2.1\right).$$

$\overrightarrow{F_m}$ -- направлена перпендикулярно $\overrightarrow{v\ }и\ \overrightarrow{B}$. Электрическая составляющая силы Лоренца равна:

$$\overrightarrow{F_q}=q\overrightarrow{E}\left(2.2\right).$$

Сила $\overrightarrow{F_q}$- направлена по напряженности $\overrightarrow{E}$. Мы помним, что протон имеет положительный заряд. Для того чтобы протон двигался прямолинейно необходимо, чтобы магнитная и электрическая составляющие силы Лоренца уравновешивали друг друга, то есть их геометрическая сумма была равна нулю. Изобразим силы, поля и скорость движения протона, выполнив условия их ориентации на рис. 2.

Рис. 2

Из рис.2 и условия равновесия сил запишем:

$$qE-qvB=0\ \left(2.3\right).$$

Выразим из (2.3) напряженность электрического поля, получим:

$$E=vB\ \left(2.4\right).$$

Скорость найдем из закона сохранения энергии:

$$\frac{mv^2}{2}=qU\to v=\sqrt{\frac{2qU}{m}}\left(2.5\right).$$

Подставим (2.5) в (2.4), получим:

$$E=B\sqrt{\frac{2qU}{m}}.$$

Ответ: $E=B\sqrt{\frac{2qU}{m}}.$